Chương 1 KIÊN THUC CHUAN BỊ 1. Ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc 1. Không gian Euclidean 1. Định nghĩa Một không gian vectơ thực E là một không gian Euclidean néu nó được trang bị một dạng song tuyến tính @ : EXER, được xác định dương, có nghĩa là ou ,w ) >0, với mọi d z 0.
Đặc biệt hơn, @ : EXE —+iRˆ phải thỏa man các tiên dé sau; OU, +ứ,. Dang toàn phương liên hợp với @ là hàm ©: E —+ R, sao cho ®(#) = @(#,¿) với mọi ucE - Bởi vi @ là song tuyến tính, ta có (0,0) = 0, và vì nó xác định đương, chúng ta có điều mạnh hơn là @(ø,# ) = 0 khi và chỉ khi ứ = 0 do đó ®( a) = 0 khi và chỉ khi Z = 0 1. Ví dụ 8” la không gian Euclidean, tích trong ~ được xác định sao cho (((*X,. Me) = ALY, PAY, Fe ALY, SVTH: Hứa Thi Hạ Phương Trang | Nhóm Lie va Đại số Lie GVHD: PGS-TS.
Nhận xét - Tích trong trên không gian Euclidean thường được kí hiệu là < -,- >. Nhắc lại: mỗi ánh xạ tuyến tính f: E — E có một ánh xạ liên hợp f*: E —+ E, f* là ánh xạ tuyến tính, sao cho < /(#)./(Ý)>, với mỗi ứ,ÿñ eE. Vì <-,-> là đối xứng, nên rõ ràng là f** = £ - Cho 2 không gian Euclidean E va F, trong đỏ tích trong xác định trên E được ki hiệu la < —,— >,, vả tích trong xác định trên F được kí hiệu la <-.- >,, cho bất ki ánh xạ tuyến tính £' E —+ F, có đuy nhất một ánh xạ tuyến tính f*: F —» E sao cho < /(4), >,=< ú, /ˆ(ý)>,, với mọi de E và ve E. Ánh xạ tuyến tính f* cùng được gọi là anh xa liên hợp của f.
Ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc 1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc Cho không gian Euclidean E, một ánh xạ tuyến tính f: E — E là chuẩn tắc nếu Sof =fof - Một ảnh xạ tuyến tinh f E~+E là tự liên hợp nếu f = f*, tự liên hợp lệch nếu f =-f*, và trực chuẩn nếu fof" = fof =id - Những dạng chuẩn tắc f có thé được làm mịn hơn nếu f là ánh xạ tự liên hợp, ánh xạ tự liên hợp lệch, hay ánh xạ trực giao. Bd đề Cho không gian Euclidean, nêu f E—>E là một ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc thi Ker f= Ker f* Tiếp theo ta sẽ phức hóa cả không gian vectơ E và tích trong < -,~ >. Đầu tiên ta nhúng không gian vectơ thực E vào không gian veeto phức SVTH: Hứa Thị Hạ Phương Trang 2 Nhóm Lie và Đại sé Lie GVHD: PGS-TS.
Định nghĩa cấu trúc / Cho không gian vectơ thực E, đặt £_ có cấu trúc ExE dưới phép toán cộng (U,,0;)+(9,, } = V, (H, + V,,, + Ý, ) và phép nhân bởi đại lượng vô hướng phức z = x+iy xác định sao cho (x t1) (6, v'} = (tt = ved ee), Nhận xét - Dé đảng chứng minh £. là không gian vectơ phức, suy ra (0,7) = ¡(ý,0), và do dé đồng nhất E với không gian con của £., là không gian bao gồm tit cả những vectơ có dang (ứ,0), ta có thê viết (ứ,) = ñ +¿ÿ - Cho một vectơ w=a+i¥, đối hợp của nó là w=a-i¥. Khi đó, anh xạ đi tử E. vào chính nó cũng là ánh xạ đối hợp.ế,) là cơ sở bat kì của E, thi ((é,,0),.6)) là cơ sở của của £., ta gọi là một cơ sở thực.
- Cho ánh xạtuyến tính f: E — E, ánh xạ f có thé được mở rộng đến một ánh xạ tuyển tính ƒ„.:E, > £,„ xác định sao cho f(z +i¥) = ƒ()+¡ƒ(5) Ta can mờ rộng từ tích trong trên E đến tích trong trên E,. Không gian Hermitian 1. Định nghĩa Một không gian vectơ phức E là một không gian Hermitian nếu nó được trang bị một ánh xạ ọ: E x EC , mà ánh xạ này là tuyến tính ở phần đầu và nữa tuyến tính ở phan thứ hai của nó (đôi khí còn được gọi là ánh xạ tuyến tinh gấp rudi), anh xạ nay cũng được gọi là ánh xạ Hermitian, và xác định dương, có nghĩa là pi.) >0 với mỗi ở #0 Đặt biệt, ọ: E x E+ R thỏa mãn các tiên dé sau: SVTH: Hứa Thị Hạ Phương Trang 3 Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lê Anh Va OU, HV) = OV) EOF) OV, + ¥,) = 0,9, ) + (0(ứ, 9, ) Q(2u.) ñ # 0 kéo theo @(ứ,#) >0 - Một ánh xạ thỏa mãn những tính chat trên được gọt là dạng Hermitian xác định dương.v) cũng được gọi là tích trong của ¿ và ý. Ta cũng xác định dạng toàn phương liên kết với @ là hàm ®; E — R_ sao cho Ow) = @(ứ,), với mỗi ứ E - Chú ý rằng œ(0,0) = 0, và vi @ là xác định đương.
ta có kết quả mạnh hơn (0,0) =0 khi và chí khi di = 0 do đó ®{ø) = 0 khi va chi khi i = 0 1. Ví dụ C* là không gian Hermitian , đưới tích trong @ xác định sao cho @((4,. My )) = AT, HAy He HHT, 1. Nhận xét - Cho anh xạ tuyến tính f: E — E (trong đỏ E là không gian vecto phức).
như trường hợp thực, cỏ duy nhất một ánh xạ tuyến tính f*: E —+ E sao cho < f(ñ).ÿ >=< ữ, f (8) >, với mỗi a, Fe £. Ánh xạ f* cũng gọi là liên hợp của f. - Tích trong <-,-> trên không gian Euclidean E được mở rộng đến dang Hermitian xác định đương <-,- >. như sau: <ñ, +fỗ,,, +0, > <i, i, > + < 9,0, > +Í(< ai, > - < ,Ÿ, >) SVTH: Hứa Thị Ha Phương Trang 4 Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lé Anh Vũ Dễ dang thử lại được <-,- > là một dang Hermitian xác định dương và rõ rằng <-,- >.
cũng la < -,- > đối với những vectơ thực. Khi đó cho bat ki ánh xạ tuyến tinh £: E — E, ta chỉ ra được anh xạ f*, xác định sao cho ƒ.()+2/ˆ (8) với mọi #,v e £, là liên hợp của f Bỏ dé 1.2 cũng đúng cho trường hợp E là không gian Hermiteian. Vectơ riêng-Gía trị riêng 1. Bé đề Cho không gian Hermitian E, với bat kỷ ánh xạ tuyến tinh chuẩn tắc f: E — E, vectơ # là vecto riêng cua f với giá trị riêng ) (trong C) khi va chi khi a là vectơ riêng cua f* với giá trị riêng 2.
Bé đề Cho không gian Hermitian E, với bắt ky anh xạ tuyến tinh chuẩn tắc f: E — E, nếu # và ¥ là những vecto riêng của f mà liên kết với giá trị riêng 2 va (trong i# đó ng C),tro 0 thi < ứ,ÿ >= 1. Bễ đề Cho không gian Hermitian E, giá trị riêng của bất kỳ ánh xạ tự liên hợp f: E — E nào cũng đều là thực. - Cho bat kỳ không gian con W của không gian Hermitian E nào, nhắc lại là không gian trực giao W* của W là không gian con xác định sao cho W* ={ũ e E|< ủ,# >=0,VW e E} Ta có £=! @I+. Không gian Euclidean cũng thu được kết quả giống vậy.
Bỗ đề Cho không gian Hermitian E, với một ánh xạ tuyến tinh bất kỳ £: E > E, nếu W là không gian con bất kỳ của E sao cho /(W)cW và /'f)cW, khi đó f(W!)cW' và (WoW SVTH: Hứa Thị Hạ Phương Trang Š Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lê Anh Vũ - Bỏ dé trên cũng đúng đổi với không gian Euelidean. Cho E là không gian Euclidean thực, nếu f' E —+ E là một ánh xạ tuyến tính và ww= a +# là một vectơ riêng của /_:£. -»£ với giá trị riêng tương ứng là z=4+¡¿. trong đó ứ,ýcE va À,e® thi /.(ứ-/#)=(À-1)( =¿#) và w=#—úv là vectơ riêng của f ứng với gia trị riêng Ÿ = 2 =0.
Bo đề Cho không gian Euclidean E, với một anh xạ tuyến tính bat kỳ & E — E, nêu Weati¥ là một vectơ riêng của £ ứng với giá trị riêng z= À+/#¿ (trong đó l,Ủ€E và À,ueR) ® Nếu peo (tức là z không thực) thi <.v>=0 và <a, >=<V,Y>, ứ,v là các vectơ độc lập tuyến tính, và nếu W là không gian sinh boi @,¥ , thì W)=W va f*(W)=W. Hơn nữa, với cơ sở (u,v) (trực giao), ánh xạ thu hẹp của f trên W có © Nếu ¿=0 thì ¿ là giá trị riêng thực của f và @ hoặc ÿ là giá trị riêng của f ứng với 4. Nếu W là không gian con sinh bởi @ nếu @ # 0, hoặc sinh bởi ï nếu z0 và ứ =Ú, thì /(W)c W và /°W)c W 1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc 1.
Định lý Cho không gian Euclidean n chiều E, với mọi ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc f: E— E, sẽ có một cơ sở trực chuẩn (é,.,é,), sao cho ma trận của f trên cơ sở nay là một khối ma trận chéo có dang SVTH: Hứa Thị Hạ Phương Trang 6 Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.Lê Anh Vũ sao cho mỗi khối 4 hoặc là ma trận cap mot hoặc là ma trận vuông cấp hai có dang 4 Ey | trong đó 4. Dinh ly Cho không gian Hermitian n chiều E, với mỗi ánh xạ tuyến tính chuẩn tắc f: E— E. có một co sở trực chuan (é,.ẻ„) là vectơ riêng của f sao cho ma trận của f được viết trên cơ sở này là một khôi ma trận chéo có dang A trong đó 2 eC er - Định lý 5.2 chứng tỏ rằng anh xạ tuyến tinh chuẩn tắc có thé chéo hóa được với một cơ sở trực chuẩn. Do đó, trong thường hợp đặc biệt, các ánh xạ tự liên hợp, tự liên hợp lệch, và trực giao có thé chéo hóa được với một cơ sở trực chuẩn là những vectơ riêng.
VỀ sau, một ánh xạ trực giao được gọi là một ánh xạ đơn vị.3 chứng minh rằng giá trị riêng của một ánh xạ tuyến tính tự liên hợp là số thực, ánh xạ tuyến tính tự liên hợp lệch có giá trị riêng là phần do thuần khiết hay là 0, và ánh xạ đơn vị có giá trị riêng là giá trị tuyệt đối của I. Chi ý: có định lý đảo của định lý 5.2 nói rằng nếu có một cơ sở vectơ riêng trực chuẩn (ế,.ẻ,„) của f, thì f là chuẩn tắc. Anh xạ tuyến tính tự liên hợp, ánh xạ tuyến tính tự liên hợp lệch, và ánh xạ tuyến tính trực giao 2. Ánh xạ tuyến tính tự liên hợp Định lý 2.1 Cho không gian Euclidean n chiều E, với mỗi anh xạ tuyến tính tự liên hợp SVTH: Hứa Thị Ha Phương Trang 7 Nhóm Lie và Đại số Lie GVHD: PGS-TS.