I. Bất đẳng thức tích phân và toán tử đạo hàm trên thang thời gian
Luận án tập trung vào việc nghiên cứu bất đẳng thức tích phân cho toán tử đạo hàm trên thang thời gian, một lĩnh vực quan trọng trong phân tích toán học. Các bất đẳng thức này không chỉ là công cụ cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân mà còn có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Luận án đề cập đến các dạng bất đẳng thức như Opial, Wirtinger, và Hardy, cùng với các mở rộng của chúng trên thang thời gian. Các kết quả này được áp dụng để nghiên cứu tính chất định tính và định lượng của nghiệm trong các phương trình động lực.
1.1. Bất đẳng thức Opial trên thang thời gian
Bất đẳng thức Opial là một trong những công cụ quan trọng trong nghiên cứu phương trình vi phân. Luận án mở rộng bất đẳng thức này cho các hàm số trên thang thời gian, bao gồm cả trường hợp liên tục và rời rạc. Các kết quả được trình bày bao gồm các dạng bất đẳng thức Opial cho hàm một biến và nhiều biến, với các điều kiện biên khác nhau. Các ứng dụng của bất đẳng thức Opial trong việc nghiên cứu tính dao động và ổn định của nghiệm cũng được đề cập chi tiết.
1.2. Toán tử đạo hàm và tích phân trên thang thời gian
Luận án giới thiệu các khái niệm cơ bản về toán tử đạo hàm và tích phân trên thang thời gian, bao gồm các định nghĩa và tính chất cơ bản. Các kết quả này là nền tảng cho việc nghiên cứu các bất đẳng thức tích phân và ứng dụng của chúng. Đặc biệt, luận án nhấn mạnh sự thống nhất giữa giải tích liên tục và rời rạc thông qua lý thuyết thang thời gian, mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực phương trình động lực.
II. Ứng dụng của bất đẳng thức tích phân trong phương trình động lực
Luận án không chỉ tập trung vào lý thuyết mà còn đi sâu vào các ứng dụng toán học của bất đẳng thức tích phân trong việc nghiên cứu các phương trình động lực trên thang thời gian. Các kết quả được áp dụng để nghiên cứu tính dao động, ổn định, và sự phân bố nghiệm của các phương trình vi phân và sai phân. Các bất đẳng thức loại Lyapunov và Picone cũng được thiết lập và áp dụng trong việc nghiên cứu các bài toán giá trị riêng và tính chất định tính của nghiệm.
2.1. Tính dao động của phương trình động lực
Luận án trình bày các kết quả về tính dao động của nghiệm trong các phương trình động lực trên thang thời gian. Các bất đẳng thức loại Opial và Lyapunov được sử dụng để chứng minh sự tồn tại và tính chất dao động của nghiệm. Các kết quả này được áp dụng cho cả phương trình thuần nhất và không thuần nhất, mở rộng các nghiên cứu trước đây trong lĩnh vực phương trình vi phân và sai phân.
2.2. Đồng nhất thức Picone và ứng dụng
Đồng nhất thức Picone là một công cụ mạnh trong nghiên cứu tính dao động và ổn định của nghiệm. Luận án mở rộng đồng nhất thức này cho các hàm số trên thang thời gian, từ đó thiết lập các bất đẳng thức loại Wirtinger và Hardy. Các kết quả này được áp dụng để nghiên cứu các bài toán giá trị riêng và tính chất định tính của nghiệm trong các phương trình động lực phi tuyến.
III. Phân tích toán học và nghiên cứu toán học ứng dụng
Luận án không chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu lý thuyết mà còn đi sâu vào các ứng dụng thực tiễn của bất đẳng thức tích phân và toán tử đạo hàm trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Các kết quả được trình bày trong luận án có giá trị cao trong việc phát triển các mô hình toán học ứng dụng, đặc biệt là trong lĩnh vực phương trình động lực và hệ thống điều khiển.
3.1. Nghiên cứu toán học ứng dụng
Luận án nhấn mạnh tầm quan trọng của nghiên cứu toán học trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Các kết quả về bất đẳng thức tích phân và toán tử đạo hàm được áp dụng để nghiên cứu các mô hình toán học trong khoa học tự nhiên và kỹ thuật. Các ứng dụng này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về tính chất của các hệ thống động lực mà còn góp phần phát triển các phương pháp điều khiển và tối ưu hóa.
3.2. Phân tích toán học và thực tiễn
Luận án trình bày các kết quả phân tích toán học chi tiết, từ đó đưa ra các ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, và kinh tế. Các bất đẳng thức loại Opial, Wirtinger, và Hardy được sử dụng để nghiên cứu các tính chất định tính và định lượng của các hệ thống động lực, mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực toán học ứng dụng.
