From Quantum Cohomology to Integrable Systems - Martin A. Guest

Khám phá chi tiết Fqe1653640641, giải pháp công nghệ tiên tiến với tính năng ưu việt, hiệu suất cao, thiết kế hiện đại, đáp ứng nhu cầu đa dạng.

• Tác giả: Martin A. Guest
• Trường học: Tokyo Metropolitan University
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: From Quantum Cohomology to Integrable Systems
• Loại tài liệu: Sách
• Năm xuất bản: 2008
• Địa điểm: Oxford

Tóm tắt

I. Tổng quan về lý thuyết đối đồng điều lượng tử

Đối đồng điều lượng tử là một nhánh toán học hiện đại kết nối hình học đại số, vật lý lý thuyết và hệ tích phân. Lý thuyết này xuất hiện từ cuối thế kỷ 20, khi các nhà toán học phát hiện mối liên hệ sâu sắc giữa bất biến Gromov-Witten và cấu trúc đại số. Cuốn sách của Martin A. Guest, xuất bản năm 2008 bởi Oxford University Press, là tài liệu tham khảo học thuật quan trọng về chủ đề này. Nội dung trải dài từ các khái niệm cơ bản đến các hệ tích phân phức tạp. Phương trình KdV là một ví dụ trung tâm. Cấu trúc tuyến tính ẩn của nghiệm KdV được biểu diễn qua Grassmannian, tạo nên bức tranh hình học thanh lịch. Bất biến Gromov-Witten đo đếm số ánh xạ chỉnh hình từ CP1 vào đa tạp phức. Tích lượng tử mở rộng tích cup cổ điển trong đối đồng điều. Các ví dụ tính toán trên CPn minh họa rõ ràng cách hoạt động của đại số đối đồng điều lượng tử. Mối liên hệ với hệ tích phân làm cho lý thuyết này trở nên đặc biệt phong phú về mặt cấu trúc.

1.1. Nguồn gốc và lịch sử phát triển

Đối đồng điều lượng tử xuất phát từ vật lý lý thuyết, cụ thể là lý thuyết trường topo. Witten và Kontsevich đặt nền móng vào đầu thập niên 1990. Bất biến Gromov-Witten được định nghĩa nghiêm ngặt thông qua không gian moduli của ánh xạ ổn định. Tích lượng tử được xây dựng từ các bất biến 3-điểm. Trong nhiều trường hợp, các bất biến nhiều điểm có thể suy ra từ bất biến 3-điểm. Quá trình toán học hóa nghiêm ngặt mất nhiều năm và đóng góp của nhiều nhóm nghiên cứu. Đây là ví dụ điển hình về sự tương tác giữa toán học thuần túy và vật lý lý thuyết.

1.2. Vị trí trong toán học hiện đại

Lý thuyết này thuộc bộ sách Oxford Graduate Texts in Mathematics, số 15. Đây là chuỗi sách uy tín dành cho nghiên cứu sinh và nhà nghiên cứu. Đối đồng điều lượng tử kết nối nhiều lĩnh vực: hình học vi phân, đại số Lie, lý thuyết biểu diễn và phương trình vi phân. Sự kết nối với hệ tích phân thông qua phương trình KdV và phương trình Toda là đặc trưng nổi bật. Các nhóm holonomy Riemannian của Joyce và lý thuyết hiệu chỉnh đều liên quan gián tiếp. Trường này vẫn đang phát triển mạnh với nhiều câu hỏi mở quan trọng.

II. Phân tích cấu trúc đại số đối đồng điều lượng tử

Đại số đối đồng điều lượng tử có cấu trúc phong phú hơn đại số đối đồng điều cổ điển. Tích lượng tử, ký hiệu ◦, mở rộng tích cup thông thường bằng cách tính đến đóng góp của các đường cong chỉnh hình. Với đa tạp M = CPn, tích lượng tử được tính theo công thức tường minh. Cơ sở đối đồng điều được chọn là xi với Ai = Xn−i. Tích xi ◦ xj gồm hai phần: phần cổ điển và phần lượng tử với hệ số q. Phần lượng tử xuất hiện do đóng góp của các ánh xạ chỉnh hình bậc 1. Phân bậc trong đại số quyết định lũy thừa nào của q có thể xuất hiện. Điều này làm cho cấu trúc trở nên có kiểm soát. Không gian moduli của ánh xạ ổn định cung cấp nền tảng hình học cho toàn bộ lý thuyết. Bất biến Gromov-Witten Xi|Xj|Xk_D đóng vai trò cốt lõi trong việc xác định tích lượng tử.

2.1. Bất biến Gromov Witten và vai trò trung tâm

Bất biến Gromov-Witten là số đếm có định hướng của ánh xạ chỉnh hình. Với M = CPn và lớp đồng điều D, ánh xạ f: CP1 → M cần điều kiện D tương thích. Bất biến 3-điểm Xi|Xj|Xk_D có giá trị 1 hoặc 0 theo điều kiện rõ ràng. Điều kiện i+j+k=n cho bậc 0 và i+j+k=2n+1 cho bậc 1. Các bất biến này xác định hoàn toàn tích lượng tử trong trường hợp CPn. Tính nhất quán của hệ thống được đảm bảo qua phương trình WDVV. Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng phần liên kết các bất biến.

2.2. Cơ sở đối ngẫu và tính toán tích lượng tử

Cơ sở đối ngẫu b0,...,bs của H*(M) thỏa mãn bi, Aj = δij. Lớp Chern thứ nhất c1(TM) đóng vai trò quan trọng trong phân bậc. Với CPn, cơ sở được chọn tự nhiên từ cấu trúc tế bào. Tích xi ◦ xj = (xi ◦ xj)0 + (xi ◦ xj)1 · q là công thức đầy đủ khi bậc cao hơn không đóng góp. Phần (xi ◦ xj)0 khôi phục tích cup cổ điển. Phần (xi ◦ xj)1 là đóng góp lượng tử thuần túy. Phương pháp tính toán này áp dụng được cho nhiều lớp đa tạp khác nhau.

III. Giải pháp hệ tích phân qua phương pháp Grassmannian

Phương pháp Grassmannian cung cấp cách tiếp cận hình học thanh lịch cho hệ tích phân. Phương trình KdV là ví dụ điển hình. Nghiệm của phương trình KdV được biểu diễn qua điểm W trong Grassmannian. Công thức F- = γ̃ và F̌+ = Ẽ là kết quả trung tâm. Đây là trường hợp cực trị so với đối đồng điều lượng tử. Hàm Ẽ là hàm mũ của hàm tuyến tính, cụ thể Ẽ = exp(x·M1 + t·M2) với các ma trận M1, M2 rõ ràng. γ̃ là vòng lặp hằng số. Tính đơn giản của công thức này che giấu độ sâu lý thuyết đằng sau. Cấu trúc tuyến tính ẩn của nghiệm KdV được tiết lộ qua biểu diễn Grassmannian. Nghiệm tương ứng với điểm W = F- · H+(2) = γ̃ · H+(2). Các luồng tuyến tính trên Grassmannian biểu diễn nghiệm của phương trình tiến hóa. Phiên bản D-module của phương trình KdV cho thêm thông tin cấu trúc.

3.1. Phân tích Birkhoff và vòng lặp nhóm

Phân tích Birkhoff là công cụ đại số chủ chốt trong phương pháp này. Nhóm vòng lặp đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết hệ tích phân. Phân tích F = F- · F̌+ tách nghiệm thành hai thành phần. Thành phần F- chứa thông tin về dữ liệu ban đầu. Thành phần F̌+ là cố định và đơn giản. Kỹ thuật này có nguồn gốc từ lý thuyết Riemann-Hilbert. Ứng dụng vào KdV cho thấy sức mạnh của phương pháp. Sách Ward về hệ tích phân trong chuỗi OGTM cung cấp nền tảng bổ sung.

3.2. Luồng tuyến tính và cấu trúc hình học

Nghiệm của phương trình tiến hóa được biểu diễn như luồng tuyến tính trên Grassmannian. Hình ảnh hình học này rất hấp dẫn và kích thích nhiều nghiên cứu. Điểm W trên Grassmannian đóng vai trò giá trị ban đầu. Sự tiến hóa theo thời gian là tuyến tính trong không gian này. Điều này giải thích tính tích phân của phương trình KdV một cách hình học. Các phương pháp khác nhau đều dẫn đến cùng kết quả nhưng với góc nhìn khác. Liên kết giữa các phương pháp này khó tìm trong tài liệu hiện có, đây là đóng góp quan trọng của cuốn sách.

IV. Kết luận và ứng dụng trong nghiên cứu hiện đại

Lý thuyết từ đối đồng điều lượng tử đến hệ tích phân là một trong những thành tựu lớn của toán học thế kỷ 20 và 21. Sự kết nối giữa hình học enumerative và hệ động lực tích phân mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới. Các ứng dụng trải rộng từ lý thuyết dây trong vật lý đến hình học vi phân thuần túy. Phương trình KdV có nghiệm soliton được sử dụng trong quang học sợi và vật lý plasma. Đối đồng điều lượng tử của không gian cờ và Grassmannian đang được tích cực nghiên cứu. Kết nối với lý thuyết biểu diễn nhóm Lie tạo thêm chiều sâu cấu trúc. Lý thuyết D-module cung cấp ngôn ngữ thống nhất cho nhiều hiện tượng. Các câu hỏi mở về đối đồng điều lượng tử của các không gian phức tạp hơn vẫn đang chờ giải đáp. Phương pháp tính toán phát triển từ lý thuyết này có ảnh hưởng rộng rãi trong toán học hiện đại.

4.1. Ứng dụng trong vật lý lý thuyết

Lý thuyết trường topo và lý thuyết dây sử dụng đối đồng điều lượng tử như công cụ tính toán. Bất biến Gromov-Witten xuất hiện trong tính toán biên độ tán xạ. Phương trình KdV mô tả sóng nước nông và có ứng dụng trong vật lý plasma. Hệ tích phân cung cấp mô hình chính xác giải được, quý giá trong vật lý lý thuyết. Cấu trúc Grassmannian xuất hiện trong lý thuyết trường lượng tử và lý thuyết dây. Các nghiệm soliton có tính chất đặc biệt ổn định và được quan sát thực nghiệm. Sự kết hợp này làm cho toán học thuần túy và vật lý lý thuyết xích lại gần nhau.

4.2. Hướng phát triển và câu hỏi mở

Đối đồng điều lượng tử của đa tạp tổng quát vẫn là chủ đề nghiên cứu sôi động. Tính chặt chẽ của định nghĩa bất biến Gromov-Witten vẫn cần phát triển trong các trường hợp đặc biệt. Mối liên hệ với lý thuyết nhóm lượng tử đang được khám phá. Tổng quát hóa sang đối đồng điều equivariant mở thêm nhiều khả năng. Các phương trình vi phân phát sinh từ đối đồng điều lượng tử, như phương trình quantum differential, là trọng tâm nghiên cứu hiện tại. Kết nối với lý thuyết phạm trù cao hơn đang dần được làm rõ.

Trích đoạn nội dung tài liệu

com From Quantum Cohomology to Integrable Systems www.com OXFORD GRADUATE TEXTS IN MATHEMATICS Books in the series 1. Keith Hannabuss: An introduction to quantum theory 2. Reinhold Meise and Dietmar Vogt: Introduction to functional analysis 3. Oxley: Matroid theory 4.

Ward: Integrable systems: twistors, loop groups, and Riemann surfaces 5. Wulf Rossmann: Lie groups: An introduction through linear groups 6. Qing Liu: Algebraic geometry and arithmetic curves 7. Bridson and Simon M.

Salamon (eds): Invitations to geometry and topology 8. Shumel Kantorovitz: Introduction to modern analysis 9. Terry Lawson: Topology: A geometric approach 10. Meinolf Geck: An introduction to algebraic geometry and algebraic groups 11.

Alastair Fletcher and Vladimir Markovic: Quasiconformal maps and Teichmüller theory 12. Dominic Joyce: Riemannian holonomy groups and calibrated geometry 13. Fernando Villegas: Experimental Number Theory 14. Péter Medvegyev: Stochastic Integration Theory 15.

Guest: From Quantum Cohomology to Integrable Systems www.com From Quantum Cohomology to Integrable Systems Martin A. Guest Tokyo Metropolitan University 1 www.com 3 Great Clarendon Street, Oxford ox2 6dp Oxford University Press is a department of the University of Oxford. It furthers the University’s objective of excellence in research, scholarship, and education by publishing worldwide in Oxford New York Auckland Cape Town Dar es Salaam Hong Kong Karachi Kuala Lumpur Madrid Melbourne Mexico City Nairobi New Delhi Shanghai Taipei Toronto With offices in Argentina Austria Brazil Chile Czech Republic France Greece Guatemala Hungary Italy Japan Poland Portugal Singapore South Korea Switzerland Thailand Turkey Ukraine Vietnam Oxford is a registered trade mark of Oxford University Press in the UK and in certain other countries Published in the United States by Oxford University Press Inc., New York © Martin A. Guest 2008 The moral rights of the author have been asserted Database right Oxford University Press (maker) First published 2008 All rights reserved.

No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, without the prior permission in writing of Oxford University Press, or as expressly permitted by law, or under terms agreed with the appropriate reprographics rights organization. Enquiries concerning reproduction outside the scope of the above should be sent to the Rights Department, Oxford University Press, at the address above You must not circulate this book in any other binding or cover and you must impose the same condition on any acquirer British Library Cataloguing in Publication Data Data available Library of Congress Cataloging in Publication Data Data available Typeset by Newgen Imaging Systems (P) Ltd., Chennai, India Printed in Great Britain on acid-free paper by Biddles Ltd., King’s Lynn, Norfolk ISBN 978–0–19–856599–4 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 www.com Preface A glance at the current mathematics research literature reveals the torrent of ideas and results flowing from quantum cohomology, Frobenius manifolds, and mirror symmetry. These are concepts that were mostly unheard of 20 years ago. But the new ideas are not simply ‘abstract nonsense’; they are deeply related to virtually all mainstream areas of mathematics and have already provided many new results in, and new connections between, those areas.

While I had always intended to write this book in the style of ‘lecture notes’, and it did indeed grow from several series of lectures which I have given, the end result is much less ambitious than I had initially hoped, and more philosophical. To some extent this is a consequence of lack of time and perseverance on my part, but it also reflects the novelty and vitality of the subject. Each bit of progress seems to lead in several new directions, all of which provide tempting diversions from the original task. It is impossible for anyone to write a definitive book in these circum- stances.

I have settled for this introduction to the subject, emphasizing those aspects which are well established and unlikely to change much; it is just a starting point. On the other hand, this book is not a summary of research articles. It is more elementary and I have provided my own interpretation, which involved rethinking some aspects of the subject. However, the expo- sition relies very much on traditional mathematics, and traditional notation, and it is designed to be read by traditional mathematicians.

The first chapter of this book gives a very brief introduction to the ideas of algebraic topology for readers who are either not pure mathe- maticians or who have had little need for cohomology in their own work. The second chapter introduces quantum cohomology as a generalization of cohomology: in both cases, a certain product operation is defined in terms of intersection of cycles. For cohomology, these cycles are just subsets of a given manifold M; for quantum cohomology, they are subsets of a cer- tain space of ‘complex curves’ in M. Instead of going into the details of the construction of this space, we just give an informal definition followed by some simple but important examples.

The third chapter presents, in a sim- ilarly informal way, the quantum differential equations. These differential www.com vi Preface equations lie at the heart of the subject, and this book. They are a sys- tem of linear overdetermined partial differential equations. Although they can be defined for cohomology too, they have constant coefficients in that case, and so are of little interest.

The non-triviality of the quantum differ- ential equations sets quantum cohomology apart from cohomology, but, much more significantly, the quantum differential equations have a differ- ential geometric interpretation, which leads to the link with the theory of integrable systems. In Chapter 4, with three chapters of motivation behind us, we review the elementary theory of linear differential equations that will form the founda- tion of the rest of the book. This is mostly very straightforward, though it uses the language of D-modules, which is a somewhat non-standard topic. The quantum differential equations are most naturally described as a D- module, the quantum D-module, and we regard this language as extremely helpful.

Nevertheless, the reader who prefers not to deal with D-modules may replace the word ‘D-module’ by ‘flat connection’ without being led too far astray. Chapter 5 represents the true start of the book. Assuming the definition of quantum cohomology, we define the quantum D-module, and describe some of its key properties. From this point we have no further need of the topological or geometrical definition of quantum cohomology; we shall be concerned only with its associated D-module.

In Chapter 6 we approach the same object from a different direction. Starting from a certain type of D-module, we consider whether or not it has any of the properties of a quantum D-module. This leads to close links between quantum cohomology and integrable systems. To this end, we introduce a construction procedure, based on [62].

The main point of this construction is that it begins from easily recognizable data (a collection of scalar differential equations) and converts it to a D-module having many of the properties of a quantum D-module. In other words, since it is very difficult to recognize a fully fledged quantum D-module directly, we take an indirect approach. This has the advantage that our point of view can accommodate other integrable systems, which may only partially resemble quantum cohomology. To put this in context, in Chapters 7 and 8 we review some of the famous (infinite-dimensional) integrable systems, concentrating on the KdV equation and the harmonic map equations, where D-modules and flat connections provide a natural framework.

After a purely differen- tial equation-theoretic discussion in Chapter 7, we review in Chapter 8 the infinite-dimensional Grassmannian, and how it can be used to produce important families of solutions to those differential equations.com Preface vii The effectiveness of this method can be explained by the fact that the Grassmannian is a geometrical representation of the underlying D-module, and the geometry of finite-dimensional Grassmannians is a familiar source of intuition. In particular, Schubert cell decompositions arising from lower/upper triangular matrix group factorizations are a surprisingly use- ful tool. In the infinite-dimensional case these become Birkhoff loop group factorizations. Although this point of view is well known (it is simply a convenient way of handling the Riemann–Hilbert problem), it is not usu- ally discussed in this way at the level of D-modules, where it also gives a decomposition into simpler components.

In the remaining two chapters we return to our main focus, quantum cohomology. First of all, in Chapter 9, we give the standard description of quantum cohomology as an integrable system; this says that the quantum cohomology of a manifold can be regarded as a solution of an integrable system known as the WDVV equations. This integrable system has some (though certainly not all) of the features of the KdV equation or the har- monic map equations. The full extent of these similarities is still to be investigated, but one aspect is already clear: the infinite-dimensional Grass- mannian plays an indispensable role.

This is because the Grassmannian point of view reveals mirror symmetry, in the sense that the quantum coho- mology D-module is represented as an object which resembles a variation of Hodge structure. After a brief review of variations of Hodge structure at the beginning of Chapter 10, we explain this point of view, and show how most of the theory developed in this book contributes to it. Let us try to summarize all this in a few brief sentences. The main purpose of this book is to explain how quantum cohomology is related to differen- tial geometry and the theory of integrable systems.

In concrete terms, the concept of D-module unifies several aspects of quantum cohomology, har- monic maps, and soliton equations like the KdV equation. It does this by providing natural conditions on families of flat connections and their ‘exten- sions’, from which these equations are derived. These conditions can be strong enough to determine the equations completely, despite their disparate geometric origins. Our goal is simply to explain this unified way of thinking.

A brief word about the notational conventions in this book is necessary. Whenever different areas of mathematics interact, well-established notation in one area can conflict with equally well-established notation in another. I have decided to tolerate such conflicts when the context can be relied upon to indicate the meaning, rather than make a desperate attempt to be systematic. For example, I allow the differential operators L, P of KdV theory to coexist with other L and P, such as the L in the next paragraph, and the parabolic subgroup P of a generalized flag manifold GC /P.com viii Preface the reader will agree that an uncompromising attitude to such conflicts can do more harm than good.

Another kind of notational problem arises when the literature already contains several well-established names for the same object. I have tried to make sensible choices in such cases. Occasionally, however, I have intro- duced entirely new notation, in order to emphasize a new point of view. A minor example is the use of h (instead of
) for the ‘spectral parameter’ of quantum cohomology; I use this to remind the reader that I generally have in mind ‘abstract quantum cohomology’ or even more general situations.

A more troublesome matter is the choice of convention for the ‘pullback of the Maurer–Cartan form’. I write this as F −1 dF, with F as ‘general purpose’ notation, but usually I use L instead of F when the map is holomorphic in the sense that dL/d z̄ = 0. Since it is overwhelm- ingly conventional to write matrix equations in the form Y
= AY with Y a column vector, I introduce H = F t where H is interpreted as the funda- mental solution matrix of such a system, so that dHH −1 = A. This avoids excessive use of transposes, at the cost of using both H and F.