CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, ta sẽ nhắc lại một số khái niệm, định nghĩa, cũng như tính chất, công thức liên quan đến các mặt tròn xoay để phục vụ cho những chương sau. Mặt tròn xoay là gì? Đó là hình thu được khi ta quay một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và một đường (C) quanh ∆ một góc 360o trong không gian thì đường (C) sẽ tạo nên một hình được gọi là mặt tròn xoay. Khi đó, đường (C) được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay.Đường thẳng ∆ được gọi là trục của mặt tròn xoay.
Tùy theo tính chất của đường sinh và trục mà mặt tròn xoay nó sẽ có tên gọi và các tính chất riêng khác nhau.1 Mặt nón tròn xoay Trong mặt phẳng (P), cho hai đường thẳng d, ∆ cắt nhau tại điểm O và chúng tạo thành góc β với 0 <β< 90°. Khi quay mặt phẳng (P) quanh trục ∆ với góc β không đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. Khi đó: Mặt nón tròn xoay thường được gọi là mặt nón. Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh.
Góc 2β gọi là góc ở đỉnh nón.2 Hình nón tròn xoay Cho tam giác OIM vuông tại I, khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón). Khi đó: Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, đoạn thẳng OI gọi là đường cao và OM là đường sinh của hình nón. 3 Hình tròn tâm I bán kính r = IM là đáy của hình nón. Lưu ý: Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó.2 Khối nón Khối nón tròn xoay là hình nón cùng với phần bên trong của hình nón đó Hình nón cụt là một phần của hình nón, giới hạn bởi mặt đáy và một thiết diện song song với đáy.3 Tính chất Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: - Mặt phẳng cắt nón theo hai đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.
- Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: - Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục của hình nón thì giao tuyến là một đường tròn. - Nếu mặt phẳng cắt song song với hai đường sinh hình nón thì giao tuyến là hai nhánh của một hyperbol.
- Nếu mặt phẳng cắt song song với một đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường parabol. Lưu ý: Cho mặt nón tròn xoay đỉnh S có trục ∆, và mặt phẳng (Q) vuông góc và cắt ∆ tại O. Khi đó phần mặt nón tròn xoay giới hạn bởi đỉnh S và hình tròn (C) ( (C) là thiết diện của mặt nón tròn xoay cắt bởi mặt phẳng (Q)) được gọi là hình nón đỉnh S. 4 - Đường tròn (C) là đường tròn đáy hình nón.
- Đường SO là trục hình nón, độ lớn SO là đường cao của hình nón. - Đường sinh là đường thẳng nối đỉnh S với bất kì điểm M thuộc đường tròn (C).4 Các công thức thường gặp Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy là r và đường sinh là l, ta có: Diện tích xung quanh của hình nón: ��� = ���. Diện tích toàn phần của hình nón: ��� = ��� + �đ = ��� + ��2 = �� � + �. 1 1 Thể tích khối nón: V =3 �đ .2 Hình trụ khối trụ 1.1 Mặt trụ tròn xoay Trong mp (P) cho hai đường thẳng ∆ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng r.
Khi quay mặt phẳng (P) quanh trục cố định ∆ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. Đường thẳng ∆ đượ� gọi là trục. Đường thẳng l được gọi là đường sinh. Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.2 Hình trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa 1 cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành 1 hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
5 Đường thẳng AB được gọi là trục. Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh. Độ dài đoạn thẳng AB =CD=h được gọi là chiều cao của hình trụ. Hình tròn tâm A bán kính r=AD và hình tròn tâm B bán kính r=BC được gọi là hai đáy của hình trụ.
Lưu ý: Hình trụ là phần mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với trục của mặt trụ, cùng với hai hình tròn (C) và (C’) giới hạn là hai giao tuyến của mặt trụ với hai mặt phẳng nói trên. - Hai đường tròn (C) và (C’) gọi là hai đường tròn đáy hình trụ. - Bán kính R của đường tròn (C) gọi là bán kính của hình trụ. - Nếu gọi O và O’ là tâm của hai hình tròn đáy thì đường thẳng OO’ gọi là trục của hình trụ.
- Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ. - Với mỗi điểm M � (C), có một điểm M’ � (C’) sao cho MM’ song song với OO’ thì đoạn thẳng MM’ được gọi là đường sinh của hình trụ.3 Khối trụ Khối trụ tròn xoay gọi tắt là khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của hình trụ đó.4 Tính chất Nếu cắt mặt tròn xoay (có bán kính r) bởi 1 mặt phẳng ∝ vuông góc với trục ∆ thì ta được đường tròn có tâm trên ∆ và có bán kính là r bằng với bán kính của mặt trụ đó. Nếu cắt mặt tròn xoay (có bán kính r) bởi một mặt phẳng ∝ không vuông góc với trục ∆ nhưng cắt tất cả đường sinh, ta được giao tuyến là 1 đường elip có 2� trục nhỏ bẳng 2r và trục lớn ���� trong đó � là góc giữa trục ∆ và mặt phẳng ∝ với 0° < � < 90°. 6 Cho mặt phẳng ∝ song song với trục ∆ của mặt trụ tròn xoay và cách ∆ một khoảng k.
o Nếu k < r thì mặt phẳng ∝ cắt mặt trụ theo hai đường sinh → thiết diện là hình chữ nhật. o Nếu k = r thì mặt phẳng ∝ tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh. o Nếu k > r thì mặt phẳng ∝ không cắt mặt trụ.5 Các công thức thường gặp Cho hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy là R. Khi đó, ta có: Diện tích xung quanh của hình trụ: ��� = 2�Rh.
Diện tích toàn phần của hình trụ: ��� = ��� + 2 �đ = 2�Rh + 2��2 = 2�R(h+R) Thể tích khối trụ: V= �đ .3 Mặt cầu, khối cầu 1.1 Định nghĩa mặt cầu, khối cầu, hình cầu Cho điểm O cố định và 1 số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R. Các thuật ngữ: Cho mặt cầu S(O;R) và 1 điểm A nào đó: a) Nếu OA = R thì theo định nghĩa, điểm A thuộc mặt cầu. Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu Nếu OA và OB là 2 bán kính sao cho A,O,B thẳng hàng thì AB gọi là đường kính mặt cầu.
7 b) Nếu OA < R thì ta nói rằng điểm A nằm trong mặt cầu. c) Nếu OA > R thì ta nói rằng điểm A nằm ngoài mặt cầu. Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu S(O;R) hoặc hình cầu S(O;R). Như vậy, khối cầu S(O;R) là tập hợp các điểm M sao cho OM ≤ R.
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và bán kính � = �2 − �2. Nếu d=R thì (P) tiếp xúc (S) tại điểm H. Nếu d>R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Nếu d=0 thì (P) đi qua tâm O và được gọi là mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R được gọi là đường tròn lớn.3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng ∆. Gọi d=d(O; ∆) Nếu d<R thì ∆ cắt (S) tại 2 điểm phân biệt. Nếu d=R thì ∆ tiếp xúc (S) (∆ được gọi là tiếp tuyến của (S)). 8 Nếu d>R thì ∆ và (S) không có điểm chung.4 Các công thức thường gặp Diện tích hình cầu S=4��2.
4 Thể tích khối cầu V=3 ��3 .4 Hình nội tiếp, hình ngoại tiếp 1.1 Hình nón nội tiếp, ngoại tiếp khối chóp Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là nội/ngoại tiếp một hình nón nếu đáy của hình chóp là đa giác nội/ngoại tiếp đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp trùng với đỉnh của hình nón. Khi đó, ta còn nói hình nón ngoại/nội tiếp hình chóp. Tính chất: Điều kiện tồn tại hình nón nội/ngoại tiếp hình chóp Hình chóp S.�1 �2 …�� có đáy ngoại/nội tiếp đường tròn tâm I, SI vuông góc với đáy sẽ có hình nón nội/ ngoại tiếp. Đỉnh của hình nón là S và đáy của hình nón là đường tròn tâm I.
Cách xác định tâm và bán kính Hình nón nội/ngoại tiếp hình chóp có tâm và bán kính trùng với tâm và bán kính đường tròn nội/ ngoại tiếp đa giác đáy hình chóp.2 Hình trụ nội, ngoại tiếp khối lăng trụ Định nghĩa: 9 Một hình lăng trụ gọi là nội/ngoại tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội/ngoại tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ ngoại/ nội tiếp hình lăng trụ. Tính chất: Điều kiện tồn tại hình trụ ngoại/nội tiếp hình lăng trụ: Hình lăng trụ đứng mà đáy là đa giác nội/ngoại tiếp một đường tròn thì tồn tại hình trụ ngoại/ nội tiếp. Hình trụ đó có trục là đường nối tâm hai đáy của hình lăng trụ.
Đường tròn đáy là các đường tròn ngoại/nội tiếp đa giác đáy của lăng trụ Lưu ý: Nhận các cạnh bên của lăng trụ là đường sinh nếu là lăng trụ nội tiếp hình trụ. Tính bán kính đường tròn đáy hình trụ, đường cao hình trụ o Bán kính đáy của hình trụ là bán kính đường tròn nội/ ngoại tiếp đáy hình lăng trụ.