Chương 1 Đường cong trong mặt phẳng và trong không gian Trong chương này chúng ta sẽ thảo luận hai định nghĩa về khái niệm (trực giác) của một đường cong. Quan hệ giữa chúng khó nhận ra, vì vậy chúng ta sẽ bắt đầu bằng một vài ví dụ của đường cong với mỗi định nghĩa, và từ thực hành ta sẽ có mối liên kết giữa chúng.1 Đường cong là gì? Nếu có ai hỏi cho ví dụ một đường cong, bạn có thể cho ngay một đường thẳng, chẳng hạn — 2z = 1 (mặc dù nó không cong), hoặc một đường tròn, chẳng hạn z2 + ¿2 = 1, hoặc có lẽ một parabôn, chang hạn ÿ — z2 = 0. y-2x=1 y-x’ = 0 x ty al Tất cả các đường cong này được mô tả thông qua phương trình của chúng trong hệ tọa độ Descartes fay) =, trong đó ƒ là hàm có biến z, ¿ và c là hằng số. Theo quan điểm đó, một đường cong là một tập hợp các điểm, đó là € ={(z,y) R”|/(z,y) = 0}.
ĐƯỜNG CONG LÀ GÌ? CHUONG 1. DUONG CONG Đường cong có dạng như thế được gọi là đường định múc (level curve), theo nghĩa, chẳng hạn đường cong cho bởi Pt.1), gồm các điểm (z, ) trong mặt phẳng có đại lượng ƒ(z, ) đạt mức Œ. Có một cách khác để mô tả một đường cong mà hóa ra rất tiện ích trong nhiều trường hợp. Đó là quỹ tích của một điểm chuyển động.
Chúng ta sử dụng ý tưởng này để đưa ra định nghĩa hình thức đầu tiên cho một đường cong trong IR” (chúng ta sẽ chỉ quan tâm trong hai trường hợp ñ = 2 hoặc 3, nhưng để thuận tiện xét chúng đồng thời): Định nghĩa 1. Một đường cong được tham số (hoặc còn gọi là cung được tham só) trong IR" là một ánh xạ ¥y: (a, 3) > R", véi a, 3 thoa man —co <a << oo. Kí hiệu (œ, 3) la khoang mé (a, 8) = {te Rla<t< gh. Một đường cong tham số có ảnh chứa trong một đường cong định mức được gọi là một tham số hóa (thành phần) của Œ.
Các ví dụ dưới đây sẽ minh họa một cách thực hành làm thế nào từ đường cong định mức để có đường cong tham số và ngược lại. Tìm một tham số hóa y(t) cho parabôn = z?.2) với mọi ¢ trong khoang (a, 3) mà + được định nghĩa (chưa được xác định), như vậy mỗi điểm nằm trên parabôn phải có tọa độ (+¡(£), +a(£)) với £ € (a, 3). Rõ ràng, có thể nhận ra ngay một nghiệm của Pt. Để xác định tất cả các điểm trên parabôn, chúng ta cho £ nhận mọi giá trị số thực (vì +(¿) có tọa độ đầu chính bằng ¿, mà tọa độ đầu của một điểm trên parabôn có thể là một số thực bất kỳ), bởi vậy chúng ta lấy (a, 3) = (—oo, ).
Do đó, ta có tham số hóa: +:(-œ,œ)>R, +) = (,?). Nhưng đây không phải là tham số hóa duy nhất của parabôn đã cho. Chẳng hạn một tham số hóa khác, chẳng hạn +(/) = (3,18) (với (a, 3) = (—œ, œ)). Hoặc một dạng khác là (2, 4/2), và dĩ nhiên có (vô số) các dạng khác nữa.
Như vậy, tham số hóa của một đường cong định mức cho trước là không duy nhất. Xét đường tròn z2 + 2 = 1. Nếu làm tương tự như ví dụ trên, lấy z = ¿ khi đó y = V1 — # (ching ta cing c6 thé chon y = — v1 — f2). Như vậy chúng ta có tham số hóa ¥(t) = (t, VIB).
Nhung đây chỉ là tham số hóa của nửa trên của đường tron, vi V1 — £2 luôn luôn > 0. Tương tự, nếu chúng ta chọn ¿ = —V/1 — £2 thì chỉ phủ được nửa dưới của đường tròn. Nếu muốn có một tham số hóa của toàn bộ đường tròn thì phải tìm cách khác. Chúng ta cần tìm các hàm số +¡(/) và +›(£) sao cho chúng thỏa mãn +(9?+»()? =1 (1.
Cé mot nghiém hién nhién cia Pt. Chúng ta có thể chọn (œ, ở) = (—oo, ), nhưng như thể là hơi thừa. Chỉ cần lấy khoảng mở (ø, 3) có khoảng cách lớn hơn 2z bất kỳ là đủ. DUONG CONG LA GI? Ví dụ sau đây chỉ cách làm thế nào để từ một đường cong tham số hóa ta tìm ra đường cong định mức.
Xét đường cong được tham số hóa như sau, được gọi là øs£roid (đường hình sao): y(t) = (cos* t, sin? t). Do cos?£ + sin’ t = 1 véi moi t, nén cdc toa dé x = cos’ t, y = sin? t cua điểm +(¿) thỏa mãn +2/3 + pl = 1, Đường cong định mức này trùng với ảnh của ánh xạ ¥. Trong cuốn sách này chúng ta sẽ nghiên cứu các đường cong (và sau đó, các mặt cong) sử dụng các tính toán giải tích. Để lẫy đạo hàm một hàm giá trị véctơ như +(/) (như trong Dinh nghĩa 1.1), chúng ta lây đạo hàm từng phân: nêu +) = (¡).+„) thì TS (ng dt dt’ dt?” dt 7) dy ayy dy d?+„ we 7 (âm ga nh áp bi Ye Để tiết kiệm, chúng ta sẽ dùng kí hiệu +(/) thay cho dy/dt, +(t) thay cho d?+/dt”, viv.
Chúng ta nói rằng “+ 1a tron nêu mỗi thành phần +, +,. +„ của + là trơn, tức là tất cả các đạo hàm d3;/dt, d°+,/d2,d3+,/di3,. tồn tại, với mọi ¡ = 1,2,. Kể từ đây uê sơu, tắt cả các đường cong tham sô hóa được nói đến trong quyển sách này được giả thiết là trơn.
Giả sử +(¿) là một đường cong tham số hóa. Khi đó, đạo hàm cấp 1 của nó d+/di được gọi là uéctơ tiếp xúc của + tại điểm ¥(t). Để tìm hiểu ý nghĩa cho thuật ngữ này, xét vectơ (t+ dt) ~ +) ot song song với cung nối giữa 2 điểm +(¿) va y(t + ot) cha AnhC cua +: trot) +) Chúng ta mong chờ, khi ỏ/ tiến tới 0, dây cung sẽ song song với tiếp tuyến của € tại +(¿). Do đó, tiêp tuyên phải song song với lim 26 ‡ ð!) — +) +ở) ~30) = oy 5t0 ot dt Bằng trực giác dễ thấy kết quả sau đây: 1.
ĐƯỜNG CONG LÀ GÌ? CHUONG 1. DUONG CONG Ménh dé 1. Nếu uectơ tiếp xúc của một đường cong tham số là vecto hang, thì ảnh của đường cong là (một phân) đường thẳng. Giả sử +(t) = a với mọi t, trong đó a là vectơ hằng.
Lấy tích phân hai về, ta có +) = [ Tát = [ ad =ia + b, với b là vectơ hằng khác. Nếu a z# 0, thì đây là phương trình tham số của đường thẳng song song với a đi qua điểm đích của vects b: ta y(t) Nếu a = 0 thì ảnh của + là một điểm đơn, trùng với điểm đích của vectơ b. Oo BAI TAP 1. Hãy kiểm tra xem 7(t) = (¢?,t') có phải là một tham số hóa của parabôn y = +? hay không? 1.
Tìm tham số hóa của các đường cong định mức sau: @)ÿ2— z2 =1; ŒÙ S2 + =1, 1. Tìm phương trình trong hệ tọa độ Descartes của đường cong tham số: (i) y(t) = (cos? t, sin? t); Gi) +0) = (et,#). Tính véctơ tiếp xúc của các đường cong ở Bài tập 1. Phác họa đường hình sao trong Ví dụ 1.
Tính vectơ tiếp xúc của nó tại mỗi điểm. Tại những điểm nào thì có vectơ tiếp xúc bằng vectơ không? 1. Giả sử P là một điểm bất kỳ nằm trên đường tròn Œ có bán kính a > 0 và có tâm tại điểm (0,ø) trong hệ tọa độ Oxy. Đường thẳng qua P va gốc tọa độ cắt đường thẳng y = 2a tai Q, đường thẳng qua P song song với trục z cắt đường thẳng qua Q song song với trục y tại.
Khi P chạy quanh ŒC thì quỹ tích của # là một đường cong, được gọi là ma thuật của Agnesi (witch of Agnesi) ! Đối với đường cong này: (¡) Tìm một tham số hóa; đ¡) Tìm phương trình trong hệ tọa độ Descartes. 1Nd: Đường cong "witch of Agnesi" được Maria Agnesi trình bày trong sách Toán bằng tiếng Ý của bà vào 1748 (được xem là tác phẩm Toán học đầu tiên do một phụ nữ viết). DO DAI CUNG Q | “3 ‘ oO 1. Quỹ tích của một điểm cố định trên đường tròn khi đường tròn đó lăn (không trượt) dọc theo một đường thăng được gọi là đường cong xycloit (cycloid).
Chứng minh rắng nêu đường thẳng là trục z và đường tròn có bán kính ø > 0 thì xycloit có thể tham số hóa bởi y(t) = a(t — sint, 1 — cost). Tổng quát hóa bài tập trên, hãy tìm tham s6 héa cha mét épixycloit (tudng ứng, hypôxy- cloit), quỹ tích của một điểm cố định trên đường tròn khi đường tròn đó lăn (không trượt) phía ngoài (tương ứng, bên trong) tựa theo một đường tròn. Chứng minh rằng y(t) = (cos?¢ — ‡,sinfcosf,sin f) là một tham số hóa của đường cong giao của mặt trụ có bán kính ‡ xoay quanh trục z và mặt cầu bán kính 1 có tâm (—3, 0, 0). Chứng minh rằng góc giữa +(/) và vectd tiếp xúc tại +(¿) không phụ thuộc ¿.
Ö đây, y(t) = (e' cost, e' sin t) 1a duéng xoắn ôc lôgarit (xem hình vẽ của nó ở Ví dụ 1.2 Độ dài cung Giả sử v = (0ị,., o„) là vectơ trong IR” với độ đài bằng |v] = \/v2 +--+ + 02. Néu u 14 mét vecté khac trong R” thì ||u — v| cua u và v trong R”. Để tìm một công thức cho độ dài cho độ dài của một đường cong tham số +, ta chú ý rằng, nếu ðí rất bé, phần ảnh C của + giữa +(¿) và +(¿ + ð£) gần như là một đoạn thẳng, do đó độ dài của nó xấp xỉ bằng là độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm biểu diễn llyứ + ö£) = +@)|I: 5 1. ĐỘ DÀI CUNG CHUONG 1.
DUONG CONG Hon niva, do dt nhé, (y(t + dt) — y(t)) /ot xấp xỉ bằng +(/), vậy độ dài xấp xỉ l)llöi- (1.4) Nếu chúng ta muốn tính độ dài của một phần (không nhất thiết nhỏ) của € chúng ta có thể chia nó thành nhiều đoạn, môi một đoạn tương ứng với một gia sô nhỏ öí của í, rồi tính độ dài của môi đoạn sử dụng 1.4, và cộng các kêt quả lai. Lay ð¿ tiên tới 0 ta sẽ có chính xác độ dài. Điều này gợi mỏ đến định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1. Độ đời cung của một đường cong + xuất phát từ điểm ~(/o) là hàm số s(/) được cho bởi + =f atu) du to Vay s(to) = 0 va s(t) là dương hoặc âm phụ thuộc vào ¢ lớn hơn hay bé hon to.
Néu ta chon diém khdéi dau 1a (ij) khac, thi dé dai cung 5 khac s mét hang s6 bang Se. Xét đường xoắn ốc lôgarit (logarithmic spiral) y(t) = (e!