I. Giới thiệu về điểm nguyên và đường cong đại số
Luận văn tập trung vào việc nghiên cứu điểm nguyên trên đường cong đại số, một vấn đề quan trọng trong toán học đại số và lý thuyết số. Phương pháp Baker được sử dụng để chặn số nghiệm của phương trình Diophăng, đặc biệt là phương trình Thue-Mahler. Năm 1933, Mahler đã chứng minh rằng số nghiệm của phương trình này là hữu hạn, nhưng chứng minh chưa hoàn chỉnh. Năm 1969, Coates đã hoàn thiện chứng minh bằng cách áp dụng lý thuyết của Baker cho hình thức tuyến tính logarithme.
1.1. Phương pháp Baker và ứng dụng
Phương pháp Baker là công cụ mạnh để chặn số nghiệm của phương trình Diophăng. Năm 1992, Tzanakis và Weger đã mở rộng ứng dụng của phương pháp này cho các loại phương trình cụ thể. Phương trình Thue-Mahler, được nghiên cứu từ những năm 1930, là một trong những ví dụ điển hình. Phương pháp Baker không chỉ giới hạn trong toán học đại số mà còn có ứng dụng trong hình học đại số và số học đại số.
II. Hình thức tuyến tính và logarithme
Luận văn giới thiệu lý thuyết Baker cho hình thức tuyến tính logarithme, đặc biệt là việc áp dụng để chặn số nghiệm của phương trình Diophăng. Hình thức tuyến tính trong logarithme là công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán trong lý thuyết số và toán học đại số. Các kết quả của Lang, Baker, Harris, Mazur, Beukeurs và Schlickewei đã đóng góp đáng kể vào lĩnh vực này.
2.1. Lý thuyết Baker và phương trình đơn vị
Lý thuyết Baker không chỉ áp dụng cho phương trình Diophăng mà còn cho phương trình đơn vị trong nhóm hữu hạn. Các kết quả về sự hữu hạn của phương trình đơn vị đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. Luận văn trình bày các kết quả quan trọng về phương trình đơn vị và ứng dụng của lý thuyết Baker trong việc chặn số nghiệm.
III. Cấu trúc luận văn và ứng dụng
Luận văn gồm ba chương chính: Lý thuyết độ cao, Lý thuyết Baker, và các ứng dụng. Chương I giới thiệu về lý thuyết độ cao, một công cụ cơ bản trong hình học đại số. Chương II tập trung vào lý thuyết Baker và hình thức tuyến tính logarithme. Chương III trình bày các ứng dụng cụ thể của lý thuyết Baker trong việc giải quyết các bài toán về điểm nguyên và đường cong đại số.
3.1. Ứng dụng trong toán học đại số và lý thuyết số
Các kết quả của luận văn không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong toán học đại số và lý thuyết số. Việc chặn số nghiệm của phương trình Diophăng và phương trình đơn vị mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong các lĩnh vực này. Luận văn cũng góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ giữa hình thức tuyến tính và logarithme trong việc giải quyết các bài toán phức tạp.
