Chương 1: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO 1.1 NGUYÊN LÝ ANH XA CO BANACH : Cho X là tập hợp bất kỳ và ánh xạ 7:X +X. x” được gọi là điểm bất động của 7 nếu nó là nghiệm của phương trình 7{x)= x(*) : Nhận xét : Phương trình (* ) có thể có nghiệm không duy nhất (ví dụ 7(x) = x’, X =[0,1}), có nghiệm duy nhất (ví dụ 7(x) =2x~l, X =[0,1}) hay vô sử khi 0<x<4 nghiệm (ví dụ T(x) =} 2 , 2 x =[01p = khi —<x<l 3 2 Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một loại ánh xạ thỏa các diéu kiện : 1> Ánh xạ 7 có điểm bất động. 9> Điểm bất động là duy nhất. 3> Điểm bất động có được nhờ một quá trình lặp.1 : Cho (X,d) là không gian metric và ánh xa 7 : X —> X.
7 là ánh xạ co nếu với x,ye X và x# y thì d(7x,Ty)<d(x,y) , T là ánh xạ Lipschitz (7 thỏa điểu kiện Lipschitz) nếu tổn tại hằng số k>0 sao cho với mọi x,y e X, ta có : đ(Tx,Ty) < kd(x,y)(1.1) Số &(T) bé nhất thỏa (1.1) được gọi là hệ số Lipschitz của 7. Nếu &(7)<l ta nói 7 là ánh xạ co với hệ số & =&(7) hay đơn giản 7 là k-co. Nếu ánh xạ S,7:X — X là ánh xạ Lipschitz thì #(7oŠ) < k(7)k(S) và đặc biệt &(7”)<[&(T)]” với mọi neN. Điểm xạ là điểm bất động của 7 nếu Txp = xạ.
Hiển nhiên, nếu 7 là ánh xạ co thì 7 liên tục đều và điểm bất động nếu có sẽ duy nhất. SVTH : HUỲNH NGỌC TRÂM ANH 1 + V.1 : (Nguyên lý ánh xạ co) Cho (X,đ) là không gian metric đẩy đủ và 7:X > X là ánh xạ k-co. Khi đó 7 có điểm bất động duy nhất, ghi là xạ va lim7”(x)=x¿ với mọi noe xeX. ˆ" Hơn nữa đ(xạ,7”x)< d(x,Tx) với mọi xe X.
Chứng minh : Với xe X, dat x, =7t,x„. Với n,peN ta có : A(Xq Xap) =d(T5x,T®*®x) < kdTx, TP x) <.2) l-k Do k <1, bất đẳng thức trên chứng tỏ (7”(x))„ là dãy cơ bản. Vậy nó là dãy hội tụ. Nếu còn có ype X mà yo =7(yạ) thì ta có: đ(xạ, vọ) = đŒTxạ, Tyg) < kd(xo, xạ) - Vì k<l nên đ(xạ,ye) =0 nghĩa là xọ = yo.
Vậy điểm bất động của T là duy nhất.2) cho po, ta có: đ(xạ,7”x)< d(x,Tx). l-k Định lý đã được chứng minh. Nhận xét: Tuy điều kiện co là khá ngặt, nguyên lý ánh xạ co có những ưu điểm nổi bật: ngoài sự tổn tại, nó còn cho ta tính duy nhất, phuong pháp tìm điểm bất động và đánh giá được độ chính xác tại mỗi bước lặp. SVTH : HUỲNH NGỌC TRÂM ANH 2 V, GHIÉP : OA Hé qua 1.1: Cho (X,d) là không gian metric đẩy đủ và 7:X — X là ánh xa Lipschitz.
Giả sử tôn tại peN sao cho k(7?)<l. Khi đó, 7 có điểm bất động duy nhất, ghi là xạ và lim 7”x = xạ trong (X,đ) với mọi xe X. ng Chứng minh : Đặt k=k(T?)<l 1 Với x,yeEX dat ø(x,y)= F acr'x,T'y) với T° =7 là ánh xạ đồng nhất. (s0 Khi đó ø là mêtric trên X.
Khi đó, Vx, ye X 1 d(x.0 Vậy d,p là là hai mêtric tương đương. Hơn nữa, ta có : p(Tx,Ty) = Š d(P'x,T'y)+d(T?x,T?y) ¡=0 = ø(x,y)+d(T?x,T?y)~ đ(x, y) S p(x y)—(1-k)d(x, y) <(1 -°—]g«„ =ko/(x, y) a Với ai Sát: a Vậy Ø(Tx,Ty) S kyd(x,y) với ky <l hay T:(X,p)— (X,p) là ánh xạ k-co. Ap dụng định lý 1.1 7 có điểm bất động duy nhất xạ và lim 7”x = xạ trong anon (X.ø) với mọi xe X. Do d,p là là hai mêtric tương đương nên lim 7”x = xạ trong (X,d) với mọi "p— xe#.
SVTH ; HUYNH NGỌC TRAM ANH 3 LUAN VĂN TỐT NGHIỆP —— — — GVHD:TS. LÊ HOÀN HÓA Hệ quả 1.2 : Cho (X,d) là không gian métric day đủ. 7:X +X là ánh xạ lipschitz. ! ! Khi đó, tốn tại k„(T)z lim|[k(7")]" =inf([k(T”)]^,»<N| và điếu kiện k„(T)<l là cân và đủ để tổn tại mêtric ø tương đương với d sao cho : T:(X,øp)>(X,ø) là ánh xạ k-co.
Khi đó, 7Tcó điểm bất động duy nhất, ghi là xạ xà lim T”x = x trong +}.đ) với mọi xe X. Chứng minh : Ta chứng minh tồn tai 1 1 A(T) = lim[&(T*)]" = inf{[k(7”)]*.n eN) 1 Đặt a = inf((k(T”)]",n cN) Với ¢>0,3peEN sao cho &(T”)<(a+e£)”. Với n> p ta viết n= pq+r với 0<r< p—Ì. Ta chứng minh &„(T)<1 là diéu kiện cần và đủ để tổn tại mêtric ø tương đương với mêtric d sao cho 7:(X,øØ)—>(X,øØ) là ánh xạ k-co.
Khi đó, 7 có điểm bất động duy nhất, ghi là xạ và lim 7”x = xạ trong (X,đ) với mọi xe X. SVTH : HUỲNH NGỌC TRÂM ANH 4 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP SC GVHD: TS. LE HOÀN HÓA + Giả sử &,(T)<1 1 Từ (**) ta có 3peN sao cho [k(T?)]? <1 hay JpeN : k(T?)<l. Ap dụng hệ quả 1.1, tén tại métric ø tương đương với mêtric d sao cho T:(X,øp)= (X, p) là ánh xạ k-co.
Khi đó, 7 có điểm bất động duy nhất, ghi là xạ và lim 7”x = xạ trong (X,d) với mọi xe X. + Giá sử tốn tại métric p tương đương với mêtric đ sao cho T:(X,p)—>(X,ø) là ánh xạ k-co. Từ nhận xét của định nghĩa (1.3 : Cho (X,d) là không gian métric đẩy đủ và ánh xạ T7: X +X sao cho 7” là ánh xạ k-co với r là số nguyên dương bất kỳ. Khi đó, 7 có duy nhất điểm bất động.
Chứng minh : Cho we X là điểm bất động duy nhất của 7”. Khi đó T(w)=TŒ (w))=T""`(w)=T"(T@)) Vậy T(u) là điểm bất động của 7”. Do tính duy nhất của điểm bất động, ta có T(u) =u Do đó, w cũng là điểm bất động của 7. Để chứng minh điểm bất động của 7 là duy nhất ta chứng mính bằng phản chứng.
SVTH : HUỲNH NGỌC TRÂM ANH $ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : TS. LÊ HOÀN HÓA Giả sử v là điểm bất động khác của 7.=T” (v) Do đó v là điểm bất động của 7“. Vậy mâu thuần với tính duy nhất về điểm bất động của ánh xạ 7’. Ghi chú : Nếu T:(X,đ) -> (X,đ) là ánh xạ lipschitz thì &„(7) không đổi khi thay: đ bằng métric tương đương Ø.
Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh \ ' lim[k„(T”)]" = lìm[&„(T”)]” trong đó, &;(7). Chứng minh : Goi a,b >0 thỏa mãn : Vx,yeX thì ap(x,y)s d(x, y)< bp(x,y). SVTH : HUỲNH NGỌC TRÂM ANH 6 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Ss GVHD: TS. LÊ HOÀN HÓA Định lý 1.Í|) là không gian Banach,7 :X — X là ánh xa Lipschit (phi tuyến).
Với ye X, dat T,:X +X định bởi 7,(x) = 7(x) + y. Giả sử k„(T,)<l với mỗi ye X. Khi đó, /—T là song ánh và ánh xạ ngược (/-Ty' là liên tục. Chứng minh : Với ye X, do &„(Ty) < 1 nên theo hệ quả 1.2 7, là ánh xạ k-co.
Khi đó, 7, có điểm bất động duy nhất, ghi là y'=ø0) Do tính duy nhất của y' nên @(.) là ánh xạ. @:X>X yr>0(y)= y' và lim T/'(2)= 90), với mọi xe X. Thật vậy + /—T là toàn ánh Do với mỗi yeX tổn tại ø(y)e X sao cho(1—T)@(y)-= y. + /~=T là đơn ánh : Ta có (J -TXx) = (I~TXy) > x)=T(x) = y~T(y) > x~ y = T(x)—=T() mặt khác, với y c X, T,:X +X định bởi : T, (x) = T(x)+ y(®) Mà k„(T,)<l với moi yeX Suy ra Ty (XM (,||.||y) là ánh xạ k-co với If, — |IJ.
Điều này dẫn đến Ta(x) = T(x) là ánh xạ k-co, với & €[0,1). Giả sử 7, = y SVTH : HUỲNH NGỌC TRÂM ANH 7 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ` GVHD:TS. LÊ HOÀN HOA Khi đó l|x~ Il,=|l|T(«)~ TG)II,< & || x~ yl, Suy ra |x~yll, (I~&)<0 Do đó, x = y(do & €[0,1) ). Vậy /-T là đơn ánh.
Ta chứng minh g=(/-T)"' là ánh xạ liên tục. Cố định ye X, do k„(T,)<l nên tốn tại pe N sao cho 7/7(.) là ánh xạ k-co với & e[0,l) (Ap dụng hệ quả 1.2 : k,(T,) <1 thì tồn tại |, ~||.) có điểm bất động duy nhất là g(y). Với mỗi £ >0, do 7/(.) là ánh xạ co nên 7Z(.) liên tục đều, Do đó tổn tại 5, > 0,ổạ <£ sao cho với x,x'e X:|x=x'|<£+ổy thì |?ƒ@œ)-7/7(x)|<z (1.3) Thật vậy Với keO thi (1. Với k #0 chon 5, =min(ˆ ~e,£} Khi đó 5) <£ với x,x'e X:|x-x'|<e+ởạ thi |T/(x)~ T/Ƒ(x)|< k|x~ x" k(e + ôạ)< £.
tSL 3ô; =minmin 3) < Šn <5 sao cho SVTH : HUYNH NGOC TRAM ANH 8 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP SC GVHD:TS. LÊ HOÀN HOA |x—x'k<ổ; thì I7@œ)~T()IKŠ). Tiếp tục quá trình trên , 3ð,¡ < ` sao cho |x=x'k<ð„ thì |T(x)~7(x)|< chu Vậy tốn tại 3ở,,¡ =0,I. Ta chứng minh với y' X,| y~= y'|< 6,4 thi | ey) - 7”(ø(y))I< £+ô,,Vne N (1A) Bang qui nạp,với n=1 Do T,(x)=T(x)+y' và ø(y)=T(@(y))+ (đo T, (9) =e) nén |e) -7,(e)) |=| y~= y'k< ổ;¡ Suy ra theo (**) ồ |T(@(y))~ T„(@(y))I< ` Dẫn đến Iø(y)~ T2(@()) ISI T(@(y))~TŒ„(@(y)))|+| y= "IK bg Thật vậy | ey) - TẬ(@())l=l@(y)~ T, (9) + T„(@(x))—T2(@@)) | SI£@(y)=T„(ø(y)) | + | Ty„(@(y))~ T,„(T„eO))| =ly-y'|+|T(ø(y))-TŒ;x(e(y))| 6 <5, +e <ổ,; Vậy.
|T(@(w))~T(T?(@()))|< a Tương tự ta có 19)-T (PO) 1 T(@(y)~TŒ}(œO)))|I+l y~ y'|< ổ,sy Tiếp tục đến p ta được SVTH : HUỲNH NGỌC TRÂM ANH 9 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Ss GVHD:TS. LÊ HOÀN HOA Iø(z)~TZ(@())|< by < ổy +E Vậy (1.4) đúng với n=1, Giả sử (1.4) đúng với n, nghĩa là : ly-y'lkd,, thì |øe(y)=-T”(@(y))l< dy +£ Dat z =7“(ø(y)) Ta chứng minh IT" (2)-T (2) |< 65 Ta có |T,(z)~ T„(z)|E| y— y'< 5, Suy ra 6. ITU) - TT)ie ~£” Suy ra | T)(z)-T)(z)| Tỷ (z)) = TŒÈ(z))|+Ì y~ y'|< b,-5 Tiếp tục đến p ta được |T/(z))~T/ˆ)l< & Từ (1.4) ta có ; |Tƒ((@())~T7 Œ/"(gŒ))IE|pœ)—TƑŒ/*(eU))Ke Suy ra Ie(w)~T/*?(ø())<lø(y)—T/(77(@()))|+|TƑ(0/7(@(v)))~T/""?(øO))|<£*+ôy Vậy (1.4) đúng với mọi neN.4) cho n->& do lim T2"(0) =0 nén |pœ)~øŒE lim |e) - TO) 5 +£e<2£ SVTH : HUỲNH NGỌC TRÂM ANH 10 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP —— GVHD: TS. LÊ HOÀN HÓA Vậy ¢@ liên tục tại y.
Do ye X bất kỳ nên ø liên tục trên X. Định lý đã được chứng minh.5) Khi đó, 7 có điểm bất động duy nhất, ghi là xạ và lim 7”(x) = xạ trên X Chứng minh : Với xeX dat x, =7”(x) và a, =d(x„,x„,(),n 6 X.5) nên a, là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0. Ta chứng minh a <0 Ta chứng minh bằng phản chứng. Do (X,đ) là không gian metric compact nên tổn tai day con hội tụ tụ, he của diy (x,}.
Dat z = lim Xà - Ta có : Tim đ(x„,. Tương tự như trên nếu (x, }, là dãy con hội tụ của dãy (x,} và z= lim x,, thi z là điểm bất động của T. Do T là ánh xạ co nên T có điểm bất động duy nhất ghi là xạ. Vậy mọi day con hội ty (x,)¿ của dãy {x„}có cùng giới hạn là Xp- Do (X,d) là không gian metric compact nên lim x, = xạ = lim 7”(x).