mở đầu 246 1. Định nghĩa phương trình vị phân 247 1. Bài toán Canchy. Nghiệm riêng, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một 249.
Điểm và nghiệm tất thường 251 §2. Một số đạng đặc biệt của phương trình vi phân cấp một y’ = f(x, y) 252 2. Phương trình biến số phân ly 252 2. Phương trình đẳng cấp 255 2.
Phương trình tuyến tính 258 2. Phuong trinh Bernoulli 264 2. Phương trình vị phân toàn phần. Thita s6 tich phan 266 2.
Phuong trinh Lagrange v4 Clairaut 272 §3. Bài toán quỹ đạo géc a - quy dao truc giao 276. Phương trình vỉ phân của một họ đường cong 276 .- Bài toán quỹ đạo góc 277 §4, Giải gần đúng phương trình vỉ phản cấp một 281 §5. Phương trình vi phân cấp cao 284 5.
Khái niệm cơ bản 284 5. Phương trình cấp cao có thể hạ thấp cấp 285 a) Phuong trinh dang y0 = f(x) 285 b) Phuong trinh dang y’ = {(x, y’) 287 c) Phương trình đạng y” = f(y, y`} 289 §6. Phương trình tuyến tính cấp cao 293 6. Phương trình vị phân tuyến tính cấp hai 295 6.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 305 §7. Phương trình tuyến tính cấp cao với hê số hằng số 313 7. Phương trình cấp hai 313 7. Phương trình cấp n 327 7.
Phương trình đưa được về phương trình với hệ số hằng số - Phương trình Euler 330 §8. Hệ phương trình vi phân 332 8. Dinh nghia - Bai todn Cauchy 332 8. Giải hệ phương trình ví phân 335 8.
Hệ phương trình ví phân tuyên tính cấp một 340 §9. Toán tử Laplace 356 9.2, Bảng gốc và ảnh 357 9. Áp dụng giải phương trình vi phân 360 Bài tập 366 Trả lời bài tập 378 Chương 13. LÝ THUYẾT VỀ CHUÔI A - CHUỖI SỐ §1.
Khái niệm cơ bản 389 1. Điều kiện hội tụ (điều kiện cần, điều kiện Cauchy) 391 1. Tính chất của chuỗi hội tụ 393 §2. Định nghĩa và điều kiện hội tụ 395 2.
Tiêu chuẩn so sánh 396 2. Tiêu chuẩn D'Alambert 398 2. Tiêu chuẩn Cauchy 400 2. Tiêu chuẩn Raabe 401 2.
Tiêu chuẩn tích phân Cauchy 403 §3. Chuỗi có dấu bắt kỳ 405 3. Điều kiện hội tụ 12 B - CHUOI HAM §1. Chuỗi hàm tổng quát 412 1.
Sự hội tụ đều 413 1. Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều 419 1. Miền hội tụ 427 2. Miền hội tụ đều 432 2.
Chuỗi Taylor và Maclanrin 436 3. Điều kiện f(x) khai triển được theo chuồi Taylor 438 3. Các khai triển theo chuỗi Maclaurin của vài hàm sơ cấp 439 §4. Áp dụng cua chudi 447 4.
Tính giá trị của hầm số 448 4. tính tích phân 452 4. Giải phương trình vị phân 453 C - CHUÔI VÀ TÍCII PHÂN FOURIER §1. Chuỗi lượng giác 458 §2.
Các hệ số và chuỗi Fourier 461 2. Điều kiện để f(x) khai triển được theo chuỗi Fourier 465 2. Khai triển hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 27 theo chuỗi Fourier 468 2. Khai triển hàm f(x) trên đoạn [Ơ.
/J theo chuỗi Fourier 471 §3. Chứng rnỉnh định lý Dirichlet 473 3.2 Chứng minh định lý Dirichlet 475 3.3, Dinh ly Dirichlet 2 477 3.4, Tính khả ví và khả tích của chuỗi Fourier 478 §4. Chuỗi Fourier dưới dạng phức 479 §§. Chuỗi Fourier tong quát 481 5.
Chuỗi Fourier trong không gian định chuẩn 484 5. Sự hội tụ theo norme của chuỗi Fourier theo các day hàm đặc biệt trong L¡¿ [a, bị A488 §6. Tich phan Fourier 491 6. Ham kha tich tuyệt đối 491 6.
Tich phan Fourier 492 6. Tich phan Fourier của các hàm chin và lẻ 494 6. Tích phân Fourier dưới dạng phức. Biến đổi Fourier 496 §7.
Ap dung chuỗi Fourier vào vật lý 498 7. Bài toán đao động của dây 498 7. Bài toán truyền nhiệt trong thanh 508 7. Phương trình Laplace 515 7.
Ap dung cha bién 46i Fourier 519 Bai tap 521 Trả lời bài tap 535 Phụ chương. CÁC CÔNG THỨC THÔNG DỤNG I. Công thức lượng giác 549 H. Bảng tích phân bất định 549 II.
Bảng tích phân xác định 554 IV. Đường và mặt 364 VII. Ham Gamma 566 Tai liéu tham khao 576 14 Chương § ÁP DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀO HÌNH HỌC Trong hình học giải tích ta đã nghiên cứu các đường cong trong một hệ tọa độ nào đó. Ta thấy các đường cong có những tính chất hoàn toàn phụ thuộc vào hệ tọa độ đã chọn, chẳng hạn: độ đốc của tiếp tuyến, bề lồi, lõm.
Tuy nhiên các đường cong còn có các tính chất chỉ phụ thuộc vào chính đường cong, gọi là các tính chất nội tại của chúng. Trong bài này sẽ nghiên cứu một số tính chất đó, vì phương tiện nghiên cứu là phép tính vi phân, nên môn học này gọi là hình học vị phân. A- DUONG CONG PHANG §1. KHAO SAT SƠ BỘ 1.1, Phương trình của đường cong Ta biết nếu cho đường cong C trong mật phẳng thì phương trình của C hoặc có dạng y=ƒU) bay F(x,y)=0,a<x<b gọt là phương trinh Descartes cla C hoặc có dạng: py (a<1<f) = (1) gọi lA phuong trinh tham s6 cha C hodc cé dangr=f(o)(asg<B) goi la phuong trinh déc cuc cla C.
Cho đường cong C cé phương trình tham số Làn (a<1<B) y= y(t) Xét cung AM citaC, A ung véi tham sé fo, M ting voi tham sé 1. Rõ ràng độ đài s của cung ẤM phụ thuộc vào tham số /: « = sỚ). Ngược lại ¢ sé phụ thuộc s : f = f(s) ( / Đo đó: x=x()= x[1()| hay Ừ = xfs) y= 7) = s{r(s)| y= +s) Đó cũng là phương trình tham số của đường cong, nhưng tham số là š. thay chủ tham số bất kỳ / ta có thể dùng tham số đặc biệt s là độ dài cùng ẤM của đường cong, với 4 cố định, còn &ƒ là điểm chay trên đường cong.
Người ta gọi š là hoành độ cong và phương trình tham số x là phương trình tự hàm của đường cong. Thí dụ: Ta biết phương trình tham số của đường tròn tâm O ban kính 8 là: x= R.cost - 0</<27 v= Rsmt Với f là góc giữa trục Óx và bán kính ØÄ⁄ (M (\,y)) mat khác ta biết độ đài _—— Ss cung 4Ä = + Ứng với góc ở tâm t1 là w = Ñ suy ra —. Thay lại phương trình tham số trên ta có phương trình tự hàm của đường tròn, đó là: x= Reos~ 0<sx<2z 8 ›= RSIn— 7 R 1. Tiếp tuyến và pháp tuyến: Ta biết nếu đường cong cho theo phương trình y = f(x) thì phương trình của tiếp tuyến và của pháp tuyến với đường cong tại điểm (tạ.
yạ) là: “- 0Ô #œ) Nêu đường cong cho theo phương trình tham số v = x(f), y = vớ) thì vì ys *+ nên phương trình của tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong tại x, (ty, Vg) ứng với rạ sẽ là: nYg= xu) (a --Ya) VÀ y - tạ = -x§u) (Y= XQ) x'(fy ¥(2,) hay" Vo¥y 8M NTS NOM vụ ˆ XS Ộ Xo _ Mo Voi vy = 4 (ig), Vo = VU) 3!. - xà a Vitew= v= J¿ nén cde cosin chi hudng của tiếp tuyên tại một điểm bất Xx, al k¥ tu.y) cua dudng cong v = for) sé 1a \ 1 tư a COS @ = —p * =a i yl+ig’a Jit+(y", } vl+tea + mì và của đường cong, cho theo phương trình tham số: (y= ( ) , j\' xự sẻ là : x v SEM cosa = - St : Sin@ = —=4-—= y= ot) vxi+y) yy 3. Vi phân cung: Xét đường cong C có phương trình y y = fQ), giả sử hầm y = fir) kha vi trong lân cận của điểm +. Nêu C cho theo phường trình tham số x=aW) yen) thì dễ dàng suy ra ay = VAT +1 Nếu € cho theo phương trình độc cực r=/ 0) thì cũng dé dang có: dš = vờ ch dộ §2.
Đinh nghĩa: Xét một cũng đường cong (nh B8) siá sử lại mỗi điểm của nó chỉ có môi tiếp tuyến, Tụ thấy Khi một điểm ă chuyến rời trên đường cong thì tiếp tuyến tú 1 với dường cong, xế quay một góc lớn hay nhỏ tùy theo "mức cong” của đường cong, Đặc biệt đối với đường thắng tì góc quay đó luôn luôn băng không vì tiến tuyên với đường tháng trùng với chính đường tháng. Như vậy góc quay của tiếp tuyến đặc trưng cho “mức cong” của đường côna, - ~ Bay giờ xét cung A/M' của đường cong. giá sử độ đài cla MM’ là Ax và góc lệch ' —_ x ~ £ , + của tiếp tuyến tại A⁄/, A# là Aœ (tính theo đơn vị dài). Xét tì SỐ JAG" sg nay dae trung | As | Aœ cho “mức cong” của đường cong trên một đơn vị đài của M cung đường cong.
Người ta gọi tí số đó là độ cong trung bình của xả đường cong trên cùng MA. Kí hiệu: K,,, =| Hình 88 Tí dụ: Đối với đường tin bán Kinh # thi Ay = RỊA œ|do đó độ cong trung, bình của nó: = AM 1 MT IRAG {7 R Nghĩa là dộ cong trung bình của đường tròn luôn luôn không đổi và bằng nehich dao của bán kính. Đối với một đường cong bất thì nói chúng độ cong trưng bình sẽ thay đối trên các doạn cung khác nhau, Ta thấy nếu Áš càng nhỏ thì độ cong trung bình càng đặc trưng được gần "mức cong” của đường cong tại một điểm. Một cách lý tưởnh người (aì xem gist han: lim K,, = lim.| (Ax > 0: M' > M) sàn ws] Ag | là đặc trưng cho "mute cone” cua dudGng cong tai dicin M, và gọi giới hạn đó là đồ cong của đường công tại điểm Ä, Kíhiêu: — = Im|l2 wood Ag Theo định nghĩa đạo hàm thì K = da (1) as nghia li: HO cong tai điểm M cha đường cong bằng trị số tuyệt đối của đạo ham sóc lệch cúa tiếp tuyến và truc Ởa tại Aƒ đối với hoành độ cong ».
Thí dụ: Đối với đường tròn bán kính # thì:. l K= lim K,, = lim-L =— Av aD A-d RR nghĩa là đố cong của đường tròn tại mọi điểm cũng luôn luôn không đổi và cũng bằng nahich đáo của bán kính (như độ cong trung bình của nó), Chú ý tầng khái niệm độ cong trung bình và độ cong tại một điểm mà ta vừa đưa ra hoàn toàn tương tự như khái niệm tốc độ trung bình và tốc độ tức thời trong cơ học.3, Công thức tính độ cong: 1°. Đường cong cho theo phương trình y = f(x) Công thức (1) có thế viết K = da | (1') ade ds Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm tp d = y Suy ra Œ = Afctlny và da = +_ dx \+y” 19 Theo công thức ví phân cung: ds = [1+ y" de Thay: da ` dx vừa tìm được vào (1') ta có: a ods x= _ " (a) ~ 2.