Chương 1 ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Số hoàn hảo, số Mersenne trong ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l lịch sử ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l 1.1 Số hoàn hảo, từ Pythagoras đến Euler Định nghĩa đầu tiên về số hoàn hảo dùng khái niệm gọi là "phần chia hết", nguyên gốc là "aliquot parts", vốn có nguồn gốc từ tiếng Latin, trong ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l đó "ali" có nghĩa là "khác" và "quot" nghĩa là "có bao nhiêu". Mộtvan ep, luan van thac si, luan "phần chialuan cao hoc, hết"van của một tong số là một hopluan thương van tot thực nghiep, luansựvan của số si, thac đó,luan nghĩa van cao hoc, l là thương khác số ban đầu. Ví dụ 1, 2 và 5 là các "phần chia hết" của 10 ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l vì ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong10 hopluan 10 10 van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l 1=,2 = ,5 = , 10 5 2 còn 10 không phải là một "phần chia hết" vì 10 không phải là một thương thực sự của 10. Định nghĩa nguyên thủy: Một số được gọi là hoàn hảo nếu nó bằng tổng các "phần chia hết" của nó.
ep, luan van thac si,+) Sốvan luan 6 cócao các phần hoc, luanchia van hết tonglà 1, 2, 3van hopluan 1 +nghiep, và tot 2+3 = 6 nên luan van số 6 si, thac là luan một van số cao hoc, l hoàn hảo. ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l +) Số 10 có các phần chia hết là 1, 2, 5 và 1 + 2 + 5 = 8 nên số 10 không ep, luan van thac si,phải luanlà van caosố một hoc, luanhảo. hoàn van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Để có một định nghĩa hiện đại, người ta dùng khái niệm sau an van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan4 van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Định nghĩa 1.1 Hàm tổng các ước là hàm X σ(n) = d, ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van d|n tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,trong luan van đó ncao là hoc, một luan van tong số nguyên hopluan dương và van tổngtotchạy nghiep, qualuan vancác tất cả thac si, nguyên ước luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,dương luan van n (bao củacao gồmvan hoc, luan cả tong 1 vàhopluan chính nó). van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,Nhờ luankhái niệm van cao này, hoc, tavan luan có tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,Định nghĩa luan van 1.2 luan cao hoc, Một van số tự nhiên tong n được hopluan gọinghiep, van tot là hoàn hảo luan vannếu thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan σ(n) =van 2n.tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,Khi luanσ(n) van cao < 2nhoc, thìluan van tong n được gọi hopluan là thiếuvan và tot khinghiep, σ(n) > luan 2nvan thì thac si, luan n được gọi van là cao hoc, l thừa.
+) Số 12 có các ước số là 1, 2, 3, 4, 6 và 12. Do đó số 12 là một số thừa. ep, luan van thac si,+) luan Sốvan 10 cao là sốhoc, luanvìvan thiếu tong= σ(10) hopluan 1+2+ van 5+tot10 nghiep, = 18 luan < 20van. thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,+) Các luan vansố 6,hoc, cao 28 luan là các vansố hoàn tong vì σ(6) hảo van hopluan = 1+ tot nghiep, 2+ luan 3 thac van + 6 si, = luan 12, van và cao hoc, l σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56.
ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Một cách tương đương, một số là hoàn hảo khi nó bằng tổng các ước ep, luan van thac si,thực luan sự vancủa caonó. hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Theo tác giả C.Taisbak, dường như người Ai Cập cổ đại là những người đầu tiên sử dụng số hoàn hảo trong các tính toán của mình. Aurelius Augustinus (354 – 430) trong quyển "The City of God" nhắc lại rằng Chúa trời thực hiện sự sáng tạo ra thế giới muôn loài trong 6 ngày, bởi vì sự hoàn hảo của công việc được thể hiện ở số 6. Nguồn gốc thứ hai của loài người sinh ra từ số thiếu 8: Kinh thánh nói rằng trong chiếc tàu ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l của Noah có 8 linh hồn từ đó xuất hiện ra toàn bộ loài người, nhưng quá ep, luan van thac si,trình luan sáng van cao tạohoc, nàyluan van được không tong hopluan vanvìtot8 nghiep, hoàn hảo luan vanNguồn là số "thiếu".
thac si,gốc luannày van cao hoc, l xem chừng không được coi trọng bằng nguồn gốc thứ nhất bởi lí do đơn ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l giản: 6 là số hoàn hảo! Mặt trăng quay một vòng quanh Trái đất hết 28 ngày cũng bởi lí do 28 là một số hoàn hảo. an van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan5 van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Theo Pythagoras, sự hoàn hảo của các con số phụ thuộc vào các ước số của nó. Những người theo trường phái Pythagoras luôn luôn tin tưởng ep, luan van thac si,vào luansốvan 6, cao họ xem nó làvan hoc, luan sốtong đẹphopluan nhất, tượng van tottrưng nghiep,cho sức luan vankhỏe thac và vẻ đẹp si, luan van cao hoc, l của con người. Pythagoras còn cho rằng con số 6 là hoàn hảo không phải ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l là do Chúa đã chọn nó, mà bởi vì sự hoàn hảo là thuộc tính sở hữu của ep, luan van thac si,con luansốvan đó:cao "sốhoc, luan 6 tự nóvan đã tong hopluan là hoàn hảovan chứtotkhông nghiep,phải luanvì van thac si, Chúa đãluan tạo van ra cao hoc, l ep, luan van thac si,vạn luanvật vantrong 6 ngày, cao hoc, thựctong luan van ra thì ngược hopluan vanlạitotmới đúng, nghiep, Chúa luan đã tạo van thac ra vạn si, luan van cao hoc, l vật trong 6 ngày bởi vì đó là con số hoàn hảo và nó vẫn cứ hoàn hảo thậm ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l chí nếu như chuyện đó không xảy ra." ep, luan van thac si, luan van cao Trong hoc,"Cơ quyển luan sở" van tong của hopluan Euclid, van viếttotkhoảng nghiep, luan 300 van nămthac si, luan trước van cao hoc, l Công nguyên, mệnh đề 36 trong quyển thứ 9 của bộ "Cơ sở" nói rằng ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l "Bắt đầu từ đơn vị, gấp đôi liên tục rồi lấy tổng cho đến khi kết quả là một số nguyên tố, đem nhân với số cuối cùng trong tổng, ta sẽ nhận được một số hoàn hảo".
Sau đây ta thực hiện từng bước theo Euclid. Dãy số mà Euclid nói đến là ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l 1, 2, 4, 8, 16, 32,. ep, luan van thac si,Lấy luantổng van cao các hoc, luantiên số đầu van trong tong hopluan dãy tavan tot nghiep, có các kết quảluan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan 1+2= van 3;tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong 1hopluan + 2 + 4van = tot 7; nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l 1 + 2 + 4 + 8 = 15; 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Ta chọn ví dụ số 31.
Đem nhân với số cuối cùng trong tổng ta có 31.16 = 496, là một số hoàn hảo! ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van2 thac si, luann van cao hoc, l Euclid cũng đã chứng minh được rằng nếu p = 1 + 2 + 2 +. + 2 là n tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, ep, luan van thac si,một luansố van cao hoc, nguyên tốluan p là một số hoàn hảo. Ông chỉ ra rằng 2n pluan thì 2van van cao hoc, l có tất cả các ước thực sự là 1, 2,. , 2n−1 p và tổng của chúng đúng ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l bằng 2n p.