Nghiên cứu điểm bất động chung trong không gian b-metric và b-metric nón

Luận văn thạc sĩ với tiêu đề 'Điểm bất động chung trong không gian b-metric và b-metric nón' tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm và tính chất của không gian b-metric và b-metric nón. Đề tài này được chọn vì sự phát triển của lý thuyết điểm bất động, bắt nguồn từ định lý nổi tiếng của Banach về điểm bất động trong không gian metric. Nghiên cứu này không chỉ mở rộng các khái niệm đã có mà còn cung cấp những kết quả mới về điểm bất động chung trong các không gian này. Mục tiêu chính là trình bày và phân tích các kết quả về điểm bất động trong bối cảnh của các ánh xạ dãn, từ đó làm rõ tính chất và ứng dụng của chúng trong toán học.

Không gian b-metric được định nghĩa thông qua một bộ ba (E, ρ, k), trong đó ρ là ánh xạ xác định khoảng cách giữa các điểm trong E và k là một hằng số không âm. Tính chất của không gian này cho phép mở rộng các khái niệm từ không gian metric truyền thống. Một trong những điểm nổi bật là điều kiện Cauchy trong không gian b-metric, nơi mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Điều này tạo ra một nền tảng vững chắc cho việc nghiên cứu các ánh xạ trong không gian này. Đặc biệt, các ánh xạ dãn trong không gian b-metric có thể được phân tích để tìm ra các điểm bất động, mở rộng các kết quả đã biết từ không gian metric thông thường.

Nghiên cứu về b-metric nón mở rộng khái niệm không gian b-metric bằng cách thêm vào các điều kiện về thứ tự và tính chất nón. Trong không gian này, các ánh xạ dãn cũng được xem xét để tìm ra điểm bất động chung. Các kết quả cho thấy rằng nếu tồn tại các ánh xạ tương thích trong không gian b-metric nón, thì có thể xác định được điểm bất động chung duy nhất. Điều này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như tối ưu hóa và lý thuyết điều khiển. Các định lý được chứng minh trong luận văn cung cấp một cái nhìn sâu sắc về mối quan hệ giữa các ánh xạ và điểm bất động trong không gian này.

Phương pháp nghiên cứu trong luận văn chủ yếu dựa trên các kỹ thuật của giải tích hàm và lý thuyết ánh xạ. Các kết quả đạt được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong thực tiễn, đặc biệt trong các bài toán tối ưu hóa và lý thuyết điều khiển. Việc xác định điểm bất động chung trong không gian b-metric và b-metric nón mở ra hướng nghiên cứu mới cho các nhà toán học, đồng thời cung cấp công cụ hữu ích cho các ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Những kết quả này có thể được sử dụng để phát triển các thuật toán tối ưu hóa hiệu quả hơn trong các hệ thống phức tạp.