I. Giới thiệu về Bất Đẳng Thức Łojasiewicz
Luận án Tiến Sĩ Toán Học này tập trung vào việc nghiên cứu các bất đẳng thức Łojasiewicz, đặc biệt là bất đẳng thức Łojasiewicz gradient. Mục tiêu chính là khảo sát sự tồn tại và tính toán các số mũ trong các trường hợp địa phương và toàn cục. Các bất đẳng thức này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực của toán học như hình học đại số và giải tích. Theo đó, các bất đẳng thức này giúp so sánh các cấp tăng của chuẩn gradient với giá trị của hàm và hàm khoảng cách với giá trị của hàm trong các lân cận đủ bé. Điều này dẫn đến việc phát hiện ra những tính chất tô pô quan trọng trong trường hợp phức và tại vô hạn trong trường hợp thực.
1.1. Các khái niệm cơ bản
Trong chương này, các khái niệm cơ bản về hàm giải tích, Định lý Puiseux, và các bất đẳng thức Łojasiewicz được trình bày. Những kiến thức này là nền tảng cho việc hiểu rõ hơn về các bất đẳng thức và ứng dụng của chúng trong các nghiên cứu tiếp theo. Đặc biệt, các bất đẳng thức này cho phép xác định mối quan hệ giữa các giá trị của hàm và các điểm kỳ dị, từ đó mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết kỳ dị và hình học đại số.
II. Tính Bất Biến Tô Pô của Các Thương Cực
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient trong trường hợp kỳ dị đường cong phẳng. Các kết quả cho thấy rằng tập các thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient là những bất biến tô pô trong trường hợp này. Việc sử dụng đa giác Newton và phương pháp trượt để tính toán các thương cực đã chứng minh rằng các số mũ này có thể được suy ra từ các khai triển Newton-Puiseux. Điều này không chỉ khẳng định tính chất tô pô của các thương cực mà còn mở rộng khả năng ứng dụng của các bất đẳng thức Łojasiewicz trong các nghiên cứu hình học phức tạp.
2.1. Các Ước Lượng Hiệu Quả
Chương này cũng đưa ra một số ước lượng hiệu quả về các số mũ Łojasiewicz, cho thấy rằng các số mũ này có thể được tính toán một cách chính xác hơn so với các phương pháp trước đây. Những ước lượng này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các bài toán thực tiễn liên quan đến hàm giải tích và hình học đại số.
III. Sự Tồn Tại và Ổn Định của Cận Sai Số Ho lder
Chương này nghiên cứu sự tồn tại và ổn định của cận sai số Hölder trong mối liên hệ với các giá trị Fedoryuk. Các công thức được thiết lập cho tập Λ+ (f), cho thấy rằng tập này có thể được xác định tường minh thông qua các giá trị đặc biệt của tập các giá trị Fedoryuk. Điều này dẫn đến việc phân loại các kiểu ổn định của cận sai số Hölder, từ đó mở rộng hiểu biết về mối quan hệ giữa các giá trị này và sự tồn tại của các cận sai số Hölder toàn cục.
3.1. Mối Liên Hệ Giữa Các Giá Trị Fedoryuk và Cận Sai Số
Nghiên cứu cho thấy rằng nếu tập các giá trị Fedoryuk là hữu hạn, thì tập Λ+ (f) sẽ khác rỗng. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về các hàm đa thức và các đặc tính của chúng trong không gian nhiều chiều. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các bài toán thực tiễn liên quan đến hàm giải tích và hình học đại số.
IV. Bất Đẳng Thức Łojasiewicz Toàn Cục
Chương cuối cùng của luận án tập trung vào việc xác định các bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục cho hàm đa thức n biến thực. Các công thức tường minh cho tập Λ(f) được đưa ra, cho thấy rằng các giá trị biên của tập này là các giá trị Fedoryuk đặc biệt. Những kết quả này không chỉ khẳng định tính chất của các bất đẳng thức Łojasiewicz mà còn mở rộng khả năng ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.
4.1. Tiêu Chuẩn Tồn Tại Cận Sai Số Ho lder
Chương này cũng đưa ra tiêu chuẩn tồn tại của cận sai số Hölder cho các hàm định nghĩa được trong các cấu trúc o-tối tiểu. Mối liên hệ giữa cận sai số Hölder và điều kiện Palais-Smale được khảo sát, từ đó cung cấp một cái nhìn sâu sắc về các điều kiện cần thiết để đảm bảo sự tồn tại của các cận sai số Hölder trong các trường hợp phức tạp.
