mở đầu cho việc áp dụng định lý Thales cho tam giác đồng dạng. Với kỹ thuật hạ đường cao xuống cạnh huyền quen thuộc, Legendre đã đưa ra một hướng tư duy mới để chứng minh định lý Pythagoras chỉ qua vài phép biến đổi đơn giản. Dựng ∆AEC với độ dài các cạnh là a, b, và c. Sau đó, dựng đường tròn (C, b).
Tiếp theo, dựng ∆BED với cạnh huyền độ dài 2b. Điểm E cũng nằm trên đường tròn này nên ∆BED là tam giác vuông. d =B Ta có AEC ED = 90◦ nên AEC [ d − BEC d =B ED − BEC. d Suy ra AEB [ [ = CDE, Mà CED [ Do đó ta có ∆AEB ∼ ∆ADE d = CDE.
[ do ∆CED cân nên AEB (g.g) nên AE AB =. AD AE Từ đây a c−b = nên a2 = (c + b) (c − b) , c+b a hay là a2 = c2 − b2. Cách chứng minh này không có gì đặc biệt ở phần lời: sử dụng phép cộng trừ góc, cạnh đơn giản và xét cặp tam giác đồng dạng khá dễ hiểu. Tuy nhiên, phần hình lại tương đối khó để tư duy.
Cách dựng hình độc đáo song lại có phần không tự nhiên và khó để có thể áp dụng lại. Chứng minh này được minh họa đầy đủ hơn trong Hình 1. Các kí tự đại số đã được thêm vào để bạn đọc có thể rõ hơn. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.
Tấm bia mộ Henry Perigal Hình 1. Chứng minh của Perigal Ý tưởng trung tâm của chứng minh của Perigal là việc tám tứ giác được dựng trong hình đều bằng nhau. Diện tích hình vuông cạnh c bằng tổng diện tích của hình vuông cạnh b và diện tích bốn tứ giác. Diện tích hình vuông cạnh a bằng tổng diện tích bốn tứ giác.
Do đó, ta có thể đưa đến c2 = a2 + b2. Garfield, Tổng thống Mỹ, 1876, xem [5], trang 106-107). Diện tích hình thang bằng (a + b)(a + b). 2 Mặt khác, diện tích hình thang bằng tổng diện tích của ba tam giác.
Do đó (a + b) (a + b) ab ab c2 = + +. 2 2 2 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Chứng minh của J. Đây là một chứng minh thú vị khác với ứng dụng hình thang vuông.
Tác giả chỉ sử dụng ba tam giác vuông đơn giản để ghép thành hình thang, từ đó vận dụng công thức tính diện tích để xây dựng lên định lý Pythagoras cần chứng minh. Đây có thể coi là cách chứng minh bằng lời ngắn gọn nhất, không hề cầu kì phức tạp nhưng lại mang đến cho người đọc cảm giác hứng thú, từ đó trở thành nền tảng cho sự sáng tạo các cách dựng hình khác. Chứng minh của Anna Condit Xét tam giác ABC. Kẻ các hình vuông ACDE, BCFG và ABHI.
Sau đó nối D và F (Hình 1. Đường thẳng CP là đường trung tuyến ứng với cạnh AB. Kéo dài cạnh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 20 CP cắt DF ở điểm R. d = 90◦ , tam giác ABC nội tiếp đường tròn P; AB Do ACB nên suy ra 2 AB AP = PC =.
2 Ta có ∆ABC = ∆DFC (c.c) nên suy ra d = CDF BAC [ = α. d = CAP Tam giác ACP cân tại P suy ra ACP d = 90◦ − α. d = α, tức là DCR d = 90o nên PR⊥DF. Từ P kẻ PM, PN và PL đến các trung d + CDR Ta có DCR điểm tương ứng của ED, FG và HI ta được PM k AE, PN k BG và PL k AI.FN S∆PFC = 2 FG FC mà FN = = nên 2 2 FC2 1 S∆PFC = = SBCFG.
4 4 Tương tự 1 1 S∆PDC = SACDE và S∆PAI = SABHI. 4 4 Do diện tích các tam giác có đáy bằng nhau thì tỉ lệ với đường cao, ta có S∆PDC + S∆PFC DR + RF DF AB = = = =1 S∆PAI AI AI AB suy ra 1 1 SACDE + SBCFG 4 4 = 1. 1 SABHI 4 Điều này kéo theo SACDE + SBCFG = SABHI. Vậy, AC2 + BC2 = AB2.
Hình vẽ trong cách chứng minh này khá phức tạp song gợi nhắc cho chúng ta đến cách Chứng minh 3: vẽ thêm các hình vuông với độ dài cạnh lần lượt là độ dài các cạnh tam giác. Một lần nữa các tính chất đặc biệt của hình vuông được sử dụng. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 21 Song nếu như ở cách Chứng minh 3, Euclid chủ yếu sử dụng các biểu thức tính diện tích tam giác thì trong lời giải này, Condit đã sử dụng tính chất các cặp cạnh song song, biểu thức tỉ số diện tích. Cách chứng minh của Condit có phần phức tạp và dài dòng hơn nhưng đã khai thác được nhiều hơn những khía cạnh hình học khác nhau.
Từ hình chiếc ghế của cô dâu (gồm hai hình vuông AEDC diện tích a2 và DKHF diện tích b2 ). Ta dựng thêm ∆AEL và ∆LHK lần lượt vuông tại E và K. Hai tam giác này đều có cạnh bên là a, b và hai cạnh huyền c. Đầu tiên, ta thấy hình vuông AEDC có thể bóp méo thành hình bình hành LKCA mà diện tích vẫn không đổi (một cạnh vẫn là a còn đường cao cũng vẫn là a).
Chứng minh bóp méo hình sử dụng hình chiếc ghế của cô dâu Tương tự ta cũng có thể bóp méo hình vuông DKHF thành hình bình hành HKCB mà diện tích không đổi. Tiếp theo ta cũng có thể bóp méo các hình bình hành này thành các hình chữ nhật LMOA và HMOB mà diện tích vẫn giữ nguyên. Do đó SALHB = SLMOA + SHMOB = SACDE + SHKDF , hay là c2 = a2 + b2. Chứng minh 16 được thực hiện bằng cách kéo dài đường cao.
Xét ∆ABC vuông tại C có AB = c, BC = a, CA = b. Ta kéo dài đường cao CH của c2 ∆ABC đến D sao cho CD = AB. Do tứ giác ABCD có AB ⊥ CD nên SABCD =. 2 Mặt khác, SACBD = S∆ACD + S∆BCD.
Kẻ DE ⊥ AC, DF ⊥ BC ta suy ra CEDF là hình chữ nhật. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Chứng minh thứ nhất sử dụng kéo dài đường cao Ta có ∆CDE = ∆BAC (cạnh huyền - góc nhọn) nên DE = AC; DF = CE = BC.DF a2 S∆CDA = = , S∆CDB = =. 2 2 2 2 c2 a2 b2 Suy ra = + hay c2 = a2 + b2.
Chứng minh 17 cũng được thực hiện bằng cách kéo dài đường cao. Tuy nhiên, khác với Chứng minh 16, trong chứng minh này, đường cao lại được kéo dài theo hướng ngược lại sao cho CD = AB. Cách chứng minh thứ hai sử dụng đường cao kéo dài Trong chứng minh này, diện tích tứ giác ABCD cũng được tính theo hai cách như trong chứng minh trước. Có thể dễ dàng tự chứng minh trường hợp này.
Trong một hình vuông cạnh b, ta đặt vào góc của hình vuông này một hình vuông nhỏ hơn cạnh là a (hình vuông góc trái hình bên trái). LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Chứng minh của Al Buzjani Kẻ thêm hai đường như trong hình bên trái để tạo hai tam giác vuông có cạnh bên là a và b. Nếu ghép hình vuông cạnh b − a với bốn tam giác vuông cũng kích cỡ như vậy, ta được một hình vuông có cạnh c (cạnh huyền của tam giác).
Có thể thấy, diện tích hình bên phải sẽ nhiều hơn diện tích hình bên trái một lượng bằng diện tích hình vuông cạnh a. Mà diện tích hình vuông bên trái là b2 nên c2 = a2 + b2. Cách chứng minh của Christiaan Huygens Ta bắt đầu từ hình cối xay gió của Euclid. Trong hình vuông cạnh a, từ A kẻ một đường thẳng song song với BC.
Từ S kẻ một đường thẳng song song với AC. Hai đường này cắt nhau ở P. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC, trên đường này lấy BN = BC. Do ∆ASP = ∆ABC (cạnh huyền - góc nhọn) nên AP = AC = AG.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 24 Mặt khác d (P; AB) = AL nên SABML = 2SABP = SACFG. Do ∆KBN = ∆ABC (cạnh huyền- góc nhọn) nên BN = BC = BD. Ta có d (A; BN) = BC nên SKMLS = 2SKPS , SBCED = 2SANB. Ta lại có KS = AB, PS = BN (do ∆ASP = ∆ABC), PSK d (do SP k BN và d = ABN AB k SK) nên ∆KPS = ∆ANB.
Từ các biểu thức trên, ta có: SABKS = SABML + SLMKS = SACFG + SBCED. Đây tiếp tục là một cách chứng minh triển khai cách dựng hình tương tự Chứng minh 3 và Chứng minh 14. Nếu như hai cách chứng minh trước chủ yếu khai thác liên quan đến hai hình vuông nhỏ thì ở lời giải này, Huygens đã chuyển hướng sang hình vuông to. Huygens đã vẽ thêm các đường thẳng song song tạo điều kiện để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau một cách nhanh chóng.
Điểm chung giữa những cách chứng minh này là đều hướng đến mục đích sử dụng biểu thức liên quan về diện tích cho bước chứng minh cuối cùng hay nói cách khác bản chất của nó là đi chứng minh các biểu thức diện tích.28, ta bắt đầu với ∆ABC và ∆AFE lần lượt vuông ở C và E. Gọi A là giao điểm của BE và CF. Kéo dài AF một đoạn FG = a. Trên BA lấy một đoạn BD = a.
Ở đây ta coi như a < b. Do ∆BCD là tam giác cân nên d = π − α. BCD 2 2 Do Cb = 90◦ nên d = π − π − α = α. ACD 2 2 2 2 Do AFE d = FEG d là góc ngoài của ∆EFG nên AFE [ + FGE.
[ Nhưng ∆EFG là tam giác cân nên d = α. d = EAG AGE 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Chứng minh sử dụng hai tam giác vuông đồng dạng Ta có ∆ACD ∼ ∆AGE (g-g), nên AD AE c−a b = suy ra = , AC AG b c+a hay là c2 = a2 + b2. Xét ∆ABC vuông tại C với BC = a, AB = c, AC = b.
Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB như hình vẽ (r = c/2). Trong hình vẽ DF là đường kính vuông với BC, và đồng thời là đường trung trực của BC. Các điểm E và H lần lượt là trung điểm của BC và AC. Khi đó EO = CH.
Ta có ∆CEF ∼ ∆DEB (g.g) nên ta có CE EF = suy ra CE.EF, DE EB LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.