Giải tích hàm nhiều biến: Giới hạn, Đạo hàm và Tích phân

Tài liệu nghiên cứu Giải tích hàm nhiều biến, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên sâu về ., phục vụ nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn

• Tác giả: Đỗ Công Khanh
• Người hướng dẫn: Ts. Đặng Văn Vinh
• Trường học: Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán Ứng dụng
• Đề tài: Giải tích hàm nhiều biến
• Loại tài liệu: Giáo trình
• Năm xuất bản: 2008
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• 1. CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
• 1.1. Hàm hai biến
• 1.2. Tôpô trong R2
• 1.3. Các mặt bậc hai
• 1.4. Giới hạn
• 1.5. Liên tục

Tóm tắt

I. Tổng quan về Giải tích hàm nhiều biến Kiến thức cơ bản

Giải tích hàm nhiều biến là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, nghiên cứu các hàm phụ thuộc vào nhiều biến số. Môn học này cung cấp nền tảng cho việc hiểu và áp dụng các khái niệm như hàm nhiều biến, giới hạn kép, và đạo hàm riêng. Sinh viên sẽ được trang bị kiến thức cần thiết để giải quyết các bài toán phức tạp trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

1.1. Khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến

Hàm nhiều biến là một ánh xạ từ miền xác định D trong không gian R² đến R. Ví dụ, hàm nhiệt độ T phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y có thể được biểu diễn dưới dạng T(x, y).

1.2. Các khái niệm tôpô trong R²

Tôpô trong R² giúp xác định các điểm trong, điểm biên và điểm tụ của tập hợp. Những khái niệm này rất quan trọng trong việc phân tích tính liên tục và giới hạn của hàm số.

II. Vấn đề và thách thức trong Giải tích hàm nhiều biến

Một trong những thách thức lớn trong giải tích hàm là việc xác định tính liên tục và giới hạn của hàm tại các điểm khác nhau. Việc này đòi hỏi sinh viên phải nắm vững các khái niệm như giới hạn kép và đạo hàm theo hướng. Những vấn đề này thường xuất hiện trong các bài toán thực tiễn và nghiên cứu khoa học.

2.1. Tính liên tục và giới hạn của hàm

Hàm được gọi là liên tục tại một điểm nếu giới hạn của hàm tại điểm đó bằng giá trị của hàm. Điều này có thể được kiểm tra thông qua các định nghĩa và tính chất của giới hạn.

2.2. Đạo hàm riêng và ứng dụng

Đạo hàm riêng cho phép xác định tốc độ thay đổi của hàm theo từng biến. Ứng dụng của đạo hàm riêng rất phong phú, từ việc tìm cực trị đến việc mô hình hóa các hiện tượng trong thực tế.

III. Phương pháp giải quyết vấn đề trong Giải tích hàm nhiều biến

Để giải quyết các bài toán trong giải tích hàm nhiều biến, có nhiều phương pháp khác nhau được áp dụng. Các phương pháp này bao gồm tích phân bội, tích phân đường, và tích phân mặt. Mỗi phương pháp có những ứng dụng riêng trong các lĩnh vực khác nhau.

3.1. Tích phân bội và ứng dụng

Tích phân bội là công cụ quan trọng để tính diện tích và thể tích trong không gian nhiều chiều. Việc tính tích phân bội 2 và bội 3 giúp giải quyết nhiều bài toán thực tiễn.

3.2. Tích phân đường và tích phân mặt

Tích phân đường loại 1 và loại 2, cũng như tích phân mặt, được sử dụng để tính toán các đại lượng vật lý như công và lưu lượng. Những khái niệm này rất quan trọng trong cơ học và vật lý.

IV. Ứng dụng thực tiễn của Giải tích hàm nhiều biến

Giải tích hàm nhiều biến có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, kinh tế, và kỹ thuật. Các khái niệm như trường véctơ và tích phân phụ thuộc tham số giúp mô hình hóa các hiện tượng phức tạp trong thực tế.

4.1. Ứng dụng trong vật lý

Trong vật lý, giải tích hàm nhiều biến được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng như dòng chảy và lực tác động. Các phương trình liên quan đến trường véctơ là rất quan trọng trong lĩnh vực này.

4.2. Ứng dụng trong kinh tế

Trong kinh tế, các hàm nhiều biến giúp phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến sản xuất và tiêu dùng. Việc áp dụng các phương pháp tích phân giúp tối ưu hóa lợi nhuận.

V. Kết luận và tương lai của Giải tích hàm nhiều biến

Giải tích hàm nhiều biến là một lĩnh vực không ngừng phát triển, với nhiều ứng dụng mới trong khoa học và công nghệ. Việc nắm vững các kiến thức cơ bản sẽ giúp sinh viên có nền tảng vững chắc để tiếp cận các vấn đề phức tạp hơn trong tương lai.

5.1. Tương lai của nghiên cứu trong Giải tích hàm

Nghiên cứu trong giải tích hàm nhiều biến sẽ tiếp tục mở rộng, đặc biệt trong các lĩnh vực như trí tuệ nhân tạo và mô hình hóa dữ liệu lớn.

5.2. Tầm quan trọng của Giải tích hàm trong giáo dục

Giải tích hàm nhiều biến là một phần quan trọng trong chương trình giáo dục toán học. Việc giảng dạy và học tập hiệu quả sẽ giúp sinh viên phát triển tư duy phản biện và khả năng giải quyết vấn đề.

Nội dung chính

TỔNG QUAN HỌC THUẬT: GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN (TOÁN 3)

Tổng quan về giáo trình (250-300 từ)

Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến (học phần Toán 3) do Bộ môn Toán Ứng dụng thuộc Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh biên soạn, với nội dung bài giảng được xây dựng bởi TS. Đặng Văn Vĩnh (thời điểm ban hành tháng 2/2008). Trong chương trình đào tạo khối ngành kỹ thuật và khoa học tự nhiên, học phần Toán 3 giữ vị trí then chốt, nối tiếp học phần giải tích hàm một biến và đại số tuyến tính (Toán A2) nhằm mở rộng công cụ toán học sang không gian nhiều chiều $\mathbb{R}^n$.

Mục tiêu đào tạo của giáo trình là trang bị cho người học hệ thống lý thuyết giải tích nhiều biến có cấu trúc chặt chẽ. Sau khi hoàn thành học trình, sinh viên nắm vững các khối kiến thức: khái niệm hàm nhiều biến, giới hạn kép và tính liên tục, phép tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, đạo hàm theo hướng, khai triển Taylor và Maclaurin. Đồng thời, giáo trình trang bị kỹ năng ứng dụng đạo hàm riêng (thiết lập phương trình mặt phẳng tiếp diện, pháp véctơ, giải bài toán cực trị), phương pháp tính tích phân kép (bội 2), tích phân bội ba, tích phân đường (loại 1, loại 2), tích phân mặt (loại 1, loại 2), các ứng dụng hình học – cơ học của tích phân, tích phân suy rộng phụ thuộc tham số và giải tích trường véctơ.

Cấu trúc giáo trình đi từ không gian metric $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^n$, hình học giải tích các mặt bậc hai, đường mức, trước khi thiết lập phép tính vi tích phân đa biến. Điểm đặc thù của tài liệu là sự gắn kết chặt chẽ giữa định nghĩa giải tích giải tích trừu tượng với các mô hình vật lý và kỹ thuật cụ thể như mô hình phân bố nhiệt độ $T(x,y)$ trên bề mặt địa cầu hay hàm thể tích khối trụ $V(r,h) = \pi r^2 h$.

Nội dung kiến thức cốt lõi (500-600 từ)

Các chương/chủ đề chính

Toàn bộ học phần bao quát 9 chủ đề kiến thức giải tích mở rộng:

1. Giới hạn và liên tục: Khảo sát hàm hai biến $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, miền xác định $D$, miền giá trị $E_f$. Phân tích các dạng hàm hữu tỉ và vô tỉ như $f(x,y) = \frac{\sqrt{x+y+1}}{x-y}$, $f(x,y) = x^2+y^2$, $f(x,y) = \frac{x}{y+1}$, và hàm phân nhánh $f(x,y) = 4 e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}$ khi $(x,y) \neq (0,0)$. Thiết lập cơ sở tôpô trên mặt phẳng $\mathbb{R}^2$: hình tròn mở $B(M_0, r) = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 < r^2}$, khái niệm lân cận, điểm trong, điểm biên, điểm tụ, tập đóng, tập mở. Khảo sát phương trình tổng quát mặt bậc hai $Ax^2+By^2+Cz^2+2Dxy+2Exz+2Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0$ và phân loại dạng chính tắc: paraboloid elliptic ($z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$), mặt ellipsoid, paraboloid hyperbolic ($z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}$), hyperboloid 1 tầng ($\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$), hyperboloid 2 tầng ($\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$), mặt trụ ($x^2+z^2=4$, $z=2-x^2$), mặt nón hai phía cùng khái niệm đường mức $f(x,y)=k$. Thiết lập định nghĩa giới hạn kép $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = a$, các tính chất đại số, nguyên lý kẹp, phương pháp chứng minh không tồn tại giới hạn qua chọn dãy điểm hoặc hướng $y=kx$, và tính liên tục của hàm sơ cấp.
2. Đạo hàm theo hướng: Tính toán tốc độ biến thiên của hàm số theo một véctơ đơn vị tùy ý.
3. Ứng dụng của đạo hàm riêng: Khai triển Taylor, Maclaurin; xác định phương trình tiếp diện, pháp véctơ và tìm cực trị tự do/có điều kiện.
4. Tích phân kép: Tích phân bội hai trên miền phẳng, đổi biến trong tọa độ cực và ứng dụng tính diện tích, thể tích.
5. Tích phân bội ba: Tích phân trên vật thể 3 chiều, đổi biến tọa độ trụ và tọa độ cầu.
6. Tích phân đường loại 1 và loại 2: Tích phân trên đường cong không gian, định lý Green và tính công của lực.
7. Tích phân mặt loại 1 và loại 2: Tích phân trên mặt cong định hướng, định lý Stokes và định lý Gauss-Ostrogradsky.
8. Trường véctơ: Khảo sát thông lượng, hoàn lưu, trường thế và toán tử vi phân (grad, div, rot).
9. Tích phân phụ thuộc tham số: Kỹ thuật tính đạo hàm và tích phân suy rộng dưới dấu tích phân.

flowchart TD
    A["Tôpô R² và Hàm nhiều biến"] --> B["Giới hạn kép & Tính liên tục"]
    C["Hình học các mặt bậc hai & Đường mức"] --> B
    B --> D["Đạo hàm riêng & Vi phân"]
    D --> E["Đạo hàm theo hướng & Cực trị"]
    D --> F["Tích phân kép & Tích phân bội ba"]
    F --> G["Tích phân đường & Tích phân mặt"]
    G --> H["Trường véctơ & Tích phân phụ thuộc tham số"]

Kiến thức nền tảng được xây dựng

• Lý thuyết tôpô không gian Euclid ($\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^n$): Bản chất của khoảng cách Euclid, lân cận điểm, phân biệt tập đóng và tập mở dựa trên tập điểm biên và điểm tụ.
• Hình học giải tích vi phân không gian: Quy tắc đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao (kế thừa từ Toán A2), mô tả các mặt bậc hai và đường mức.
• Lý thuyết vi tích phân nhiều biến: Nguyên lý kẹp giới hạn, định lý về tính liên tục của hàm sơ cấp trên miền xác định, các định lý tích phân nhiều lớp và giải tích trường.

Kỹ năng phát triển

• Kỹ năng kỹ thuật: Tìm miền xác định, miền giá trị của hàm nhiều biến; tính giới hạn kép bằng phép đổi biến ($t=x^2+y^2$) hoặc định lý kẹp; biến đổi phương trình mặt bậc hai về hệ trục tọa độ mới; tính toán đạo hàm riêng và các lớp tích phân bội, tích phân đường, mặt.
• Kỹ năng phân tích: Phân tích cấu trúc tôpô của tập hợp phức tạp (như tập điểm hữu tỉ trong hình tròn đơn vị); chứng minh giới hạn kép không tồn tại bằng cách chỉ ra hai dãy $(x_n, y_n)$ tiến về $(x_0, y_0)$ có giá trị hàm tiến tới hai giới hạn khác nhau.
• Năng lực mô hình hóa: Ứng dụng đạo hàm riêng và tích phân vào các bài toán cơ học, hình học không gian và kỹ thuật.

Phương pháp giảng dạy và học tập (300-350 từ)

Giáo trình áp dụng phương pháp sư phạm diễn dịch kết hợp hình học trực quan. Khung lý thuyết bắt đầu từ các định nghĩa không gian metric trừu tượng, sau đó đối chiếu trực tiếp với các đồ thị 3D (paraboloid, hyperboloid, mặt trụ, mặt nón) và mô hình đường mức để hỗ trợ việc hình dung không gian của người học.

Hệ thống bài tập trong giáo trình được chia theo từng dạng chuyên đề:

• Bài tập phân tích tôpô: Yêu cầu xác định tập điểm trong, tập điểm biên, tập điểm tụ của tập hợp cho trước (ví dụ: tập $A = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2 < 1}$, tập các điểm hữu tỉ trong hình tròn đơn vị, hoặc tập dãy rời rạc $A = {(\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n+1})}$), từ đó kết luận tập đã cho là đóng, mở hay không đóng không mở.
• Bài tập khảo sát giới hạn: Áp dụng bất đẳng thức kẹp (như $|x + y \sin \frac{1}{x}| \le |x| + |y|$) hoặc kỹ thuật chọn dãy $x_n = \frac{1}{n}, y_n = 0$ và $x_n = y_n = \frac{1}{n}$ để chứng minh giới hạn $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3 y}{x^6 + y^2}$ hay $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2}$ không tồn tại.
• Bài tập hình học không gian: Đưa phương trình bậc hai về dạng chính tắc để nhận dạng các mặt elip, hyperboloid một tầng, hai tầng, hoặc mặt trụ $z = 2 - x^2$.

Phương thức đánh giá môn học tuân theo cơ chế:

• Đánh giá giữa học kỳ: Thi trắc nghiệm khách quan, chiếm tỷ trọng 20% tổng điểm.
• Đánh giá cuối kỳ: Thi kết hợp tự luận và điền kết quả, chiếm tỷ trọng 80% tổng điểm.

Quy định tự học yêu cầu sinh viên hoàn thành toàn bộ bài tập về nhà và thực hiện đọc trước bài mới trước khi tham gia giờ giảng lý thuyết trên lớp.

Điểm nổi bật và cập nhật (250-300 từ)

Nội dung giáo trình được biên soạn dựa trên việc kế thừa và cập nhật từ các công trình học thuật chuyên ngành:

• Bộ giáo trình Giải tích nhiều biến của nhóm tác giả Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng (Nhà xuất bản Đại học Quốc gia).
• Sách bài tập Bài tập toán cao cấp 3: Giải tích nhiều biến của Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng (Nhà xuất bản Đại học Quốc gia).
• Giáo trình chuẩn quốc tế Calculus (Second Edition, 2000).

Nguồn tham khảo chính	Tác giả / Đơn vị	Đóng góp nội dung
Giải tích nhiều biến	Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng (NXB ĐHQG)	Hệ thống lý thuyết vi tích phân nhiều chiều
Bài tập toán cao cấp 3	Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng (NXB ĐHQG)	Cấu trúc bài tập thực hành, chứng minh giải tích
Calculus (2nd Ed, 2000)	Quốc tế	Phương pháp tiếp cận trực quan, mô hình hóa ứng dụng

Tài liệu thể hiện rõ tính chuẩn hóa qua việc xử lý các khái niệm vi phân và tích phân nâng cao. Giáo trình làm rõ sự khác biệt giữa giải tích một biến và nhiều biến: khái niệm giới hạn kép không thể xét đơn thuần qua hướng trái/phải mà đòi hỏi xét trên mọi đường cong hoặc dãy điểm tiến đến điểm tụ trong $\mathbb{R}^2$. Các dạng bài tập phản ví dụ được chuẩn hóa bằng phương pháp chọn dãy số hoặc chọn hướng $y=kx$, giúp sinh viên nắm vững bản chất toán học của các điều kiện cần và đủ.

Đối tượng sử dụng giáo trình (200-250 từ)

Giáo trình được thiết kế chuyên biệt cho các nhóm đối tượng học thuật sau:

• Sinh viên đại học: Sinh viên năm thứ nhất và năm thứ hai theo học các ngành kỹ thuật, cơ kỹ thuật, công nghệ thông tin, điện - điện tử, xây dựng, hóa học và khoa học ứng dụng tại Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG TP.HCM và các trường đại học khối kỹ thuật.
• Điều kiện tiên quyết (Prerequisites): Người học cần hoàn thành khối kiến thức Giải tích hàm một biến (Toán 1) và Đại số tuyến tính (Toán A2), đặc biệt là kỹ năng biến đổi ma trận, phép biến đổi trực giao và dạng toàn phương.
• Giảng viên: Tài liệu đóng vai trò là khung đề cương bài giảng chuẩn mực, cung cấp hệ thống định nghĩa, định lý, ví dụ mẫu và ngân hàng bài tập phục vụ việc thiết kế đề thi trắc nghiệm giữa kỳ và tự luận cuối kỳ.
• Người tự học và nghiên cứu: Sử dụng làm tài liệu tra cứu các công thức hình học mặt bậc hai, phương pháp tính tích phân bội, tích phân đường, mặt và giải tích trường véctơ.

Câu hỏi thường gặp (250-300 từ)

1. Giáo trình này phù hợp với ai?

Tài liệu phục vụ trực tiếp cho sinh viên theo học học phần Toán 3 (Giải tích hàm nhiều biến) tại Trường Đại học Bách khoa TP.HCM cũng như sinh viên các ngành kỹ thuật cần công cụ giải tích toán học nhiều chiều.

2. Cần kiến thức nền nào để học?

Người học bắt buộc phải có kiến thức nền tảng về Giải tích hàm một biến (đạo hàm, tích phân sơ cấp) và Đại số tuyến tính Toán A2 (phép biến đổi trực giao, phân loại dạng toàn phương để nhận diện mặt bậc hai).

3. Điểm khác biệt với giáo trình khác?

Giáo trình kết hợp đồng bộ cơ sở tôpô mặt phẳng $\mathbb{R}^2$, phân loại chi tiết các mặt bậc hai 3D với hệ thống vi tích phân đa biến, đồng thời chú trọng các kỹ thuật chứng minh không tồn tại giới hạn kép qua phương pháp dãy điểm.

4. Làm sao để tự học hiệu quả?

Thực hiện nghiêm ngặt hai nhiệm vụ: đọc bài mới trước khi lên lớp và giải toàn bộ bài tập về nhà; chủ động luyện tập các dạng bài tập phân loại tôpô, chứng minh giới hạn và nhận dạng mặt bậc hai.

5. Có tài liệu bổ trợ nào kèm theo?

Học phần sử dụng kèm sách Giải tích nhiều biến và Bài tập toán cao cấp 3 của nhóm tác giả Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng (NXB ĐHQG), cùng giáo trình Calculus (Second Edition, 2000).

Kết luận (150 từ)

Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến cung cấp hệ thống lý thuyết giải tích nhiều chiều hoàn chỉnh, từ các khái niệm cơ sở tôpô trong không gian Euclid, cấu trúc các mặt bậc hai, cho đến phép tính đạo hàm riêng, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt và lý thuyết trường véctơ.

Lộ trình học tập yêu cầu sinh viên bắt đầu từ việc nắm vững cấu trúc không gian $\mathbb{R}^2$ và phép tính giới hạn ở Chương I, từ đó làm chủ các công cụ vi tích phân đa biến và ứng dụng kỹ thuật trong các chương tiếp theo. Việc kết hợp bài giảng của TS. Đặng Văn Vĩnh với hệ thống tài liệu tham khảo chuẩn từ NXB Đại học Quốc gia và giáo trình Calculus quốc tế đảm bảo tính chính xác và hiệu quả cho quá trình học tập và đánh giá môn học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương I: GIới hạn và liên tục Giảng viên Ts. Đặng Văn Vĩnh (2/2008) dangvvinh(ohcmut.vn Mục tiêu của môn học Toán 3 Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản của giải tích hàm nhiều biến. Sinh viên sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến thức nên tảng: hàm nhiêu biến, giới hạn kép và liên tục, đạo hàm riêng và vi phân, đạo hàm theo hướng, khai triển Taylor, Maclaurint của hàm nhiều biến, ứng dụng của đạo hàm riêng: phương trình mặt phẳng tiếp diện, pháp véctơ, ung dung tim cuc tri; cach tính tích phân bội: bội 2, bội 3; tích phân đường: loại l, loại 2; tích phân mặt: loại l, loại 2 và các ứng dụng hình học, cơ học của các loại tích phân này; tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; trường véctơ. CHới hạn và liên tục Đạo hàm theo hướng Ứng dụng của đạo hàm riêng Tích phân kép Tích phân bội ba Tích phân đường loại Ï và loại 2 Tích phân mặt loại l và loại 2 Trường véctơ Tích phân phụ thuộc tham số Nhiệm vụ của sỉnh viên.

Làm tât cả các bài tập cho vê nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp. Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%) Thi cuối kỳ: hình thức tự luận + điển kết quả (80%) Tài liệu tham khảo I.

Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Giải tích nhiều biến. NXB Đại học quôc gia 2. Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hăng.

Bài tập toán cao cấp 3. Giải tích nhiều biến. NXB Đại học quốc gia 4. Calculus, second edition, 2000.vn Nội dung 0.1 - Hàm hai biến 0.2 — Các khái niệm tôpô trong R" 0.3 — Các mặt bậc hai 0.

Ham hai bién Ví dụ Nhiệt độ T tại một điểm trên bê mặt trái đất tại một thời điểm t cho trước phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y cua diém này. Chúng ta có thé coi T la mot ham theo hai biên x và y, ký hiệu T = T(x,y) Ví dụ Thể tích V của một bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r và chiều cao h. Thực tế ta biết V = zr7h. Khi do V là một hàm hai bién theor vah: V(r,h)= rh.

Ham hai bién Dinh nghia ham hai bién Cho p c R?. Hàm hai biến là một ánh xạ f:D—-R (x,y)a f(x,y) Ký hiệu: ƒ =ƒ (x. D được gọi là miền xác định của ƒ. Miễn giá trị của ƒ' ={ae R|3(x,y)e D:a= ƒ(,y)} Nêu f cho bởi biêu thức đại sô: Miễn xác định là tập hop tat cả các gia tri cua x va y, sao cho biéu thức có nghĩa.

Mién gia tri la tap hop tất cả các số thực mà hàm có thê nhận được. Ham hai bién , Jxtytl Vidu. Hamhaibién ƒ@œ,y)=X“~“— x-y Mién xac dinh: D ={(x,y)eE R”lx +y +1>U,x #y} — f 3,2)=~""“""= V6 Vidu. Ham hai bién hepa +y? Mién xac dinh: D =R° Miễn giá trị: E, =R, =[0,+) ƒŒx+y,x—y)=Œ@+y)+@-y)°=2œ@'“+y”) f (x,x)=x7 +x? =2 x? I.

Ham hai bién c x Vidu. Ham hai bién ƒ(x,y)=——— y+] Miền xác định: D ={(x,y )eR* ly #-l} Miền giá trị E, =R. Ham hai bién f (x,y )=—— y +l Miễn xac dinh: D ={@&,y)eR“ly #-l} Mién gid tri: E, =R \{0} -l „ x2+y2 _x Ví dụ. Hàm haibiến f (x,y)=4e" ” ,néu (x,y) #(0,0) 0, nếu (x,y )=(0,0) Miền xác định: D =Rˆ Miễn gia tri: E, =[0,1) II.

Tôpô trong R2 Hình tròn mở tâm M g(xg. yạ), bán kính” >0 B(Mẹg.y)e R“ld(M ,Mạ)<r} ={(x,y )e R21 (x —x9) #0 — yp) <r} Hình tròn mở này cũng gọi là một 7-lan can cua M, va moi tap con cua R? chtra một r-lân cận nao do cua M, goi la mot lan can cua M,. „ a, atk XS A2 XA 2 , gk? `. Xét một điểm Mac “ và một tập.

Có thê xảy ra ba trường hợp loại trừ nhau sau đây: Có một lân cận của M, nằm trọn trong A, nghĩa là chỉ chứa những điểm của A. Khi đó Mụ được gọi là điểm trong của tập A. Có một lân cận của Mạ năm trọn ngoài A, nghĩa là hoàn toàn không chứa điêm nào của A. Khi đó M, là một điêm trong của phân bủ cua A.

Bât kỳ lân cận nào của Mạ cũng có cả những điêm của A và những điêm không thuộc A. Khi đó M, là một điêm biên cua A. Tôpô trong R2 Chú ý. 1) Điểm trong của A là một điểm thuộc A.

2) Điểm biên của A có thê thuộc hoặc không thuộc A. Một tập hợp được gọi là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong của nó. Một tập hợp được gọi là đóng nếu mọi điểm không thuộc nó đều là điểm trong của phân bù của nó. Một tập hợp là đóng nếu phân bù của nó là mở.

Một tập hợp là mở nêu nó không chứa điêm biên nào của nó. Tôpô trong R2 Một tập hợp là đóng nêu nó chứa tât cả các diém bién của nó. Điêm M, được gọi là điêm tụ của A, nêu mọi lân cận của M, đêu chứa vô sô điêm của A. Điêm Mạ là điêm tụ của tập A, nêu mọi lân cận của nó có chứa ít nhât một điêm của A khác với Mụ.

1) Điểm tụ có thể thuộc A, có thể không thuộc A. 2) Có những tập hợp không là tập đóng, cũng không là tập mo. Tôpô trong R2 Vi du. Xét tap hop cac diém trong mat phang.

Cho tap hop A A =|(x,. Tat ca cde diém trong cia A: {(x,y)eR> x7 +y7<]] 2. Tắt cả các điểm biên của A: |(x,y]}e ”x?+yŸ” = l} 3. Tất cả các điểm tụ của A: — |Íx.

Tập A là tập mở. Tôpô trong R2 Vi du. Xét tap hop cac diém trong mat phang. Cho A 1a tap hop cac diém nam trong hình tròn đơn vị mà tọa độ các điêm là các sô hữu tỉ.

Tìm tất cả các điểm trong của A. Tìm tất cả các điểm biên của A. Tìm tất cả các điểm tụ của A. Tập A đóng hay mở.

Đáp số: 1) Không có điểm trong 2) Tập điểm biên và điểm tụ bằng nhau Tập điểm biên 9A =Í(x,y)€ R”lx” +y <T} 4) A không đóng, không mở. Tôpô trong R2 Vi du. Xét tap hop cac diém trong mat phang. Cho tap hop A A Xã n n+1 J] 1.

Tìm tất cả các điểm trong của A. Tìm tất cả các điểm biên của A. Tìm tất cả các điểm tụ của A. Tập A đóng hay mở.

Đáp số: 1) Không có điểm trong 2) Có một điểm biên là (1,2). 3) Có một điểm tụ là (1,2). 4) A không đóng, không mở. Các mặt bậc hai Phương trình tong quát cua mat bac hai trong hé toa dé Descartes Oxyz la Ax? + By “+Œzˆ +2Dxy +2Exz +2Fyz +Gx +Hy + Kz +L =0 Tu chuong trinh toan A2, dé vé mat bac hai: 1) Đưa dạng toàn phương (màu đỏ) về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao 2) Tìm phép biến đổi, xác định trục tọa độ mới.

Các mặt bậc hai r, 4h ap: Vợ ` k 2 2 Xét do thi cua ham so: Z =X + y Tập hợp tất cả các điểm (x,y) của miền xác định D, sao cho f(x,y) = & được gọi là đường mức, trong đó k là hằng số cho trước. Các mặt bậc hai 2 2 : ¬— , _X“y Mat paraboloid elliptic Z =—=+“— a b LII. Các mặt bậc hai 2 Mặt paraboloid elliptic Z= + ——_ xe ys a b* Elliptic Paraboloid — III. Các mặt bậc hai Mặt paraboloid elliptic z =(x —1)? +(y —3)° +4 III.

Các mặt bậc hai Mat paraboloid elliptic y =* “+zˆ Gi i J „” | —_— | ¥ x | LII. Các mặt bậc hai Mặt ellipsoid Ellipsoid LII. Các mặt bậc hai 22 _— b7 Mặt Paraboloid hyperbolic Z= S| a Hyperbolic Paraboloid III. Cac mat bac hai Mat Paraboloid hyperbolic III.

Các mặt bậc hai LII. Các mặt bậc hai 2 2 2 x Mat Hyperboloid 1 tang at > x abe _e? hạ =] Hyperboloid of One Sheet ra rh ot Nền và Và ae gp 1" aise xe ty LII. Các mặt bậc hai 2 2 2 Mặt Hyperboloid hai tầng = + > — `“ =-] ab” c Hyperboloid of Two Sheets — 1 i III. Các mặt bậc hai r, akg: 2 ` k 2 2 Xét do thi cla ham sé: x + y~ =1 Ta thấy với mọi &, đường mức luôn là đường tròn bán kính bằng I.

Các mặt bậc hai Mặt trụ: trong phương trình thiếu hoặc x, hoặc y, hoặc zZ. Cac mat bac hai Mat tru: x?+z7=4 III. Cac mat bac hai III. Các mặt bậc hai III.

Các mặt bậc hai Mat tru z =2—x? III. Các mặt bậc hai Mat tru z =2—x? LII. Các mặt bậc hai Mặt nón hai phía Cone III. Các mặt bậc hai Mặt nón hai phía LV.

Giới han Định nghĩa giới hạn kép Cho hàm hai biến ƒ =ƒ (x,y),M s(xg.yg)€ R? sao cho M ọ là điểm tụ của D, Ta nói giới hạn của ƒ khi (x,y) dần đến điểm M, bằng z, nếu giá trị của ƒ(x,y) tiễn gần đến # tùy thích bằng cách lấy những diém (x,y) gan điểm M,, nhưng không trùng với M,. lim ƒ(x,y)=a Ký hiệu khác của giới hạn kép: [ x J » } —*g 1 VY. (zlơi hạn Tính chất của giới hạn 3. lim I Six y)xe(xyJ= lm fx lim (x,y)—(a,b (x,y)—Xa,b) — (x,y)—>(a,b) im ƒ(x,y) lim LOY) _ Gy) (ab) nếu lim g#0 (x,y)(a,b) (Xx, y) lim g(x,y) (x.y) < ñ(x, y) và lim f= lim A=M,th lim g=Mứ.

(zlơi hạn Ví dụ Tìm giới hạn nếu tôn tại hoặc chứng minh không ton tại.0) x) 0s f(xy) [= x+ ysin ` - S|x|+|y ww 1 => lim x+ ysin— ì- 0. (zlơi hạn Ví dụ Tìm giới hạn nêu tôn tại, hoặc chứng tỏ giới hạn không tôn tại. xy I= lim 2 (x,y)—>(0,0) x“ + yŸ x2 0 ƒ(zx,y)|E <3] y|, vi 5 Si. (zlơi hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tôn tại.

] Chon dãy thứ hai (x,,, y,) -(0 1 | note 0, 0) 1). 3 Khi đó /@,,)= /[0 vi? Vậy tồn tại hai dãy dân đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đó tiến đến hai sô khác nhau, suy ra không tôn tại giới hạn đã cho. tzI01 hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tôn tại.y) là một đại lượng phụ thuộc vào &, mà & thay đối nên không tôn tại giới hạn. Chọn y = Äx, tức là tiến đến (0,0) bằng những đường thăng.

Phương pháp này không thê dùng để tìm giới hạn của dãy. tzI01 hạn Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tôn tại. 3 I= lim ar (x,y)—>(0,0) x“ + y Chon dãy (x„, y„) -(; 0) “>> x0, 0) 3 Khiđó f(%,. Chọn dãy thứ hai (x„, ”„) = lạ joe 0) nn 1 1) 1 Khi do ƒ(X„.