CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN I. TONG QUAN VE SO PHỨC 1. Biéu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ. Xét số phức z = z + iy (z,€ R).
Trong mặt phang cho hai trục tọa độ Ox, „vuông góc nhau. Điểm Z(z,0) được gọi là điểm biểu diễn, hay là ảnh hình học (ảnh) của số phức z. Ngược lại, với mỗi điểm thực Z,(,,,) trong mặt phẳng tọa độ cho ta duy nhất một số phức z, =#¡ +1y,, z được gọi là tọa độ phức của điểm ZT Mặt phẳng mà trong đó mỗi điểm thực được xem như ảnh của một số phức được gọi là mặt phắng Gauss, mặt phẳng Cauchy, hoặc là mặt phang biến phức. Truc Ox là quỹ tích ảnh cua các số thực.
Truc Oy là quỹ tích anh của các số ảo. Đó là lí do tại sao Ox và Oy thỉnh thoảng được gọi là trục thực và trục ảo của mặt phẳng Gauss. Số -z là tọa độ phức của điểm đối xứng với điểm Z qua gốc tọa độ O. Tọa độ liên hợp.
Số phức liên hợp với z = x + iy luôn xác định và được kí hiệu z = x — iy đọc là “z ngang”. Ảnh Z của số phức z là điểm đối xứng với điểm Z qua trục Óz. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức. Cho một số phức z = x + iy, ta có thé viết z ở dạng lượng giác z = r(cos0 + isin@), trong đó z = 2° +” €[0,00) được gọi là modun của z và 0 € [0,2n) là số đo của — góc giữa vectơ OZ và trục Ox theo chiều đương được gọi là argument của z.
Cho z = 0, môđun và argument của z được xác định duy nhất. Xét z = r(cos0 + /sin0) và đặt £ = 0 + k2n, k€ Z. Khi đó z = r[cos(f — k2m) + isin(t — k2m)| = r(cost + 2sin £), nghĩa là số phức bat kì z được biéu diễn dưới dang z=r(cost+isint), trong đó r >0, tER. Đặt Argz = {t :Ð +2kn,k€ Z} được gọi là argument mở rộng của số phức z, Do đó, hai số phức Z,;Z„ = 0 có biểu diễn dạng lượng giác z, =,(cosứ, +isint,); z¿ = 7,(cost, + isint,) n=P bằngảngn nhau au khi1 Vavà chỉ Ch1khi1 t, —t, =9kn,k €7.
* Sử dụng công thức Euler cos@ + isin@ =e”, số phức z ==z + có thé được viết như sau z = re” được gọi là dang mai của z. Khi z0, ta chọn z = 0 và 0 tùy ý. Vectơ và số phức. Ảnh Z của số phức z được xác định khi ta biết vecto OZ.
Khi đó ta nói rang số phức z được biểu diễn bởi vecto này. Số phức và vectơ có médun bằng nhau và ta có thê nói rằng argument của số phức cũng chính là argument của vectơ. Các phép toán số phức. Nếu n số phức z, =a, +, (k =1,2,.,n) có n ảnh Z, thi tổng của chúng là AY z2=2,+2,+.+2, (1) có anh Z được xác định boi phương trình hình on are hoc OZ = OZ, + OZ, +.›oT Giả sử Z (z.
Ta tìm toa độ của Z dựa Vag `: A - _ vào phương trình (2). Băng cách lay dai số trên i wy v trục Ox, sau đó trên trục Oy, ta có được hai j ies - , ¿ Hình 1 P hương 6. trình đại sô x= » wey » Ih x, y=. Nêu các sô phức z,, z, được biéu thị bởi các vectơ OZ,, OZ, thì hiệu sô Z= 2-2, được biểu thị bởi hiệu số hình học OZ = 02%, - 0Z, : của những vecto tương ứng.
*Ä / Aso lên Điêm Z⁄ đôi xứng với Z, qua O.1, ta có OZ = OZ, + OZ! = OZ, —OZ, (3). Hệ qua: Phương trình (3) được viết lại OZ = Z,Z,,vivay Z,Z, giống như OZ biểu thị 2517 hiệu z, —z,. Nếu các số phức Z¡; 2, được biểu thị bởi các vecto OZ,, OZ, thì tích 2Z—= 215, — được biểu thị bởi vectơ OZ có được từ vectơ — OZ, theo cách như sau: 1°. Quay vecto OZ, quanh O một góc bằng với —— argument của vectŒ OZ,.
Nhân vecto vừa thu được với modun của vecfơ OZ,. Nêu r,, 7, va 0,, 9, lân lượt là modun va argument của z,, z, thì ta có zZ=re', } Z2 =reTM 2 ' 2 ` A _ _ i(6, +9, ) Vì vậy 2 = 2.2, = "1€ Khi đó arg(z) = 0, +0, và mođun của z là r¡, = OZ,. Ta lay điểm U trên trục Ox có hoành độ +1. Điểm Z mà ta tìm kiếm chính là đỉnh thứ ba trong tam giác OZ,Z đồng dạng với tam giác OUZ, với OZ OZ, Or,0Z) =0,+0,, 22 =, (On OD) = 8+8s OF = OT ai 5.
Nêu các sô phức z,, z, được biéu thị bởi các vecto OZ,, OZ, thì tỈ số z= + 2, — —_—y được biểu thị bởi vecto OZ được tạo ra từ vec to OZ, theo cách như sau: I’. Quay OZ, quanh O một góc bang voi — arg(OZ,). Chia vecto vira thu duoc cho — modun của vecto OZ,. Su dung muc 5.3, dung điểm Z là anh hình + ` T ¡(06-0 học của z và z= -Lef®%), % Điểm Z là đỉnh thứ ba của tam giác OZ,Z đồng dạng với tam giác OZU.
Như vậy ta đã thực hiện phép chia như là trường hợp ngược lại của phép nhân. Căn bậc n của đơn vị.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức. Xét số nguyên đương n > 2 và một số phức z, 0. Phương trình Z" —z, =0 (1) được dùng định nghĩa căn bậc n của số phức z,- Ta gọi nghiệm Z của phương trình (1) là một căn bậc của z,.
Căn bậc n cua z, gồm n nghiệm phân biệt được cho bởi công thức 2, = r(cos” + 2kin + isin’ + 2hny k=0,1. Biểu diễn số phức Z dạng lượng giác, tức là Z = p(cos + isiny). Theo định nghĩa, ta có Z” = z, = p"(cosmp + isin m@) = r(cos® + isin 9) p =r > > np =0+2kn, kEZ lo =2 442" bez. k Vậy nghiệm của phương trình (1) là ,= Vr(cose, +isiny,), k€Z.n —1} là các ya argument.
Ta có ø nghiệm phân biệt của z, là Z),2Z,,.,2, ¡- Ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân biệt. Xét số nguyên k bat ki, và đặt r € {0, Len 1} la phan du cua k chia cho n. Khi 0 2n 9 2n đó k= nq+r, q€ Z vay, =— +Í(nqg+r)—=—+r E2gn =p, + 2g. "oon non n Rõ ràng Z, = Z,.
2“ n—]1 Nói cách khác phương trình có đúng n nghiệm phân biệt. Biêu diễn hình học của các căn bậc n của sô phức z„ + 0 là các đỉnh của một n giác đêu nội tiêp đường tròn có tâm tại gôc tọa độ và bán kính tr. Dé chứng minh điều nay, ta kí hiệu các diém M,, M,,.,M,, với các toa độ phức Z¿,Z,,. —— Mat khác, sô đo của cung M,M,_, bang với arg Z,.n—2} » 2 2 suy ra MM, bang “=?2n —(n -1U“=.
Bởi vi tat cả các cung My,M,,M,M,,.M, đều bằng nhau nên đa giác M,M,.2 Căn bậc n của đơn vị. Một nghiệm của phương trình Z” — 1 = 0 gọi là một căn bậc n cua đơn vị. Vì 1=cos0+isin0, từ công thức tìm căn bậc ø của số phức, ta suy ra căn bậc n của don vi là = cose + ism i € {0,1,2,.n—1} n n Suy ra, ta có "¬ 2n |, 2TR €, = cosÚ + zsinU = 1; ¢, = cos— + isin— = €; n n In |. nr n ne n Kí hiệu U, = {1,e,£?,.
Mỗi phân tử của U, là lũy thừa của c. Biêu diễn hình học của căn bậc n của đơn vị là các đỉnh của một đa giác đều với n cạnh nội tiếp đường tròn đơn vị với gốc O và bán kính 1. Ta xét một vài giá trị đặc biệt của 0. Với a = 2, căn bậc hai của 1 là (nghiệm của phương trình Z? =1 = 0 ) —1 và 1.
Với mn = 3, căn bậc 3 của đơn vị (nghiệm của phương trình ZỶ — 1 = 0) được cho bởi 2km. = oa ten ib € {0,1,2}. 2T 1, V3 Do đó s, = Le, = CON TP ya = “otto =e án. An 1 3 2 —~ ~ Kt HS.
va €, S = CO+ — tSM — —— HS l ‘ 2 2 Ta biểu diễn tam giác đều nội tiếp đường ưòn C(O; 1)nhu hình dưới đây. căn bậc 4 của đơn vi là _ 3km,. kn , ; & = cos—* + isin=~,k € {0,1,2,3}. =>, =cos0+isn0=1 ¢, = cos + isin= =i 2 2 3x.
ST : E„ = COS7r + isina = —Ï; é, = COSR— + lar = —t. Biểu điển hình học của chúng là hình vuông nội tiếp đường tròn C(0;1). NHUNG PHÉP BIEN HÌNH CƠ BẢN 1. Phép biến hình.
Phép đặt tương ứng với mỗi điểm Z cho duy nhất một điểm Z7 trong mat phang Gauss tạo thành một phép biến hình trong mặt phăng và được kí hiệu là w. Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó: 1". với mỗi điểm Z có tương ứng một điểm duy nhất Z”; 2". mỗi điểm Z7 là sự tương ứng của một điểm Z.
Như vậy phép biến hình w là mới - một; điểm Z' là ảnh của điểm Z. Phép đặt tương ứng mỗi điểm Z’ cho ta điểm Z được gọi là phép biến hình nguge của ©, kí hiệu œ ` và Z” được gọi là ảnh ngược của Z. Phương trinh của một phép biến hình w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z của điêm Z tùy ý trong mặt phang và tọa độ phức z” của điểm Z' tương ứng với Z. Phép tịnh tiền.
Dat A là một điểm cho trước và Z là một điểm tùy ý trong mặt phang và dat a vàz là các tọa độ phức của chúng. Điểm Z” mà 2! = OA được gọi là ảnh của Z trong phép tịnh tiền theo vectơ OA. Khi đó, ta có OZ! = OZ + 0A. Phương trình của phép tịnh tiến là , Khi œa€ 8, a =0, phép tịnh tiền trên song song với trục Ox.
Nếu a = 0, phép tịnh tiến quy về phép biến hình đồng nhất với phương trình 2’ = z biến mỗi điềm trong mặt phăng thành chính nó. \ Gọi A là một điểm cho trước với tọa độ phức , là a, và œ là một số thực cho trước, dương, bằng 0, hoặc âm. Phép quay quanh A một góc có giá trị đại i Sứ số œ biến mỗi điểm Z trong mặt phăng thành điểm ea Các vecto AZ’, AZ biểu thị các số phức z'—a, z—a. Khi đó AZ’ thu được từ AZ bằng =§ phép quay, ta có zZ—=a=(z—a)e^.
Khi đó, phương trình của phép quay góc œ quanh điểm có tọa độ phức a là z' = zeTM +a(1— e*)| Hệ quả.