I. Luận Văn Thạc Sĩ
Luận văn thạc sĩ của Đặng Thị Thu Thảo tập trung vào việc khám phá giá trị chung của hàm nguyên và đa thức vi phân. Nghiên cứu này thuộc lĩnh vực toán học, cụ thể là giải tích phức và lý thuyết hàm. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. Tạ Thị Hoài An tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nội dung chính của luận văn bao gồm việc phân tích các phương trình vi phân và ứng dụng của chúng trong nghiên cứu khoa học.
1.1. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chính của luận văn là khám phá và chứng minh các kết quả về giá trị chung của hàm nguyên và đa thức vi phân. Nghiên cứu này nhằm mở rộng và phát triển các giả thuyết toán học, đặc biệt là giả thuyết Brück, liên quan đến tính duy nhất của hàm nguyên và đạo hàm của chúng.
1.2. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng các công cụ từ lý thuyết Nevanlinna để phân tích và chứng minh các kết quả. Phương pháp nghiên cứu bao gồm việc áp dụng các định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna, như định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai, để nghiên cứu tính duy nhất của hàm nguyên và đa thức vi phân.
II. Hàm Nguyên và Đa Thức Vi Phân
Hàm nguyên và đa thức vi phân là hai đối tượng chính được nghiên cứu trong luận văn. Hàm nguyên là các hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức, trong khi đa thức vi phân là các biểu thức liên quan đến đạo hàm của hàm nguyên. Luận văn tập trung vào việc tìm hiểu các giá trị chung của hai đối tượng này, tức là các giá trị mà cả hàm nguyên và đa thức vi phân cùng nhận.
2.1. Tính chất của hàm nguyên
Hàm nguyên có các tính chất đặc biệt trong giải tích phức, chẳng hạn như không có điểm bất thường hữu hạn. Luận văn trình bày các khái niệm cơ bản về hàm nguyên, bao gồm cấp của hàm nguyên và các tính chất liên quan đến cấp này. Cấp của hàm nguyên được định nghĩa thông qua hàm đặc trưng T(r, f), và nó đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích sự tăng trưởng của hàm nguyên.
2.2. Đa thức vi phân và giá trị chung
Đa thức vi phân là các biểu thức liên quan đến đạo hàm của hàm nguyên. Luận văn nghiên cứu các điều kiện để hàm nguyên và đa thức vi phân có giá trị chung. Đặc biệt, luận văn tập trung vào việc chứng minh các kết quả về tính duy nhất của hàm nguyên và đa thức vi phân khi chúng có chung một hoặc hai giá trị hữu hạn.
III. Giá Trị Chung và Ứng Dụng
Giá trị chung là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu về hàm nguyên và đa thức vi phân. Luận văn đưa ra các kết quả về tính duy nhất của hàm nguyên và đa thức vi phân khi chúng có chung giá trị. Các kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng trong toán học ứng dụng, đặc biệt là trong việc giải các phương trình vi phân phức tạp.
3.1. Tính duy nhất của hàm nguyên
Luận văn chứng minh rằng nếu một hàm nguyên và đa thức vi phân của nó có chung một giá trị hữu hạn, thì hàm nguyên đó phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định. Các kết quả này mở rộng và phát triển giả thuyết Brück, một giả thuyết quan trọng trong lý thuyết hàm nguyên.
3.2. Ứng dụng trong toán học ứng dụng
Các kết quả về giá trị chung của hàm nguyên và đa thức vi phân có ứng dụng trong việc giải các phương trình vi phân phức tạp. Nghiên cứu này cung cấp các công cụ toán học mạnh mẽ để phân tích và giải quyết các vấn đề trong toán học ứng dụng, đặc biệt là trong lĩnh vực giải tích phức.
