MỞ ĐẦU § 1.ĐẠI CƯƠNG VỀ ANH XA ĐA TRI Dinh nghĩa 1.1 Cho X,Y là hai không gian tôpô. Ta gọi F là phép đặt tương ứng mỗi xe X với một tập hợp con của Y, ký hiệu là F(x). Khi đó bộ ba (X.Y,F) được gọi là ánh xạ đa :rị. Ký hiệu : F:X <_Y Khi không có gì nhắm lẫn ta ghi van tắt là ánh xạ đa trị F thay vì F: X -= Y Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ da trị F: X< Y và tập hợp ACX, BC Y.
Ta định nghĩa ® } DomF ={ x :F(#x) ImF=F(X)= UF(x) xeX GrF =((x.y)eXxY:yeF(x)) được gọi là đổ thi của ánh xa đa trị F F(A) = UF(x) được gọi là ảnh của tập hợp A cho bởi ánh xa da trị F xeA F(B) ={xe X:F(x)cB} Mệnh dé I.3(L] Cho ánh xạ đa trị F: X = Y và họ {Bi} je) với Bị C Y,Wiel. Khi do: i) F*(UB,) >UFỶ(B;) iel iel ii) F*(QB;)= NF*(B;) iel iel Chứng minh i) xe UF*(B;) ial > 3jel:xeFŸ(B,) => F(x)c Bj => F@&)cUBi iel => xeF!(UB,) iel Ngược lại không chắc đúng. Ví dụ F : R “— mR với F(x)=[x-1,x+1] với B,={0,2], B;=(2. ii) xefF°®;,) iel x € F*(B;), Viel UU F(x) c B;, Viel F(x)¢ NB; iel => xeF*(()Bj)) ial Luận vin tôi nghiệp Dai Học - Chuyên ngành Ton ra) Ngược lại x«F!(nB,) tel = F(x)cñ B, ie! => F(x) cB, Viel => x€fF°(B,)Viel => xe f)F*(B,) iel Định nghĩa 1.4[1] Cho không gian töpõ (X.Z) và một tập hợp mở Ge.
Ta định nghĩa Pa(X)=(U:U cX,.,G]: Ge) Ta dat .Z thỏa các tính chất i) Ps(X)={.25 thì WV= Ul.% aéA, iel iglaea, iii) Nếu V;,V;ye.Z% thiwVe= U(,G„]suyra ViNVe Ul. Ggle% aed, aeA NMA; Vay .Zzlà một tỗpõ xác định trên Po(X) và ta gọi tôpô này là :ôpô trên (upper topology). Nhậnxét Jy nhận Zlàm cơ sở tôpô.S[1] Cho không gian t6p6 (X,.7 ) và tập hợp Ge.Ta dat: Ig ={U ePạ(X):UnộG z ®) =|[lcGe.Z } Ta đặt 5z=(V= U lo, :lo,e #] aed i=] Ta thấy rằng 7 thỏa các tinh chất i) PofX=aIk € FF va ®=le e.2z n ii) — Nếuho(V/J„;eØz thì từ Vi= U Ale, =UV;= U U Nile, 6% acAjel °? ịel ielacA, j=l “ở iii) N&YViVie% thì ViNVE U fle. N U ñla, e% aeA, jul” aeAyjel “ở Vay 7 là một tôpô xác định trên Po(X) và ta gọi tôpô này là 16p6 dưới (lower topology).
Nhận xét Fy nhân Flam tiền cơ sở tôpô.6{12] Cho X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ đa trị F: X << Y a) Anh xạ da trị F được gọi là nửa liên tục trên tai điểm xe X nếu và chỉ nếu mỗi khi có một tập hợp mở V của Y chứa F(x) thì tổn tại một lân cân U của x sao cho F(x')c V,Vx'eU. Luận vant nghiệp Dar Học = Chuyên ngùnh Toún 4 b» Anh xu da trị F được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm « @ X nếu và chỉ nếu mỗi khi có mot tap hop mở Vic Y, VfTF(x)# ® thì tổn tại một lin cin LÍ của x sao cho F(X) NV e ®,Vx'e€U. i Anh xa da trị F là mửa liên tục trên (ghi tất là ø.c) nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi điểm x € X. "ở Anh xa đa trị F là nửa liên tục đưới (ghi tất là / s.c) nếu nó là nửa liên tục dudi tại mọi điểm x œ X.7 Cho X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ da tn Fs X = Y 1) Điều kiện cẩn và đủ để F nửa liên tạc trên là ánh xa đơn trị F:X F—” (Pa(Y), A liên tục.
2) Diéu kiện cần và đủ để F nửa liên tục đưới là ánh xa đơn trị F:X — (Pua(Y), FP liên tục., V] là một lân cận của F(x) trong (Po(Y),% ). F là ánh xạ liên tục từ X vào (Pø(Y)„Ø£ ) suy ra tổn tại một lần cận U của x sao cho F(U)c=([. (<=) Lấy tùy ý xeX và một lân cận G của F(x) trong (Po(Y)„Øz ) thì tổn tại một tập mở [. Suy ra F(x)cV.
Khi đó tổn tại lân cận UCcX của x thỏa F(x')cV, Vx'eU. Khi đó ly là một lin cận của F(x) trong (Pa(Y)„ZZ ). F là ánh xa liên tục từ X vào (Pa(Y)„Zz ) suy ra tốn tai một lân cân U của x sao cho F(x") ely, Vx'eU. Suy ra F(x’) Ve ®,Vx'eU.
Suy ra tổn tại một lân cận UC X của x sao cho F(x") ()V¥ ®,Vx'eU. Vậy F(x’) ely, Vx'eU.8(6] Cho X , Y là hai không gian định chuẩn và ánh xạ đa trị F: X <Y. F được gọi là Lipschitz trên (upper Lipschitz) tại xeX (ghi tất là U.L(x)) nếu tổn tại số m>0 và lân cận U của x sao cho F(x')c F(x)+ mỈx —x], By, ¥x'e U trong đó By là quả cầu đơn vị trong Y.9/4] Cho X , Y là hai không gian định chuẩn và ánh xạ đa trị F : X “—— Y. Nếu F là Lipschitz trên tại xe X và F(x) là tập hợp compact thì F là nửa liên tục trên tại x .By cV F là U.By,Vx'e U với By là quả cầu đơn vị trong Y.
Ta Gat G=|xeX:|x-x{y <* ìU thì G chính là một lân cận của x. By ¢V,¥x'eG Vậy F nửa liên tục trên tai điểm x. " Luận văn tốt nghiệp Đại Học — Chuyên ngành Toán 5 § 2.TINH LIEN THONG TRONG KHÔNG GIAN TOPO 2.1)Các khái niệm liên thông Dinh nghĩa 1,2.1/8] Cho không gian tôpô (X2) va tập hợp A c (X. X được gọi là không gian tôpö liên thông nếu và chỉ nếu trong X không tổn tại hai tập hợp mở M.NCX thỏa: Mxz@® Nz#@ Mƒ\N=@® MUN=X A được gọi là một :ập hợp liên thông wong không gian tôpô (X„Z ) nếu và chỉ nếu A cùng với tôpö cảm sinh từ (X.7 >) là một không gian tôpô liên thông.
X được gọi là không gian tôpô liên thông địa phương nếu và chỉ nếu với mọi xeX và mọi lân cận V của x đều tốn tại một lân cận liên thông U của x sao cho Uc V. Nhận xét(12] Nếu A liên thông trong không gian tôpô X thì trong A không tổn tại hai tập hợp mở M.NCA thỏa: M+@,Nz®,Mf\N =MfN=®,MUN=A Nhận xét{9] Nếu A liên thông trong không gian tôpô X thì không tổn tại hai tập hợp md M.NcX sao cho MfA @®,NñA z®,MfINA=®,AcMUN Mệnh dé I2 2[12] Không gian R với tôpô thông thường là liên thông. Chứng minh [12} Giả sử m không liên thông. Khi đó tổn tại hai tập hợp mở M.NcR thỏa MMN=®,MUN = R,M#®,N2®.
Không mất tính tổng quát ta giả SỬ x <y , và xét hai tập hợp A=Mƒ{x và B=Nƒf ,y ){x. Ta có A,B là hai tập hợp đóng và bị chặn trong ®. Do đó A,B là compact. Suy ra AxB là compact.
Xét ánh xạ d: AxB £ thỏa d(x,y)=ix - yl. Dễ thấy d liên tục. Suy ra d(AxB) là tập hợp compact trong R. Suy ra ze MƒÌN=® (mâu thuẫn).
Vậy ® liên thông.3(12] quả Mọi khoảng mở trong không gian £ với tôpô thông thường là liên thông. X được gọi là không gian tôpô liên thông đường nếu và chỉ nếu với mọi cặp điểm x,ye X đều tổn tại ánh xạ liên tục f:{0,1] ———~X thỏa f(0)=x,f(1)=y. Anh xạ f có tính chất như trên được gọi là một đường trong X nối x và y. A được gọi là tập hợp liên thông đường trong (X.„Z”) nếu và chỉ nếu A cùng với tôpô cảm sinh từ (X,.7) là không gian liên thông đường.
X được gọi là không gian liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu với mọi xe X và mọi lân cận V của x đều tổn tại một lẫn cận U của x sao cho UC V và với mọi điểm ye U đều tổn tại một ánh xạ liên tục f:{0,1] U thỏa :f(0)=x , f(1)=y.5(121 Không gian R với tôpô thông thường là liên thông đường. Chứng minh Luin vân tôi nghiệp Dai Học ~ Chuyên ngành Toàn 6 Lấy tùy ý x.y€® ,ta xét hàm số f :[0. Vậy a liên thông đường .6(12] quả Mọi khoảng mở trong ® với tôpô thông thường là liên thông đường. Ví đụ : Quả cầu trong R* là liên thông và liên thông đường.
(Chứng minh giống (1.7[12] Không gian tôpô X được gọi là liên thông cung nếu và chỉ nếu với hai điểm x.y bất ky luôn tổn tại ánh xa f : [0,1] ——X thỏa f liên tục, song ánh và f(0)=x và f(1)=y .8(12] Không gian X hiên thông cung thì bên thông đường. Chứng minh X liên thông cung nên x,y eX, thì3 f:{0,1] ——X liên tục, song ánh thỏa f(0)=x, f(1)}=y. Vậy f là một đường trong X nối x và y. Do đó X liên thông đường.
Nhận xét[12] Ngược lai không chắc đúng. Vi dụ cho X={p. Ta xét f-{0,1}———~X thỏa r0=Ƒ 0<t<I _ịP „t=0 Thì f liên tục, f(0)=p, f(1)=aq, f không là song ánh. Vậy X không liên thông cung.2)Á nh liên tục của một tập liên thông, liên thông đường Mệnh dé 1.9{12] Anh liên tục của một tập hợp liên thông (liên thông đường) là tập hợp liên thông (liên thông đường).
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f là tràn ánh. Ta chứng minh rằng nếu X liên thông thì Y cũng là không gian liên thông. Thật vậy, gọi M, N là hai tập hợp mở trong Y thỏa: — Mƒ]N=®,MUN=X Ta đặt A=f'(M) và B=f'(N)thì «= Af1B=f'(M) ff'@N}f'(MfN=© AUB=f'(M) U f`(@}=f'MUN»=X Vì X liên thông nên hoặc A=@ hoặc B=@. Ta giả sử rằng A=©, suy ra M =®.
Vậy không gian Y liên thông. Ta chứng minh nếu X liên thông đường thì Y liên thông đường. Thật vậy, lấy tùy ý : x,y Y. Từ f là wan ánh, suy ra 3a,beX thỏa f(a)=x, f(b)=y.
Do X liên thông đường nên tổn tại g: $Í0.1] —X liên tục thỏa g(0)=a, g(1)=b. Xét ánh xạ fag :{0,1] ———Y. Từ f, g là các ánh xạ liên tục suy ra f,g liên tục. Vậy Y liên thông đường.3)Thanh phần liên thông Mệnh dé I.10(121 Cho không gian tôpô (X„.
Nếu A là tập hợp liên thông trong (X,.7) và ACBCA thì B cũng là tập hợp liên thông. Chứng minh { 12] Gọi M .N là hai tập hợp mở trong B với tôpô là tôpô cảm sinh từ không gian (X„Z) thỏa MON = ®,MUN =B. Khi đó tổn tại hai tập hợp mở U ,V trong (X„Z) sao cho M=U(1B và N=Vf1B. Ta đặt P=UNA và Q=V(ì1A thì P và Q là hai tập hợp mở rời nhau wong A thỏa Luẫn vân tốt nghiệp Đại Học - Chuyên ngành Toán 7 P{1Q = ®.
Vì A liên thông trong X nên ta suy ra hoặc P=® hoặc Q=®. Ta giả sử P=@. Mã Ac BC A nên Bc VƒB =N =N. Vậy tập hợp B liên thông trong X.bịC ® là liên thông trong & với tôpô thông thường.
Chứng minh Theo (1.3), (a,b) liên thông wong &. Nếu A ,B liên thông (liên thông đường) trong X và AƒìB z ®thì AUB liên thông (liên thông đường) trong X.