I. Chuỗi lũy thừa hình thức và iđêan
Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về chuỗi lũy thừa hình thức và iđêan trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức. Chuỗi lũy thừa hình thức được định nghĩa là các biểu diễn dạng tổng vô hạn với hệ số trong trường K. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức, ký hiệu K[[x]], là một vành địa phương với iđêan cực đại m. Các tính chất tôpô của vành này, như tôpô m-adic, cũng được trình bày chi tiết. Iđêan đơn thức được định nghĩa là iđêan sinh bởi các đơn thức, và các tính chất liên quan đến iđêan đơn thức cũng được khảo sát.
1.1 Vành các chuỗi lũy thừa hình thức
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức K[[x]] được xây dựng từ các biểu diễn dạng tổng vô hạn với hệ số trong trường K. Vành này có cấu trúc địa phương với iđêan cực đại m. Các phép toán cộng và nhân trong vành được định nghĩa một cách tự nhiên, và vành này là đầy đủ đối với tôpô m-adic. Các dãy Cauchy và dãy hội tụ trong vành cũng được nghiên cứu, đảm bảo tính đầy đủ của vành.
1.2 Iđêan đơn thức
Iđêan đơn thức là iđêan sinh bởi các đơn thức trong vành đa thức K[x]. Một iđêan đơn thức có tính chất đặc biệt là mọi phần tử của nó đều chia hết cho một đơn thức trong hệ sinh. Các tính chất của iđêan đơn thức, như giao và thương của hai iđêan đơn thức, cũng được khảo sát. Đặc biệt, mọi iđêan đơn thức đều có một hệ sinh hữu hạn, điều này được chứng minh thông qua Bổ đề Gordan-Dickson.
II. Cơ sở chuẩn tắc của iđêan
Chương này tập trung vào lý thuyết cơ sở chuẩn tắc của iđêan trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức. Cơ sở chuẩn tắc là một hệ sinh hữu hạn của iđêan sao cho iđêan dẫn đầu của iđêan được sinh bởi các từ dẫn đầu của hệ sinh. Định lý chia Grauert, một tổng quát của Định lý chia Weierstrass, là nền tảng cho việc xây dựng cơ sở chuẩn tắc. Các tính chất của cơ sở chuẩn tắc, như tính duy nhất và tính thu gọn, cũng được trình bày chi tiết.
2.1 Định lý chia Grauert
Định lý chia Grauert là công cụ chính để xây dựng cơ sở chuẩn tắc. Định lý này khẳng định rằng với mọi phần tử g trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức, tồn tại duy nhất các phần tử g1, ..., gr và h sao cho g = g1f1 + ... + grfr + h, với các điều kiện nhất định về từ dẫn đầu. Định lý này đảm bảo tính khả thi của việc chia một phần tử cho một hệ sinh của iđêan, và là cơ sở để xác định cơ sở chuẩn tắc.
2.2 Cơ sở chuẩn tắc và tính chất
Cơ sở chuẩn tắc của một iđêan là một hệ sinh hữu hạn sao cho iđêan dẫn đầu của iđêan được sinh bởi các từ dẫn đầu của hệ sinh. Mọi iđêan khác không trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức đều có một cơ sở chuẩn tắc. Các tính chất của cơ sở chuẩn tắc, như tính duy nhất và tính thu gọn, cũng được khảo sát. Tiêu chuẩn Buchberger, một công cụ quan trọng để kiểm tra tính chuẩn tắc của một hệ sinh, cũng được trình bày.
III. Ứng dụng của cơ sở chuẩn tắc
Chương này trình bày một số ứng dụng của cơ sở chuẩn tắc trong việc giải quyết các bài toán tính toán trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức. Cơ sở chuẩn tắc không chỉ là công cụ lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong các lĩnh vực như hình học đại số và lý thuyết kỳ dị. Các ví dụ cụ thể về việc sử dụng cơ sở chuẩn tắc để giải quyết các bài toán chia và tính toán trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức cũng được đưa ra.
3.1 Ứng dụng trong tính toán
Cơ sở chuẩn tắc được sử dụng để giải quyết các bài toán tính toán trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức. Ví dụ, việc chia một phần tử cho một hệ sinh của iđêan có thể được thực hiện hiệu quả thông qua cơ sở chuẩn tắc. Các bài toán liên quan đến việc xác định phần dư và thương trong quá trình chia cũng được giải quyết một cách hệ thống nhờ vào cơ sở chuẩn tắc.
3.2 Ứng dụng trong hình học đại số
Trong hình học đại số, cơ sở chuẩn tắc đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các đa tạp đại số và các điểm kỳ dị. Cơ sở chuẩn tắc giúp đơn giản hóa các tính toán liên quan đến iđêan và môđun trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức, từ đó hỗ trợ việc phân tích các đối tượng hình học một cách hiệu quả.
