Hàm Green Đa Phức và Bài Toán Dirichlet Đối với Toán Tử Monge-Ampère Phức

• Tác giả: Lã Thị Lệ Hà
• Người hướng dẫn: PGS. Phạm Hiến Bằng
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Giải tích
• Đề tài: Hàm Green Đa Phức và Bài Toán Dirichlet Đối Với Toán Tử Monge-Ampère
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2011
• Địa điểm: Thái Nguyên

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Hàm đa điều hoà dưới
• 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại
• 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức
• 2. CHƯƠNG 2: HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC
• 2.1. Đa tạp siêu lồi và hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được
• 2.2. Hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi
• 2.3. Các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn
• 2.4. Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Hàm Green Đa Phức Toán Tử Monge Ampère 55

Luận văn này tập trung vào nghiên cứu về hàm Green đa phức và ứng dụng của nó trong việc giải bài toán Dirichlet với toán tử Monge-Ampère phức. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức được đặt ra là tìm nghiệm duy nhất thuộc một lớp hàm đa điều hòa dưới thích hợp, thỏa mãn phương trình Monge-Ampère và điều kiện biên trên biên của miền đang xét. Nghiên cứu này kế thừa và phát triển các kết quả của Brememann, Bedford, Taylor, Blocki và Kolodziej, đặc biệt là trong việc xét các độ đo kỳ dị liên kết với hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được. Mục tiêu là trình bày một số kết quả về hàm Green đa phức và áp dụng để giải bài toán Dirichlet.

1.1. Giới thiệu bài toán Dirichlet và Toán tử Monge Ampère

Bài toán Dirichlet là một bài toán cơ bản trong lý thuyết thế vị. Việc giải bài toán này trên các miền phức tạp, đặc biệt với toán tử Monge-Ampère, đòi hỏi những công cụ và kỹ thuật giải tích phức hiện đại. Luận văn này tập trung vào việc sử dụng hàm Green để giải quyết vấn đề này. Bài toán được xét trong bối cảnh miền đa tạp phức.

1.2. Lịch sử và động lực nghiên cứu bài toán Dirichlet

Bài toán Dirichlet đã được nghiên cứu từ lâu bởi nhiều nhà toán học. Brememann (1959) là một trong những người đầu tiên sử dụng phương pháp Perron để giải quyết. Sau đó, Bedford và Taylor (1976) giới thiệu toán tử Monge-Ampère phức và giải bài toán khi độ đo liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue. Nghiên cứu tiếp tục được phát triển bởi U.Blocki (1995) và Kolodziej (1996). Các nghiên cứu hiện đại tập trung vào tính giải được của bài toán Dirichlet với các điều kiện suy rộng và các độ đo kì dị.

II. Thách Thức Ứng Dụng Hàm Green Đa Phức 57

Một trong những thách thức lớn nhất trong việc giải bài toán Dirichlet là xử lý các độ đo kỳ dị. Các phương pháp cổ điển thường không áp dụng được trong trường hợp này. Việc sử dụng hàm Green đa phức mở ra một hướng tiếp cận mới, cho phép giải quyết bài toán ngay cả khi độ đo có tính kỳ dị cao. Luận văn này trình bày việc giải bài toán Dirichlet đối với độ đo kỳ dị liên kết với hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được. Kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết thế vị phức và các ứng dụng liên quan.

2.1. Khó khăn khi giải bài toán với độ đo kỳ dị

Khi độ đo  trong bài toán Dirichlet không liên tục, các phương pháp cổ điển dựa trên giải tích điều hòa thường gặp khó khăn. Hàm Green đa phức cung cấp một công cụ hiệu quả để vượt qua những khó khăn này, cho phép xây dựng nghiệm ngay cả khi  có tính kỳ dị. Điều kiện đủ để giải bài toán được Kolodziej đưa ra.

2.2. Ưu điểm của phương pháp sử dụng hàm Green

Sử dụng hàm Green cho phép chuyển bài toán Dirichlet thành một bài toán tích phân, từ đó có thể áp dụng các kỹ thuật của phân tích hàm để nghiên cứu tính chất của nghiệm. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi xét các độ đo kỳ dị, vì hàm Green có thể được xây dựng một cách rõ ràng trong nhiều trường hợp.

III. Phương Pháp Xây Dựng Hàm Green Đa Phức Hiệu Quả 59

Luận văn trình bày chi tiết phương pháp xây dựng hàm Green đa phức trên các đa tạp siêu lồi. Việc xây dựng hàm Green đòi hỏi phải giải quyết một số bài toán kỹ thuật liên quan đến tính chính quy và tính duy nhất của hàm Green. Các định lý so sánh đóng vai trò quan trọng trong quá trình này. Phương pháp này cho phép xây dựng hàm Green ngay cả trên các miền phức tạp.

3.1. Xây dựng hàm Green trên đa tạp siêu lồi

Đa tạp siêu lồi là một lớp các miền phức đặc biệt, cho phép xây dựng hàm Green một cách tương đối dễ dàng. Phương pháp xây dựng dựa trên việc giải một phương trình vi phân riêng phần với các điều kiện biên thích hợp. Điều kiện biên là yếu tố quan trọng để xác định hàm Green duy nhất.

3.2. Sử dụng định lý so sánh để đánh giá hàm Green

Định lý so sánh là một công cụ quan trọng để đánh giá hàm Green. Các định lý này cho phép so sánh hàm Green với các hàm khác, từ đó suy ra các tính chất quan trọng như tính liên tục và tính chính quy. Các định lý so sánh được chứng minh bằng cách sử dụng các kỹ thuật của giải tích đa tạp.

3.3. Các tính chất của hàm Green và ảnh hưởng đến nghiệm

Tính chất của hàm Green ảnh hưởng trực tiếp đến tính chất của nghiệm của bài toán Dirichlet. Ví dụ, nếu hàm Green liên tục, thì nghiệm cũng sẽ liên tục. Các tính chất khác như tính dương và tính đối xứng cũng đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo sự tồn tại và duy nhất của nghiệm.

IV. Giải Bài Toán Dirichlet với Toán Tử Monge Ampère 58

Sử dụng hàm Green đa phức đã xây dựng, luận văn trình bày phương pháp giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức. Phương pháp này dựa trên việc biểu diễn nghiệm dưới dạng tích phân của hàm Green với độ đo. Việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm đòi hỏi phải sử dụng các kỹ thuật của giải tích hàm và lý thuyết thế vị.

4.1. Biểu diễn nghiệm dưới dạng tích phân hàm Green

Nghiệm của bài toán Dirichlet có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân của hàm Green với độ đo . Công thức biểu diễn này cho phép tính toán nghiệm một cách trực tiếp, nếu hàm Green và độ đo  đã được xác định. Biểu diễn này cũng hữu ích trong việc nghiên cứu tính chất của nghiệm.

4.2. Chứng minh tính tồn tại và duy nhất của nghiệm

Việc chứng minh tính tồn tại và duy nhất của nghiệm là một bước quan trọng trong việc giải bài toán Dirichlet. Các kỹ thuật của giải tích hàm và lý thuyết thế vị được sử dụng để chứng minh các tính chất này. Đặc biệt, bất đẳng thức Harnack đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh tính liên tục của nghiệm.

V. Ứng Dụng Thực Tế Hàm Green Trong Hình Học Phức 60

Kết quả nghiên cứu về hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet có nhiều ứng dụng trong hình học phức và lý thuyết thế vị. Ví dụ, các kết quả này có thể được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của hàm điều hòa đa phức và miền đa tạp phức. Ngoài ra, chúng cũng có thể được áp dụng trong các bài toán liên quan đến phương trình Monge-Ampère.

5.1. Nghiên cứu các tính chất của hàm điều hòa đa phức

Hàm điều hòa đa phức là một lớp hàm quan trọng trong giải tích đa phức. Các kết quả về hàm Green và bài toán Dirichlet có thể được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của các hàm này, chẳng hạn như tính liên tục, tính chính quy, và tính duy nhất.

5.2. Ứng dụng trong các bài toán về phương trình Monge Ampère

Phương trình Monge-Ampère là một phương trình vi phân riêng phần phi tuyến quan trọng trong hình học phức. Các kết quả về hàm Green và bài toán Dirichlet có thể được áp dụng để giải các bài toán liên quan đến phương trình này, chẳng hạn như tìm nghiệm và nghiên cứu tính chất của nghiệm.

VI. Kết Luận Hướng Phát Triển Hàm Green 61

Luận văn đã trình bày một số kết quả quan trọng về hàm Green đa phức và ứng dụng của nó trong việc giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức. Các kết quả này mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực giải tích đa phức và lý thuyết thế vị. Trong tương lai, có thể tiếp tục nghiên cứu các tính chất của hàm Green trên các miền phức tạp hơn và áp dụng các kết quả này vào các bài toán thực tế.

6.1. Tóm tắt các kết quả chính đã đạt được

Luận văn đã xây dựng thành công hàm Green trên các đa tạp siêu lồi và sử dụng nó để giải bài toán Dirichlet với toán tử Monge-Ampère phức. Các kết quả này được chứng minh bằng cách sử dụng các kỹ thuật của giải tích hàm, lý thuyết thế vị, và giải tích đa tạp.

6.2. Các hướng nghiên cứu tiềm năng trong tương lai

Trong tương lai, có thể tiếp tục nghiên cứu các tính chất của hàm Green trên các miền phức tạp hơn, chẳng hạn như các miền không lồi và các đa tạp không compact. Ngoài ra, có thể áp dụng các kết quả này vào các bài toán thực tế, chẳng hạn như các bài toán trong hình học phức và vật lý toán.

Tổng quan nghiên cứu

Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức là một chủ đề nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực giải tích phức và lý thuyết thế vị phức. Với sự phát triển của toán tử Monge-Ampère phức từ những năm 1970, đặc biệt là công trình của Bedford và Taylor, bài toán Dirichlet đã được mở rộng và nghiên cứu sâu hơn trên các miền giả lồi chặt trong không gian phức (\mathbb{C}^n). Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng và phân tích hàm Green đa phức liên kết với hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được trên đa tạp siêu lồi, từ đó giải quyết bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức với độ đo kỳ dị liên quan đến hàm này.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào miền giả lồi chặt trong (\mathbb{C}^n) với biên Lipschitz, trong đó hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được được định nghĩa và khảo sát kỹ lưỡng. Luận văn trình bày các kết quả về tính chất của hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère phức, cũng như các định lý so sánh đối với lớp các hàm không bị chặn. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc mở rộng khả năng giải bài toán Dirichlet cho các độ đo kỳ dị, góp phần phát triển lý thuyết giải tích phức hiện đại và ứng dụng trong các bài toán hình học phức tạp.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết giải tích phức và lý thuyết thế vị phức, trong đó có các khái niệm và mô hình chính sau:

• Hàm đa điều hòa dưới (plurisubharmonic functions): Hàm (u: W \to [-\infty, +\infty)) là đa điều hòa dưới nếu với mọi điểm (a \in W) và vector (b \in \mathbb{C}^n), hàm (l \mapsto u(a + l b)) là hàm điều hòa dưới hoặc bằng (-\infty) trên đoạn thích hợp. Tính chất này là địa phương và được sử dụng để xây dựng các lớp hàm cần thiết.

• Hàm đa điều hòa dưới cực đại: Hàm đa điều hòa dưới (u) được gọi là cực đại nếu không tồn tại hàm đa điều hòa dưới khác (v) sao cho (v \leq u) trên biên và (v > u) trong miền. Đây là khái niệm quan trọng để xác định hàm Green đa phức.

• Toán tử Monge-Ampère phức: Được định nghĩa cho hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương (u) trên miền mở (W \subset \mathbb{C}^n) bởi ((dd^c u)^n), trong đó (d = \partial + \bar{\partial}), (d^c = i(\bar{\partial} - \partial)). Toán tử này tạo ra một độ đo Radon dương, là công cụ trung tâm trong việc giải bài toán Dirichlet.

• Hàm Green đa phức: Được xây dựng như hàm cực đại trong lớp các hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn điều kiện biên và có số Lelong tại các điểm cực đại trùng với hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được (\varphi). Hàm này thỏa mãn phương trình Monge-Ampère phức với độ đo kỳ dị liên quan đến (\varphi).

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu kết hợp giữa giải tích phức hiện đại và lý thuyết thế vị phức, cụ thể:

• Nguồn dữ liệu: Các kết quả lý thuyết được xây dựng dựa trên các định nghĩa, định lý và bổ đề trong giải tích phức, lý thuyết dòng và lý thuyết thế vị phức, cùng các công trình nghiên cứu của Bedford, Taylor, Demailly, Zeriahi và các nhà toán học khác.

• Phương pháp phân tích: Sử dụng phương pháp quy nạp để định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức cho các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn, áp dụng các định lý hội tụ đơn điệu và các định lý so sánh để chứng minh tính liên tục, tính cực đại và tính duy nhất của hàm Green đa phức. Phương pháp Perron cũng được vận dụng để giải bài toán Dirichlet suy rộng.

• Timeline nghiên cứu: Luận văn hoàn thành trong năm 2011, với quá trình nghiên cứu kéo dài qua nhiều năm học tập và tham khảo các công trình quốc tế từ năm 1959 đến những năm 2000, đặc biệt tập trung vào các kết quả mới nhất về hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Xây dựng và phân tích hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi: Hàm Green đa phức (G_D(z; \varphi)) được định nghĩa là hàm cực đại trong lớp các hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn (u \leq 0) và có số Lelong tại các điểm trùng với (\varphi). Hàm này thuộc lớp (P SH(D) \cap L^\infty_{\text{loc}}(D \setminus K)), với (K = S_\varphi) là tập cực của (\varphi). Hàm Green liên tục trên (D \setminus K) và thỏa mãn (\lim_{z \to \partial D} G_D(z; \varphi) = 0).

2. Phương trình Monge-Ampère phức cho hàm Green: Hàm Green đa phức thỏa mãn phương trình [ (dd^c G_D)^n = (2\pi)^n \sum_{a \in A_\varphi} \nu(\varphi; a) \delta_a, ] trong đó (\nu(\varphi; a)) là số Lelong của (\varphi) tại điểm (a), (\delta_a) là độ đo Dirac tại (a). Đây là kết quả quan trọng cho phép giải bài toán Dirichlet với độ đo kỳ dị.

3. Giải bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức với độ đo kỳ dị: Với miền giả lồi chặt (D \subset \mathbb{C}^n), hàm biên liên tục (h) và hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được (\varphi) liên tục trên (D), tồn tại nghiệm duy nhất (U \in P^\circ(D)) thỏa mãn [ (dd^c U)^n = \Theta_n(\varphi), \quad \lim_{z \to \zeta} U(z) = h(\zeta), \quad \zeta \in \partial D, ] với (\Theta_n(\varphi)) là độ đo liên kết với (\varphi). Nghiệm này liên tục trên (D \setminus S_\varphi).

4. Định lý so sánh và tính duy nhất: Luận văn chứng minh nguyên lý cực đại và định lý so sánh cho lớp các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn, mở rộng các kết quả cổ điển của Demailly và Bedford-Taylor. Điều này đảm bảo tính duy nhất của nghiệm bài toán Dirichlet trong lớp hàm phù hợp.

Thảo luận kết quả

Các kết quả trên được xây dựng dựa trên nền tảng lý thuyết giải tích phức hiện đại, kết hợp các kỹ thuật của lý thuyết thế vị phức và lý thuyết dòng dương. Việc xác định hàm Green đa phức với trọng số (\varphi) cho phép xử lý các độ đo kỳ dị, vốn là thách thức lớn trong việc giải bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn mở rộng phạm vi giải bài toán Dirichlet từ các độ đo liên tục tuyệt đối sang các độ đo có tính kỳ dị, đồng thời cung cấp các điều kiện đủ để đảm bảo tính liên tục và tính duy nhất của nghiệm. Các biểu đồ minh họa có thể trình bày sự hội tụ của dãy hàm đa điều hòa dưới đến hàm Green đa phức, cũng như sự phân bố số Lelong tại các điểm cực đại.

Ý nghĩa của các kết quả này không chỉ nằm trong lý thuyết mà còn có thể ứng dụng trong các bài toán hình học phức, ví dụ như xác định thế vị Evans đa phức và các bài toán nội suy hàm chỉnh hình trên đa tạp siêu lồi.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển thuật toán số hóa hàm Green đa phức: Xây dựng các thuật toán tính toán hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi nhằm hỗ trợ các ứng dụng thực tế trong hình học phức và vật lý toán học. Mục tiêu giảm thiểu sai số tính toán và tăng tốc độ hội tụ trong vòng 2 năm, do các nhóm nghiên cứu toán học ứng dụng thực hiện.

2. Mở rộng bài toán Dirichlet cho các lớp hàm đa điều hòa dưới không bị chặn khác: Nghiên cứu các lớp hàm đa điều hòa dưới có điều kiện biên yếu hơn hoặc trên các miền phức tạp hơn, nhằm tăng tính tổng quát của lý thuyết. Thời gian thực hiện dự kiến 3 năm, phối hợp giữa các viện nghiên cứu toán học.

3. Ứng dụng lý thuyết vào hình học phức và lý thuyết trường: Áp dụng kết quả về hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet để nghiên cứu các bài toán hình học phức như xác định metric Kähler-Einstein hoặc các trường lượng tử phức. Khuyến nghị triển khai trong 4 năm, hợp tác đa ngành.

4. Tổ chức hội thảo chuyên đề và đào tạo nâng cao: Tổ chức các khóa học, hội thảo chuyên sâu về toán tử Monge-Ampère phức và hàm Green đa phức nhằm nâng cao nhận thức và kỹ năng cho các nhà nghiên cứu trẻ. Thời gian tổ chức hàng năm, do các trường đại học và viện nghiên cứu chủ trì.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Toán học, đặc biệt chuyên ngành Giải tích phức: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết và phương pháp nghiên cứu sâu sắc, giúp các học viên phát triển đề tài nghiên cứu liên quan đến toán tử Monge-Ampère phức và bài toán Dirichlet.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích phức và hình học phức: Các kết quả về hàm Green đa phức và định lý so sánh mở rộng sẽ hỗ trợ trong việc giảng dạy và nghiên cứu chuyên sâu, đồng thời cung cấp các công cụ mới để giải quyết các bài toán phức tạp.

3. Chuyên gia toán học ứng dụng trong vật lý toán học và kỹ thuật: Những kiến thức về toán tử Monge-Ampère phức và bài toán Dirichlet có thể ứng dụng trong mô hình hóa các hiện tượng vật lý phức tạp, như trường lượng tử phức và các hệ thống động lực phức.

4. Nhà phát triển phần mềm toán học và thuật toán số: Luận văn cung cấp cơ sở lý thuyết để phát triển các thuật toán tính toán hàm Green đa phức và giải bài toán Dirichlet, phục vụ cho các phần mềm toán học chuyên dụng.

Câu hỏi thường gặp

1. Hàm đa điều hòa dưới là gì và tại sao nó quan trọng trong bài toán Dirichlet?
   Hàm đa điều hòa dưới là hàm nửa liên tục thỏa mãn tính chất điều hòa dưới trên mọi đường phức. Nó là lớp hàm tự nhiên để định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức và xây dựng hàm Green đa phức, từ đó giải bài toán Dirichlet với độ đo kỳ dị.

2. Toán tử Monge-Ampère phức được định nghĩa như thế nào cho các hàm không bị chặn?
   Toán tử được định nghĩa quy nạp qua các dòng dương đóng, sử dụng các dãy hàm đa điều hòa dưới bị chặn hội tụ yếu đến hàm cần xét. Điều này mở rộng định nghĩa toán tử cho lớp hàm đa điều hòa dưới không bị chặn.

3. Hàm Green đa phức có vai trò gì trong việc giải bài toán Dirichlet?
   Hàm Green đa phức là nghiệm cực đại của bài toán Dirichlet suy rộng, thỏa mãn phương trình Monge-Ampère phức với độ đo kỳ dị. Nó cung cấp công cụ xây dựng nghiệm duy nhất cho bài toán Dirichlet với các điều kiện biên và độ đo phức tạp.

4. Làm thế nào để đảm bảo tính liên tục của nghiệm bài toán Dirichlet?
   Tính liên tục được đảm bảo khi hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được (\varphi) liên tục trên miền và hàm Green đa phức liên tục trên miền trừ tập cực (S_\varphi). Các định lý so sánh và hội tụ đơn điệu được sử dụng để chứng minh tính chất này.

5. Nghiên cứu này có thể ứng dụng vào lĩnh vực nào ngoài toán học thuần túy?
   Ngoài toán học thuần túy, kết quả có thể ứng dụng trong hình học phức, vật lý toán học (như lý thuyết trường lượng tử phức), kỹ thuật mô phỏng và phát triển phần mềm toán học chuyên dụng.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa các tính chất của hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại và toán tử Monge-Ampère phức trên miền giả lồi chặt.
• Xây dựng và phân tích chi tiết hàm Green đa phức trên đa tạp siêu lồi, chứng minh tính liên tục và tính duy nhất của hàm này.
• Giải quyết bài toán Dirichlet cho toán tử Monge-Ampère phức với độ đo kỳ dị liên kết với hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được, mở rộng phạm vi ứng dụng của lý thuyết.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo về thuật toán số hóa, mở rộng lớp hàm và ứng dụng trong hình học phức và vật lý toán học.
• Kêu gọi các nhà nghiên cứu và học viên quan tâm khai thác sâu hơn các kết quả để phát triển lý thuyết và ứng dụng trong các lĩnh vực liên quan.

Để tiếp tục nghiên cứu, có thể tập trung vào phát triển thuật toán tính toán hàm Green đa phức và mở rộng bài toán Dirichlet cho các miền phức tạp hơn. Hành động tiếp theo là tổ chức các hội thảo chuyên đề và hợp tác đa ngành nhằm ứng dụng lý thuyết vào các bài toán thực tiễn.