Chương 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa 1. Trường K được gọi là trường đóng đại số néu mọi da thức mét ẩn cá bậc dương trên K đều có nghiệm trong K. Trong xuyên suốt luận văn này, ta xem là trường đóng đại số và có đặc số 0. Cho A là mét tập hợp khác réng, ? là một không gian ueetơ trên trường K, ¿ là ánh xa từ & x A ào V, biến cặp điểm (A,B) thành một vecto ¿(A, B), kí hiệu là AB.
Bồ ba (4,0, ¥) dude got là không gian afin néu hai tiến đề sau được thỏa man: 1. Với mọi t € V va với mọi điểm A € A, tồn tại duy nhất điểm B € A sao cho AB = ở. Với moi điểm A,B,C € A, ta có hệ thức AB ~ BC = AC. Nếu W là không gian vecto n chiều, kí hiệu là V", thi ta goi A là không gian afin n chiều, kí hiệu là A”.
Dé thể hiện rõ trường nen K ta còn kí hiệu là A” ( K). Cho một tập hợp X khác rong, một không gian vecto n +1 chiều ¥V"*! fn > () tiến trường K va một song ánh p:P(¥"*!) ~ X, trong đó P(¥"*") là tập hợp tất cd các không gian con mot chiều của "tt, Khi đó bộ ba (X,p,¥"*!) được gọi là một không gian xa ảnh n chiều hên kết ới không gian vecto W"*!. Ta thường kí liệu đơn giản là E". M6 hình không gian xa ảnh được trình bày trong luận văn này là mô hình afin, trích dẫn trực tiếp từ tài liệu tham kháo [3].
Da thức F trên trường K được gọi là thuần nhất nếu các thành phan của nó đều có cùng một bậc. Cho L là tành giao hoán, có đơn vị. Da thức F trong tành Lị[r\.tụ| được gor là đa thức đốt xứng n biến nếu ná không thay 1 CHUONG 1. KIÊN THUC CHUAN BỊ đổi dưới tác động của một phép hoán tị bat kỳ nao lên biến, nghĩa là với moi phép thé ơ €ốŠn ta có F'[T\,12,.Tn} = F(Zz\y: *z(a) phông #ø(n)} - Định nghĩa 1.-; rp] được gọi là đa thức không bột nêu trong phân tích bắt khả quy của F trong K fzn.
tạ), mỗi nhân tử bat khả quy chỉ xuất hiện đúng một lan. Một phép biến đốt tọa độ trong không gian afin n chiều trên trường K là một song ánh từ A"(K} đến &"(K}] có dang T: A"(K) > A'(K) ({A1,.--, 0n)}- Trong đó deg (TY) = 1 tới L <S ï Š n Hoặc biếu điễn dưới dang ma tran T(T)=AT+b uới F là tọa độ của điểm x viet dudi dang cột, A là ma trận vudng cấp n không suy biến, b là tuectd n cột. Một pháp biển đối tọa độ trong không gian rạ ảnh n chiều trên trường K là một song ảnh từ P"(K} đến P"(K) cá dang T:E"(K) > Pin) (ey : --- : đngq1) > (Ty (ays st ang) st Trg fay test apya}). Trong đó T; = 3017) +--Ÿ + Ti(n+1)Tn+l UỚI Vy € K,1 < ¡7 S n+] tà ma trân các hệ số Íụy) không suy biến.
Mien nguyên D được gọi là miền nhân tử hóa nếu mọi phần tử khác 0 va không khả nghịch của nó đều có thể phân tích được thành tích của các phần tử bat khả quy, hơn nữa, phân tích bat khả quy đó là duy nhất, sai khác tới tính hồn kết va. thứ tự nhân tử. Một chú ý quan trọng là nếu D là miễn nhân tử hóa thì vành đa thức 2Íz} cũng là miễn nhân tử hóa. Cho D là miền nhãn tử hóa va ƒ (+).
g(+) € DizÌ cá dang ƒ (#) = ana" +--+ a9, an #0, g(t) = byw! +> + ba, bạ #0. Doin Lê Minh Trang 2 Khoa Toán - Tin hạc CHUONG 1. KIÊN THUC CHUAN BỊ Kết thức của ƒ vag, kí hiệu là res, (f,g} trên D rác định bởi định thức của ma trận Sylvester của ƒ vag, bao gồm m hàng hệ số của ƒ vin hàng hệ số của g (các vi trí còn lai đều bằng 0) như sau: tị ay An ay resy (f,g) =. by by bạ, bụ bm ' bo Ta thừa nhận một số tính chất của kết thức như sau: 1.
res, (f,g) =0 khi va chỉ khi f va g có một nghiệm chung.,m là nghiệm của f,g trong bao đóng đại số của D. Khi đá " m n res, (f,9) = le(/)” Ie(ø)" T] [J (ae - 5) = te 6" T] 9 (asd) i=l j=l i-l udi le{f), le{g) lần lượt là hệ số cao nhất của ƒ tà g. In|, va mét điểm P = (ay, a@2,.,a,) € A"(K) được gọt là một không điểm của F nếu F (ay, a2. Tap hợp các không điểm của F kí hiệu là V (F).
Néu Sc K [ay,22,., tp), ta kí hiệu giao của tat cả các tập không điểm của các da thức thuộc Š là V (S). Nghia là V(S)= (1 V(F)={Pe A": F(P) =0,VF eS}. Fes Một tap X Cc A” được gọi là tập đại số nếu tồn tại S C KÍzt,z#a,. Lp] sao cho X =V(S).
Một da tap đại số (gọt tất là da tạp) là một tập đại số bat khả quy, theo nghĩa nó không được hợp thành từ hai hay nhiều tap đạt số nhỏ hơn. Nếu Vo C VỊ C -:: C Vy là một day tăng ngắt các đa tạp con (khác trông) của đa tạp V thi ta gọi số chiều của V, kí hiệu bởi dim(V), là giá tri lớn nhất của số d ở trên. Doin Lê Minh Trang 3 Khoa Toán - Tin hạc CHUONG 1. KIÊN THUC CHUAN BỊ Dinh lí 1.
Cho tập md U C R" va các ham 2; : (a,b) > R,? = 1,. Giả sử x kha vi tar £€ (a,b) va f:U — IR khả vi tại v(t}. Khi đá hàm g = fow kha vm tart va gf (t) = Gradf (x (t))} ., 04] là mot da thức thuần nhất bậc d. Khi dé L2 OF : : tin, = d.
Xét ham một biến Gt) = F {ayt, rat,., at), lấy dao hàm theo £ ta được tan K^ 9F Alait) Sa OF — i » Oat) ot ~ 20 dat)” Mặt khác, do F thuan nhất bac ở nên G(t) = t@F (21,22,., zy), lay dao ham theo £ ta thu được G'(t) = dt2-'F (x1, 22,. a) eT Do đó » Dont) = d. Chon ý = 1 ta được OF , 2 S =dF. Cho L là một vank con của K va cho da thức 1 f (x) = ane” + a@n_ya* * + -‹‹ + ayv tage Liz] (ay # 0).
Khi đó, bộ n số cy, 02,.,¢n € K là nghiệm của da thức f (x) khi uà chỉ khi ‘ ~ữn~] 01 (€1; €2y.- +) En) = CL + 6 + -‹- Đen = an An—2 2 (C1, Cờ. en = (= 1) " ap tìn Doin Lê Minh Trang 4 Khoa Toán - Tin hạc Chương 2 ĐƯỜNG CONG PHANG DAI SO 2.1 Đường cong phẳng dai số afin Dinh nghĩa 2. Tập hop C được gọi là một đường cong phẳng đại số afin (goi tắt là đường cong afin) trên K nếu C= {(a. 0) < &*(K}) : ƒ(œ,b} = 0} trong đó ƒ € K (x,y) là một đa thức không bột khác hằng.
Khi đó, f dược got là da thúc định nghĩa của €. Ta có thể xem một đường cong afin là tập hợp các không điểm (trong &?(K}) của một đa thức không bội khác hằng, hay là một tập đại số xác định bởi chính đa thức định nghĩa của nó. Nhờ vào điều kiên ƒ là một đa thức không bội, nếu h € ,h # 0 thì ạ cũng là đa thức định nghĩa của C. Nói cách khác, đa thức định nghĩa của mỗi đường cong afin là duy nhất, sai khác một hang số khác 0.
Ta có thể viết f đưới dang tổng của các đa thức thuẫn nhất có bậc giảm din như sau: + fo fa—i +: ƒ = fat với ƒy là đa thức thuần nhất bậc & va ƒ¿ khác 0. Ta gọi ƒ¿ là thành phần thuần nhất bac k vad là bậc cửa C, kí hiệu là deg (C). Dường cong bac 1 được gọi là đường thang, bac 2 được gọi là đường conc, bạc 3 được goi là đường cubic, bac 4 được gọi là đường quartic. nn Néu f = II⁄ với f; la các nhân tử bat khả quy của f thì ta nói mỗi đường cong afin i=l được định nghĩa bởi ƒ, là một (hành phan của C.
Hơn nữa, C được gọi là bat khả quy nếu đa thức định nghĩa của nó là bắt khả quy. Lúc này C là một đa tap. DUONG CONG PHANG DAI SỐ Dinh nghĩa 2. Cho C là một đường cong afin trên K được định nghĩa bởi f € K [x,y] va P CC.
Ta nói P cá bậc lar trên C nếu tat cả các đạo hàm riêng của ƒ cho tới cấp r — \ đều triệt tiêu tại P va tồn tar it nhất một đạo hàm riêng cấp tr không triệt tiêu tại P. Ta kí hiệu bậc của P trên € là multp (C). P được gọi là một điểm don trên C nếu multp (C) = 1, điểm kép nếu multp (C) = 2, điểm bậc ba nếu multp (C) = 3. Mới chung, khí multp (C) =r > 1 ta got P là điểm ki di.
Ta còn nói mot đường cong là không kì dj nêu nó không có điểm ki dj. Định nghĩa trên không áp dụng với những điểm không thuộc đường cong, do đó nếu P€C, ta có thể quy ước multp (C) = Rõ ràng nếu Œ là một đường thẳng thì mỗi điểm P € C ta đểu có multp(C) = điểu nay chứng tỏ đường thắng không có điểm kì dj. Hơn nữa với mỗi đường cong afin C và P € C ta có thé chỉ ra ! < multp(C) < deg(C). That vậy, mỗi P € C ta đều có 1 < multp (C), mặt khác đa thức định nghĩa của C có tat cả các đạo hàm riêng cắp lớn hon deg (C) đều là hằng 0, triệt tiêu tại P, do đó multp (C) < deg (C).
Cho C là đường cong afin định nghĩa bài f, P € € và T là phép biến đổi tọa độ trong A?(K) sao cho TP) = P. Gọi C là đường cong afin định nghĩa bởi = ƑsT. Xét phép biến đổi toa độ biến P thành P T: &*(K) > AK) (x,y) > {aiz + ajay + bị, đ¡# + đa + bạ) Viết dưới dạng ma trận là [7] › |“ “®{ [7] 4 bị ; ự a2, O32] |M by Khi dé oe (P )| - [a (*)] - = [ Gra(d7)f-7;] (P) - lim * cl By R (P) s rự mi T(?(?)])] |" Ẻ - |Š/ ñ Ox (P) Dy là | CHẾ Of tp Doin Lê Minh Trang 6 Khoa Toán - Tin hạc CHUONG 2.