chương I em xin được trình bày ngắn gọn vé phương trình Schrödinger và chuyển động một chiếu. cũng như giới thiệu sơ lược vé một số tính chất tổng quát của chúng. Mục dich của chương này nhằm chuẩn bị tiếp cận với phương trình Schrödinger qua các bài toán liên quan đến hệ lượng tử một chiéu sẽ được trình bày trong chương II. Để đơn giản việc tính toán, em chọn những mô hình thế năng có dạng như hàng rào thế, hố thế và đao động tử Trên thực thế những mô hình lý tưởng này phản ánh đúng những hiện tượng vắt lý xảy ra trong tự nhiên.
chương này là chương quan trọng nhất và khó nhất, em xin được tính toán mot cách chặt chẽ, chi tiết và có hệ thống các bai toán trên. Đây cũng là dạng bai toán hiện nay được dé cập trong hầu hết các giáo trình Cơ học lương tử trong và ngoài nước, tuy nhiên trong các giáo trình này chỉ mới đưa ra hoặc nêu ra kết quả cuối cùng. Nét độc đáo của chương này còn ở chỗ nhờ vào kỹ thuật lập trình trên máy, em đã có một chương trình mà trên đó ta có thể tính toán hệ số truyền qua một cách nhanh chóng và hiệu quả nhất. Và bằng phương pháp dé thị, chúng ta chứng tỏ được sự lượng tử hóa của phổ năng lượng.
Đặc biệt, ấp dụng vào một số hiện tượng quan trọng của vật lý nguyên td và vật IY hạt nhân: sự phân rã phóng xạ a, sự phát xa electron lạnh v. chính là nói dung của chương II, thực nghiệm đã xác nhận tính đúng d4n của phương trình Schrödinger, phương trình cơ bản của Cơ học lượng tử. # LUA VOT HGHIEDP 7%: FRAW THD LOM SCHORDINGER 1.1 PHƯƠNG TRÌNH SCHORDINGER Trong cơ học cổ điển, mối liên hệ giữa các trạng thái và các biến số động lực được diễn tả bằng các phương trình Newton. Còn trong cơ học lugng tử, đúng như sơ đồ lôgic của nó thì các hàm sóng và các toán tử tương ứng với những biến số động lực cũng cẩn được liên hệ với nhau bởi những phương trình có vai trò tương tự như những phương trình Newton; đó là các phương trình Schré dinger.
Trước tiên ta xét phương trình dingerSchrö dừng, tức làphươngtrình mô tả chuyển ¢động của hạt trong một trường + thế không phụ thuộc vào thời gian và do đó nó có năng lượng không đổi. Những trạng thái mà năng lượng của hạt có năng lượng không đổi được gọi là các trạng thái dừng. Khi thế năng của hạt không phụ thuộc vào thời gian thì hàm Hamilton của nó bằng tổng động năng và thế năng tương ứng là những hàm có xung lượng và tọa độ: 2u (Ps2 +p? =— + p?)+ + V(x, x.z) (1) Hàm này sẽ bảo toàn. Mà ham Hamilton bảo toàn thì nó chính là năng lượng của hạt.
Do đó ta có phương trình năng lượng H=E, hoặc viết chỉ tiết: ụ (Px ÊP, +p,)+ V(x,y,Z) = E (2) Tiếp theo, từ hàm Hamilton bảo toàn H ta chuyển sang toán tử nang lượng H bằng các thay các thành phần xung lượng thành những toán tử tương ứng vì lạ ầ a sata hee € 2 = Hip a P. 2P, mn P, > P, ! r= và thay thế năng V(x, y, z) thành toán tử nhân; khi đó: l2 RW UAH FOF UAGHIEDP SOTH: FRAN THD LOM H =- ilQn | ax? Og * ay? ee * a2? +¬) V( x_ ) + We a (4) hoặc 5 hr H=->-A+V, (4`) 2u trong đó toán tử Laplace A được xác định bởi biểu thức: oe 2: £` A = "hna Tt > Ox” Oy” Oz Cuối cùng, tác dụng toán tử năng lượng Ñ lên hàm %(x. y, z) là hàm của toa độ, ta nhận được phương trình trị riêng của nó: AY = EY (5) Phương trình (5) gọi là phương trình Schré dinger dừng. Nó được thừa nhận như một sự khái quát hóa phương trình năng lượng (2) trong cơ học cổ điển nhờ sơ đồ lôgic của cơ học lượng tử.
Bây giờ chuyển sang trình bày phương trình Schrö dinger tổng quát hay phương trình Schré dinger phụ thuộc thời gian, tức là phương trình xác định sự biến thiên của các trạng thái theo thời gian. Trong trường hợp này toán tử Hamilton không được gọi là toán tử năng lượng vì năng lượng của hạt không bảo toàn. Tuy vậy ta cũng có thể dựa vào phương trình Schrö dinger dừng để mở rộng cho trường hợp hạt chuyển động trong trường thế phụ thuộc vào thời gian. Từ cơ học cổ điển ta biết rằng, một cách hình thức có thể xem thời gian t như tọa độ suy rộng thứ 4 (trong không gian 4 chiểu) và nó cùng với năng lượng mang dấu âm (-E) lập thành một cặp biến số chính tắc (t, -E) tương tự như những cặp biến số chính tắc trong không gian 3 chiều : (x, px); (y, Py) và (2, pz).
Do ad, khi xét sự phụ thuộc của các trạng thái vào thời gian ta phải đối ứng năng lượng E trong (5) với một toán tử tương tự như ta đã đối ứng các thành phần xung lượng với các toán tử (3). Cụ thể là với cặp biến số chính tắc (t, -E) ta cũng cần phải có: „ .@ ~E¬-E=-th x Từ đây suy ra toán tử năng lượng Ê có dang: ^ ô L=ih—~ nS (6) Cho nên khi xét các trang thái biến đổi theo thời gian ta phải thay EY thành ih a và phương trình trở thành: « oY iA— Ces = HY (7) THOM LMM TOT MSHA NOTH TRAM THD LOA Ở đây toán tử Hamilton có dạng tương tự như (4) nhưng trong biểu thức của thé nang có chứa thời gian t và ham sóng ‘W(x, y, 2) được thay bằng hàm 4%, y, 2, 0 là hàm của toa độ và thời gian. Phương trình (7) được gọi là phương trình Schr) dinger tống quát. Từ phương trình Schrö dinger phụ thuộc thời gian (7) ta có thé nhân được phương trình Schro dinger dừng như một trường hợp đặc biệt của nó.
on That vậy, nếu thé nang không phụ thuộc vào thời gian = 0 thì nang lượng bio a toàn và nghiệm của phương trình (7) có thể tim bằng phương pháp phân ly biến xố. Nghiệm nêng của (7) được tìm dưới dang tích của hai hàm: Woy.0 = At) Pix, y, 2), (8) Thay (8) vào phương trình Schrö dinger tổng quát, ta được: dA(t ˆ hoặc Vẽ trái chỉ phụ thuộc vào thời gian, còn vế phải chi phụ thuộc vào tọa độ; do đó đẳng thức (1.9) chỉ có thể có khi cả hai vế đều bằng một hằng số nào đó, ta ký hiệu hằng số này là £ ÑW%(x,y,z) = EW(x, y. (10) in =EA() (11) Phương trình (10) là phương trình trị riêng của toán tử nang lượng A, tức là phương trình Schrö dinger dừng, do đó hằng số phân ly biến số E có ý nghĩa là năng lượng. Giải phương trình (10) ta sẽ xác định được phổ nang lượng của hạt, tức là các giá trị năng lượng khả di của hạt.
Tiếp theo, đặt các giá trị này vào phương trình (11) ta sé tìm được các nghiệm khả di của nó dưới dạng: A(t) exp, „E) 6 l ca (13) > Như vậy, nếu thế nâng không phụ thuộc vào thời gian thì phương trình Schré dinger dừng (10) đúng là trường hợp đặc biệt của phương trình Schrö dinger tổng quát (7). Theo (8), (10) và (12), hàm sóng của các trạng thái dừng có dang: 4 xã. NIM TOT AGHA SOTA) TRAM TH LO 40 (x.z)ej = „ Bt} (13) Do tính chất tuyến tính của phương trình Schrö dinger (7) nên khi toán tử Hamilton Ñ có phổ gián đoạn, các nghiệm tổng quát của nó có thể được xác định dưởi dạng: W{x.y,z)e Nếu toán tử Fl có phổ các trị riêng liên tục thì W(x.z)e "dE Nhận xét rằng, tuy phương trình Schrö dinger tổng quát là một phương trình vi phân đạo hàm rẻng bậc nhất đối với thời gián, nhưng có đơn vị do nên nó có cả những nghiệm tuần hoàn như (13). Do đó, phương trình Schrö dinger (7) thường được goi là phương trình sóng Schrö dinger, còn nghiệm của nó được gọi là hàm sóng phụ thuộc vào thời gian.
Nếu biết được dang của toán tử Hamilton H và cho trước giá trị của ham sóng tại thời điểm ban đầu thì nhờ phương trình Schr dinger (7) ta có thể xác định được giá trị của hàm sóng ‘W(x, y, z, U tại mọi thời điểm tiếp theo sau. Do đó phương trình sóng Schrö dinger phản ánh nguyên lý nhân quả trong cơ học lượng tử. Vấn để còn lại trong mục này là xét xem nghiệm của phương trình Schrö dinger tổng quát * có mang ý nghĩa thống kê của hàm sóng hay không? Cu thể là đại lượng VY" dV có phải là xác suất tim thấy hạt trong thể tích nguyên tố dV hay không? Nếu YY" dV là xác suất thì nó có thể chuẩn hóa về đơn vị, tức là đòi hỏi thỏa mãn điều kiện: Í##'av=i (14) trong đó tích phân được lấy trên toàn không gian. Ý nghĩa của điều kiện chuẩn hóa là xác suất tìm thấy hạt tại một điểm nào đó trong không gian luôn bằng 1, tức là xác suất của một sự kiện chắc chấn.
Nhưng trong trường hợp như thế, nếu tại một điểm t = 0 nào đó, điều kiện chuẩn hóa đã được thiết lập, thì nó cũng cẩn được bảo toàn cả trong toàn bộ thời gian tương lai, tức là tích phân đứng bên vế trái của (14) sẽ không phụ thuộc và thời gian. Hay nói các khác, điểu kiện chuẩn hóa chỉ có ý nghĩa khi nó bảo toàn theo thời gian, nghĩa là: d ` alt WAV <0 (15) Thật vậy, lấy vi phân biểu ee đứng dưới đấu tích xã.” ta có: nàỞ [gngav= (= gu oF lav (16) Từ phương trình Schrö dinger tổng quát ta xác định h và on x34. ‡ LUA TOT AGHA 1172: FOAM THD LOH ov ov" anges Seg và dat chúng vào vế phải của (16) thu được: Í = ee Way -* [[liwjw-v ñw|av (17) Vì A là toán tử Hermite nên: fv ñwav = Í() wav do đó, vế phải của (17) bằng không, và (16) trở thành: đ tơ» al? Pav =0, tức là sự chuẩn hóa của ham sóng bảo toàn theo thời gian, đúng như điều ta cẩn chứng minh. 4 LUM FOF 'NQX:2//2 NOTH: PRAM 72-7 LOM 1.2 MỘT SỐ TÍNH CHAT TONG QUAT CUA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER một mat nào đó thé năng V bằng võ cùng.
thì tính liên tục của các đại lượng này không xảy ra Hat không thể xắm nhập vào một miễn không gian, tại đó V = &, nghĩa là trong miễn này hàm song khấp nơi phải bằng không y = 0. Để cho hamy liên tục, thì trên biên của miễn này wy phải bằng không: trong trường hợp nay các đạo hàm của tự nói chung có bước nhảy. Nếu trường V(x.