Chương 1. Ngưïng chính tac của hàm chỉnh hình trong Cn Phan đau của Chương này chúng tôi dành cho vi»c trình bày các khái ni»m và các tính chat cơ bản ve ngương chính tac của hàm đa đieu hòa dưới, hàm chỉnh hình và m®t so kien thác cơ bản thiet yeu đoi với các n®i dung trình bày sau đó trong Luªn án. Phan lớn n®i dung còn lại của Chương trình bày các ket quả nghiên cáu chính đã đạt được, cụ the chúng tôi phát bieu và cháng minh moi quan h» giǎa ngương chính tac và tªp mác của hàm chỉnh hình nhieu bien và cháng minh Giả thuyet ACC bang m®t phương pháp mới với các công cụ của giải tích phác nhieu bien trong trường hợp so chieu không gian n = 2. Mët so đ°c trưng của lîp Em(Ω) và áp dnng Trong Chương 2 chúng tôi đi sâu vào các van đe sau đây: Cháng minh tính chat địa phương cho lớp hàm Em(Ω); Phát bieu và cháng minh ve m®t so tính chat đ°c trưng giải tích của lớp hàm này cũng như m®t so tính chat hình hoc của tªp mác trên đoi với hàm thu®c lớp đã cho; Cuoi cùng như m®t h» quả của tính chat địa phương, chúng tôi cháng minh và mở r®ng bat đȁng thác ve tính bị ch°n dưới của ngương chính tac của hàm u trong hai lớp hàm Em(Ω) ∩ PSH(Ω) và PSH(Ω) ∩ L∞(Ω \ E) với cùng m®t cªn dưới, ở đó E là tªp con đóng có đ® đo Hausdorff bỏ qua được.
Nguyên lj so sánh đoi vîi ngưïng chính tac của hàm đa đieu hòa dưîi Toàn b® Chương này dành cho vi»c trình bày ket quả nghiên cáu ve nguyên lý so sánh ngương chính tac. Trong phan đau của Chương chúng tôi trình bày m®t so ket quả liên quan phục vụ cho cháng minh nguyên lý so sánh đoi với ngương chính tac của hàm đa đieu hòa dưới. Tà đó, với đieu ki»n cho dưới dạng đ® đo Monge-Ampère, chúng tôi đi cháng minh m®t nguyên lý so sánh khác đoi với ngương chính tac của hàm đa đieu hòa dưới. 9 Cuoi cùng, trong phan Ket luªn và kien nghị, chúng tôi đã điem lại các ket quả nghiên cáu chính trình bày trong Luªn án.
Đây chính là sự khȁng định ý tưởng khoa hoc của đe tài Luªn án đ°t ra là đúng đan và các ket quả nghiên cáu đạt được mục đích đe ra. Do đó, Luªn án đã có nhǎng đóng góp cho khoa hoc chuyên ngành, có ý nghĩa khoa hoc và thực tien như đã nêu trong phan Mở đau là hoàn toàn xác đáng. Đe tiep noi, trong Phan Kien nghị chúng tôi mạnh dạn nêu ra m®t vài ý tưởng nghiên cáu tiep theo phát trien đe đe tài của Luªn án này. Chúng tôi hy vong sě nhªn được nhieu sự quan tâm và chia sẻ của đong nghi»p giúp hoàn thi»n các ket quả nghiên cáu.
Van đe thfí nhat: Ngưïng chính tac của hàm chỉnh hình và Giả thuyet ACC Khái ni»m ngương chính tac được đưa ra và nghiên cáu đau tiên trong lý thuyet Hình hoc Đại so, đây cũng là van đe được nhieu nhà toán hoc đã và đang tiep tục nghiên cáu và đã đạt được nhieu ket quả quan trong. Chȁng hạn như V. Tőng hợp nhǎng ket quả trong các công trình quan trong nói trên, có the nói cho đen trước nhǎng năm 2000, nhǎng ket quả ve ngương chính tac được đưa ra chủ yeu cho các hàm chỉnh hình, tuy nhiên can lưu ý rang neu f là hàm chỉnh hình trên Cn thì log |f | là hàm đa đieu hòa dưới, tà đó vào năm 2000, J-P. Kollár (trong [30]) đã đưa ra khái ni»m ngương chính tac của hàm đa đieu hòa dưới tőng quát hơn, cụ the như sau: Giả sủ ϕ là m®t hàm đa đieu hòa dưới trên Cn.
Với mői t¾p compact K ⊂ Cn ta goi ngưỡng chính tac của ϕ trên K là so không âm cϕ(K) = sup{c ≥ 0 : e−2cϕ ∈ L1 trên m®t lân c¾n của K}. Tà định nghĩa trên, rõ ràng chúng ta chỉ can quan tâm tới cực điem ϕ = −∞ trên K. Đong thời có the thay neu f là hàm chỉnh hình, ta xét ϕ = log |f | thì ta thu được ngương chính tac cf (0) của f trên tªp compact K = {0} như đã nêu trong phan Mở đau của luªn án. Hơn nǎa, định nghĩa tőng quát trên đây cho ta m®t cách nhìn trực quan ve con so cϕ(K), nó cho thay ”ngưỡng” của các so thực dương c mà khi vượt qua ngương đó, hàm e−2cϕ không khả tích trong bat kì lân cªn nào của K, hay nói cách khác the tích của hình trụ vô hạn xung quanh lân cªn của K là vô hạn.
Mục đích của chúng tôi đ°t ra đó là đưa ra m®t định nghĩa tương đương cho ngương chính tac cϕ(K), đ°c bi»t là cf (0) với f là hàm chỉnh hình trong lân cªn của 0 đe tà đó có the thuªn ti»n hơn cho quá trình nghiên cáu, đánh giá ve ngương chính tac. Tà đó chúng tôi cũng đ°t ra bài toán nghiên cáu moi quan h» giǎa ngương chính tac cf (0) và tính chat hình hoc của tªp không điem {f = 0}. 11 M°t khác chúng ta đeu biet rang ngương chính tac của hàm chỉnh hình nói riêng và hàm đa đieu hòa dưới trên Cn nói chung có nhieu tính chat thú vị, có the nói tới m®t trong nhǎng ket quả sau đây của J-P. Kollár được cháng minh trong [30], mà tà đó gợi mở ra nhieu giả thuyet quan trong ve ngương chính tac, đ°c bi»t cho hàm chỉnh hình: Giả thuyet ve tính nủa liên tực dưới: Giả sủ f là hàm chính hình khác không bat kì và K, L là các t¾p compact tùy ý cho trước sao cho L chúa K trong phan trong của nó.
Khi đó với moi ε > 0 đeu ton tại so thực δ = δ(f, ε, K, L) > 0 sao cho sup |g − f | < δ ⇒ cg(K) ≥ cf (K) − ε. L Tà ket quả trên, J-P. Kollár trong [30] đã đưa ra Giả thuyet mạnh hơn được phỏng đoán như sau: Giả thuyet ve tính nủa liên tực dưới mạnh: Giả sủ f là hàm chính hình khác không bat kì và K, L là các t¾p compact tùy ý cho trước sao cho L chúa K trong phan trong của nó. Khi đó ton tại so thực δ = δ(f, K, L) > 0 sao cho sup |g − f | < δ ⇒ cg(K) ≥ cf (K).
Kollár đã tiep tục đưa ra m®t phỏng đoán khác mang tên Giả thuyet mạnh ve tính mở sau đây: Giả thuyet mạnh ve tính mớ: Giả sủ U J b U b X là các t¾p compact tương đoi trong đa tạp phúc X và φ là hàm đa đieu hòa dưới trên X sao cho e−φ khả tích trên U. Khi đó ton tại ε = ε(φ, U, U J) sao cho với moi hàm đa đieu hòa dưới ψ trên X ∫ ǁψ − φǁL1(U ) < ε ⇒ e−ψdV < +∞. U′ Giả thuyet mạnh ve tính mở trên đây tà khi ra đời đã trở thành m®t trong nhǎng Giả thuyet được nhieu nhà toán hoc quan tâm nghiên cáu và cho đen năm 2013, B. Berndtsson trong công trình [12] đã giả quyet cơ bản Giả thuyet trên.
12 Lưu ý rang, Giả thuyet ve tính nảa liên tục dưới mạnh có the suy ra tà (trong [30]) Giả thuyet ACC - m®t trong nhǎng tính chat đ°c sac của ngương chính tac của hàm chỉnh hình trên Cn được phát bieu ngay sau đây. Trước het, chúng ta kí hi»u HTn = {cf (0) : f chỉnh hình trong lân cªn của điem 0 ∈ Cn}. M®t tính chat thú vị ve HTn, chȁng hạn như trong [51], [54], [61], các tác giả đã cháng minh được HTn ⊂ Q ∩ [0, 1]. Bây giờ ta phát bieu Giả thuyet ACC được V.
Kollár đưa ra trong [54]: Giả thuyet ACC: Moi dãy tăng trong HTn đeu là dãy dùng (tù m®t chí so nào đó). ∞ Nói cách khác moi dãy {cfj (0)} j =1 ⊂ HTn thóa mãn đieu ki»n cf1 (0) ≤ cf2 (0) ≤ · · · đeu ton tại j0 sao cho cfj (0) = cfj +1 (0) = · · · 0 0 Giả thuyet ACC ve dãy ngương chính tac được đưa ra và nghiên cáu đau tiên trong Hình hoc Đại so dưới nhieu dạng và cách tiep cªn khác nhau. Giả thuyet này được cháng minh đau tiên bởi V. Shokurov năm 1992 trong [73] với so chieu không gian n = 2 và với n = 3 bởi Alexeev trong [3] năm 1993, tiep theo vào năm 2000, D.
Sturm trong [70] cháng minh theo m®t cách khác trong trường hợp so chieu không gian n = 2. Cuoi cùng, phải ke đen công trình [34] năm 2010 của ba tác giả T. Mustata đã cháng minh ket quả trên cho trường hợp so chieu không gian là tùy ý. Đieu đáng chú ý là tat cả nhǎng ket quả trên đeu cháng minh bang lý thuyet Hình hoc Đại so.
Ngoài Giả thuyet ACC, có nhieu Giả thuyet thú vị khác ve ngương chính tac, đ°c bi»t là ngương chính tac của hàm chỉnh hình, có the nói tới đó là Giả thuyet Gap và Giả thuyet AC sau đây. Trước het, bat nguon tà tính chat cf (0) ∈ [0, 1] nên 1 không the là giới hạn của m®t dãy giảm các phan tả của HTn, hơn the nǎa theo Giả thuyet ACC thì rõ ràng 1 không là giới hạn tăng của dãy các phan tả của HTn. Đieu đó có nghĩa là: Với moi so chieu co định n đeu không ton tại m®t phan tả nào của HTn trong khoảng (1 − εn, 1) với εn co định nào đó. Khȁng định này chính là trường hợp đ°c bi»t của giả thuyet sau được goi là Giả thuyet Gap mà phép cháng minh của giả thuyet này có the xem trong [13], [52] và [53].
13 Giả thuyet Gap: Với moi n co đành, đeu ton tại so dương εn > 0 co đành sao cho HTn ⊂ (0, 1 − εn). Đieu chú ý là Giả thuyet Gap trên đây chỉ khȁng định sự ton tại của εn, nhưng giá trị cụ the của εn đen nay chưa xác định rõ ràng. Tuy nhiên chúng ta có ket quả định hướng sau đây trong [54] và [78]: Trên lớp hàm Gn = {f : f (z1 ,. , bn ∈ N} thì εn = 1 , 1 n cn+1−1 ở đó c1 = 2, ck+1 = c1 · · · ck + 1.
Như vªy lớp Gn thỏa mãn Giả thuyet ACC và đoi với lớp này các εn được xác định. M®t đieu đ°c bi»t là, với so chieu n = 1 thì rõ ràng ngoài phan 1 1 tả 1 thì ε1 = 2 bởi HT 1 = {n}n∈N∗ , với n = 2 bởi các ket quả của T. Kuwata trong [59] và của J.