Luận án tiến sĩ giáo dục học khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động

Luận án tiến sĩ giáo dục học khám phá bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động, ứng dụng hiệu quả trong giảng dạy.

• Tác giả: Huỳnh Thị Ái Hằng
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Đăng Minh Phúc
• Trường học: Đại học Huế
• Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán
• Đề tài: Khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ giáo dục học
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Huế

Tóm tắt

I. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu

Chương này giới thiệu nhu cầu nghiên cứu về bài toán quỹ tích có điều kiện trong hình học động. Sự phát triển của môi trường hình học động (DGE) đã thay đổi cách học sinh tiếp cận và giải quyết các bài toán hình học. Các phần mềm như Geometer’s Sketchpad (GSP) và Cabri hỗ trợ học sinh tương tác trực tiếp, giúp họ khám phá và kiến tạo tri thức một cách trực quan. Bài toán quỹ tích có điều kiện được thiết kế trên DGE nhằm giúp học sinh phát triển kỹ năng phân tích, suy luận và khám phá kiến thức mới. Nghiên cứu này tập trung vào việc khảo sát hiệu quả của các bài toán này trong việc hỗ trợ học sinh hình thành giả thuyết và giải quyết vấn đề.

1.1. Nhu cầu nghiên cứu

Việc sử dụng môi trường hình học động trong giáo dục toán học đã trở thành xu hướng toàn cầu. Các phần mềm như GSP và Cabri cho phép học sinh tương tác trực tiếp với các đối tượng hình học, từ đó phát triển khả năng nhận thức và lý luận. Bài toán quỹ tích có điều kiện được thiết kế để giúp học sinh khám phá các tính chất hình học thông qua các thao tác kéo rê và duy trì bất biến. Nghiên cứu này nhằm đánh giá hiệu quả của các bài toán này trong việc hỗ trợ học sinh hình thành giả thuyết và giải quyết vấn đề.

1.2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của nghiên cứu là hỗ trợ học sinh hình thành giả thuyết thông qua bài toán quỹ tích có điều kiện trong hình học động. Nghiên cứu cũng nhằm thiết kế các bài toán phù hợp để học sinh có thể quan sát và phân tích các bất biến toán học, từ đó kiến tạo kiến thức mới. Đồng thời, nghiên cứu phân tích quá trình hình thành giả thuyết của học sinh và các khó khăn họ gặp phải khi giải quyết các bài toán này.

II. Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Chương này trình bày lịch sử nghiên cứu và cơ sở lý thuyết của bài toán quỹ tích có điều kiện. Các nghiên cứu trước đây của Arzarello và cộng sự đã phân loại các phương thức kéo rê trong hệ thống hình học động (DGS) và chỉ ra vai trò của chúng trong việc hình thành giả thuyết. Các nhà giáo dục như Allen Leung và Baccaglini-Frank đã phát triển các khái niệm và phương pháp thực hành sư phạm liên quan đến bài toán quỹ tích có điều kiện. Nghiên cứu này dựa trên các kết quả trước đó để xây dựng mô hình nhận thức và đánh giá hiệu quả của các bài toán này trong giáo dục toán học.

2.1. Lịch sử nghiên cứu

Các nghiên cứu về bài toán quỹ tích có điều kiện bắt đầu từ những năm 1990, với sự đóng góp của Arzarello và cộng sự. Họ đã phân loại các phương thức kéo rê trong hệ thống hình học động và chỉ ra vai trò của chúng trong việc hình thành giả thuyết. Các nghiên cứu sau này của Allen Leung và Baccaglini-Frank đã phát triển các khái niệm và phương pháp thực hành sư phạm liên quan đến bài toán quỹ tích có điều kiện.

2.2. Cơ sở lý thuyết

Nghiên cứu này dựa trên lý thuyết kiến tạo, cho rằng học sinh kiến tạo tri thức thông qua tương tác với môi trường học tập. Hệ thống hình học động cung cấp công cụ để học sinh khám phá và phân tích các tính chất hình học, từ đó hình thành giả thuyết và giải quyết vấn đề. Các phương thức kéo rê trong DGS được coi là công cụ sư phạm hiệu quả trong việc hỗ trợ học sinh phát triển kỹ năng lý luận toán học.

III. Thiết kế nghiên cứu

Chương này mô tả thiết kế nghiên cứu, bao gồm đối tượng tham gia, công cụ nghiên cứu và quy trình thu thập, phân tích dữ liệu. Nghiên cứu được thực hiện trên học sinh trung học cơ sở, sử dụng các phiếu học tập và bảng hỏi để đánh giá hiệu quả của bài toán quỹ tích có điều kiện trong hình học động. Quá trình thu thập dữ liệu bao gồm việc quan sát và ghi lại các phản ứng của học sinh khi giải quyết các bài toán. Dữ liệu được phân tích để đánh giá quá trình hình thành giả thuyết và các khó khăn mà học sinh gặp phải.

3.1. Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu được thực hiện trên học sinh lớp 9 tại một trường trung học cơ sở ở Huế. Đối tượng tham gia bao gồm học sinh có trình độ toán học khác nhau, nhằm đánh giá hiệu quả của bài toán quỹ tích có điều kiện đối với các nhóm học sinh khác nhau.

3.2. Công cụ nghiên cứu

Các công cụ nghiên cứu bao gồm phiếu học tập và bảng hỏi. Phiếu học tập được thiết kế để học sinh thực hành các bài toán quỹ tích có điều kiện trên hệ thống hình học động. Bảng hỏi được sử dụng để thu thập ý kiến và phản hồi của học sinh về quá trình học tập.

IV. Kết quả nghiên cứu

Chương này trình bày kết quả nghiên cứu từ các phiếu học tập và bảng hỏi. Kết quả cho thấy, bài toán quỹ tích có điều kiện trong hình học động đã hỗ trợ hiệu quả học sinh trong việc hình thành giả thuyết và giải quyết vấn đề. Học sinh có thể quan sát và phân tích các bất biến toán học thông qua các thao tác kéo rê, từ đó kiến tạo kiến thức mới. Tuy nhiên, một số học sinh gặp khó khăn trong việc chuyển đổi từ quan sát trực quan sang lý luận toán học.

4.1. Kết quả từ phiếu học tập

Kết quả từ phiếu học tập cho thấy, học sinh có thể hình thành giả thuyết và giải quyết các bài toán quỹ tích có điều kiện một cách hiệu quả. Các thao tác kéo rê trong hệ thống hình học động giúp học sinh quan sát và phân tích các bất biến toán học, từ đó phát triển kỹ năng lý luận.

4.2. Kết quả từ bảng hỏi

Kết quả từ bảng hỏi cho thấy, học sinh đánh giá cao vai trò của hình học động trong việc hỗ trợ học tập. Tuy nhiên, một số học sinh gặp khó khăn trong việc chuyển đổi từ quan sát trực quan sang lý luận toán học, đặc biệt là khi giải quyết các bài toán phức tạp.

V. Kết luận

Chương này tổng hợp kết luận từ các kết quả nghiên cứu. Bài toán quỹ tích có điều kiện trong hình học động đã hỗ trợ hiệu quả học sinh trong việc hình thành giả thuyết và giải quyết vấn đề. Nghiên cứu cũng chỉ ra các khó khăn mà học sinh gặp phải, đặc biệt là trong việc chuyển đổi từ quan sát trực quan sang lý luận toán học. Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc thiết kế các bài toán và phương pháp dạy học hiệu quả trong giáo dục toán học.

5.1. Kết luận chung

Nghiên cứu khẳng định hiệu quả của bài toán quỹ tích có điều kiện trong hình học động đối với việc hỗ trợ học sinh hình thành giả thuyết và giải quyết vấn đề. Các thao tác kéo rê trong hệ thống hình học động giúp học sinh quan sát và phân tích các bất biến toán học, từ đó phát triển kỹ năng lý luận.

5.2. Hướng phát triển

Nghiên cứu đề xuất hướng phát triển trong việc thiết kế các bài toán và phương pháp dạy học hiệu quả trong giáo dục toán học. Cần có thêm các nghiên cứu để đánh giá hiệu quả của bài toán quỹ tích có điều kiện đối với các nhóm học sinh khác nhau và trong các bối cảnh giáo dục khác nhau.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương 1 Trong chương này, chúng tôi đã trình bày mục đích và ý nghĩa của nghiên cứu. Đồng thời, chúng tôi phát biểu ba câu hỏi nghiên cứu, đưa ra một số thuật ngữ được sử dụng trong luận văn. Chúng tôi sẽ trình bày nền tảng lý thuyết làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu ở chương tiếp theo. 12 Chương 2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Mục đích của chương này là xác định và làm rõ nền tảng lý thuyết, tóm tắt sơ lược các nghiên cứu liên quan đến đề tài.

Lịch sử vấn đề nghiên cứu 2. Nguồn gốc và cơ sở lý thuyết của các bài toán quỹ tích có điều kiện Các bài toán quỹ tích có điều kiện được phát triển từ sau nghiên cứu của nhà giáo dục toán Arzarello. Vào những năm cuối thập niên 90, Arzarello cùng với các cộng sự đã tiến hành nghiên cứu và phân loại các phương thức kéo rê khác nhau được học sinh sử dụng trong suốt quá trình giải quyết các vấn đề hình học trên Cabri (Arzarello và nnk. Nghiên cứu được thực hiện bởi Arzarello cùng các cộng sự (2002) và Olivero (2002) đã dẫn đến sự mô tả của một hệ thống các phương thức kéo rê, được sắp xếp thông qua một quá trình quy nạp khi phân tích về việc người giải quyết (solver) đang tạo ra phỏng đoán trong một DGS.

Trong những năm gần đây, những nhà giáo dục Toán đã và đang khuyến khích việc sử dụng công nghệ trong lớp học nhằm bồi dưỡng năng lực toán học của mỗi học sinh (Mariotti, 2006; Cuoco, 2008). Một số nghiên cứu trong việc giảng dạy và học tập về hình học (ví dụ, Noss & Hoyles, 1996; Mariotti, 2006) cho thấy, một Hệ thống Hình học động có thể thúc đẩy cách suy nghĩ, cách xây dựng của người học để làm thế nào nhờ các công cụ kéo rê, một DGS có thể đủ mạnh để khám phá một tình huống vấn đề kết thúc mở (Arzarello và nnk., 2002; Lopez – Real & Leung, 2006). Liên quan đến việc thiết kế mô hình các bài toán kết thúc mở nhằm tạo ra các bài toán quỹ tích có điều kiện, chúng tôi tập trung chủ yếu vào đóng góp của các nhà giáo dục toán như Allen Leung, Baccaglini – Frank và Mariotti. Dựa vào việc nghiên cứu các tài liệu trước đó, đặc biệt là của Arzarello 2002, họ đã phát triển các khái niệm và đặc biệt là xây dựng cơ sở cho một phương pháp thực hành sư phạm mới mà họ đã cố gắng thực hiện thực nghiệm trường học trong các dự án của mình.

Từ các nghiên cứu thực nghiệm đó, họ đã xây dựng được mô hình nhận thức, và rút 13 ra những khái niệm mới đã phát sinh từ sự phản ánh và phân tích của học sinh trên mô hình này. Các nghiên cứu trước đã chỉ ra rằng, công cụ được cung cấp bởi Hệ thống Hình học động ảnh hưởng đến phương pháp tiếp cận học sinh để khảo sát các bài toán kết thúc mở trong hình học Euclide. Theo sau việc xây dựng trong nghiên cứu của Arzarello, Olivero và các nhà nghiên cứu khác, Anna Baccaglini – Frank và các cộng sự đã hình thành một mô hình mô tả một số quá trình nhận thức có thể xảy ra trong quá trình hình thành phỏng đoán của học sinh trong hình học động, liên quan đến việc sử dụng các phương thức kéo rê cụ thể (chúng tôi sẽ trình bày ở phần sau). Theo Allen Leung, nguyên tắc khám phá kéo rê trong DGE đó là quá trình định hướng (process – oriented) và đặt người sử dụng làm trung tâm (user – centered).

Quá trình này mở ra cho việc giảng dạy và học tập hình học một khả năng khám phá và trải nghiệm, bổ sung cho các phương pháp tiếp cận và suy luận quy nạp. Với việc được trang bị với các nguyên tắc khám phá kéo rê, người học có thể tìm kiếm thông qua việc kéo rê, giải thích một cách hợp lí hiện tượng kéo rê xảy ra trong DGE sao cho phù hợp với thế giới tiên đề của hình học Euclide. Bài toán quỹ tích có điều kiện trong Môi trường Hình học động Cũng như các bài toán quỹ tích thông thường trên môi trường giấy – bút mà học sinh đã được làm quen ở bậc THCS, bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động cũng là bài toán đi tìm tập hợp những điểm thỏa mãn một điều kiện đã cho. Trong hình học, tìm tập hợp điểm tức là mô tả tập hợp đó: Ví dụ quỹ tích là một đường tròn, một đường thẳng, một đoạn thẳng … Tuy nhiên, điều khác biệt giữa bài toán quỹ tích trên môi trường giấy – bút và bài toán quỹ tích có điều kiện trên môi trường hình học động, đó là, bài toán quỹ tích trong môi trường giấy – bút thường được phát biểu dưới dạng: Cho một cấu hình có một số yếu tố cố định và một (hoặc vài) yếu tố thay đổi theo một yêu cầu nào đó (điểm di chuyển trên một đường tròn, đường thẳng quay quanh một điểm …), yếu tố thay đổi này sẽ dẫn đến sự di động của một số yếu tố điểm khác, yêu cầu tìm quỹ tích các yếu tố điểm liên quan; trong khi đó, trong môi trường hình học động, không nhất thiết là các yếu tố luôn cố định, mà khi di chuyển một yếu tố, 14 học sinh phải xét xem yếu tố đó làm cho yếu tố nào thay đổi, yếu tố nào không thay đổi, yêu cầu tìm quỹ tích yếu tố cần di chuyển sao cho vẫn giữ được tính chất nào đó.

Để hiểu rõ hơn về bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động, ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1 Dựng ba điểm A, B, và C trên màn hình GSP, kẻ đường thẳng qua A và B, và đường thẳng qua A và C. Sau đó, dựng đường thẳng l song song với AC qua B, và đường vuông góc với l qua C. Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên là D, xét tứ giác ABDC. Phỏng đoán về các loại tứ giác đặc biệt mà ABDC có thể trở thành và tìm quỹ tích điểm A sao cho ABDC trở thành tứ giác đặc biệt đó (Hình 2.

Kéo rê duy trì điểm A để ABDC là hình chữ nhật. Ngay từ giả thuyết của bài toán, cách dựng A, B, C cũng cho ta thấy 3 điểm này đều có thể di chuyển khỏi vị trí của nó chứ không nhất thiết là luôn cố định. Cụ thể, khi di chuyển điểm A, học sinh mới tự khám phá xem yếu tố nào sẽ thay đổi và yếu tố nào không thay đổi (hay còn gọi là bất biến), từ đó, kéo rê A sao cho vẫn giữ tính chất “ABDC là một hình chữ nhật”, kích hoạt dấu vết, và dự đoán hình dạng cụ thể dấu vết của A. Từ đó, người học không những hình dung một cách trực quan về những bài toán quỹ tích mà còn hiểu một cách sâu sắc về chúng.

Ví dụ 2 Cho ba điểm A, B, C trên màn hình GSP, vẽ đường tròn tâm C bán kính CA. Hãy kéo rê điểm C sao cho B nằm trên đường tròn (C; CA). Tìm quỹ tích điểm C trong trường hợp đó. Kéo rê duy trì điểm C để B nằm trên đường tròn (C; CA).

Tương tự như ví dụ 1, A, B, C cũng là những điểm tự do trên mặt phẳng, khi kéo rê tự do điểm C trên màn hình thì điểm A và B vẫn cố định nhưng bán kính đường tròn thay đổi. Khi học sinh tạo vết và kéo rê C để giữ B nằm trên đường tròn thì các em sẽ dự đoán được quỹ tích điểm C chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vết của C khi kéo rê C để B nằm trên đường tròn (C; CA). Khung lý thuyết Phần này trình bày khung lý thuyết cho nghiên cứu của chúng tôi.

Chúng tôi căn cứ vào các nghiên cứu trước đó của các nhà giáo dục toán học về hình học động, các mô hình kéo rê, sự nhận thức bất biến. Các khái niệm mới được tìm ra, phát triển trong những năm qua được chúng tôi tham khảo và bổ sung theo nhu cầu nghiên cứu của mình. Lý thuyết kiến tạo Lý thuyết kiến tạo (Constructivism Theory) đang là một trong những lý thuyết về dạy học vượt trội được sử dụng trong giáo dục. Lý thuyết này khuyến 16 khích học sinh tự xây dựng kiến thức cho mình dựa trên những thực nghiệm cá nhân và áp dụng trực tiếp vào môi trường học tập của các em.

Mỗi cá nhân học sinh là trung tâm của tiến trình dạy học, còn giáo viên đóng vai trò tổ chức điều khiển và là người đại diện cho tri thức khoa học chính thống, đóng vai trò trọng tài để thể chế hóa tri thức mới của bài học. Theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo thì tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải tiếp thu một cách thụ động từ bên ngoài. Trong quá trình chiếm lĩnh tri thức bằng kinh nghiệm, kiến thức đã có từ trước thông qua quá trình đồng hóa (Assimilation) và điều ứng (Accomodation), học sinh sẽ tự xây dựng cho mình một hệ thống tri thức có sắc thái riêng và có khả năng vận dụng hệ thống tri thức này vào giải quyết các vấn đề do thực tiễn đặt ra. Theo Piaget, đồng hóa là quá trình học sinh vận dụng kiến thức cũ để giải quyết tình huống mới và sắp xếp kiến thức mới thu nhận được vào cấu trúc kiến thức hiện có.

Muốn thế, khi tổ chức quá trình dạy học, giáo viên cần phải làm cho học sinh bộc lộ quan niệm của mình về vấn đề học tập, cần tổ chức cho học sinh hệ thống hóa và khai thác kinh nghiệm cũ nhằm phát triển nhận thức cho bản thân học sinh và phổ biến cho cả lớp. Để đồng hóa được kiến thức mới và cũ cần phải tiến hành quá trình phân tích, tổng hợp, so sánh,… nhằm đánh giá lại kiến thức cũ từ đó sắp xếp lại hệ thống kiến thức sao cho hoàn thiện, chính xác hơn. Điều ứng là sự thay đổi, điều chỉnh, bổ sung, vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề lý thuyết và thực tiễn. Đây là quá trình mà học sinh phải thực hiện các thao tác tư duy, làm kiến thức bộc lộ các thuộc tính, bản chất, các mặt mạnh yếu, tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố kiến thức, tính hệ thống của chúng và khả năng vô tận của kiến thức.

Dựa vào bản chất của lý thuyết kiến tạo có thể phân kiến tạo trong dạy học ra thành hai loại:  Kiến tạo cơ bản (Radial constructivism) đề cao vai trò của mỗi cá nhân trong quá trình nhận thức và cách thức xây dựng tri thức cho bản thân.