Chương I: GIới hạn và liên tục Giảng viên Ts. Đặng Văn Vĩnh (2/2008) dangvvinh(ohcmut.vn Mục tiêu của môn học Toán 3 Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản của giải tích hàm nhiều biến. Sinh viên sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến thức nên tảng: hàm nhiêu biến, giới hạn kép và liên tục, đạo hàm riêng và vi phân, đạo hàm theo hướng, khai triển Taylor, Maclaurint của hàm nhiều biến, ứng dụng của đạo hàm riêng: phương trình mặt phẳng tiếp diện, pháp véctơ, ung dung tim cuc tri; cach tính tích phân bội: bội 2, bội 3; tích phân đường: loại l, loại 2; tích phân mặt: loại l, loại 2 và các ứng dụng hình học, cơ học của các loại tích phân này; tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; trường véctơ. CHới hạn và liên tục Đạo hàm theo hướng Ứng dụng của đạo hàm riêng Tích phân kép Tích phân bội ba Tích phân đường loại Ï và loại 2 Tích phân mặt loại l và loại 2 Trường véctơ Tích phân phụ thuộc tham số Nhiệm vụ của sỉnh viên.
Làm tât cả các bài tập cho vê nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp. Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%) Thi cuối kỳ: hình thức tự luận + điển kết quả (80%) Tài liệu tham khảo I.
Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Giải tích nhiều biến. NXB Đại học quôc gia 2. Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hăng.
Bài tập toán cao cấp 3. Giải tích nhiều biến. NXB Đại học quốc gia 4. Calculus, second edition, 2000.vn Nội dung 0.1 - Hàm hai biến 0.2 — Các khái niệm tôpô trong R" 0.3 — Các mặt bậc hai 0.
Ham hai bién Ví dụ Nhiệt độ T tại một điểm trên bê mặt trái đất tại một thời điểm t cho trước phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y cua diém này. Chúng ta có thé coi T la mot ham theo hai biên x và y, ký hiệu T = T(x,y) Ví dụ Thể tích V của một bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r và chiều cao h. Thực tế ta biết V = zr7h. Khi do V là một hàm hai bién theor vah: V(r,h)= rh.
Ham hai bién Dinh nghia ham hai bién Cho p c R?. Hàm hai biến là một ánh xạ f:D—-R (x,y)a f(x,y) Ký hiệu: ƒ =ƒ (x. D được gọi là miền xác định của ƒ. Miễn giá trị của ƒ' ={ae R|3(x,y)e D:a= ƒ(,y)} Nêu f cho bởi biêu thức đại sô: Miễn xác định là tập hop tat cả các gia tri cua x va y, sao cho biéu thức có nghĩa.
Mién gia tri la tap hop tất cả các số thực mà hàm có thê nhận được. Ham hai bién , Jxtytl Vidu. Hamhaibién ƒ@œ,y)=X“~“— x-y Mién xac dinh: D ={(x,y)eE R”lx +y +1>U,x #y} — f 3,2)=~""“""= V6 Vidu. Ham hai bién hepa +y? Mién xac dinh: D =R° Miễn giá trị: E, =R, =[0,+) ƒŒx+y,x—y)=Œ@+y)+@-y)°=2œ@'“+y”) f (x,x)=x7 +x? =2 x? I.
Ham hai bién c x Vidu. Ham hai bién ƒ(x,y)=——— y+] Miền xác định: D ={(x,y )eR* ly #-l} Miền giá trị E, =R. Ham hai bién f (x,y )=—— y +l Miễn xac dinh: D ={@&,y)eR“ly #-l} Mién gid tri: E, =R \{0} -l „ x2+y2 _x Ví dụ. Hàm haibiến f (x,y)=4e" ” ,néu (x,y) #(0,0) 0, nếu (x,y )=(0,0) Miền xác định: D =Rˆ Miễn gia tri: E, =[0,1) II.
Tôpô trong R2 Hình tròn mở tâm M g(xg. yạ), bán kính” >0 B(Mẹg.y)e R“ld(M ,Mạ)<r} ={(x,y )e R21 (x —x9) #0 — yp) <r} Hình tròn mở này cũng gọi là một 7-lan can cua M, va moi tap con cua R? chtra một r-lân cận nao do cua M, goi la mot lan can cua M,. „ a, atk XS A2 XA 2 , gk? `. Xét một điểm Mac “ và một tập.
Có thê xảy ra ba trường hợp loại trừ nhau sau đây: Có một lân cận của M, nằm trọn trong A, nghĩa là chỉ chứa những điểm của A. Khi đó Mụ được gọi là điểm trong của tập A. Có một lân cận của Mạ năm trọn ngoài A, nghĩa là hoàn toàn không chứa điêm nào của A. Khi đó M, là một điêm trong của phân bủ cua A.
Bât kỳ lân cận nào của Mạ cũng có cả những điêm của A và những điêm không thuộc A. Khi đó M, là một điêm biên cua A. Tôpô trong R2 Chú ý. 1) Điểm trong của A là một điểm thuộc A.
2) Điểm biên của A có thê thuộc hoặc không thuộc A. Một tập hợp được gọi là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong của nó. Một tập hợp được gọi là đóng nếu mọi điểm không thuộc nó đều là điểm trong của phân bù của nó. Một tập hợp là đóng nếu phân bù của nó là mở.
Một tập hợp là mở nêu nó không chứa điêm biên nào của nó. Tôpô trong R2 Một tập hợp là đóng nêu nó chứa tât cả các diém bién của nó. Điêm M, được gọi là điêm tụ của A, nêu mọi lân cận của M, đêu chứa vô sô điêm của A. Điêm Mạ là điêm tụ của tập A, nêu mọi lân cận của nó có chứa ít nhât một điêm của A khác với Mụ.
1) Điểm tụ có thể thuộc A, có thể không thuộc A. 2) Có những tập hợp không là tập đóng, cũng không là tập mo. Tôpô trong R2 Vi du. Xét tap hop cac diém trong mat phang.
Cho tap hop A A =|(x,. Tat ca cde diém trong cia A: {(x,y)eR> x7 +y7<]] 2. Tắt cả các điểm biên của A: |(x,y]}e ”x?+yŸ” = l} 3. Tất cả các điểm tụ của A: — |Íx.
Tập A là tập mở. Tôpô trong R2 Vi du. Xét tap hop cac diém trong mat phang. Cho A 1a tap hop cac diém nam trong hình tròn đơn vị mà tọa độ các điêm là các sô hữu tỉ.
Tìm tất cả các điểm trong của A. Tìm tất cả các điểm biên của A. Tìm tất cả các điểm tụ của A. Tập A đóng hay mở.
Đáp số: 1) Không có điểm trong 2) Tập điểm biên và điểm tụ bằng nhau Tập điểm biên 9A =Í(x,y)€ R”lx” +y <T} 4) A không đóng, không mở. Tôpô trong R2 Vi du. Xét tap hop cac diém trong mat phang. Cho tap hop A A Xã n n+1 J] 1.
Tìm tất cả các điểm trong của A. Tìm tất cả các điểm biên của A. Tìm tất cả các điểm tụ của A. Tập A đóng hay mở.
Đáp số: 1) Không có điểm trong 2) Có một điểm biên là (1,2). 3) Có một điểm tụ là (1,2). 4) A không đóng, không mở. Các mặt bậc hai Phương trình tong quát cua mat bac hai trong hé toa dé Descartes Oxyz la Ax? + By “+Œzˆ +2Dxy +2Exz +2Fyz +Gx +Hy + Kz +L =0 Tu chuong trinh toan A2, dé vé mat bac hai: 1) Đưa dạng toàn phương (màu đỏ) về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao 2) Tìm phép biến đổi, xác định trục tọa độ mới.
Các mặt bậc hai r, 4h ap: Vợ ` k 2 2 Xét do thi cua ham so: Z =X + y Tập hợp tất cả các điểm (x,y) của miền xác định D, sao cho f(x,y) = & được gọi là đường mức, trong đó k là hằng số cho trước. Các mặt bậc hai 2 2 : ¬— , _X“y Mat paraboloid elliptic Z =—=+“— a b LII. Các mặt bậc hai 2 Mặt paraboloid elliptic Z= + ——_ xe ys a b* Elliptic Paraboloid — III. Các mặt bậc hai Mặt paraboloid elliptic z =(x —1)? +(y —3)° +4 III.
Các mặt bậc hai Mat paraboloid elliptic y =* “+zˆ Gi i J „” | —_— | ¥ x | LII. Các mặt bậc hai Mặt ellipsoid Ellipsoid LII. Các mặt bậc hai 22 _— b7 Mặt Paraboloid hyperbolic Z= S| a Hyperbolic Paraboloid III. Cac mat bac hai Mat Paraboloid hyperbolic III.
Các mặt bậc hai LII. Các mặt bậc hai 2 2 2 x Mat Hyperboloid 1 tang at > x abe _e? hạ =] Hyperboloid of One Sheet ra rh ot Nền và Và ae gp 1" aise xe ty LII. Các mặt bậc hai 2 2 2 Mặt Hyperboloid hai tầng = + > — `“ =-] ab” c Hyperboloid of Two Sheets — 1 i III. Các mặt bậc hai r, akg: 2 ` k 2 2 Xét do thi cla ham sé: x + y~ =1 Ta thấy với mọi &, đường mức luôn là đường tròn bán kính bằng I.
Các mặt bậc hai Mặt trụ: trong phương trình thiếu hoặc x, hoặc y, hoặc zZ. Cac mat bac hai Mat tru: x?+z7=4 III. Cac mat bac hai III. Các mặt bậc hai III.
Các mặt bậc hai Mat tru z =2—x? III. Các mặt bậc hai Mat tru z =2—x? LII. Các mặt bậc hai Mặt nón hai phía Cone III. Các mặt bậc hai Mặt nón hai phía LV.
Giới han Định nghĩa giới hạn kép Cho hàm hai biến ƒ =ƒ (x,y),M s(xg.yg)€ R? sao cho M ọ là điểm tụ của D, Ta nói giới hạn của ƒ khi (x,y) dần đến điểm M, bằng z, nếu giá trị của ƒ(x,y) tiễn gần đến # tùy thích bằng cách lấy những diém (x,y) gan điểm M,, nhưng không trùng với M,. lim ƒ(x,y)=a Ký hiệu khác của giới hạn kép: [ x J » } —*g 1 VY. (zlơi hạn Tính chất của giới hạn 3. lim I Six y)xe(xyJ= lm fx lim (x,y)—(a,b (x,y)—Xa,b) — (x,y)—>(a,b) im ƒ(x,y) lim LOY) _ Gy) (ab) nếu lim g#0 (x,y)(a,b) (Xx, y) lim g(x,y) (x.y) < ñ(x, y) và lim f= lim A=M,th lim g=Mứ.
(zlơi hạn Ví dụ Tìm giới hạn nếu tôn tại hoặc chứng minh không ton tại.0) x) 0s f(xy) [= x+ ysin ` - S|x|+|y ww 1 => lim x+ ysin— ì- 0. (zlơi hạn Ví dụ Tìm giới hạn nêu tôn tại, hoặc chứng tỏ giới hạn không tôn tại. xy I= lim 2 (x,y)—>(0,0) x“ + yŸ x2 0 ƒ(zx,y)|E <3] y|, vi 5 Si. (zlơi hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tôn tại.
] Chon dãy thứ hai (x,,, y,) -(0 1 | note 0, 0) 1). 3 Khi đó /@,,)= /[0 vi? Vậy tồn tại hai dãy dân đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đó tiến đến hai sô khác nhau, suy ra không tôn tại giới hạn đã cho. tzI01 hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tôn tại.y) là một đại lượng phụ thuộc vào &, mà & thay đối nên không tôn tại giới hạn. Chọn y = Äx, tức là tiến đến (0,0) bằng những đường thăng.
Phương pháp này không thê dùng để tìm giới hạn của dãy. tzI01 hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tôn tại. 3 I= lim ar (x,y)—>(0,0) x“ + y Chon dãy (x„, y„) -(; 0) “>> x0, 0) 3 Khiđó f(%,. Chọn dãy thứ hai (x„, ”„) = lạ joe 0) nn 1 1) 1 Khi do ƒ(X„.