CÁC ƯỚC SỐ CỦA SỐ MERSENNE

Luận văn về các ước số của số Mersenne. Nghiên cứu sâu về tính chất và ứng dụng của số Mersenne trong toán học và khoa học máy tính. Tải ngay!

• Tác giả: Phạm Thị Phượng
• Người hướng dẫn: Gs. Hà Huy Khoái
• Trường học: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
• Đề tài: Các Ước Số Của Số Mersenne
• Loại tài liệu: Luận văn Thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Thái Nguyên

Tóm tắt

I. Khám Phá Số Mersenne Luận Văn Thạc Sĩ Toán Học 55 ký tự

Luận văn thạc sĩ này đi sâu vào thế giới số Mersenne và ước số của chúng, một chủ đề xuyên suốt lịch sử lý thuyết số. Từ thời Hy Lạp cổ đại đến các nghiên cứu hiện đại, số Mersenne vừa phù hợp với chương trình Toán THPT vừa chứa đựng những thách thức và khám phá mới. Dưới sự hướng dẫn của GS. Hà Huy Khoái, đề tài này tập trung vào việc giới thiệu bức tranh toàn cảnh về lịch sử phát triển của số hoàn hảo và số Mersenne, đồng thời trình bày một số kết quả nghiên cứu hiện đại về ước số của số Mersenne, một vấn đề quan trọng trong việc tìm ra những số nguyên tố lớn.

1.1. Lịch Sử Số Hoàn Hảo và Số Mersenne Tổng Quan

Chương đầu tiên đi sâu vào lịch sử của số hoàn hảo, từ những khám phá của Pythagoras đến những đóng góp của Euler. Số hoàn hảo và số Mersenne có mối quan hệ mật thiết, và việc nghiên cứu lịch sử của chúng cung cấp cái nhìn sâu sắc về sự phát triển của lý thuyết số. Định nghĩa đầu tiên về số hoàn hảo sử dụng khái niệm "phần chia hết", có nguồn gốc từ tiếng Latinh. Luận văn cũng đề cập đến các tính chất đặc biệt của số hoàn hảo chẵn và những nỗ lực ban đầu trong việc tìm kiếm công thức cho chúng. "Bắt đầu từ đơn vị, gấp đôi liên tục rồi lấy tổng cho đến khi kết quả là một số nguyên tố, đem nhân với số cuối cùng trong tổng, ta sẽ nhận được một số hoàn hảo" - Euclid.

1.2. Mục Tiêu Luận Văn Nghiên Cứu Ước Số Số Mersenne

Luận văn này có hai mục tiêu chính: giới thiệu toàn cảnh lịch sử phát triển của số hoàn hảo và số Mersenne, đồng thời trình bày một số kết quả nghiên cứu hiện đại về ước số của số Mersenne. Đặc biệt, vấn đề này quan trọng trong việc xác định số nguyên tố Mersenne lớn, sử dụng những phương pháp và thuật toán tối ưu. Nghiên cứu này cũng nhằm mục đích cung cấp một cơ sở lý thuyết vững chắc cho các nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực này. "Luận văn có hai mục tiêu chính:-Giới thiệu một bức tranh toàn cảnh về lịch sử phát triển của số hoàn hảo và số Mersenne...-Trình bày một số kết quả nghiên cứu hiện đại về các ước số của số Mersenne."

II. Thách Thức Tìm Ước Số Số Mersenne Vì Sao Khó 59 ký tự

Việc tìm ước số của số Mersenne là một thách thức lớn trong nghiên cứu toán học do kích thước khổng lồ của chúng. Các số Mersenne lớn có thể có hàng triệu chữ số, làm cho các phương pháp kiểm tra tính nguyên tố truyền thống trở nên bất khả thi. Độ phức tạp thuật toán của các phương pháp kiểm tra này tăng lên đáng kể với kích thước của số, đòi hỏi các thuật toán và kỹ thuật tối ưu hóa đặc biệt. Luận văn sẽ đề cập đến những thách thức này và các phương pháp được sử dụng để vượt qua chúng.

2.1. Kích Thước Lớn Rào Cản Kiểm Tra Tính Nguyên Tố

Số Mersenne có kích thước rất lớn. Việc kiểm tra tính nguyên tố của một số với hàng triệu chữ số đòi hỏi sức mạnh tính toán đáng kể và các thuật toán hiệu quả. Các phương pháp kiểm tra truyền thống, chẳng hạn như phép chia thử, trở nên không khả thi. Điều này đòi hỏi các thuật toán phức tạp hơn, chẳng hạn như phép thử Lucas-Lehmer, để xác định xem một số Mersenne có phải là số nguyên tố hay không. Kích thước lớn cũng gây khó khăn cho việc lưu trữ và xử lý các số Mersenne này.

2.2. Độ Phức Tạp Thuật Toán Tối Ưu Hóa Tìm Kiếm

Ngay cả các thuật toán kiểm tra tính nguyên tố hiện đại nhất cũng có độ phức tạp thuật toán đáng kể khi áp dụng cho số Mersenne lớn. Việc tối ưu hóa các thuật toán này là rất quan trọng để giảm thời gian tính toán và tài nguyên cần thiết. Các nhà nghiên cứu liên tục tìm kiếm các cải tiến và sửa đổi cho các thuật toán này để cải thiện hiệu suất của chúng. Việc song song hóa các thuật toán cũng là một cách để tăng tốc quá trình kiểm tra.

III. Phương Pháp Lucas Lehmer Bí Quyết Kiểm Tra Mersenne 57 ký tự

Một trong những phương pháp hiệu quả nhất để kiểm tra tính nguyên tố của số Mersenne là phép thử Lucas-Lehmer. Đây là một thuật toán đặc biệt được thiết kế để kiểm tra số Mersenne và có thể xác định nhanh chóng xem một số có phải là số nguyên tố hay không. Luận văn sẽ trình bày chi tiết về thuật toán này, bao gồm các bước thực hiện và chứng minh toán học đằng sau nó.

3.1. Thuật Toán Lucas Lehmer Chi Tiết và Ứng Dụng

Thuật toán Lucas-Lehmer được sử dụng để kiểm tra xem một số Mersenne có phải là số nguyên tố hay không. Thuật toán này bắt đầu bằng một dãy số được xác định đệ quy và kiểm tra xem phần tử cuối cùng của dãy có chia hết cho số Mersenne hay không. Nếu có, thì số Mersenne là số nguyên tố; nếu không, thì đó là hợp số. Thuật toán này đặc biệt hiệu quả đối với số Mersenne vì nó tận dụng cấu trúc đặc biệt của chúng. "Khi đó 2p − 1 là nguyên tố khi và chỉ khi 2p − 1 là ước của S(p − 1) trong đó dãy S(n) xác định bởi..."

3.2. Ưu Điểm và Hạn Chế của Thuật Toán Lucas Lehmer

Thuật toán Lucas-Lehmer có một số ưu điểm so với các thuật toán kiểm tra tính nguyên tố khác. Nó tương đối đơn giản để thực hiện và có độ phức tạp thuật toán tương đối thấp. Tuy nhiên, nó chỉ có thể được sử dụng để kiểm tra số Mersenne và không thể được sử dụng để kiểm tra tính nguyên tố của các loại số khác. Hơn nữa, ngay cả với thuật toán Lucas-Lehmer, việc kiểm tra các số Mersenne lớn vẫn đòi hỏi sức mạnh tính toán đáng kể.

IV. Ứng Dụng Số Mersenne Mật Mã và Toán Học Máy Tính 58 ký tự

Số Mersenne không chỉ là đối tượng nghiên cứu trong lý thuyết số, mà còn có các ứng dụng thực tế trong mật mã học và toán học máy tính. Số nguyên tố Mersenne lớn được sử dụng để tạo ra các khóa mã hóa mạnh mẽ và trong các thuật toán số học máy tính. Luận văn sẽ khám phá những ứng dụng này và tầm quan trọng của số Mersenne trong thế giới hiện đại.

4.1. Số Mersenne trong Mật Mã Tạo Khóa Mã Hóa

Số nguyên tố Mersenne lớn được sử dụng để tạo ra các khóa mã hóa mạnh mẽ trong mật mã học. Các khóa này được sử dụng để bảo mật thông tin nhạy cảm, chẳng hạn như thông tin tài chính và thông tin cá nhân. Độ lớn của số nguyên tố Mersenne làm cho việc phá khóa trở nên cực kỳ khó khăn, đảm bảo tính bảo mật của thông tin được mã hóa. Việc sử dụng số Mersenne trong mật mã học là một ứng dụng quan trọng của nghiên cứu toán học.

4.2. Toán Học Máy Tính Ứng Dụng Thuật Toán Số Học

Số Mersenne cũng được sử dụng trong các thuật toán số học máy tính. Cấu trúc đặc biệt của chúng cho phép thực hiện hiệu quả các phép tính số học. Ví dụ, số Mersenne có thể được sử dụng để tạo ra các số ngẫu nhiên và trong các thuật toán phân tích số. Các ứng dụng này làm nổi bật tầm quan trọng của số Mersenne trong khoa học máy tính.

V. GIMPS Dự Án Tìm Kiếm Số Nguyên Tố Mersenne Lớn Nhất 59 ký tự

Dự án GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) là một dự án tính toán phân tán nhằm tìm kiếm số nguyên tố Mersenne lớn nhất. Dự án sử dụng sức mạnh tính toán của hàng ngàn máy tính trên khắp thế giới để kiểm tra các ứng cử viên số Mersenne. GIMPS đã thành công trong việc tìm ra nhiều số nguyên tố Mersenne lớn nhất đã biết.

5.1. GIMPS Cách Thức Hoạt Động và Đóng Góp

GIMPS là một dự án tính toán phân tán, nơi mọi người có thể đóng góp sức mạnh tính toán của máy tính cá nhân của họ để tìm kiếm số nguyên tố Mersenne. Dự án sử dụng một chương trình đặc biệt chạy trên các máy tính này và kiểm tra các ứng cử viên số Mersenne để tìm tính nguyên tố. Khi một số nguyên tố Mersenne mới được tìm thấy, nó sẽ được xác minh bởi nhiều máy tính khác nhau trước khi được công bố. GIMPS đã đóng góp đáng kể vào việc khám phá số nguyên tố Mersenne lớn nhất đã biết. "George Woltman, một lập trình viên đưa lên một chương trình được tối ưu hóa cực cao phục vụ cho công cuộc tìm kiếm. Đó chính là chương trình GIMPS(Great Internet Mersenne Prime Search), thu hút hàng chục chuyên gia và hàng nghìn người nghiệp dư tham gia tìm kiếm."

5.2. Số Nguyên Tố Mersenne Lớn Nhất và Giải Thưởng

Hiện tại, số nguyên tố Mersenne lớn nhất đã biết là 2^74,207,281 - 1, có hơn 22 triệu chữ số. GIMPS cung cấp các giải thưởng cho những người tìm thấy số nguyên tố Mersenne mới, khuyến khích sự tham gia và đóng góp vào dự án. Các giải thưởng này được tài trợ bởi Electronic Frontier Foundation và các tổ chức khác. Cuộc tìm kiếm số nguyên tố Mersenne lớn nhất tiếp tục, với những số lớn hơn và phức tạp hơn đang chờ được khám phá. "(www.mersenne.org) trao giải thưởng 150.000USD cho ai tìm được số nguyên tố Mersenne có trên 100 triệu chữ số và 250.000USD cho số có trên 1 tỉ chữ số và 3000USD cho bất kỳ số nguyên tố mới nào dưới 100 chữ số."

VI. Kết Luận Tương Lai Nghiên Cứu Số Mersenne Ước Số 57 ký tự

Nghiên cứu về số Mersenne và ước số của chúng vẫn tiếp tục là một lĩnh vực hoạt động trong nghiên cứu toán học. Các nhà nghiên cứu tiếp tục tìm kiếm các thuật toán hiệu quả hơn để kiểm tra tính nguyên tố của số Mersenne và khám phá các ứng dụng mới của chúng. Những khám phá trong lĩnh vực này có thể có tác động đáng kể đến mật mã học, toán học máy tính và các lĩnh vực khác.

6.1. Hướng Nghiên Cứu Tương Lai Thuật Toán Tối Ưu

Các hướng nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc phát triển các thuật toán hiệu quả hơn để kiểm tra tính nguyên tố của số Mersenne. Điều này có thể bao gồm việc khám phá các kỹ thuật mới để giảm độ phức tạp thuật toán của phép thử Lucas-Lehmer hoặc phát triển các thuật toán hoàn toàn mới. Các nghiên cứu cũng có thể tập trung vào việc tối ưu hóa việc thực hiện các thuật toán hiện có trên các kiến trúc máy tính song song để tăng tốc quá trình kiểm tra.

6.2. Tiềm Năng Ứng Dụng Mới Khám Phá và Phát Triển

Các nghiên cứu trong tương lai cũng có thể khám phá các ứng dụng mới của số Mersenne trong mật mã học, toán học máy tính và các lĩnh vực khác. Điều này có thể bao gồm việc sử dụng số Mersenne để tạo ra các khóa mã hóa an toàn hơn hoặc phát triển các thuật toán mới để giải quyết các vấn đề toán học phức tạp. Khám phá tiềm năng ứng dụng của số Mersenne có thể dẫn đến những tiến bộ đáng kể trong nhiều lĩnh vực.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Số hoàn hảo, số Mersenne trong ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l lịch sử ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l 1.1 Số hoàn hảo, từ Pythagoras đến Euler Định nghĩa đầu tiên về số hoàn hảo dùng khái niệm gọi là "phần chia hết", nguyên gốc là "aliquot parts", vốn có nguồn gốc từ tiếng Latin, trong ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l đó "ali" có nghĩa là "khác" và "quot" nghĩa là "có bao nhiêu". Mộtvan ep, luan van thac si, luan "phần chialuan cao hoc, hết"van của một tong số là một hopluan thương van tot thực nghiep, luansựvan của số si, thac đó,luan nghĩa van cao hoc, l là thương khác số ban đầu. Ví dụ 1, 2 và 5 là các "phần chia hết" của 10 ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l vì ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong10 hopluan 10 10 van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l 1=,2 = ,5 = , 10 5 2 còn 10 không phải là một "phần chia hết" vì 10 không phải là một thương thực sự của 10. Định nghĩa nguyên thủy: Một số được gọi là hoàn hảo nếu nó bằng tổng các "phần chia hết" của nó.

ep, luan van thac si,+) Sốvan luan 6 cócao các phần hoc, luanchia van hết tonglà 1, 2, 3van hopluan 1 +nghiep, và tot 2+3 = 6 nên luan van số 6 si, thac là luan một van số cao hoc, l hoàn hảo. ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l +) Số 10 có các phần chia hết là 1, 2, 5 và 1 + 2 + 5 = 8 nên số 10 không ep, luan van thac si,phải luanlà van caosố một hoc, luanhảo. hoàn van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Để có một định nghĩa hiện đại, người ta dùng khái niệm sau an van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan4 van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Định nghĩa 1.1 Hàm tổng các ước là hàm X σ(n) = d, ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van d|n tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,trong luan van đó ncao là hoc, một luan van tong số nguyên hopluan dương và van tổngtotchạy nghiep, qualuan vancác tất cả thac si, nguyên ước luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,dương luan van n (bao củacao gồmvan hoc, luan cả tong 1 vàhopluan chính nó). van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,Nhờ luankhái niệm van cao này, hoc, tavan luan có tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,Định nghĩa luan van 1.2 luan cao hoc, Một van số tự nhiên tong n được hopluan gọinghiep, van tot là hoàn hảo luan vannếu thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan σ(n) =van 2n.tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,Khi luanσ(n) van cao < 2nhoc, thìluan van tong n được gọi hopluan là thiếuvan và tot khinghiep, σ(n) > luan 2nvan thì thac si, luan n được gọi van là cao hoc, l thừa.

+) Số 12 có các ước số là 1, 2, 3, 4, 6 và 12. Do đó số 12 là một số thừa. ep, luan van thac si,+) luan Sốvan 10 cao là sốhoc, luanvìvan thiếu tong= σ(10) hopluan 1+2+ van 5+tot10 nghiep, = 18 luan < 20van. thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si,+) Các luan vansố 6,hoc, cao 28 luan là các vansố hoàn tong vì σ(6) hảo van hopluan = 1+ tot nghiep, 2+ luan 3 thac van + 6 si, = luan 12, van và cao hoc, l σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56.

ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Một cách tương đương, một số là hoàn hảo khi nó bằng tổng các ước ep, luan van thac si,thực luan sự vancủa caonó. hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Theo tác giả C.Taisbak, dường như người Ai Cập cổ đại là những người đầu tiên sử dụng số hoàn hảo trong các tính toán của mình. Aurelius Augustinus (354 – 430) trong quyển "The City of God" nhắc lại rằng Chúa trời thực hiện sự sáng tạo ra thế giới muôn loài trong 6 ngày, bởi vì sự hoàn hảo của công việc được thể hiện ở số 6. Nguồn gốc thứ hai của loài người sinh ra từ số thiếu 8: Kinh thánh nói rằng trong chiếc tàu ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l của Noah có 8 linh hồn từ đó xuất hiện ra toàn bộ loài người, nhưng quá ep, luan van thac si,trình luan sáng van cao tạohoc, nàyluan van được không tong hopluan vanvìtot8 nghiep, hoàn hảo luan vanNguồn là số "thiếu".

thac si,gốc luannày van cao hoc, l xem chừng không được coi trọng bằng nguồn gốc thứ nhất bởi lí do đơn ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l giản: 6 là số hoàn hảo! Mặt trăng quay một vòng quanh Trái đất hết 28 ngày cũng bởi lí do 28 là một số hoàn hảo. an van tong hop luan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hop ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan5 van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l Theo Pythagoras, sự hoàn hảo của các con số phụ thuộc vào các ước số của nó. Những người theo trường phái Pythagoras luôn luôn tin tưởng ep, luan van thac si,vào luansốvan 6, cao họ xem nó làvan hoc, luan sốtong đẹphopluan nhất, tượng van tottrưng nghiep,cho sức luan vankhỏe thac và vẻ đẹp si, luan van cao hoc, l của con người. Pythagoras còn cho rằng con số 6 là hoàn hảo không phải ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l là do Chúa đã chọn nó, mà bởi vì sự hoàn hảo là thuộc tính sở hữu của ep, luan van thac si,con luansốvan đó:cao "sốhoc, luan 6 tự nóvan đã tong hopluan là hoàn hảovan chứtotkhông nghiep,phải luanvì van thac si, Chúa đãluan tạo van ra cao hoc, l ep, luan van thac si,vạn luanvật vantrong 6 ngày, cao hoc, thựctong luan van ra thì ngược hopluan vanlạitotmới đúng, nghiep, Chúa luan đã tạo van thac ra vạn si, luan van cao hoc, l vật trong 6 ngày bởi vì đó là con số hoàn hảo và nó vẫn cứ hoàn hảo thậm ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l chí nếu như chuyện đó không xảy ra." ep, luan van thac si, luan van cao Trong hoc,"Cơ quyển luan sở" van tong của hopluan Euclid, van viếttotkhoảng nghiep, luan 300 van nămthac si, luan trước van cao hoc, l Công nguyên, mệnh đề 36 trong quyển thứ 9 của bộ "Cơ sở" nói rằng ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l "Bắt đầu từ đơn vị, gấp đôi liên tục rồi lấy tổng cho đến khi kết quả là một số nguyên tố, đem nhân với số cuối cùng trong tổng, ta sẽ nhận được một số hoàn hảo".

Sau đây ta thực hiện từng bước theo Euclid. Dãy số mà Euclid nói đến là ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l 1, 2, 4, 8, 16, 32,. ep, luan van thac si,Lấy luantổng van cao các hoc, luantiên số đầu van trong tong hopluan dãy tavan tot nghiep, có các kết quảluan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan 1+2= van 3;tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong 1hopluan + 2 + 4van = tot 7; nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l 1 + 2 + 4 + 8 = 15; 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Ta chọn ví dụ số 31.

Đem nhân với số cuối cùng trong tổng ta có 31.16 = 496, là một số hoàn hảo! ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van2 thac si, luann van cao hoc, l Euclid cũng đã chứng minh được rằng nếu p = 1 + 2 + 2 +. + 2 là n tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, ep, luan van thac si,một luansố van cao hoc, nguyên tốluan p là một số hoàn hảo. Ông chỉ ra rằng 2n pluan thì 2van van cao hoc, l có tất cả các ước thực sự là 1, 2,. , 2n−1 p và tổng của chúng đúng ep, luan van thac si, luan van cao hoc, luan van tong hopluan van tot nghiep, luan van thac si, luan van cao hoc, l bằng 2n p.