Chương 1 Lý thuyết cơ học vật rắn Trong chương này, khóa luận sẽ trình bày tóm tắt về lý thuyết cơ học vật rắn. Đầu tiên, các đại lượng động học và trạng thái chuyển động trong chuyển động quay của một chất điểm được trình bày ngắn gọn. Chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến có những tính chất và cách tiếp cận tương tự nhau. Để tiếp cận một bài toán cơ học vật rắn, ta thường tiếp cận bằng phương pháp phân tích lực hoặc phương pháp năng lượng.
Ngoài ra, ta cũng có thể tiếp cận dựa trên cơ học Lagrange hay Hamilton. Tuy nhiên, trong giới hạn của khóa luận này, chúng tôi không trình bày phần cơ học Lagrange và Hamilton ở đây. Nội dung chương này được tham khảo từ các tài liệu [1–3]. Chuyển động quay Ta có thể làm một vật rắn chuyển động bằng cách tịnh tiến hoặc quay nó.
Ta đã biết chuyển động tịnh tiến của một chất điểm thường được mô tả bởi vector tọa độ ⃗r trong không gian Cartesian. Trong khi đó, chuyển động quay của vật rắn được mô tả bởi góc θ(t). Cụ thể, trong không gian 2 chiều, nó được mô tả bởi góc θ, điểm quay O và hướng trục quay ⃗k. 3 Trong suốt quá trình quay, góc θ(t) biến đổi theo thời gian.
Vận tốc góc của vật khi đó là dθ ω(t) = .1) dt Nếu vận tốc góc biến đổi theo thời gian, khi đó gia tốc góc của vật được xác định như sau dω d2 θ γ(t) = = 2.2) dt dt Một điểm trên vật quay cách trục quay một khoảng R có vận tốc tiếp tuyến ds dθ v= = R = Rω.3) dt dt Bảng 1.1 thể hiện sự so sánh (tương ứng) giữa hai loại chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến. Để giải các bài toán chuyển động quay thì tương tự như trong chuyển động tịnh tiến, ta cần giải phương trình vi phân cấp hai d2 θ = γ(t, θ, ω), (1.4) dt2 với điều kiện đầu: θ(t0 ) = θ0 và ω(t0 ) = ω0. Khi gia tốc góc γ = γ(t) là hàm phụ thuộc tường minh vào thời gian t Bảng 1.1: So sánh chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. Chuyển động Tịnh tiến Quay Vị trí x(t) θ(t) Vận tốc v(t) = dx/dt ω(t) = dθ/dt Gia tốc a(t) = dv/dt = d2 x/dt2 γ(t) = dω/dt = d2 θ/dt2 4 thì ta có thể giải phương trình vi phân bằng tích phân trực tiếp ˆ t ω(t) = ω(t0 ) + γ(t) dt, (1.6) t0 Trong trường hợp đặc biệt, với chuyển động có vận tốc góc không đổi, ta có: θ(t) = θ(t0 ) + ω(t − t0 ).7) Nếu chuyển động có gia tốc góc không đổi, ta có: ω(t) = ω(t0 ) + γ(t − t0 ), (1.9) 2 Tổng quát, chuyển động quay xảy ra quanh một trục được cho bởi vector vận tốc góc ω ⃗.
Khi đó, vận tốc của một điểm trên vật quay tại vị trí ⃗r là ⃗ × ⃗r.10) Gia tốc tại một điểm trên vật quay tại vị trí ⃗r là ⃗a = ⃗γ × ⃗r + ω ⃗ × (⃗ω × ⃗r). Chuyển động quay của vật rắn Một vật rắn có thể chuyển động tịnh tiến hoặc chuyển động quay nhưng khoảng cách giữa hai điểm bất kì trên vật rắn không thay đổi. Đại lượng đặc trưng cho quán tính trong chuyển động quay là moment 5 quán tính. Moment quán tính của một hệ quanh một trục là X IO = mi ρ2i , (1.12) i trong đó mi là khối lượng của chất điểm i và ρi là khoảng cách từ chất điểm i đến trục quay O.
Moment quán tính của vật rắn với khối lượng riêng ρM quanh trục O là ˚ IO = ρM ρ2 dV, (1.13) trong đó ρ là khoảng cách từ phần tử dV đến trục O. Các moment quán tính được cộng theo nguyên lý chồng chất: Moment quán tính của hai hệ A và B quanh trục O là tổng của các moment quán tính của mỗi hệ IO,AB = IO,A + IO,B .14) Khi thay đổi trục quay, moment quán tính được xác định thông qua định lý Steiner-Huygens (định lý trục song song hay định lý dời trục). Định lý Steiner-Huygens: Moment quán tính IO của một vật quanh trục O có thể được xác định từ moment quán tính của vật quanh một trục song song đi qua khối tâm Icm của vật IO = Icm + md2 , (1.15) trong đó d là khoảng cách giữa trục O và khối tâm (hình 1.2 đưa ra các công thức moment quán tính đối với trục quay đi qua khối tâm của một số vật rắn thường gặp có hình dạng đặc biệt. Tương tự như trong chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay cũng có cơ năng bao gồm động năng quay và thế năng.
Minh họa định lý Steiner-Huygens. Động năng của một vật rắn quay quanh một trục O cố định là 1 K = IO ω 2 , (1.16) 2 trong đó ω là vận tốc góc quanh trục O. Thế năng của vật rắn trong trọng trường đều là U = mgz, (1.2: Moment quán tính của một số vật thể đồng chất có trục quay đi qua khối tâm. Vật thể Icm Thanh thẳng (1/12)M L2 Vòng dây / Trụ rỗng M R2 Đĩa / Trụ đặc (1/2)M R2 Quả cầu đặc (2/5)M R2 Quả cầu rỗng (2/3)M R2 7 trong đó z là vị trí theo phương thẳng đứng của khối tâm hệ so với mốc thế năng.
Động lực học vật rắn ⃗ tại điểm cách trục quay đi qua O một khoảng ⃗r là Moment của lực F ⃗τ = ⃗r × F⃗ .18) Các moment lực có thể được cộng để xác định moment tổng quanh một trục cho trước. Moment của trọng lực đối với trục quay bất kì tác dụng lên vật rắn là ⃗τ = ⃗r × m⃗g , (1.19) trong đó ⃗r là vị trí khối tâm của vật (vector nối từ trục quay đến khối tâm). Với một vật rắn quay quanh một trục cố định (trục Oz ) đi qua khối tâm, gia tốc tịnh tiến của khối tâm là X F⃗j = m⃗a, (1.20) j gia tốc góc quanh khối tâm là X τz,j = Iz γ, (1.21) j ⃗j là moment lực j tác dụng tại điểm ⃗rcm,j so với trong đó ⃗τj = ⃗rcm,j × F khối tâm, và Iz là moment quán tính của vật quanh trục Oz đi qua khối tâm. 8 Moment động lượng của một chất điểm với động lượng (tịnh tiến) p⃗ tại vị trí ⃗r đối với điểm O là ⃗ = ⃗r × p⃗.22) Moment động lượng của hệ quanh điểm O là X ⃗O = L ⃗ri × mi⃗vi .23) i Định luật hai Newton cho chuyển động quay của hệ quanh điểm O cố định là ⃗O X dL = ⃗ri × F⃗i = ⃗τO .24) dt i Moment động lượng của hệ quanh khối tâm của nó là X ⃗ cm = L ⃗rcm,i × mi⃗vi .25) i Định luật hai Newton cho chuyển động quay của hệ quanh khối tâm của nó là ⃗ cm X dL = ⃗rcm,i × F⃗i = ⃗τcm .26) dt i Moment động lượng của vật rắn quay quanh trục cố định là ⃗ O,z = IO,z ω L ⃗.27) Moment động lượng của vật rắn quay quanh một trục cố định đi qua khối tâm là ⃗ cm,z = Icm,z ω L ⃗.28) Ta có thể tóm tắt quy trình giải một bài toán động lực trong cơ học vật rắn gồm 4 bước [1] 9 1.
Nhận dạng: Xác định góc θ(t) (chọn hệ quy chiếu). Tìm các điều kiện đầu θ(t0 ) và ω(t0 ). Mô hình: Tìm các lực tác dụng lên vật rắn. Xác định moment lực cho mỗi lực.
Áp dụng định luật hai Newton cho chuyển động quay để tìm γ = γ(θ, ω, t). Giải: Ta giải phương trình vi phân d2 θ = γ(θ, ω, t), (1.29) dt2 với các điều kiện đầu. Ta có thể giải bằng các kĩ thuật giải tích hoặc giải số. Phân tích: Kiểm tra tính đúng đắn của θ(t) và ω(t).
Đánh giá quá trình chuyển động. 10 Chương 2 Phương pháp tính toán Chương này sẽ trình bày cách giải một phương trình vi phân với các điều kiện ban đầu. Với các phương trình đơn giản, ta có thể dễ dàng tìm được nghiệm giải tích của chúng. Tuy nhiên một số phương trình vi phân không thể hoặc chưa có lời giải chính xác, khi đó ta cần đến sự tính toán của máy tính với các phương pháp khác nhau nhằm đưa ra nghiệm giải số.
Từ đó, các đại lượng vật lý trong hệ vật rắn có thể được biểu diễn bằng đồ thị. Trong khóa luận này, phương pháp Runge-Kutta bậc 4 được sử dụng để đưa ra nghiệm giải số. Nội dung chương này được tham khảo từ tài liệu [4, 5]. Bài toán Cauchy Một phương trình vi phân bậc hai có thể được viết dưới dạng y ′′ (t) = f (t, y(t), y ′ (t)), (2.1) trong đó ta có thể tìm được hàm y(t) từ các đạo hàm của nó.
Một phương trình vi phân có vô số nghiệm riêng cấu thành nên nghiệm tổng quát, chúng khác nhau bởi một hằng số. Với các hằng số được xác 11 định, ta thu được nghiệm riêng từ nghiệm tổng quát. Khi cho trước giá trị ban đầu y0 của hàm y(t) tại t0 ta sẽ nhận được một nghiệm riêng của phương trình. Bài toán Cauchy còn được gọi là bài toán giá trị ban đầu.
Xét phương trình vi phân cấp hai thỏa 2 điều kiện được biểu diễn như sau ′′ ′ y (t) = f (t, y(t), y (t)) y(a) = y0 , a ≤ t ≤ b, (2. Bất kì một phương trình vi phân bậc cao luôn có thể đưa được về hệ phương trình vi phân bậc nhất. Phương trình vi phân cấp hai (2.2) có thể đưa về phương trình vi phân cấp 1 bằng cách biến đổi sau y(t) = x1 (t), (2.5) với điều kiện đầu của phương trình (2. Với bất kì một phương pháp giải số nào, ta luôn phải rời rạc hóa các thành phần trong phương trình.
Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (2.2) ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với khoảng chia ∆t ≡ h = (b − a)/n. Khi đó các điểm chia là t0 = a, tk = t0 + k · h với k = 0, 1, 2,. Giá trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm tk , được kí hiệu là yk. Phương pháp Runge-Kutta Trong kĩ thuật giải số, phương pháp Runge-Kutta được sử dụng để gần đúng nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính.
Phương pháp này được phát triển từ những năm đầu của thế kỉ trước bởi hai nhà toán học người Đức Carl Runge và Wilhelm Kutta. Phương pháp Euler là phương pháp giải số bậc nhất cho phương trình vi phân toàn phần với một điều kiện đầu. Nó thuộc nhóm phương pháp Runge-Kutta đơn giản với bậc thấp nhất [6]. Ở các bậc cao hơn, ta có các phương pháp Runge-Kutta bậc 2 và bậc 4.