Chương 1: Wiến thúc chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại những kiến thức cần dùng trong Luận án. Cụ thể là các dãy tín hiệu thời gian rời rạc, hệ thống tín hiệu, hệ thống tuyến tính bất biết thời gian, tích chập của hệ thống tuyến tính bất biến thời gian, biến đổi Fourier thời gian rời rạc và những định lý, mệnh đề có liên quan đến Luận án. Chuong 2: Tich chép suy rong Fourier cosine, Fourier sine thời gian roi rac.
Trong chương này chúng tôi xây dựng các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc, tích chập suy rộng và tích chập đối với biến đổi đã xây dựng được. Nghiên cứu tính chất toán tử của các tích chập suy rộng này như sự tồn tại, tính bị chặn, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval. Nghiên cứu các bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng thời gian rời rạc liên quan tới các biến đổi Fourier cosine và Fourier sine théi gian rời rạc trên các không gian dãy. Nhận được định lý kiểu Young rời rạc, bất đẳng thức kiểu Young rời rạc, từ đó thu được các đánh giá các bất đẳng thức chuẩn đối với các tích chập suy rộng, tích chập đó.
Chương 3: Phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng thời gian rời rạc oà phương trình Toeplitz-Hankcl rời rạc. Trong chương này chúng tôi nghiên cứu một số phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, tích chập liên quan tới các tích chập suy rộng Eourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc xây dựng được trong Chương 2, nhận được điều kiện cần và đủ để biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng nói trên là unita trong các không gian iz(Ño) và (Ño). Ứng dụng của các tích chập, tích chập suy rộng đã xây dựng được trong Chương 2 vào việc giải và đánh giá nghiệm của một vài lớp của phương trình, hệ phương trình Toeplitz-Hankel rời rạc. Ý nghĩa các kết quả đạt được trong Luận án 16 Xây dựng các tích chập suy rộng, tích chập suy rộng với hàm trọng và tích chập mới đối với các biến đổi Fourier cosine thời gian rời rạc và biến đổi Fourier sine thời gian rời rạc, từ đó nghiên cứu các phép biến đổi kiểu tích chập suy rộng, tích chập thời gian rời rạc.
Nghiên cứu và thiết lập được những bất đẳng thức về chuẩn đối với các tích chập suy rộng, tích chập Eourier sine thời gian rời rạc và Eourier sine thời gian rời rạc mới xây dựng được, các định lý kiểu Young rời rạc, bất đẳng thức kiểu Young rời rạc. Từ đó nhận được ứng dụng giải và đánh giá nghiệm của một số lớp phương trình TToeplitz-Hankel rời rạc. Góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết các biến đổi thời gian rời rạc, bất đẳng thức tích chập suy rộng và bất đẳng thức tích chập. Các kết quả và ý tưởng của Luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu các tích chập suy rộng đối với các biến đổi thời gian rời rạc khác.
Nội dung chính của Luận án dựa trên 4 công trình đã công bố, trong đó có 2 bài đăng trên tạp chí khoa học thuộc danh mục ISI, 1 bài đăng trên tạp chí quốc tế và 1 bài thuộc tạp chí quốc gia. Các kết quả này đã được báo cáo toàn bộ hay từng phần tại các Hội nghị khoa học và các Seminar sau: e Các hội nghị khoa học: - Hội nghị Khoa học Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 11 năm 2016; - Hội nghị Quốc tế "Xu hướng mới trong tối u hóa và giải tích biến phân cho các ứng dụng" tại Quy Nhơn tháng 12 năm 2016; - Hội nghị Ứng dụng toán học Việt Nam lần thứ 2 tại Hồ Chí Minh tháng 12 năm 2017; - Đại hội toán học toàn quốc lần thứ 9 tại Nha Trang thang 8 nim 2018; - Hội thảo Khoa học liên kết quốc tế về "Phương trình tích phân và ứng dụng" tại Hưng Yên tháng 10 năm 2018. e Các seminar: - Seminar Giải tích và Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; - Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; - 8eminar Bộ môn Toán, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên. 17 CHUONG 1 BIEN DOI FOURIER THOI GIAN ROI RAC Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản về tín hiệu thời gian rời rạc, hệ thống tín hiệu thời gian rời rạc, hệ thống tuyến tính bất biến thời gian.
Trình bày về biến đổi Fourier thời gian rời rạc, các định nghĩa, tính chất cơ bản và tích chập Fourier thời gian rời rạc, là các kiến thức chuẩn bị cần sử dụng trong các chương tiếp theo của luận án. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu |37, 42, 43, 44, 46, 48].1 Tín hiệu thời gian rời rạc và hệ thống 1.1 Tín hiệu thời gian rời rạc Tín hiệu rời rạc (về mặt thời gian) là tín hiệu chỉ xác định trên một tập rời rạc của thời gian (một tập những thời điểm rời rạc). Dưới dạng toán học, tín hiệu rời rạc mang giá trị thực (hoặc phức) có thể được xem là một hàm liên kết tương ứng từ tập số tự nhiên đến tập số thực (hoặc phức) (|46|, 8.3 Basic Discrete-Time Signals). Tín hiệu thời gian rời rạc được biểu diễn dưới dạng một dãy các giá trị với phần tử thứ ø của dãy được kí hiệu là z(n), được viết ở dạng như sau ([46], 8.3 Basic Discrete-Time Signals) x = {x(n)}, —oo < n < 00, (1.1) ở đó ø là một số nguyên.
Một dạng của dãy số cơ bản đầu tiên đó là dãy đơn vị mẫu hay còn được gọi là dãy xung đơn vị, dãy được định nghĩa bởi ([48|) 0, nếu n¥40, d(n) = # (1. Để thuận tiện, ta thường đề cập đến dãy đơn vị mẫu là một xung thời gian rời rạc hoặc đơn giản là một xung lực. 18 Tổng quát hơn, bất kỳ dãy tín hiệu nào đều có thể được thể hiện dưới dạng chuỗi oo x(n) = » #(k)ð(n — k).3) k=-—oo Dãy số mũ là một lớp tín hiệu cơ bản quan trọng. Dạng tổng quát của dãy số mũ là x(n) = A.4) Nếu 4 và a là số thực, thì dãy (1.4) là số thực.
Nếu 0 < œ< 1 và 4 là dương, thì các giá trị dãy là dương và giảm khi tăng øœ. Với —1 < œ < 0, các giá trị dãy thay thé theo dấu nhưng lại giảm độ lớn khi tăng n. Nếu |a| > 1, khi đó dãy tăng dần theo độ lớn khi n tăng. Day số mii A.a” với œ là số phức có các phần thực và phần ảo là các dãy lượng giác có trọng số theo cấp số nhân.
Cụ thể, nếu œ = |al|e“° và A = Ae’®, dãy Aa" có thể biểu diễn theo bất kỳ cách nào sau day.6) đó là, phần thực và phan ảo của c“°*, Đại lượng œọ được gọi là tần số dao động và ó được gọi là pha.2 Các hệ thống tuyến tính bất biến a) Các hệ thống tuyến tinh ([42]) Một hệ thống thời gian rời rạc được đặc trưng bởi một toán tử T là nhiệm vụ biến đổi dãy vào {z(n)} thành dãy ra {ø(»)}. Chúng ta có thể sử dụng hai loại ký hiệu toán tử sau: T{z(n)} = y(n), (1. Chúng ta có thể biểu diễn hệ thống này bằng sơ đồ. 19 x(n) + y(n) = T{z(n)} (Kích thích) (Đáp ứng) Phương trình (1.7) đại điện cho một quy tắc hoặc công thức để tính toán các giá trị dãy đầu ra (đáp ứng của hệ thống) từ các giá trị dãy đầu vào (kích thích).
Cần nhấn mạnh rằng giá trị của dãy đầu ra tại mỗi giá trị của chỉ số n có thể phụ thuộc vào các mẫu đầu vào z(») cho tất cả các giá trị của n, tức là, y tại thời điểm ø có thể phụ thuộc vào tất cả hoặc một phần của toàn bộ dãy {z(m)}. Hệ thống tuyến tính ([44]) Toán tử T' đặc trưng cho một hệ thống tuyến tính khi và chỉ khi T{azi(n) + bxa(n)} = aT {x1 (n)} + bT{x2(n)} = ayi(n) + byo(n).8) lộ đây, các hằng số tùy ¥ a,b € Z, y(n) là đáp ứng đầu ra của kích thích đầu vào x1(n) va yo(n) la dap ứng của za(n). Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính ([48]) Ta thấy rằng một dãy bất kỳ {z(n)} có thể biểu diễn bằng biểu thức tổng theo công thức (1. Giả sử hệ thống là tuyến tính, ta có thể viết: y(n) = T{a(n)} = 7{ > x(k)d(n — k)}.9) k=—00 Nếu ta ky hiéu hg(n) lA dap ttng cha hệ thong véi kich thich 6(n — k), c6 nghia 1a: hy(n) = T{ô(n — k)}.10) k=—oco Đáp ứng hz(n) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính.
([48]) e Các hệ thống tuyến tính được biểu diễn bởi đáp ứng xung của nó. 6® hạ(n) là hàm của k và n, như vậy ở các giá trị k khác nhau sẽ cho ta các đấp ứng xung khác nhau, hệ thống tuyến tính này sẽ phụ thuộc vào biến k, nếu biến k là thời gian thì ta có hệ thống tuyến tính phụ thuộc vào thời gian. b) Các hệ thống tuyến tính bất biến Định nghĩa 1. Các hệ thống tuyến tính bất biến) Nếu g(n) là đáp ứng với kích thích z(n), thì hệ thống tuyến tính gọi là bất biến khi y(n — k) la đáp ứng của kích thích z(n — k), ỏ day k € Z.
Nếu biến số là thời gian, ta nói là hệ thống bất biến theo thời gian. Tích chập Khi hệ thống là hệ thống tuyến tính và bất biến, ta có quan hệ sau: T{ð(m)} = h(n), T{d(n — k)} = h(n — k) = hy (n), => y(n) = » #(k)hg(n) = » #(k)h{n — k).11) k=—00 k=—00 Nhu vay hx(n) 1& dap ting xung cia hé théng tuyén tinh. Dến đây ta có thể nói rằng đáp ứng xung h(n) sẽ đặc trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến ————— h(n) ————— x(n) y(n) và ta có quan hệ sau y(n) = » #(k)h{n — k) = #(n) xh(n), — với mọi n€ Z, (1.12) k=-—oo được gọi là tích chập của z(n) và hí(n). (|48|, trang 24) Tích chập này chỉ đúng cho hệ thống tuyến tính bất biến, vì nó được định nghĩa cho hệ thống này.
c) Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định Định nghĩa 1. (|48|, trang 37) Một hệ thống được gọi là ổn định nếu ứng với dãy đầu vào bị chặn, ta có dãy đầu ra bị chặn. Tức là với |z(n)| < œ với n bất kỳ, ta sẽ có |y(n)| < co với n bất kỳ. Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định nếu va chỉ nếu đáp ứng zưng của nó thỏa mãn điều kiện sau: S= » |h(n)| < 00.
