Tổng quan luận án

Trong bối cảnh phát triển của hạ tầng công nghệ thông tin và chính phủ điện tử, chữ ký số đóng vai trò xác thực danh tính và đảm bảo tính toàn vẹn của các giao dịch điện tử. Tại Việt Nam, triển khai phát triển Chính phủ điện tử giai đoạn 2019–2020, định hướng đến năm 2025 theo Nghị quyết số 17/NQ-CP ngày 07/03/2019 của Chính phủ đòi hỏi hoàn thiện hạ tầng xác thực số. Hiện nay, hai hệ thống chứng thực chữ ký số tại Việt Nam (hệ thống chứng thực chữ ký số công cộng và hệ thống chứng thực chữ ký số chuyên dùng chính phủ) chủ yếu sử dụng hệ mật khóa công khai RSA.

Hệ thống RSA phụ thuộc vào độ khó của bài toán phân tích một số nguyên $n$ ra thừa số nguyên tố $n = p \cdot q$. Năng lực tính toán gia tăng đặt ra thách thức đối với hệ mật này: năm 2005, số nguyên 663-bit đã bị phân tích; năm 2010, hệ thống RSA 1024-bit bị phá vỡ trong vài ngày; năm 2017, các nghiên cứu công bố khả năng thám mã RSA với tham số 1024-bit và 2048-bit. Đồng thời, RSA có tốc độ thực hiện chậm hơn so với các hệ mật đường cong elliptic (ECC). Mật mã đường cong elliptic cung cấp độ an toàn tương đương với kích thước khóa nhỏ hơn và hiệu năng tính toán cao hơn, phù hợp cho các thiết bị hạn chế tài nguyên như thẻ thông minh (Smart card), thiết bị di động, Internet kết nối vạn vật (IoT) và mạng chuỗi khối (Blockchain/Bitcoin).

Tuy nhiên, việc triển khai các lược đồ chữ ký số dựa trên bài toán logarit rời rạc trên đường cong elliptic (ECDLP) tồn tại các nguy cơ về an toàn cài đặt và an toàn tham số. Nhằm giải quyết các vấn đề này cho lược đồ chữ ký số kiểu EC-Schnorr, luận án tiến sĩ kỹ thuật chuyên ngành Kỹ thuật mật mã (mã số: 9.09) của nghiên cứu sinh Nguyễn Tiến Xuân, được thực hiện tại Học viện Kỹ thuật Mật mã - Ban Cơ yếu Chính phủ dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Hồng Quang và TS. Nguyễn Quốc Toàn, đã tập trung vào ba mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

  1. Nghiên cứu một số vấn đề an toàn của các lược đồ chữ ký số, đặc biệt là lược đồ chữ ký số kiểu EC-Schnorr.
  2. Nghiên cứu đề xuất một số giải pháp nâng cao độ an toàn cài đặt cho lược đồ chữ ký số EC-Schnorr (dựa trên việc xây dựng biến thể EC-Schnorr-M đảm bảo an toàn chứng minh được trong mô hình bộ tiên tri ngẫu nhiên ROM và chống lại các tấn công đã biết).
  3. Phân tích, đánh giá đưa ra một số kết quả đảm bảo an toàn cho khóa bí mật trong lược đồ chữ ký số đề xuất.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là lược đồ chữ ký số kiểu EC-Schnorr, các cơ chế tạo chữ ký số dựa trên đường cong elliptic, cũng như các kịch bản tấn công vào khóa bí mật tức thời $k$ và khóa bí mật dài hạn $a$. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào nhóm điểm trên đường cong elliptic $E(\mathbb{F}_p)$ trên trường hữu hạn, các yêu cầu kỹ thuật đối với hàm băm, các mô hình an toàn mật mã (ROM, GGM), tấn công gây lỗi phần cứng và các thuật toán thám mã dựa trên lý thuyết lưới (Lattice theory).

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Khái niệm chữ ký số được công bố lần đầu vào năm 1976 bởi Whitfield Diffie và Martin Hellman. Các lược đồ chữ ký số khóa bí mật sau đó được nghiên cứu bởi Lamport và Merkle [35], [48]. Tiếp đó, các lược đồ chữ ký số khóa công khai dựa trên bài toán phân tích số (như RSA, Fiat-Shamir) và bài toán logarit rời rạc (DLP), logarit rời rạc trên đường cong elliptic (ECDLP) được phát triển [9].

Trên thế giới, các chuẩn chữ ký số đường cong elliptic đã được ban hành bao gồm: chuẩn ECDSA của Mỹ (ANSI 1999, FIPS 186-4/5) [28], chuẩn GOST R 34.10-2001 và GOST R 34.10-2012 của Nga với độ dài khóa 256-bit đến 512-bit [17], chuẩn ISO 14888-3 với lược đồ EC-SDSA [27] và chuẩn BSI của Chính phủ Đức [54]. Lược đồ Schnorr gốc dựa trên DLP được C. Schnorr đề xuất vào các năm 1989 và 1991 [9], [11], sau đó được Pointcheval và Stern [14] cung cấp chứng minh an toàn trong mô hình bộ tiên tri ngẫu nhiên (ROM), cũng như được Fischlin và các tác giả khác chứng minh trong mô hình nhóm tổng quát (GGM) [24], [41].

Tại Việt Nam, các nghiên cứu và ứng dụng mật mã đường cong elliptic chủ yếu tập trung vào các chuẩn ECDSA và GOST R 34.10-2012; các nghiên cứu chuyên sâu về lược đồ chữ ký số kiểu EC-Schnorr còn rất hạn chế.

Qua tổng quan tài liệu, luận án nhận diện các khoảng trống nghiên cứu chính:

  • Các lược đồ chữ ký số đường cong elliptic tiêu chuẩn (ECDSA, ECGDSA, EC-Schnorr) đều có điểm yếu chung: nếu khóa bí mật tức thời $k$ bị dùng lặp lại cho hai thông điệp khác nhau hoặc bị lộ, khóa ký dài hạn $a$ sẽ bị khôi phục hoàn toàn.
  • Giải pháp dùng nhiều khóa bí mật tức thời của Liao và Shen [26] không bảo vệ được hệ thống vì kẻ tấn công vẫn có thể khai thác quan hệ giữa các khóa để giả mạo chữ ký hợp lệ [5].
  • Giải pháp chữ ký số tất định (Deterministic Signature Scheme như DECDSA theo RFC 6979 [56]) loại bỏ việc sinh số ngẫu nhiên nhưng lại dễ bị tổn thương trước các kỹ thuật tấn công gây lỗi phần cứng (Fault attack) như Poddebniak và cộng sự đã chỉ ra [20].
  • Các tấn công dựa trên lý thuyết lưới (sử dụng thuật toán LLL) của Boneh, Venkatesan, Nguyen, Shparlinski [21], [33] đã thám mã thành công DSA/ECDSA khi khóa bị rò rỉ một phần bit, nhưng chưa được khảo sát và thiết lập tiêu chuẩn phòng thủ tương ứng trên EC-Schnorr.

Luận án định vị trọng tâm vào việc thiết kế biến thể cải tiến EC-Schnorr-M và xây dựng tiêu chuẩn an toàn cho khóa bí mật của EC-Schnorr trước các tấn công lưới.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án vận dụng các cơ sở lý thuyết mật mã học hiện đại:

  • Cơ sở cấu trúc đại số và đường cong elliptic: Xét trường hữu hạn $\mathbb{F}_p$ với đặc số $p$ nguyên tố lớn; đường cong elliptic $E(A, B)$ xác định bởi phương trình $y^2 = x^3 + Ax + B \pmod p$ với điều kiện $4A^3 + 27B^2 \neq 0 \pmod p$. Điểm cơ sở $P \in E(\mathbb{F}_p)$ có cấp nguyên tố $q$. Bài toán ECDLP là bài toán tìm số nguyên $a \in [1, q-1]$ khi biết $P$ và $Q = aP$.
  • Mô hình định danh và biến đổi Fiat-Shamir: Lược đồ định danh Schnorr ba bước chuyển $(Pr_1, Pr_2, V)$ được biến đổi thành lược đồ chữ ký số phi tương tác thông qua phép biến đổi Fiat-Shamir (1986) [5] bằng cách thay thế thách thức ngẫu nhiên bằng giá trị băm $r = H(m \parallel x_R)$.
  • Mô hình chứng minh an toàn: Khái niệm an toàn chống giả mạo tồn tại dưới kịch bản tấn công lựa chọn thông điệp thích nghi (EUF-ACMA) trong Mô hình bộ tiên tri ngẫu nhiên (ROM) và Mô hình nhóm tổng quát (GGM).
  • Lý thuyết an toàn của hàm băm: Các khái niệm kháng va chạm (Collision resistance), kháng tiền ảnh với tiền tố ngẫu nhiên ($rpp[D]$) và kháng tiền ảnh thứ hai với tiền tố ngẫu nhiên ($rpsp[D]$) trên miền $D = {x_R \mid R \in E(\mathbb{F}_p), \text{ord}(R)=q}$. Khuyến nghị NIST SP 800-57 [53] về độ dài bit của hàm băm.
  • Lý thuyết lưới (Lattice theory): Thuật toán rút gọn cơ sở lưới LLL (Lenstra–Lenstra–Lovász) dùng để giải bài toán vector ngắn nhất (SVP) và bài toán vector gần nhất (CVP) xấp xỉ nhằm khôi phục khóa bí mật.

Phương pháp nghiên cứu kết hợp giữa phân tích lý thuyết hình thức (chứng minh toán học, quy giảm an toàn) và phương pháp thực nghiệm (mô phỏng tấn công, đo lường chi phí tính toán các phép toán $MP$ - nhân điểm, $M$ - nhân trường, $I$ - nghịch đảo trên $\mathbb{F}_p$, $H$ - hàm băm).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1 - Tổng quan về lược đồ chữ ký số

Chương 1 hệ thống hóa các định nghĩa cơ bản về chữ ký số thông qua bộ ba thuật toán $(KeyGen, Sign, Verify)$:

  • $KeyGen(1^k)$: Thuật toán xác suất tạo cặp khóa $(pk, sk)$.
  • $Sign(sk, m)$: Thuật toán tạo chữ ký $\sigma$ trên thông điệp $m$.
  • $Verify(pk, m, \sigma)$: Thuật toán kiểm tra tính hợp lệ của chữ ký.

Chương này phân tích ba mức độ phá vỡ hệ mật: Phá vỡ hoàn toàn (tìm ra khóa bí mật $sk$), Giả mạo vạn năng (tìm ra thuật toán ký thay thế) và Giả mạo tồn tại (tạo ra ít nhất một cặp $(m, \sigma)$ hợp lệ mới). Kịch bản tấn công chuẩn được xem xét là tấn công lựa chọn thông điệp thích nghi (ACMA).

Luận án phân tích tính không an toàn của lược đồ RSA và ElGamal nguyên thủy trước tấn công giả mạo tồn tại. Đối với ElGamal nguyên thủy:

  • Giả mạo bằng 1 tham số: Chọn $e \in \mathbb{Z}_{p-1}$, đặt $r = g^e y \bmod p$ và $s = -r \bmod (p-1)$, thu được chữ ký $(r, s)$ hợp lệ cho thông điệp $m = es \bmod (p-1)$.
  • Giả mạo bằng 2 tham số: Chọn $e \in \mathbb{Z}_{p-1}, v \in \mathbb{Z}_p^*$, đặt $r = g^e y^v \bmod p$ và $s = -rv^{-1} \bmod (p-1)$, thu được chữ ký $(r, s)$ hợp lệ cho thông điệp $m = es \bmod (p-1)$.

Từ đó, luận án khẳng định sự cần thiết của việc băm thông điệp trước khi ký. Tiếp theo, quy trình biến đổi từ lược đồ định danh Schnorr ba bước chuyển sang lược đồ EC-Schnorr được trình bày:

  1. Sinh khóa ($KeyGen$): Chọn $a \in_R [1, q-1]$, tính $Q = aP$. Khóa công khai $pk = Q$, khóa bí mật $sk = a$.
  2. Ký ($Sign$): Chọn $k \in_R [1, q-1]$, tính $R = kP = (x_R, y_R)$. Tính $r = H(m \parallel x_R) \bmod q$. Nếu $r = 0$, chọn lại $k$. Tính $s = (k - ar) \bmod q$. Nếu $s = 0$, chọn lại $k$. Chữ ký là $\sigma = (r, s)$.
  3. Xác minh ($Verify$): Tính $R = sP + rQ$. Tính $r^* = H(m \parallel x_R) \bmod q$. Nếu $r^* = r$ thì chữ ký hợp lệ.

Về yêu cầu đối với hàm băm, luận án chứng minh rằng nếu hàm băm $H$ không thỏa mãn tính chất $rpp[D]$ hoặc $rpsp[D]$ trên miền hoành độ điểm $D$, kẻ tấn công $\mathcal{B}$ có thể xây dựng thuật toán giả mạo thành công chữ ký EC-Schnorr trong mô hình ACMA.

Về tính hiệu quả tính toán, Bổ đề 1 của luận án xác định xác suất để thuật toán sinh chữ ký EC-Schnorr hoàn thành mà không phải lặp lại vòng chọn $k$ (ký hiệu $\rho$) thỏa mãn: $$\rho \ge (1 - \varepsilon)\left(1 - \frac{t+1}{q}\right)$$ trong đó $\varepsilon$ là xác suất tìm tiền nghịch ảnh $\alpha$ sao cho $H(\alpha) = 0 \bmod q$, và $t = \lfloor p/q \rfloor$.

Luận án tổng hợp so sánh chi phí tính toán giữa EC-Schnorr với ECDSA, GOST R 34.10-2012 và ECGDSA qua hai bảng sau:

Lược đồ Thuật toán sinh chữ ký ($Sign$) Chi phí tính toán ($Sign$)
ECDSA Chọn $k$; tính $(x,y)=kP, r=x \bmod q$; tính $s = k^{-1}(H(m) + ar) \bmod q$ $I + 2M + MP + H$
GOST R 34.10-2012 Chọn $k$; tính $(x,y)=kP, r=x \bmod q$; tính $s = (rd + kh) \bmod q$ $2M + MP + H$
ECGDSA Chọn $k$; tính $(x,y)=kP, r=x \bmod q$; tính $s = a(kr - H(m)) \bmod q$ $2M + MP + H$
EC-Schnorr Chọn $k$; tính $(x,y)=kP, r=H(m \parallel x) \bmod q$; tính $s = (k - ar) \bmod q$ $M + MP + H$
Lược đồ Thuật toán kiểm tra chữ ký ($Verify$) Chi phí tính toán ($Verify$)
ECDSA Tính $h=H(m), u_1=hs^{-1}, u_2=rs^{-1}$; tính $R=u_1P+u_2Q$; kiểm tra $r^*=x \bmod q == r$ $I + 2M + 2MP + H$
GOST R 34.10-2012 Tính $h=H(m), u_1=sh^{-1}, u_2=-rh^{-1}$; tính $R=u_1P+u_2Q$; kiểm tra $r^*=x \bmod q == r$ $I + 2M + 2MP + H$
ECGDSA Tính $h=H(m), u_1=hr^{-1}, u_2=sr^{-1}$; tính $R=u_1P+u_2Q$; kiểm tra $r^*=x \bmod q == r$ $I + 2M + 2MP + H$
EC-Schnorr Tính $R = sP + rQ$; kiểm tra $r^* = H(m \parallel x) \bmod q == r$ $2MP + H$

Kết quả so sánh cho thấy EC-Schnorr không đòi hỏi phép nghịch đảo trường $I$ trong cả hai pha tạo và kiểm tra chữ ký, đồng thời giảm số phép nhân trường $M$.

Chương 2 - Nghiên cứu đề xuất một số giải pháp nâng cao độ an toàn cài đặt cho lược đồ chữ ký số

Chương 2 đi sâu giải quyết vấn đề sử dụng lặp lại khóa bí mật tức thời $k$. Luận án chứng minh Kết quả 2.1: Các lược đồ ECDSA, GOST R 34.10-2012, ECGDSA và EC-Schnorr đều bị phá vỡ hoàn toàn nếu dùng lặp lại khóa $k$ cho hai thông điệp khác nhau $m \neq m'$.

Cụ thể đối với EC-Schnorr, khi sử dụng cùng giá trị $k$, ta có hệ phương trình: $$\begin{cases} s = (k - a \cdot H(m \parallel x)) \bmod q \ s' = (k - a \cdot H(m' \parallel x)) \bmod q \end{cases}$$ Trừ hai phương trình vế theo vế: $$s - s' = a(H(m' \parallel x) - H(m \parallel x)) \bmod q$$ Khóa bí mật dài hạn $a$ được khôi phục trực tiếp: $$a = (s - s')(H(m' \parallel x) - H(m \parallel x))^{-1} \bmod q$$

Luận án phân tích nguyên nhân dẫn tới lỗi trùng khóa trong thực tế: bộ tạo số ngẫu nhiên (RNG) có lỗi phần mềm, thiết kế thuật toán kém, nguồn entropy thấp hoặc hiện tượng reset trạng thái máy ảo (dù NIST SP 800-22 cung cấp 15 bài kiểm tra thống kê).

Luận án phân tích hai giải pháp đã có và chỉ ra các hạn chế:

  1. Lược đồ chữ ký tất định (DECDSA, EC-Schnorr tất định với $k = H(a \parallel m)$): Dễ bị tấn công gây lỗi vật lý (Fault Injection Attack) theo hai kịch bản trong [20]:
    • Kịch bản 1: Kẻ tấn công can thiệp sửa đổi thông điệp $m \to m'$ ngay sau khi $H(a \parallel m)$ được tính. Kết quả thu được hệ phương trình hai ẩn khôi phục chính xác $a = \alpha \beta^{-1} \bmod q$ với $\alpha = s'^{-1}h' - s^{-1}h \bmod q$ và $\beta = r(s^{-1} - s'^{-1}) \bmod q$.
    • Kịch bản 2: Kẻ tấn công can thiệp gây lỗi trong bước làm nhiễu chống tấn công đo thời gian (Timing attack) $r := f([H(a \parallel m) + \lambda_1 q]P) \bmod q$. Hệ phương trình suy ra $a = \alpha \beta \bmod q$ với $\alpha = (rs' - r's)^{-1} \bmod q$ và $\beta = H(m)(s - s') \bmod q$.
  2. Phương pháp dùng hai khóa bí mật tức thời của Liao – Shen [26]: Tuy không giải trực tiếp ra $a$ nhưng kẻ tấn công vẫn thiết lập được phương trình quan hệ tuyến tính giữa các khóa tức thời, từ đó giả mạo được chữ ký hợp lệ trên thông điệp tùy ý.

Từ những hạn chế trên, luận án đề xuất lược đồ cải tiến EC-Schnorr-M bằng cách bổ sung một phép tính hàm băm trong quy trình ký:

  • Đảm bảo an toàn cài đặt, loại trừ khả năng khôi phục khóa dài hạn khi khóa tức thời bị lặp lại.
  • Tránh được các lỗ hổng tấn công gây lỗi phần cứng vốn đe dọa các lược đồ chữ ký tất định.
  • Luận án cung cấp chứng minh an toàn chặt chẽ cho EC-Schnorr-M trong mô hình bộ tiên tri ngẫu nhiên (ROM) dưới kịch bản tấn công lựa chọn thông điệp thích nghi (ACMA), đồng thời so sánh hiệu năng để khẳng định chi phí tính toán tăng thêm là không đáng kể.

Chương 3 – Nghiên cứu đảm bảo an toàn cho khóa bí mật của lược đồ chữ ký số kiểu EC-Schnorr

Chương 3 tập trung nghiên cứu độ an toàn của khóa bí mật dài hạn $a$ và khóa bí mật tức thời $k$ trước các tấn công nâng cao sử dụng công cụ lý thuyết lưới:

  • Tấn công khôi phục khóa dựa trên lý thuyết lưới: Khảo sát bài toán tìm khóa bí mật khi khóa tức thời $k$ bị lộ một số bit hoặc có các khoảng bit bị lặp lại qua nhiều lần ký. Bằng cách mô hình hóa bài toán thành bài toán tìm vector ngắn nhất/gần nhất trong lưới đại số và áp dụng thuật toán rút gọn cơ sở lưới LLL (Lenstra–Lenstra–Lovász), kẻ tấn công có thể khôi phục hoàn toàn khóa dài hạn $a$.
  • Khảo sát tấn công kiểu Blake và tấn công Poulakis: Phân tích điều kiện biên khi khóa bí mật tức thời $k$ hoặc khóa dài hạn $a$ có giá trị quá nhỏ hoặc quá lớn so với cấp $q$ của nhóm điểm trên đường cong elliptic. Luận án thực hiện các cài đặt thực nghiệm để kiểm chứng khả năng thám mã thực tế trên các tham số của EC-Schnorr.
  • Đề xuất tiêu chuẩn an toàn cho khóa bí mật (Tiêu chuẩn 3): Dựa trên các kết quả giải tích và thực nghiệm, luận án đề xuất tiêu chuẩn lựa chọn và sinh khóa cho lược đồ kiểu EC-Schnorr nhằm loại bỏ các khoảng giá trị yếu, ngăn chặn triệt để tấn công lưới và tấn công kiểu Blake, Poulakis.
  • Đánh giá hiệu năng và bộ nhớ: Luận án phân tích chi phí bộ nhớ, thời gian thực thi của lược đồ EC-Schnorr-M khi áp dụng Tiêu chuẩn 3, đồng thời so sánh tổng hợp về lý thuyết và thực hành giữa các phương án.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đạt được các kết quả và đóng góp mới sau:

  1. Về mặt lý thuyết và thuật toán:
    • Cung cấp phân tích toàn diện về độ an toàn chứng minh được của lược đồ EC-Schnorr; xác định các điều kiện cần về tính kháng tiền ảnh ngẫu nhiên ($rpp[D], rpsp[D]$) của hàm băm để lược đồ an toàn trước tấn công ACMA.
    • Thiết kế lược đồ chữ ký số cải tiến EC-Schnorr-M và xây dựng chứng minh an toàn trong mô hình bộ tiên tri ngẫu nhiên (ROM). Lược đồ này khắc phục điểm yếu lộ khóa khi lặp khóa bí mật tức thời $k$ mà không bị ảnh hưởng bởi tấn công gây lỗi như các lược đồ chữ ký tất định.
  2. Về mặt thực nghiệm và tiêu chuẩn tham số:
    • Thực nghiệm và đánh giá mức độ ảnh hưởng của các kịch bản tấn công khôi phục khóa dựa trên thuật toán rút gọn cơ sở lưới LLL, tấn công kiểu Blake và tấn công Poulakis lên lược đồ EC-Schnorr.
    • Đề xuất tiêu chuẩn kỹ thuật (Tiêu chuẩn 3) cho việc sinh và kiểm soát miền giá trị của khóa bí mật (dài hạn và tức thời), đảm bảo loại bỏ các trạng thái khóa yếu.
  3. Về mặt ứng dụng thực tiễn:
    • Cung cấp các luận cứ khoa học và giải pháp kỹ thuật phục vụ việc xây dựng chuẩn chữ ký số dựa trên đường cong elliptic tại Việt Nam, đáp ứng yêu cầu triển khai Chính phủ điện tử theo Nghị quyết 17/NQ-CP và ứng dụng trên các thiết bị hạn chế tài nguyên (Smart card, IoT).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

  • Hạn chế: Luận án tập trung nghiên cứu trên dạng đường cong Weierstrass $y^2 = x^3 + Ax + B$ trên trường hữu hạn $\mathbb{F}_p$ với bài toán logarit rời rạc kinh điển (ECDLP); chưa mở rộng đánh giá trên các dạng đường cong đặc thù khác (như Edwards, Montgomery) cũng như trong bối cảnh máy tính lượng tử (Post-Quantum Cryptography).
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Nghiên cứu cơ chế chống tấn công kênh kề (Side-Channel Attacks) ở mức phần cứng nâng cao cho lược đồ EC-Schnorr-M.
    • Nghiên cứu tích hợp lược đồ EC-Schnorr-M vào các giao thức bảo mật thực tế như TLS/SSL, SSH, giao thức xác thực trong mạng Blockchain và mạng cảm biến IoT.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên môn cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên: Phục vụ công tác giảng dạy, học tập và nghiên cứu chuyên sâu về mật mã khóa công khai, mật mã đường cong elliptic và phương pháp chứng minh an toàn trong mô hình ROM/GGM.
  • Kỹ sư và chuyên gia an toàn thông tin: Ứng dụng các phân tích thuật toán và tiêu chuẩn sinh khóa để phát triển phần mềm nhúng an toàn trên thẻ thông minh, thiết bị di động và các hệ thống phân tán.
  • Cơ quan quản lý và thiết lập chuẩn mật mã (Ban Cơ yếu Chính phủ, các đơn vị CA): Cung cấp cơ sở lý luận và thực nghiệm để xây dựng các tiêu chuẩn quốc gia về chữ ký số đường cong elliptic hiệu năng cao.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao lược đồ chữ ký số EC-Schnorr có tốc độ tính toán nhanh hơn so với ECDSA và GOST R 34.10-2012?
Trong pha sinh chữ ký ($Sign$), EC-Schnorr chỉ cần $M + MP + H$, hoàn toàn không sử dụng phép tính nghịch đảo trường hữu hạn $I$ (trong khi ECDSA cần $I + 2M + MP + H$). Trong pha xác minh ($Verify$), EC-Schnorr chỉ cần $2MP + H$, không yêu cầu phép nghịch đảo $I$ và phép nhân trường $M$ (trong khi ECDSA, GOST R 34.10-2012 và ECGDSA đều yêu cầu $I + 2M + 2MP + H$).

2. Hậu quả của việc lặp lại khóa bí mật tức thời $k$ trong lược đồ EC-Schnorr là gì?
Nếu một khóa $k$ được dùng lại để tạo chữ ký cho hai thông điệp khác nhau $m \neq m'$, kẻ tấn công thu được hai chữ ký $(r, s)$ và $(r', s')$. Khi đó, khóa bí mật dài hạn $a$ bị tính toán trực tiếp thông qua công thức $a = (s - s')(H(m' \parallel x) - H(m \parallel x))^{-1} \bmod q$, dẫn đến việc hệ mật bị phá vỡ hoàn toàn.

3. Tại sao giải pháp chữ ký tất định DECDSA (RFC 6979) chưa phải là lựa chọn tối ưu trong môi trường phần cứng?
Chữ ký tất định loại bỏ bộ sinh số ngẫu nhiên bằng cách tính $k = H(a \parallel m)$. Tuy nhiên, tính chất tất định này khiến hệ thống dễ bị tấn công gây lỗi vật lý (Fault injection attack). Bằng cách sửa đổi thông điệp $m \to m'$ hoặc can thiệp bước làm nhiễu, kẻ tấn công thiết lập được hệ hai phương trình hai ẩn để khôi phục chính xác khóa bí mật $a$.

4. Điều kiện cần đối với hàm băm $H$ trong lược đồ EC-Schnorr là gì?
Hàm băm $H$ bắt buộc phải thỏa mãn tính chất kháng tiền ảnh với tiền tố ngẫu nhiên ($rpp[D]$) và kháng tiền ảnh thứ hai với tiền tố ngẫu nhiên ($rpsp[D]$) trên tập hoành độ các điểm cấp $q$ của đường cong elliptic. Nếu không thỏa mãn, kẻ tấn công có thể giả mạo chữ ký hợp lệ dưới mô hình tấn công lựa chọn thông điệp thích nghi (ACMA).

5. Luận án sử dụng công cụ nào ở Chương 3 để khôi phục khóa bí mật của EC-Schnorr?
Luận án sử dụng lý thuyết lưới (Lattice theory) và thuật toán rút gọn cơ sở lưới LLL (Lenstra–Lenstra–Lovász) để giải bài toán vector ngắn nhất/gần nhất, từ đó khôi phục khóa dài hạn $a$ khi khóa tức thời $k$ có các khoảng bit bị lặp, bị lộ một phần, hoặc khi giá trị khóa nằm ở biên miền giá trị.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Nguyễn Tiến Xuân đã phân tích có hệ thống các khía cạnh an toàn thuật toán, an toàn cài đặt và an toàn tham số của lược đồ chữ ký số EC-Schnorr trên đường cong elliptic. Luận án đã đề xuất biến thể EC-Schnorr-M giải quyết nguy cơ lộ khóa khi trùng khóa tức thời, đồng thời tránh được các tấn công gây lỗi của chữ ký tất định, đi kèm chứng minh an toàn trong mô hình bộ tiên tri ngẫu nhiên (ROM). Ngoài ra, các phân tích tấn công dựa trên lý thuyết lưới đã làm cơ sở để đề xuất bộ tiêu chuẩn kỹ thuật an toàn cho khóa bí mật. Công trình cung cấp đóng góp khoa học và cơ sở thực tiễn phục vụ triển khai hạ tầng chứng thực chữ ký số hiệu năng cao tại Việt Nam.