Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG Chương này trình bày một số khái niệm và một số kết quả cốt yếu cho việc nghiên cứu trong các chương sau.1 trình bày một số khái niệm cơ bản trong không gian Hilbert, dạng toàn phương và dạng Legendre.2 trình bày khái niệm bài toán quy hoạch toàn phương trên không gian Hilbert và một số kết quả đơn giản về tập ràng buộc của bài toán đó. Nhiều kết quả trong chương này được trình bày ngắn gọn, không kèm theo chứng minh. Các kết quả đó được tham khảo trong các tài liệu (7) 13) 21, BO, 32) 52]. Dạng toàn phương trên không gian Hilbert 1.
Một số tính chất cơ bản trong không gian Hilbert Trong luận án nay, H ki hiéu 14 khong gian Hilbert thực với tích vô huéng (-,-). Mét tich v6 hudng (-,-) : H x H > R 1a mot dang song tuyến tính xác định dương. Tức là, () (ø,) là tuyến tính với mọi € ?(; (ii) éŒ, 0) = (@,#) với mọi #, € ?í; (1) (z,+} > 0 với mọi z € ? và (+,+) = 0 nếu và chỉ néu x = 0. Nếu (-, -) là một tích vô hướng, thì ||2|| = /{,#) xác định một chuẩn trên không gian Hilbert 2í.10]) Dãy {z„} trong không gian 10 H hoi tu yếu đến z € ?, kí hiệu x, > x néu lim (%n, y) = (x,y), Vy EH.
n—-Ooo Dinh ly 1.1]) Gidi han của một dấu hội tụ yếu là duy nhất.37]) Cho {z„} là một dãy bị chặn trong không gian ?(. Khi đó, {+„} chúa một dãy con hội tụ yếu.40]) Giá sử rằng {#z„} là một dấu trong không gian Hilbert H va D là một tập con tri mat của ?(. Khi đó {x} hội tụ tếu tới z nếu uà chỉ nếu (a) |lza||< M với M là hằng số; (b) Œ„,9) — @,U) khi n —> œ vdi moiy € D. Cho H = @ là không gian tất cả các dãy số thực bình phương khả tổng, Œ = {# = (11,13,.
n=1 Tích vô hướng và chuẩn trong @ dude xdc dinh lan ludt béi œ n=1 en = (0,0,.) là vector cơ sở số hạng thứ øw là 1 và các số hạng khác bằng 0. Do vậy e„ —> 0 khi ø —> oœ. Mặt khác, ||le„—e„||= V2 n=1 véi moi n 4 m, do dé day {e„} không hội tụ mạnh. Tích vô hướng và 0 chuẩn trong L¿[0, 1] được xác định lượt bởi: Geu) = [=0 lel|= ( [ z200)” Dãy {zz} C La[0, 1| xác định bởi hội tụ yếu, nhưng không hội tụ mạnh tới 0 trong Lạ|0, 1].
Thật vậy, với bất kỳ đa thức p ta có | / p(f)zx(0)4| = | / p(t)dt| = | / (v(t) + p(0) — p(0)lat| =‡| [Ip#) =ø(0)i#| + F000) +0 khi k > 00 Zz vì, bởi tính liên tuc ctia p, k| f[p(t) — p(0)|dt| + 0 khi k —> co. 0 Do vậy, (p,#;¿) —> 0 khi k —> œ với mỗi đa thức p. Ta có thể kiểm tra được rằng ||z;|| = 1, do đó dãy {||zz¿||} bị chặn và tập tất cả các đa thức là trù mật trong L»[0, 1] (xem [20) Corollary 4.34]), theo Dinh ly {1.4 z„ hội tụ yếu tới không. Vì ||z;|| = 1 với mọi nên z„ không thể hội tụ mạnh tới 0.1]) Một tập con Œ của 2 được gọi là tập lồi nếu với mọi œ € [0,1] và với mọi z, € Œ ta có ax+(l—a)y eC.
Đặc biệt, # và ÍJ là các tập lồi.32|) Cho Œ là một tập cơn lồi của 1H. Khi đó, Ở đóng nếu va chỉ nếu Œ đóng tiếu.33]) Cho Œ là một tập cơn lồi đóng bị chặn ctia H. Khi dé C la compact yéu.6]) Cho C la một tập con lồi ctia H. Khi d6, mot ham ƒ xác định trên Ở được gọi là hừm lỗi nếu ƒf[laz + (1— a)9] < œƒ(+)+(1— øœ)ƒ(w), Vœ € [0,1] và Vz, e Œ.1]) Cho ?( là một không gian Hilbert thực, khi đó (1) Một ánh xạ 7' từ ? vào ? được gọi là một toán tử.
Giá trị của 7 tại z € 7í được kí hiệu bdi Tx hoac T(z). (2) 7 được gọi là toán tử tuyến tính nếu các điều kiện sau thỏa mãn (a) T(œ + 0) = T+ + Tụ với mọi z, 1 € H, (b) T(ax) = œT+ với mọi z € ?{ và số thực œ. (3) Toán tử 7' được gọi là bị chặn nếu tồn tại một số thực k > 0 sao cho ||7+|| < k||+|| với mọi z € H. (4) 7 được gọi là toán tử liên tục tại một điểm zọ nếu, với e > 0 cho trước, tồn tại một số ổ > 0 phụ thuộc vào € vA 29 sao cho | + — 7zol| < e khi mà ||z — zo|| < ổ.
7' được gọi là liên tục trên # nếu nó liên tục tại mọi điểm ctia H.1]) Toán tử tuyến tính T' từ H vao ?( liên tục nếu va chi néu T bi chan.1]) Gia sit rang T: H > H là toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó, toán tử liên hợp 7* : ? —> ?{ được xác định bởi (T+,) = («,T*y) Va,y €H.1]) Toán tử 7” luôn tồn tại, tuyến tính bị chặn và duy nhất.2]) Giả sử rằng 7' là toán tử tuyến tính trên ?{ vào chính nó. Khi đó 7' được gọi là toán tử tự liên hợp nếu 7' = T*. Mỗi ma trận đối xứng trong IR*“ là toán tử tự liên hợp.
Toán tử đồng nhất 7 là toán tử tự liên hợp. Toán tử không là toán tử tự liên hợp.5] Toán tử 7 : L¿[0, 1] —> La[0, 1| được xác định bởi: Tz(£) = fz(®) là toán tử tự liên hợp, tuyến tính, bị chặn.1]) Toán tử 7' : ?( —> ?( được gọi là toán tử compact nếu với mỗi dãy bị chặn {z„} trong ?(, {Tz„} chứa dãy con hội tụ.182]) Một toán tử 7' : ?( —› ? được gọi là hữu hạn chiều (hay toán tử hạng hữu hạn) nếu ảnh của nó là hữu hạn chiều. Lưu ý rằng nếu toán tử liên tục 7' trên ? có hạng hữu hạn thì theo [41, Theorem 2, p.18] có thể suy ra nó là toán tử compact với ảnh đóng, và bất kỳ toán tử compact với ảnh đóng là toán tử hạng hữu hạn( xem [4| p. Nếu ® là không gian hữu hạn chiều thì bất kỳ toán tử tuyến tính liên tục 7' trên ? là toán tử hạng hữu hạn.
198]) Toán tử tuyến tính 7': ?{ — ?{ được gọi là không âm (hay còn được gọi là nửa sác định dương) nêu nó tự liên hợp và (z, 7+) > 0 với mọi + € ?í. Dạng toàn phương Ham B:H x H —› R được gọi là dạng song tuyến tính nếu với bất kỳ z € ?# ham B(-,x) và B(z, -) là tuyến tính trên ?{. Một dạng song tuyến tính được gọi là đối xứng nếu B(z,#s›) = B(+a,z\) với bất kỳ 1,02 CH. 1) Hàm Q: H — R duoc goi lA mét dang toan phuong néu tén tai mot dang song tuyén tinh déi xttng B(x, ) sao cho Q(z) = B(œ,z) V+z € ?1.1) 2) Một dạng toàn phương Q được gọi là zác định dương (không âm) nếu Q(z) > 0 với mọi z € ?\{0} (tương ứng, Q(z) > 0 với mọi x EH).
3) Một dạng toàn phương Q được gọi là zác định âm (không dương) nếu Q(z) < 0 với z € \{0} (tương ứng, Q(z) < 0 với mọi + € ?/). 4) Một dạng toàn phuong Q(x) được gọi là liên tục yếu nêu với mọi day ty — x ta có Q(#„) — Q0). 5) Một dạng toàn phương Q(+) được gọi là nửa liên tục dưới yếu nêu Ln > x, liminfQ(z„) > Q). Theo Dinh ly Riesz (xem [51 Theorem 8.12 ]) hàm Q : ? —> R là mot dang toàn phương liên tục khi và chỉ khi tồn tại toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp 7' : ?( — ?( sao cho Q(x) = (Tx, 2).
15 Vi lý do trên, trong luận án này chỉ xét dạng toàn phương liên tục có đạng: Q(x) = (Tx, x), trong đó 7' là toán tử tuyến tính liên tục, tự liên hợp. Sau đây chúng ta trình bày một số tính chất của dạng toàn phương.71]) Một dạng toàn phương Q(- ) là lồi trên ?( nếu uà chỉ nếu nó không âm. 269|) Một dạng toàn phương liên tục, không âm trong không gian Hilbert là nửa liên tục dưới yếu. Dạng Legendre Định nghĩa 1.
551]) Dạng toàn phương Q : ? —> R là mot dang Legendre néu no nita liên tục dưới yếu, và nếu z —>* # và Q(az) 2 Q(x), thi a, > a. Cho H là một không gian Hilbert v6 han chiều. Khi đó a) Dang toan phuong Q : H —> R xac dinh béi Q(x) = ||z||Ÿ (bình phương của chuẩn) là một dạng Legendre. b) Dạng toàn phương J7 : #4 — IR xác định bởi J(+) = —||z||? không là dang Legendre.
c) Dang toan phuong Q : H > R xac dinh bdi Q(x) = (x, 0x) khong la dang Legendre. That vay, a) Vi Q(z) là dạng toàn phương liên tục không âm nên theo Mệnh đề|1.23| Q(x) ntta liên tục dưới yêu. Giả sử ø„ — # khi k — eo, khi đó |z;. Vì (#— eR, Z) —> 0 khi & —> œ nên nếu Q(z;) —> Q(#) khi k > oo thì ||#„¿ — #|| — 0.
Vậy Q(z) là dạng Legendre. 16 b) Trong không gian ? với dim?{ = œ bao giờ cũng tồn tại dãy {z„} sao cho {z„} hội tụ yêu tới zo, nhưng {z„} không hội tụ (mạnh) tới zo khi ø — co. Giả sử rằng J(+) = —||z||? là dạng Legendre, khi đó ta có lim inf(—|lan||?) > —|lao||? hay limsupllzz| < ||xoll?- N00 n—00 Kết hợp bất đẳng thức trên với tính nửa liên tục dưới yếu của ||z||, ta co |o||? < lim inf(|z,|P) < lim supllry||? < [rol noo Từ bất đẳng thức trên suy ra ||z„||? — ||zo|l?. Điều này mâu thuẫn với {z„} không hội tụ tới zo.
Vậy J(x) khong la dang Legendre. c) Chứng minh tương tự như phần b). Chúng ta nói rằng một dạng toàn phương @ là elizp#2c nếu Q là liên tục và tồn tại œ > 0 sao cho Q(z) > ollz|l, V+ € ?4. Rõ ràng, một dạng toàn phương ellipfic là dương, do đó nó là hàm lồi, và suy ra nó nửa liên tục dưới yếu.76]) (i) Bat ky dang toan phuong elliptic la mét dang Legendre.
(ii) Cho Q1 la mét dang Legendre va Qy la lién tuc yếu. Khi dé Q = Qi + Qo la mot dang Legendre. Chúng ta nói rằng dạng toàn phương Q : ? — IR là hạng hữu han n (finite rank n) néu ton tai mot dang toàn phương Q; : R” > R va mot toán tử tuyến tính liên tục A : #4 —> IR" sao cho Q(x) = Qi(Az) véi mọi + € Tí.79]) Cho ?( là một không gian Hilbert va Q: H — R la mét dang toàn phương.