CHƯƠNG I : ĐẠI CƯƠNG VỀ NHÓM §1 CẤU TRÚC NHÓM 1. Định nghĩa nhóm : Cho | tập hợp 2 trong đó có xác định một luật hợp thành nào đó, gọi là phép nhân, cho phép lập từ mỗi cặp phan tử x, y € ⁄⁄2 một đại lượng xác định nào đó, gọi là tích và kí hiệu là xy, nếu phép nhân có các tính chất sau : a. Tỉnh kín ` Xye# với Ky ⁄ b. Tínhcó đơnvị : có tổn tail phan tử e e 24 gọi là đơn vị có tính chất: ex=xe=x VỚI X 6€ G d.
Tinh có nghịch đảo : với V phần tử x € 1⁄2 có tổn tại mot phần tử x! © , có tính chất xx' =xÌx=e,V xe ⁄ Thì tập hợp {4 gọi là một nhóm ( hay cấu trúc nhóm ). Nhóm con : Mọi tập con.#% của nhóm /Z cũng làm thành | nhóm đối với phép nhân nhóm '4 gọi là nhóm con của ¡2 ( đơn vị và toàn bộ nhóm /⁄ nhóm con tầm thường ). Nhóm giao hoán : Nếu xy=yx(*) với xy © (4 thi 2 phan tử x,y giao hoán với nhau. Nếu (*) đúng với V x,y thì nhóm ⁄⁄2 gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.
Với nhóm giao hoán. phép nhân thường gọi là phép cộng. Đơn vị ký hiệu là 0. nghịch đáo của x ký hiệu là -x.
Nhóm gọi là nhóm công, SECM: Xgwurin Phi Vọc Leow -2- GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và ứng dung vào cứ học lượng ut 4. Nhóm tuần hoàn : Ký hiệu x.x =x", x" gọi là luỹ thừa bậc n của x : một nhóm trong đó các phẩn tử đều là những luỹ thừa khác nhau của cùng một phan tử gọi là nhóm tuần hoàn. Một nhóm tuần hoàn tất nhiên là giao hoán. Nhóm hữu hạn Số phần tử của nhóm gọi là cấp của nhóm.
§2 MỘT SỐ THÍ DỤ VỀ NHÓM 1.) „ với I là phép nghịch đảo không gian Ir = -r nhóm này là một nhóm hữu hạn cấp 2 =e,I!=l, 2. Nhóm 7,: = {e,o} ,ø:là phép phắn chiếu qua | mặt phẳng nào đó, rõ ràng là một nhóm tuẩn hoàn ø°=e,ơ '=ơ hữu hạn cấp 2. Nhóm 7, : Le sil, Ange} „ G là một phép quay trong mặt phẳng với góc @ =2x, làm thành một nhóm, phép nhân là phép thực hiện liên tiếp các phép quay trong mặt phẳng. Nhóm này là một nhóm tuần ho ànn cấp do C" =e Phần tử nghịch đảo : (+) sgk 4.
Nhóm Z, : mì fe, a” a{rnp cael pr (®) = exp Rai (m = 0.f} web=c’=ec; ab=ca = be =f=d; ac = ba= cb = d? = f; ad = cf= de = fa = b; af = bd = da = fb z c; bf=cd=db= fe =a, Phần tử nghịch đảo : asa blebs c'=c:d'= fy fad Đây là nhóm hữu han cấp 6, không giuo hoán, SVT : Nguyễn Thy Neve luan -3- GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhám và ứng dụng vào cơ học lượng từ 6. Nhóm C: Xét phan tử CHy, ở đó hạt nhân C nằm ở tâm của một tứ diện đều & bốn hạt nhân H nằm ở bốn đỉnh tứ diện. Phép quay làm cho phan tử trùng với chính nó làm thành một nhóm gọi là nhóm 'Ÿ gồm các nhóm con ⁄4= ‡e,C,,C} Ì. và tâm điểm ở.
Nhóm SO (2) : Xét tập hợp tất cả phép quay g( ) trong mặt phẳng. Các phan tử được xác định bằng góc quay @ (0 < @ < 3m ). Phép nhân xác định như sau: aly e(o)= gly +) Đơn vie = (0) Phin tử nghịch đảo : g '(@)= g(p). Đây là một nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu SO(2).
Nhém SƠ (3) : Tập hợp tất cả phép quay trong không gian 3 chiểu quanh một điểm cố định nào đó rõ ràng cũng làm thành một nhóm, kí hiệu là SO(3) với phép nhân quan niệm là sự thực hiện hai phép quay liên tiếp nhau. Các phan tử của nhóm ký hiệu la’ g,(@) với k là trục quay còn ọ là góc quay. Phần tử nghịch đảo : #,'(o@)=g,(—-@). Nhóm §O(3) là một nhóm liên tục, không giao hoán.
Nhóm ma trận : Tập hợp tất cả các ma trận cấp n xác định trên C với phép nhân ma trân thông thường có tính chất sau : Phép nhân ma trận là kín Phép nhân có tính chất kết hợp Có tổn tại đơn vị của phép nhân là ma trân đơn vị |, Trừ các ma trận kỳ dị tức định thức bằng không, tất cả các ma trận cấp n đều có nghịch đảo Vậy tất cả ma trận cấp n xác định trên C' và có định thức khác không làm thành một nhóm liên tục, không giao hoán với phép nhân ma trận. SETH © Nouveau Thi Neve Lowe -4- GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và từng dung vào cứ học higng tử 10. Nhém đổi xứng S„ Định nghĩa :Cho một tập hợp n vật 1. Thấy rằng tập hợp tất cả các hoán vị n của vật đó làm thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng ( phép nhân là phép thực hiện các hoán vị liên tiếp nhau ).
Các phan tử của nhóm có thể ký hiệu như sau : g=[U 2. Pi Pa---Pạ Nghĩa là vật | biến thàn h p, Boj Ỉ Be a) Nghĩa là vật 2 biến thành p; Phần tử ng hị ch đ ả : o gì = l i B e P a Nhóm S, là 1 nhóm hữu han, không giao hoán. Cấp của nhóm là n! L1. Nhóm tinh tiến Tị: Ta xét tập hợp tất cả các phép tịnh tiến T, trong không gian ba chiều thông thường.
Các phan tử của tập hợp được xác định bằng vectơ tình tiến a. Phép nhân xác định như sau : đại = Tas Đơn vị : e=Tu + Phần tửnghịch đảo ; T,' =T, Rõ ràng tập hợp này làm thành một nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu Ts 12. Nhóm R: là nhóm các số thực và các phép cộng thông thường §3 BANG NHÓM Với nhóm hữu han, cách trình bay phép nhân nhóm là dùng bảng nhóm ở đó phép nhân biểu thị theo sơ đồ : .e =: a | ab Tat nhiên việc cho hing nhóm của một nhóm là tương đương với định nghĩa nhóm đó. ÊYTH - Nguyễn Thi Vưạc Livin -5- GVHD: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhám và từng dung vào cơ học lượng từ SVTH : Neuyễn Thị Vgọc loan GVUD: Thấy Nguyễn Khắc Nhep LY thuyết nhúun và ứng dung vdeo cơ học lượng tử §4 TINH ĐỒNG CẤU VÀ DANG CẤU GIỮA CÁC NHÓM 1.
Định nghĩa- Cho 2 nhóm /⁄2 và ⁄⁄'. Mọi ánh xạ Í từ 1⁄2 vào 1⁄2 *: x——>f(x). thoả điểu kiện Í(xy)=f(x)y) x.y € 12 'gọi là phép đồng cấu từ ⁄Z vào +! Nếu yzc thì f(c)=e a, v=x' thì foc'y=f'(x) Nếu ánh xạ lên X———>fÍ(X} (một đối một ) thì phép đồng cấu gọi là phép đẳng cấu & ký hiệu 2 > 1⁄2 '. Ví dụ - Vy OL ' PERS, ` §§ LỚP CAC PHAN TỬ LIÊN HỢP 1.
Phần tử liên hợp: Định nghĩa: Nếu b =xax”; với a,x,b © 2 thì b gọi là liên hiệp với a do x © Tính phản xạ : a liên hợp với a (do xe). e Tính đối xứng: a liên hợp với b, khi b liên hợp với a(vì a= yby Ì) e Tính bắc cấu : nếu c liên hợp với b và b liên hợp với a thì c liên hợp với a. Quả vậy : b =xax”: ¢ =zbzZ '= z( xax !)z '=zxa(zx) `. Lớp các phần tit liên hợp : Quan hệ giữa hai phần tử liên hợp nhau thoả man ba tính chất của quan hệ tương đương.
Quan hệ này dẫn đến sự phân nhóm thành từng lớp không giao nhau, mỗi lớp gồm những phần tử liên hợp với nhau và gọi là lớp các phần tử liên hợp. Ký hiệu [a]: lớp các phần tử liên hợp chứa a. Ta có |e|=e Với nhóm giao hoán thì |a|= a, tức là số lớp bằng cấp của nhóm Lớp của nhóm 4%. 4 là nhóm giao hoán như thé nhóm này có 4 lớp e, a, b, c.
Lớp của nhóm ⁄⁄. Nhóm cua ⁄⁄ chia làm 3 lớp fe}: [a] ={ a. c Hs Id] = { d,f | (dob = faF”: c= bah”: F = ada ` ) SVT Senven Thy New Leow. oy GVHD: Thấy Nguyễn Khắc Nhạp Lý thuyết nhóm và dng dụng vào cd học lượng wv Lớp của nhóm C.
Nhóm € chia làm 4 lớp sau : Phần tử đơn vị làm thành một lớp. Bốn phép quay C; quanh 4 trục C; làm thành một nhóm. * Bốn phép quay C¡Ỷ quanh 4 trục C, làm thành một nhóm * Ba phép quay C) quanh 3 trục C› làm thành một nhóm. §6 NHÓM CON BAT BIẾN Mỗi nhóm con: H của một nhóm /4os là bất biến nếu: aM a`= .4⁄ vai ae: Nhóm con bất biển thường là : e , ban thin ⁄.
Tất cả nhóm con của nhóm giao hoán đều bất biến, ~ §7 TÍCH TRỰC TIẾP Một nhóm Z2 gọi là tích trực tiếp của hai nhóm con 1⁄2 ¡ và Z2 ; khác nhau của nó nếu: : > Các phan tử của nhóm con khác nhau giao hoán với nhau. Mỗi phan tử của {4 đều có thể phân tích một cách duy nhất dưới dạng #=#iE› VỚI gi € FBI E D2 Tích trực tiếp ký hiệu : ‘6 = %, @ % 4. Các nhóm con /Z , là những nhóm con bất biến của {9. Quả vậy,với ge GF & hy € 2 ¡ ta có: ;hg' = (gig›)h) (gig; ) ` = (gigo)hy (g› 'gị `) = gi(g282 igi” =ghig¡ Ì eg tứclà gg¡ =giE Vidu: Ta có.
như vậy 74 = 6 ¡ ® 2 › với =È.Cj,C‡Ì va ⁄,= Ec] © ⁄⁄= ⁄4@®⁄Z,:G=6x 2 =l2 cấp gồm các phan tử sau : e, a =ac, b = be, c = ce, d =dc. f =fe, el =c, al =la. bl =lb, cl =lc. §8 TÍNH TRUC TIẾP HAI NHÓM MA TRAN SVTH - Vưuyễn thy New Loon ` -Ä- @VHID: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp Ly thuyết nhóm và dng dụng vào cơ học lượng tử Cho hai nhóm ma trận.⁄2 tương ứng gồm các ma trận A cấp n, cấp m.
Ta xác định cập (A,B) = A®@ B= B@ A; Ae. với phép nhân trực tiếp thông thường giữa các ma trận: (A @B)¿¡ị= Ay By Cu thé n=2, m=3: A@B= Aub £28 Jt | œ EcŒ AB >A BA RB AB le: uA Be > ; ‘AB oe A BA - 2 Tính chất:(A ® BYA ® B)=AA ® BB Tập hợp tất cả các tính trực tiếp A @ B làm thành một nhóm .⁄ §9 CAC TINH CHẤT ĐỐI XỨNG, CƠ SỞ VIỆC UNG DUNG LÝ THUYET NHÓM Tính đối xứng trong hình học ` Yew Tính đổi xứng không hười gian Tính đối xứng giữa các hệ qui chiếu Tính đối xứng các cấu hình không gian đối xứng.