Luận văn thạc sĩ: Lưới tọa độ và một số bài toán liên quan – Nguyễn Thị Thanh Mai

Nghiên cứu chuyên sâu về lưới tọa độ và các bài toán liên quan trong luận văn thạc sĩ. Khám phá ứng dụng thực tế và phương pháp giải quyết hiệu quả.

• Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Mai
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Việt Hải
• Trường học: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Lưới tọa độ và một số bài toán liên quan
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Tổng quan về lưới tọa độ và tính chất cơ bản

Lưới tọa độ là một cấu trúc toán học quan trọng. Nó bao gồm tập hợp các điểm có tọa độ nguyên trên mặt phẳng. Các điểm này tạo thành mạng lưới ô vuông đều. Mỗi ô vuông có cạnh đơn vị. Lưới tọa độ nguyên là công cụ nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực toán học. Các lĩnh vực bao gồm số học, hình học và tổ hợp. Trên lưới tọa độ, các đa giác đều có thể được nghiên cứu. Các đường tròn đi qua điểm nguyên cũng được xem xét. Công thức Picard tính diện tích đa giác là ứng dụng nổi bật. Lưới tọa độ giúp giải quyết bài toán lượng giác. Các tính chất của hàm lượng giác vô tỷ được khám phá. Lưới tọa độ cũng áp dụng vào bài toán trên ô vuông. Nghiên cứu về lưới tọa độ nguyên có tính ứng dụng cao. Nó phục vụ giáo dục và nghiên cứu toán học hiện đại.

1.1. Định nghĩa lưới tọa độ nguyên trên mặt phẳng

Lưới tọa độ nguyên trên mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ nguyên (x, y). Trong đó x và y là các số nguyên. Các điểm này cách nhau một đơn vị theo phương ngang và phương dọc. Lưới tạo thành các ô vuông đều có cạnh bằng 1. Lưới tọa độ nguyên là nền tảng cho nhiều bài toán toán học. Các bài toán về hình học, số học và tổ hợp đều sử dụng lưới này. Lưới tọa độ có tính chất đối xứng cao. Mỗi điểm nguyên trên lưới đều có vị trí xác định rõ ràng.

1.2. Mối quan hệ giữa lưới tọa độ và đa giác đều

Đa giác đều trên lưới tọa độ là hình có các đỉnh là điểm nguyên. Các cạnh của đa giác đều bằng nhau. Không phải mọi đa giác đều đều nội tiếp được trong lưới nguyên. Hình vuông là đa giác đều đơn giản nhất trên lưới. Tam giác đều và lục giác đều cũng có thể nội tiếp. Đa giác nửa đều cũng được nghiên cứu trên lưới. Tính chất của đa giác trên lưới liên quan đến lý thuyết số. Các bài toán về đa giác nội tiếp lưới thu hút nhiều nghiên cứu.

II. Các bài toán trên lưới tọa độ nguyên cần giải quyết

Nhiều bài toán quan trọng được đặt ra trên lưới tọa độ nguyên. Bài toán đầu tiên là xác định đa giác đều nội tiếp lưới. Tam giác đều, hình vuông, ngũ giác, lục giác đều được nghiên cứu. Bài toán đường tròn trên lưới cũng rất thú vị. Số điểm nguyên nằm trên đường tròn phụ thuộc vào bán kính. Bài toán biểu diễn số tự nhiên thành tổng hai bình phương liên quan trực tiếp. Đường tròn Sinhsel là một khái niệm quan trọng. Bài toán tính diện tích đa giác trên lưới sử dụng công thức Picard. Các bộ ba Pythagoras xuất hiện tự nhiên trên lưới tọa độ. Bài toán điểm nguyên nguyên tố cũng được xem xét. Các dạng của điểm nguyên nguyên tố trên đường tròn được phân loại. Những bài toán này có tính ứng dụng trong nhiều lĩnh vực.

2.1. Bài toán đường tròn đi qua điểm nguyên trên lưới

Đường tròn trên lưới tọa độ nguyên đi qua các điểm có tọa độ nguyên. Số điểm nguyên trên đường tròn phụ thuộc vào tâm và bán kính. Với đường tròn tâm tại gốc tọa độ, số điểm nguyên trên đường tròn liên quan đến phân tích số thành tổng hai bình phương. Đường tròn Sinhsel nghiên cứu số điểm nguyên tối đa trên đường tròn. Kết quả cho thấy với mọi n đều dựng được đường tròn đi qua đúng 4n điểm nguyên. Bài toán này kết hợp hình học và số học.

2.2. Bài toán đa giác nội tiếp và tính diện tích

Đa giác nội tiếp lưới nguyên là đa giác có đỉnh tại các điểm nguyên. Tính diện tích đa giác là bài toán quan trọng. Công thức Picard cung cấp phương pháp tính diện tích chính xác. Diện tích đa giác bằng tổng số điểm nguyên trong đa giác cộng nửa số điểm nguyên trên biên trừ 1. Tam giác đơn nguyên thủy có diện tích bằng 1/2. Mọi tam giác trên lưới nguyên đều có diện tích là bội của 1/2. Bài toán này có ứng dụng trong hình học tính toán.

III. Phương pháp giải bài toán lưới tọa độ trong toán học

Nhiều phương pháp được sử dụng để giải bài toán trên lưới tọa độ. Công thức Picard là công cụ mạnh mẽ tính diện tích đa giác. Công thức liên hệ số điểm nguyên bên trong và trên biên đa giác. Phương pháp phủ hình chữ nhật áp dụng cho tam giác đơn nguyên thủy. Tam giác được phủ bởi hình chữ nhật rồi trừ đi các tam giác phụ. Phương pháp quy nạp sử dụng cho công thức Picard. Đa giác lớn được chia thành đa giác nhỏ hơn. Phương pháp sử dụng điểm nguyên nguyên tố giải bài toán đường tròn. Các bộ ba Pythagoras giúp xác định điểm nguyên trên đường tròn. Phương pháp tính toán tổ hợp áp dụng cho bài toán trên ô vuông. Các kỹ thuật số học phân tích tính chất chia hết của điểm nguyên. Kết hợp nhiều phương pháp giải quyết bài toán phức tạp trên lưới.

3.1. Ứng dụng công thức Picard tính diện tích đa giác

Công thức Picard là phương pháp tính diện tích đa giác trên lưới nguyên. Công thức có dạng S = I + B/2 - 1. Trong đó I là số điểm nguyên nằm trong đa giác. B là số điểm nguyên nằm trên biên đa giác. Công thức áp dụng cho đa giác đơn có đỉnh tại điểm nguyên. Cách chứng minh sử dụng phép chia hình chữ nhật thành tam giác. Mỗi tam giác phân có diện tích bằng 1/2. Công thức Picard có nhiều ứng dụng trong toán học. Nó giúp giải quyết bài toán hình học tổ hợp hiệu quả.

3.2. Phương pháp sử dụng lý thuyết số trên lưới

Lý thuyết số cung cấp công cụ mạnh mẽ cho bài toán trên lưới. Điểm nguyên nguyên tố là điểm có tọa độ nguyên tố cùng nhau. Tính chất chia hết của điểm nguyên giúp phân loại các điểm. Định lý cơ bản của điểm nguyên tương tự định lý số nguyên. Biểu diễn số thành tổng hai bình phương liên quan đến đường tròn. Bộ ba Pythagoras xuất hiện tự nhiên trên lưới tọa độ. Các dạng của điểm nguyên nguyên tố được phân loại chi tiết. Phương pháp số học kết hợp hình học giải quyết nhiều bài toán.

IV. Kết luận và ứng dụng thực tiễn của lưới tọa độ

Lưới tọa độ nguyên là chủ đề nghiên cứu phong phú và đa dạng. Các bài toán trên lưới liên quan đến nhiều lĩnh vực toán học. Hình học, số học, tổ hợp đều có ứng dụng trên lưới. Công thức Picard là kết quả nổi bật trong nghiên cứu. Đường tròn trên lưới tọa độ mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới. Các bộ ba Pythagoras và điểm nguyên nguyên tố có tính ứng dụng cao. Nghiên cứu về lưới tọa độ phục vụ giáo dục toán học. Học sinh có thể trực quan hóa các khái niệm trừu tượng. Bài toán trên lưới thường xuất hiện trong thi Olympic toán học. Nghiên cứu lưới tọa độ còn liên quan đến mật mã học. Ứng dụng trong đồ họa máy tính và hình học tính toán. Kết quả nghiên cứu về lưới tọa độ có giá trị khoa học lâu dài.

4.1. Ứng dụng trong giáo dục và thi toán học

Lưới tọa độ nguyên có nhiều ứng dụng trong giáo dục toán học. Công cụ này giúp trực quan hóa các khái niệm hình học trừu tượng. Học sinh hiểu rõ hơn về tọa độ, diện tích và chu vi. Bài toán trên lưới thường xuất hiện trong thi học sinh giỏi. Các kỳ thi Olympic toán học quốc tế cũng sử dụng lưới tọa độ. Lưới tọa độ giúp phát triển tư duy logic và sáng tạo. Giáo viên sử dụng lưới tọa độ để minh họa bài giảng hiệu quả.

4.2. Hướng phát triển và mở rộng nghiên cứu

Nghiên cứu về lưới tọa độ còn nhiều hướng phát triển. Mở rộng sang không gian ba chiều với lưới lập phương. Nghiên cứu đa giác đều trên lưới trong không gian cao hơn. Ứng dụng lưới tọa độ trong mật mã học và bảo mật thông tin. Sử dụng lưới tọa độ trong đồ họa máy tính và xử lý hình ảnh. Nghiên cứu các bài toán tối ưu hóa trên lưới. Kết hợp trí tuệ nhân tạo với bài toán trên lưới tọa độ. Phát triển phần mềm hỗ trợ giải bài toán trên lưới nguyên.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Lưới tọa độ và đa giác 1.1 Lưới tọa độ nguyên trên mặt phẳng và các tính chất 1.1 Lưới tọa độ trên mặt phẳng Trên mặt phẳng ta xét một lưới tạo bởi hai họ các đường thẳng song song chia mặt phẳng thành các hình bình hành bằng nhau.1: Lưới tọa độ nguyên Tập hợp tất cả các đỉnh các hình bình hành gọi là lưới tọa độ, bản thân các đỉnh gọi là các nút của lưới. Mọi hình bình hành tạo bởi 2 họ đường thẳng song song gọi là hình bình hành cơ sở của phân hoạch hay hình bình hành sinh ra lưới. Chú ý rằng một lưới có thể nhận được từ các họ đường thẳng khác nhau: Trên Hình 1.1 biểu diễn một lưới tọa độ nguyên, tức là tập hợp 4 các điểm có tọa độ Descartes là các số nguyên. Lưới tọa độ nguyên chính là lưới tạo bởi tất cả các đường thẳng song song với hai trục tọa độ, có thể coi là tờ giấy kẻ ô vuông vô hạn (hình bình hành cơ sở là hình vuông cạnh 1).

Lưới tọa độ nguyên có thể nhận được từ các "đường xiên" (khi đó hình bình hành cơ sở là hình bình hành ABCD trên Hình 1.2: Lưới tọa độ trên mặt phẳng Như vậy, khái niệm hình bình hành cơ sở không chỉ gắn với bản thân lưới mà còn gắn với các họ đường thẳng sinh ra lưới. Ta có các tính chất đơn giản của lưới như sau: Hình 1.3: lưới tọa độ nguyên với hbh cơ sở i. Mọi phép tịnh tiến song song biến điểm nút này thành một điểm nút khác sẽ bảo toàn lưới (biến lưới thành chính nó). (Bổ đề về đỉnh thứ tư của hình bình hành) Nếu 3 đỉnh của hình 5 bình hành là các điểm nút của lưới thì đỉnh thứ tư cũng là điểm nút của lưới.

Nếu qua 2 điểm Q, R của lưới kẻ một đường thẳng thì đường thẳng này sẽ đi qua vô hạn các điểm nút của lưới. Khi đó tất cả các khoảng cách giữa các nút gần nhau đều bằng nhau. Nếu một hình bình hành với đỉnh là các điểm nút không chứa trong nó một điểm nút nào của lưới thì nó là hình bình hành sinh ra lưới. (Bổ đề về thợ săn và thỏ) Giả sử tia ℓ đi qua điểm nút A của lưới nào đó.

Khi đó tìm được một nút sao cho khoảng cách từ đó đến ℓ nhỏ hơn số ǫ nhỏ tùy ý cho trước. đều hiển nhiên, ta đi chứng minh bổ đề v. về thợ săn và thỏ: Ký hiệu giao điểm của tia ℓ và đường thẳng nghiêng của lưới là A0 = A, A1 , A2 ,. Nhấc tất cả các hình bình hành mà có các điểm này nằm trên đường thẳng chứa cạnh về hình bình hành ABCD, khi đó mỗi điểm An chuyển thành điểm An trên cạnh AB.

Với mọi ǫ > 0 cho trước tìm được các điểm Am và Am+k như thế sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn ǫ. Bây giờ hãy chứng minh khoảng cách từ điểm Ak đến một trong các nút của lưới nhỏ hơn ǫ (đặc biệt nếu A′m trùng với A′m+k thì Ak sẽ là nút của lưới). Kết quả sau là hiển nhiên: Giả sử a, b là hai số thực bất kỳ. Chứng minh rằng tập hợp tất cả các điểm với tọa độ (ka, lb) với k, l ∈ Z là một lưới.

Với mọi số vô tỷ α > 0 và mọi số dương ǫ đều tìm được các số tự nhiên m, n sao cho |mα − n| < ǫ. Lấy hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng và kẻ đường thẳng y = αx. Vì α là số vô tỷ nên trên đường thẳng này có duy nhất một điểm mang tọa độ nguyên là điểm gốc tọa độ. Đường thẳng y = αx cắt đường x = m tại các điểm (m, mα).

Theo tính chất v, tìm được nút (m, n) của lưới nguyên sao cho khoảng cách (theo chiều thẳng đứng) từ đó đến điểm (m, mα) nhỏ hơn ǫ. Đó là điều cần chứng minh. 6 Dễ thấy rằng trong tất cả các khả năng thì khoảng các đôi một giữa các nút của lưới bất kỳ sẽ là số nhỏ nhất. Tính chất này cùng với tính chất ii.

của lưới có thể thay cho định nghĩa về lưới. Giả sử tập hợp M trên mặt phẳng có các tính chất sau: (1) Khoảng cách của hai điểm bất kỳ không nhỏ hơn số dương d nào đó; (2) Nếu 3 điểm A,B,C của M là các đỉnh của hình bình hành ABCD thì đỉnh thứ tư D của hình bình hành này cũng thuộc tập hợp M. Khi đó M là một lưới. Hình vẽ b Lấy điểm B tùy ý thuộc M.

Giả sử A là điểm trong M, gần B nhất (Hình vẽ a), điểm này tồn tại vì tất cả các khoảng cách đôi một giữa các điểm của M đều lớn hơn d). Qua A và B kẻ một đường thẳng. Trong các điểm của M không nằm trên đường thẳng này chọn được điểm gần B nhất, gọi điểm đó là C. Ta dựng hình bình hành ABCD.

Theo điều kiện (2) điểm D cũng thuộc tập hợp M. Ta dựng lưới sinh bởi hình bình hành ABCD, ta đi chứng minh tập hợp M trùng với lưới vừa dựng. 7 Từ điều kiện (2) suy ra rằng tất cả các nút của lưới này đều thuộc M. Bởi vậy chỉ cần kiểm tra rằng ở biên cũng như ở trong hình bình hành ABCD không có điểm nào của M khác với đỉnh của nó.

Điều này gần như hiển nhiên: Nếu điểm S nằm ở trong hình bình hành (Hình vẽ [ BSC, b.)thì ít nhất một trong các góc ASB, [ CSD,[ ASD [ là góc tù hoặc góc vuông và bởi vậy khoảng cách từ S tới một trong các đỉnh của nó nhỏ hơn cạnh nào đó của nó(nếu S nằm trên biên thì cũng vậy). Chẳng hạn giả sử đó là khoảng cách SC. Ta dựng hình bình hành BCSS′ , (S′ ∈ M). Khi đó BS′ nhỏ hơn BC hoặc BA nhưng điều đó mâu thuẫn với cách chọn hoặc của điểm C hoặc của điểm A.

Các trường hợp còn lại tương tự. Giả sử α là số vô tỷ tùy ý. Chứng minh rằng: với mọi ǫ > 0 và mọi số thực β luôn tìm được các số m, n sao cho: |mα + n − β| < ǫ. Chứng minh rằng ký hiệu thập phân của số 2n có thể bắt đầu bằng chữ số bất kỳ của tổ hợp các chữ số cho trước.2 Lưới tọa độ nguyên và đa giác đều Lấy một tờ giấy kẻ ô vuông.

Hiển nhiên hình vuông với các đỉnh là các nút của lưới luôn dựng được và bằng vô số cách. Cách làm như thế có thực hiện được đối với tam giác đều hay lục giác đều hay không? Trong phần này ta sẽ tìm câu trả lời thích đáng. Giả sử ta có một lưới nguyên hay còn gọi là lưới Z2. Trên lưới nguyên này hãy xét bài toán về sự tồn tại đa giác đều nội tiếp được trong lưới.

Ta nói đa giác nội tiếp được trong lưới π nếu tồn tại một đa giác đồng dạng với nó mà các đỉnh là nút của lưới. Bài toán nội tiếp một tam giác đều trên lưới nguyên là bài toán đơn giản nhất trong các bài toán nội tiếp một đa giác đều trên lưới nguyên. Vậy mà kết quả "không dựng được tam giác đều nội tiếp trên lưới Z2 " được đưa ra vào năm 1878 do nhà toán học E. Lukacy công bố.

Ở đây chúng tôi đưa ra 5 cách chứng minh kết quả này: cách thứ nhất (của Lukacy) sử dụng lý thuyết chia hết các số nguyên; cách thứ hai dựa trên 8 2π tính vô tỷ của số tan , cách thứ ba dùng lượng giác, cách thứ tư dùng n phương pháp diện tích, cách thứ năm dùng phương pháp cực hạn. Bài toán này cũng đã là một trong những bài toán hay trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế trong những năm gần đây. Tam giác đều ABC không thể nội tiếp được trong lưới nguyên. Khi đó bốn số nguyên a, b, c, d không có ước chung khác ±1 (tức chúng nguyên tố cùng nhau).

Trong  trườnghợp  ngược  lại sẽ dẫn tới tam giác với tọa độ các đỉnh là a b c d (0, 0), , , , với k là ước chung của bốn số a, b, c, d. Ta viết k k k k đẳng thức các cạnh tam giác vuông ở dạng tọa độ: a2 + b2 = c2 + d2 = (a − c)2 + (b − d)2. Nghĩa là tổng bình phương bốn số nguyên chia hết cho 4. Mặt khác bình phương của số nguyên khi chia cho 4 chỉ cho dư là 0 hoặc 1.

Bởi vậy, hoặc tất cả 4 số a, b, c, d là chẵn hoặc tất cả đều lẻ. Khả năng thứ nhất không xảy ra vì các số này theo cách chọn ở trên là nguyên tố cùng nhau. Khả năng thứ hai cũng không xảy ra vì lúc đó không thể có a2 + b2 = (a − c)2 + (b − d)2. Mâu thuẫn này suy ra điều phải chứng minh.

tan β db ac + bd 1+ ca 9 Như vậy, nếu dựng được tam giác đều trên lưới Z2 thì hai tia với gốc √ là một trong các đỉnh tam giác sẽ tạo thành góc 60 mà tan 60 = 3 là ◦ ◦ số vô tỷ, trái với vế phải là số hữu tỷ. (Phương pháp diện tích) Ta tính diện tích tam giác ABC theo √ AB.AC AB2 3 2 cách: Một mặt, S∆ABC = · sin A = sin 60◦ = AB2. 2 2 4 Nhưng AB2 = số nguyên (AB2 = AC2 + CB2 ), nghĩa là S∆ABC là số vô tỷ. Mặt khác, “ngoại tiếp” xung quanh tam giác ABC là hình chữ nhật CB’C’A’ ta nhận được: S∆ABC = SCB′ CA′ − S∆AB′ C − S∆AC′ B − S∆A′ BC′ là số hữu tỷ vì tất cả các diện tích ở vế phải đều là các số hữu tỷ.

Ta nhận được S∆ABC vừa là số hữu tỷ vừa là số vô tỷ. (Phương pháp tọa độ) Giả sử A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ), C(c1 , c2 ) là 1 1 1 các điểm nguyên. Khi đó diện tích 2S = a1 b1 c1 là một số nguyên. a2 b 2 c 2 √ AB2 3 Mặt khác do ABC là tam giác đều nên 2S = là số vô tỷ.

Mâu 2 thuẫn đó chứng minh bài toán. Từ đây ta sẽ viết k−giác thay cho đa giác k cạnh, các cách nói sau đây được sử dụng thường xuyên: 5-giác hay ngũ giác; 8-giác hay bát giác; 10-giác hay thập giác; 12-giác hay thập nhị giác,. Đa giác đều duy nhất nội tiếp được trong lưới nguyên là hình vuông. Dễ thấy tồn tại hình vuông nội tiếp lưới, chẳng hạn đó là hình vuông cơ sở, có tọa độ các đỉnh (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).