Chương 1: Các khái niệm cơ bản về lý thuyết mật mã và an toàn thông tin. Trong chƣơng này đƣa ra các khái niệm toán học cơ bản, định nghĩa và hệ thống lại các vấn đề lý thuyết cơ sở đảm bảo an toàn thông tin trong giao dịch điện tử nhƣ: hệ mật mã, chữ ký điện tử, chứng chỉ số. Chương 2: Cơ sở hạ tầng đảm bảo ATTT trong GDĐT. Nêu các vấn đề đảm bảo ATTT trong GDĐT, vai trò của cơ sở hạ tầng về mật mã khoá công khai trong hệ thống GDĐT.
Trình bày khái niệm, các thành phần kỹ thuật cơ bản, các công cụ, phƣơng tiện và các giao thức của nó. Chương 3: Xây dựng mô hình đảm bảo ATTT trong GDĐT phục vụ công tác Hành chính Nhà nƣớc. Nêu lên các loại hình giao dịch điện tử của cơ quan Nhà nƣớc đƣợc quy định hiện hành, đánh giá thực trạng về giao dịch điện tử trong các cơ quan Hành chính Nhà nƣớc hiện nay, đề xuất xây dựng mô hình hệ thống đảm bảo an toàn thông tin phục vụ giao dịch điện tử của cơ quan Hành chính Nhà nƣớc đảm bảo các quy chuẩn kỹ thuật và quy định của luật pháp Việt Nam. Chương 4: Xây dựng hệ thống thử nghiệm, mô phỏng các hoạt động giao dịch điện tử cơ bản trong cơ quan Hành chính.
Phụ lục: Một số quy định của Nhà nƣớc đảm bảo cho việc xây dựng và triển khai các hệ thống giao dịch điện tử: Nêu vắn tắt cơ sở pháp lý phục vụ xây dựng và triển khai các hệ thống giao dịch điện tử tại Việt Nam (Luật giao dịch điện tử; Nghị định về chữ ký số và chứng thƣ số và một số quy định khác trong công tác Quản lý Hành chính Nhà nƣớc có liên quan). LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 11 Chƣơng 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TOÁN HỌC 1.
Số học các số nguyên Tính chia hết của các số nguyên: Ký hiệu Z là tập các số nguyên, Z+ là tập các số nguyên không âm. Cho a, b là các số nguyên, a=b.q, ta nói a chia hết cho b và ký hiệu là b|a. Số nguyên d đƣợc gọi là ƣớc số chung của hai số nguyên a và b nếu d|a và d|b. Ký hiệu ƣớc số chung lớn nhất của a và b là gcd(a, b), bội số chung nhỏ nhất của a và b là lcm(a, b).
Ta biết rằng nếu gcd(a, b)=d, thì phƣơng trình bất định: ax+by=d có nghiệm nguyên (x, y), nghiệm nguyên này có thể tìm đƣợc bởi thuật toán Euclide mở rộng (T25[8]). Đồng dư và phương trình đồng dư tuyến tính: Hai số nguyên a và b đồng dƣ với nhau theo môđun n, ký hiệu a b(mod n), nếu n | a-b. Phƣơng trình đồng dƣ tuyến tính có dạng: ax b (mod n), trong đó a, b, n là các số nguyên, n>0, x là ẩn số. Phƣơng trình có nghiệm khi và chỉ khi d = gcd(a, n) | b, và khi đó có đúng d nghiệm theo mod n.
Thặng dư thu gọn và phần tử nguyên thuỷ: Tập Zn = {0, 1, 2, …, n-1} đƣợc gọi là tập thặng dƣ đầy đủ theo mod n, vì số nguyên bất kỳ đều có thể tìm đƣợc trong Zn một số đồng dƣ với mình. Tập Zn* = {a Zn : gcd (a, n)=1}, là tập con của Zn bao gồm tất cả các phần tử nguyên tố với n. Ta gọi tập đó là tập thặng dƣ thu gọn theo mod n. Nhƣ vậy nếu p là một số nguyên tố thì Zp* = {1, 2, …, p-1}.
Zn* là một nhóm con đối với phép nhân của Zn (vì trong Zn* phép chia theo mod n bao giờ cũng thực hiện đƣợc). Ta gọi Zn* là nhóm nhân của Zn. Ký hiệu (n) là số các số nguyên dƣơng bé hơn n và nguyên tố với n. Nhƣ vậy, nhóm Zn* có cấp là (n), và nếu p là số nguyên tố thì Zp* có cấp là p-1.
Ta nói phần tử g Zn* có cấp m, nếu m là số nguyên dƣơng bé nhất sao cho gm=1 trong Zn*. Theo một định lý trong đại số, ta có m | (n). Vì vậy, với mọi b Zn* ta luôn có b (n) 1 mod n. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 Nếu p là số nguyên tố, thì do (n)=p-1, ta có với mọi b Zp*, bp-1) 1 (mod p)(*).
Nếu b có cấp p-1, tức p-1 là số mũ bé nhất thoả mãn công thức (*), thì các phần tử b, b2,….,bp-1 đều khác nhau và theo mod p, chúng lập thành Zp*. Theo thuật ngữ đại số, khi đó ta nói Zp* là một nhóm cyclic và b là một phần tử sinh, hay phần tử nguyên thuỷ của nhóm đó. Phương trình đồng dư bậc hai và thặng dư bậc hai: Ta xét phƣơng trình đồng dƣ bậc hai có dạng đơn giản sau đây: x2 a (mod n), trong đó n là một số nguyên dƣơng, a là số nguyên với gcd(a,n)=1, và x là ẩn số. Phƣơng trình đó không phải bao giờ cũng có nghiệm, khi nó có nghiệm ta nói a là một thặng dư bậc hai mod n; nếu không thì a là một bất thặng dư bậc hai mod n.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Số nguyên tố Kiểm tra tính nguyên tố của một số: Bài toán: Cho một số nguyên dƣơng n bất kỳ, hãy kiểm tra n có là số nguyên tố hay không? Bài toán đƣợc đặt ra từ những buổi đầu của số học, và trải qua hơn 2000 năm đến nay vẫn là một bài toán chƣa có đƣợc những cách giải dễ dàng. Đã có nhiều phƣơng pháp tìm đƣợc nhiều số nguyên tố lớn. Tuy nhiên, chỉ đến giai đoàn hiện nay của lý thuyết mật mã hiện đại, nhu cầu sử dụng các số nguyên tố và thử tính nguyên tố của các số mới trở thành một nhu cầu to lớn và phổ biến, đòi hỏi nhiều phƣơng pháp mới có hiệu quả hơn.
Để thử tính nguyên tố của một số ta có thể áp dụng một số tính chất sau đây: 1. Tiêu chuẩn Euler-Solovay-Strassen: - Nếu n là số nguyên tố, thì với mọi số nguyên dƣơng a n-1: a (n-1)/2 a mod n. n a Trong đó, ký hiệu Legendre đƣợc định nghĩa nhƣ sau: n 0, khi a 0 (mod n); a = 1, khi a Qn; với tập Qn các thặng dƣ bậc hai mod n. n 1, khi a Qn - Nếu n là hợp số, thì: a n 1 |{a:1 a n-1, a(n-1)/2mod n}| n 2 2.
Tiêu chuẩn Solovay-Strassen-Lehmann: - Nếu n là số nguyên tố, thì với mọi số nguyên dƣơng a n-1: a(n-1)/2 1(mod n). - Nếu n là hợp số, thì: n 1 |{a:1 a n-1, a(n-1)/2 1 mod n}| 2 3. Tiêu chuẩn Miller-Rabin: - Cho n là số nguyên lẻ, ta viết n-1 = 2e.u, với u là số lẻ. Nếu n là số nguyên tố, thì với mọi số nguyên dƣơng a n-1: k (au 1 mod n) k<e (a2.
- Nếu n là hợp số, thì: k n 1 |{a: 1 a n-1, (au 1 mod n) k<e (a2. 4 Các tiêu chuẩn kể trên là cơ sở để ta xây dựng các thuật toán xác suất kiểu Monte-Carlo thử tính nguyên tố (hay hợp số) của các số nguyên. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 14 Trong mấy chục năm gần đây, một số thuật toán đã đƣợc đề xuất, trong đó có những thuật toán đặc sắc nhƣ thuật toán thử tổng Jacobi, đƣợc phát hiện bởi Adleman, Pomerance và Rumely, sau đó đƣợc đơn giản hoá bởi Cohen và Lenstra; thuật toán thử bằng đƣờng cong elliptic, đƣợc đề xuất bởi Goldwasser, Kilian, Adleman và Huang, đƣợc tiếp tục hoàn thiện bởi Atkin và Morain, các thuật toán này đã đƣợc dùng để tìm nhiều số nguyên tố rất lớn, thí dụ dùng thuật toán Atkin – Morain đã chứng tỏ đƣợc số (23539+1)/3 có 1065 chữ số thập phân là số nguyên tố. Tháng 8/2002, các nhà toán học Ấn Độ Agrawal, Kayal và Saxena đã đƣa ra một thuật toán tất định thử tính nguyên tố có độ phức tạp tính toán thời gian đa thức khá đơn giản đƣợc một số nhà khoa học kiểm nghiệm, đánh giá cao và xem là một thuật toán đẹp, có thể dùng cho việc kiểm thử tính nguyên tố của các số nguyên.
Phân tích thành thừa số nguyên tố: Bài toán phân tích một số nguyên >1 thành thừa số nguyên tố cũng đƣợc xem là một bài toán khó thƣờng đƣợc sử dụng trong lý thuyết mật mã. Biết một số n là hợp số thì việc phân tích n thành thừa số mới là có nghĩa; do đó thƣờng khi để giải bài toán phân tích n thành thừa số, ta thử trƣớc n có là hợp số hay không; và bài toán phân tích n thành thừa số có thể dẫn về bài toán tìm một ƣớc số của n. Bài toán phân tích thành thừa số, hay bài toán tìm ƣớc số của một số nguyên cho trƣớc, đã đƣợc nghiên cứu nhiều, nhƣng cũng chƣa có một thuật toán hiệu quả nào để giải nó trong trƣờng hợp tổng quát; do đó ngƣời ta có khuynh hƣớng tìm thuật toán giải nó trong những trƣờng hợp đặc biệt, chẳng hạn khi n có một ƣớc số nguyên tố p với p-1 là B-mịn với một cận B>0 nào đó, hoặc khi n là số Blum, tức là số có dạng tích của hai số nguyên tố lớn nào đó (n=p. Tính logarit rời rạc theo môđun nguyên tố: Cho p là một số nguyên tố, và là một phần tử nguyên thuỷ theo mod p, tức là phần tử nguyên thuỷ của nhóm Zp*.
Bài toán tính logarit rời rạc theo mod p là bài toán tìm, với mỗi số Zp*, một số a (1 a p-1) sao cho = a mod p, tức là a = log (mod p-1). Một thuật toán tầm thƣờng để giải bài toán này là thuật toán duyệt toàn bộ các số a từ 1 đến p-1, cho đến khi tìm đƣợc a thoả mãn = a mod p. Thuật toán này sẽ không hiệu quả nếu p là số nguyên tố rất lớn. Các nhà khoa học đã nghiên cứu phát triển nhiều thuật toán khác, cả thuật toán tất định, cả thuật toán xác suất, để tính logarit rời rạc, nhƣng chƣa có thuật toán nào đƣợc chứng tỏ là có độ phức tạp tính toán với thời gian đa thức [8].
LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.