I. Luận án tiến sĩ
Luận án tiến sĩ của Vũ Văn Đồng tập trung vào việc nghiên cứu các vấn đề định tính của quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Luận án được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Năng Tâm tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Các kết quả nghiên cứu trong luận án là mới và chưa từng được công bố trước đây. Mục tiêu chính của luận án là khám phá sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của các bài toán quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert vô hạn chiều, đặc biệt là khi hàm mục tiêu và các ràng buộc là các hàm toàn phương.
1.1. Nghiên cứu định tính
Nghiên cứu định tính trong luận án tập trung vào việc phân tích các tính chất của quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Các vấn đề chính bao gồm sự tồn tại nghiệm, tính liên tục của ánh xạ nghiệm, và tính ổn định của hàm giá trị tối ưu. Luận án sử dụng các kỹ thuật từ lý thuyết không gian và phân tích hàm để giải quyết các bài toán này. Các kết quả nghiên cứu được mở rộng từ các kết quả đã có trong không gian hữu hạn chiều sang không gian vô hạn chiều, đặc biệt là khi các ràng buộc là các hàm toàn phương lồi.
1.2. Quy hoạch toàn phương
Quy hoạch toàn phương là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng, với nhiều ứng dụng trong thực tế như lập kế hoạch, thiết kế kỹ thuật, và điều khiển. Luận án tập trung vào các bài toán quy hoạch toàn phương với hàm mục tiêu và ràng buộc là các hàm toàn phương trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Các kết quả nghiên cứu bao gồm sự tồn tại nghiệm cho các bài toán không lồi và lồi, cũng như các điều kiện để đảm bảo tính ổn định của nghiệm.
II. Không gian Hilbert vô hạn chiều
Không gian Hilbert vô hạn chiều là một không gian vector với tích vô hướng, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán quy hoạch toàn phương. Luận án sử dụng các tính chất của không gian Hilbert như tính lồi, tính compact yếu, và tính liên tục yếu để phân tích các bài toán tối ưu. Các kết quả nghiên cứu trong luận án được áp dụng cho các không gian Hilbert có số chiều tùy ý, bao gồm cả không gian hữu hạn và vô hạn chiều.
2.1. Toán học ứng dụng
Toán học ứng dụng là một lĩnh vực rộng lớn, trong đó quy hoạch toàn phương đóng vai trò quan trọng. Luận án của Vũ Văn Đồng tập trung vào việc áp dụng các kết quả từ lý thuyết không gian và phân tích hàm để giải quyết các bài toán quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Các kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế, bao gồm kỹ thuật, kinh tế, và khoa học máy tính.
2.2. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu trong luận án bao gồm việc sử dụng các kỹ thuật từ lý thuyết không gian và phân tích hàm để phân tích các bài toán quy hoạch toàn phương. Luận án cũng sử dụng các giả thiết về tính compact và tính lồi của tập ràng buộc để chứng minh sự tồn tại nghiệm. Các kết quả nghiên cứu được mở rộng từ các kết quả đã có trong không gian hữu hạn chiều sang không gian vô hạn chiều, đặc biệt là khi các ràng buộc là các hàm toàn phương lồi.
III. Tối ưu hóa toán học
Tối ưu hóa toán học là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng, với nhiều ứng dụng trong thực tế. Luận án của Vũ Văn Đồng tập trung vào việc nghiên cứu các bài toán quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert vô hạn chiều, với mục tiêu tìm ra các nghiệm tối ưu. Các kết quả nghiên cứu bao gồm sự tồn tại nghiệm, tính liên tục của ánh xạ nghiệm, và tính ổn định của hàm giá trị tối ưu. Các kết quả này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế, bao gồm kỹ thuật, kinh tế, và khoa học máy tính.
3.1. Lý thuyết không gian
Lý thuyết không gian là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán quy hoạch toàn phương. Luận án sử dụng các tính chất của không gian Hilbert như tính lồi, tính compact yếu, và tính liên tục yếu để phân tích các bài toán tối ưu. Các kết quả nghiên cứu được mở rộng từ các kết quả đã có trong không gian hữu hạn chiều sang không gian vô hạn chiều, đặc biệt là khi các ràng buộc là các hàm toàn phương lồi.
3.2. Phân tích hàm
Phân tích hàm là một phương pháp quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán quy hoạch toàn phương. Luận án sử dụng các kỹ thuật từ phân tích hàm để chứng minh sự tồn tại nghiệm và tính ổn định của các bài toán quy hoạch toàn phương trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Các kết quả nghiên cứu có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế, bao gồm kỹ thuật, kinh tế, và khoa học máy tính.
