Chương 1 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản, dạng cổ điển và một số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số Định nghĩa 1. Dãy số là một hàm số từ N vào một tập hợp số (N, Q, R). Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu là un , vn , xn , yn. Dãy số được ký hiệu là {un }, {vn }, {xn }, {yn }.
Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó cũng có các tính chất của một hàm số. (i) Dãy số {xn } được gọi là dãy giảm nếu xn+1 ≤ xn với mọi n ∈ N∗. (ii) Dãy số {xn } được gọi là dãy tăng nếu xn+1 ≥ xn với mọi n ∈ N∗. (iii) Dãy số {xn } được gọi là dãy giảm ngặt nếu xn+1 < xn với mọi n ∈ N∗.
(vi) Dãy số {xn } được gọi là dãy tăng ngặt nếu xn+1 > xn với mọi n ∈ N∗. Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu. Dãy số {xn } được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho xn ≤ M với mọi n. Dãy số {xn } được gọi là bị chặn dưới LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4 nếu tồn tại số thực m sao cho xn ≥ m với mọi n.
Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn. (i) Ta nói dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn a khi n dần đến vô cùng nếu với mọi > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn } và ) sao cho với mọi n > N0 ta có |xn − a| nhỏ hơn . Ta viết lim xn = a ⇔ > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn − a| < . n→∞ (ii) Dãy số {xn } dần đến dương vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thực dương M lớn tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn } và M ) sao cho với mọi n > N0 ta có |xn | lớn hơn M.
Ta viết lim xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn | > M. n→∞ (iii) Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ. Giả sử {xn } là một dãy bị chặn.
Với mỗi n ta đặt un = sup{xn+1 , xn+2 ,. vn = inf{xn+1 , xn+2 ,. Dễ thấy un đơn điệu giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn. Giới hạn này được gọi là giới hạn trên của dãy {xn } và ký hiệu là lim sup xn.
n→∞ Tương tự, dãy {vn } là dãy tăng và bị chặn trên, nên tồn tại giới hạn. Giới hạn này được gọi là giới hạn dưới của dãy {xn } và ký hiệu là lim inf xn. Điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ là giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy đó bằng nhau. (Sự hội tụ của dãy đơn điệu) Dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Nếu {xn }, {yn } là các dãy hội tụ và cógiớihạn tương xn ứng là a, b thì các dãy số {xn + yn }, {xn − yn }, {xn yn }, cũng hội yn a tụ và có giới hạn tương ứng là a + b, a − b, ab và (trong trường hợp b dãy số thương, ta giả sử yn và b khác không). Giả sử an ≤ bn ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N và lim an = a, n→∞ lim bn = b.
Giả sử lim an = lim bn = a và n→∞ n→∞ an ≤ zn ≤ bn với mọi n ∈ N. Khi đó, ta có lim zn = a.2 Chuỗi số Định nghĩa 1. Khi đó gọi tổng vô hạn u1 + u2 +. ∞ P là chuỗi số và ký hiệu là un.
un là số hạng tổng quát; sn = u1 + u2 + n=1. + un được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số; rn = un+1 + un+2 +. được gọi là phần dư thứ n. Nếu lim sn = s (hữu hạn) thì chuỗi được gọi n→∞ là hội tụ và s là tổng của chuỗi.
Nếu sn không dần tới một giá trị hữu hạn thì chuỗi đó gọi là phân kỳ. Chuỗi số un hội tụ thì lim un = 0. n=1 n→∞ ∞ P Chuỗi số un được gọi là chuỗi số dương nếu un > 0 với mọi n ∈ N. (Tiêu chuẩn so sánh) Cho 2 chuỗi số dương un và n=1 ∞ P ∞ P vn nếu un ≤ vn với ∀n ≥ n0 (n0 ∈ N ) thì từ sự hội tụ của vn suy n=1 n=1 ∞ P ∞ P ra sự hội tụ của un và từ sự phân kỳ của un suy ra sự phân kỳ của n=1 n=1 ∞ P vn.
n=1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. (Tiêu chuẩn tương đương) Cho hai chuỗi số dương P∞ P∞ un un và vn và lim = k. Khi đó, ta có: n=1 n=1 n→∞ vn Nếu (0 < k < +∞) thì hai chuỗi đã cho cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. ∞ P ∞ P Nếu k = 0 thì từ sự hội tụ của vn suy ra sự hội tụ của un.
n=1 n=1 ∞ P Nếu k = +∞ thì từ sự phân kỳ của vn , ta suy ra sự phân kỳ của n=1 ∞ P un .3 Hàm số Cho hàm số thực f (x) xác định trên một miền trong R. Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D và (a; b) là một khoảng con của D. Hàm số gọi là hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ). Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a; b) gọi là đơn điệu trên khoảng (a; b). Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận của a (có thể trừ điểm a). Số thực l hữu hạn được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a nếu: ∀ > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| < . Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận của a (có thể trừ điểm a).
Số thực l hữu hạn được gọi là giới hạn trái LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f (x) được gọi là liên tục trên [a; b] nếu f (x) liên tục trong khoảng (a; b), liên tục phải tại x = a và liên tục trái tại x = b. Hàm f (x) liên tục trên tập compact D thì liên tục đều trên tập D.
Một hệ quả được suy ra từ định lý trên. Mọi hàm liên tục tuần hoàn trên R là liên tục đều. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 8 Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng (a; b), x0 ∈ (a; b).
Nếu giới hạn f (x) − f (x0 ) lim x→x0 x − x0 tồn tại hữu hạn thì giá trị giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 , ký hiệu là f 0 (x0 ). Cho các hàm số f và g cùng liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a, b). Khi đó tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho (f (b) − f (a))g 0 (c) = (g(b) − g(a))f 0 (c).2 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro Mục này trình bày một số dạng cổ điển, một số dạng mở rộng và một số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro.1 Một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro Phần này, chúng tôi trình bày ba dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro được các nhà toán học Otto Stolz và Ernesto Cesàro đưa ra. Cho {an } và {bn } là hai dãy số thực, dãy {bn } tăng ngặt và không bị chặn trên.
Nếu tồn tại giới hạn an+1 − an lim = l ∈ R, n→∞ bn+1 − bn an thì lim = l. n→∞ bn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 9 Chứng minh. Xét trường hợp l ∈ R và giả sử rằng {bn } là dãy tăng và lim bn = ∞. Cho V là một lân cận của l, khi đó tồn tại α > 0 sao cho n→∞ an+1 − an (l − α, l + α) ⊆ V.
Cho β ∈ R sao cho 0 < β < α. Do lim =l n→∞ bn+1 − bn nên tồn tại k ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ k thì an+1 − an ∈ (l − β, l + β), bn+1 − bn từ đó suy ra rằng: (l − β)(bn+1 − bn ) < an+1 − an < (l + β)(bn+1 − bn ), ∀n ≥ k. Cộng từng vế các bất đẳng thức này ta được: (l − β)(bn − bk ) < an − ak < (l + β)(bn − bk ). Vì lim bn = ∞ nên bắt đầu từ một chỉ số n nào đó ta có bn > 0.
bn bn Do vậy chúng ta có các bất đẳng thức sau: ak + (β − l)bk ak − (β + l)bk > β − α, < α − β. bn bn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 10 Chọn m = max{k, p}, khi đó, ∀n ≥ m chúng ta có: an l−α< < l + α. bn an an Điều này có nghĩa ∈ V. Suy ra lim = l.
bn n→∞ bn Trong trường hợp l = ±∞ ta có thể chứng minh tương tự khi ta chọn V = (α, +∞) và V = (−∞, α). Dạng phát biểu đảo của định lý Stolz-Cesàro sẽ không an còn đúng, nghĩa là với giả thiết {bn } tăng, không bị chặn và lim =l n→∞ bn thì chưa chắc có khẳng định an+1 − an lim = l. n→∞ bn+1 − bn Để thấy điều này ta lấy an = 3n − (−1)n và bn = 3n + (−1)n , ta có an lim = 1 và n→∞ bn an+1 − an 3 + 2(−1)n =. bn+1 − bn 3 + 2(−1)n+1 Dễ dàng chỉ ra rằng không tồn tại giới hạn an+1 − an lim .