Chương 1 Tổng quan 1. Sóng Rayleigh Sóng Rayleigh là sóng cơ học lan truyền trong một bán không gian đàn hồi tự do đối với ứng suất. Năng lượng của sóng tập trung trên bề mặt của bán không gian và giảm rất nhanh theo chiều sâu (hầu như bằng không ở độ sâu một bước sóng). Do vậy sóng Rayleigh là sóng mặt (surface wave).
Sự tồn tại của sóng Rayleigh được chứng minh đầu tiên bởi Rayleigh [29] vào năm 1885, cho trường hợp đơn giản nhất khi bán không gian đàn hồi là đẳng hướng. Sóng Rayleigh trong bán không gian thuần nhất Để hiểu quá trình truyền của sóng Rayleigh, luận án giới thiệu một cách vắn tắt cách xác định trường chuyển dịch, cách dẫn ra phương trình xác định vận tốc (phương trình tán sắc) của sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi là đẳng hướng. Xét bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được chiếm phần Hình 1.1: Bán không gian đàn hồi x2 ≥ 0. 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com không gian x2 ≥ 0 (Hình 1.
Xét trạng thái biến dạng phẳng ui = ui (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 ≡ 0, (1.1) trong đó ui là các thành phần của véctơ chuyển dịch. Các thành phần ứng suất σij liên hệ với các thành phần chuyển dịch bởi các hệ thức σ11 = (λ + 2µ)u1,1 + λu2,2 , σ22 = λu1,1 + (λ + 2µ)u2,2 , (1.2) σ12 = µ(u1,2 + u2,1 ) trong đó dấu phẩy chỉ đạo hàm theo các biến không gian xk , λ, µ là các hằng số Lame. Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng σ11,1 + σ12,2 = ρü1 , (1. Dấu chấm chỉ đạo hàm theo biến thời gian t, ρ là mật độ khối lượng.3) ta thu được c2 u + c2 u + (c2 − c2 )u = u¨ , 1 1,11 2 1,22 1 2 2,12 1 (1.4) (c2 − c2 )u1,12 + c2 u2,11 + c2 u2,22 = u¨2 , 1 2 2 1 r r λ + 2µ µ trong đó c1 = , c2 = là vận tốc sóng dọc và vận tốc sóng ngang ρ ρ trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được.
Giả thiết biên x2 = 0 của bán không gian tự do đối với ứng suất, tức là: σ12 = σ22 = 0 tại x2 = 0.2) suy ra µ(u1,2 + u2,1 ) = 0, λu1,1 + (λ + 2µ)u2,2 = 0 tại x2 = 0.5) Các thành phần chuyển dịch phải tắt dần ở vô cùng, tức là: u1 = u2 = 0 tại x2 = +∞.6) Như vậy các thành phần chuyển dịch u1 , u2 phải thỏa mãn phương trình (1.4) cùng với điều kiện biên (1.5) và điều kiện tắt dần (1. Phương trình đặc trưng Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng 0x1 với vận tốc c (> 0), số sóng k (> 0). Khi đó nghiệm của (1.4) được tìm dưới dạng u1 = U1 (y)eik(x1 −ct) , u2 = U2 (y)eik(x1 −ct) , (1.7) 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com trong đó y = kx2 , Um (y) (m = 1, 2) là các hàm cần tìm. Thay biểu diễn nghiệm (1.4) dẫn đến các phương trình đối với các hàm Um (y) (c21 − c2 )U1 − c22 U100 − i(c21 − c22 )U20 = 0, (c22 − c2 )U2 − c21 U200 − i(c21 − c22 )U10 = 0, (1.8) trong đó dấu phẩy "0" chỉ đạo hàm theo biến y.
Đây là một hệ hai phương trình vi phân với hệ số là hằng số. Nghiệm riêng (nghiệm cơ bản) của hệ (1.8) được tìm dưới dạng: U1 (y) = Ae−sy , U2 (y) = Be−sy , (1.9) trong đó A, B, s là các hằng số.8) dẫn đến một hệ hai phương trình tuyến tính thuần nhất đối với A, B. Do A, B không đồng thời bằng không nên định thức của hệ phải bằng không, tức là: c21 c22 s4 − [2c21 c22 − (c21 + c22 )c2 ]s2 + (c21 − c2 )(c22 − c2 ) = 0.10) Phương trình (1.10) được gọi là phương trình đặc trưng của sóng Rayleigh. Đó là một phương trình bậc hai đối với s2 với biệt thức ∆ là: ∆ = (c21 − c22 )2 c4 > 0.11) Chú ý rằng các hệ số của phương trình đặc trưng (1.10) đều là thực và phụ thuộc vào vận tốc sóng c chưa xác định.
Trên trường phức, phương trình (1. Giả sử s1 , s2 là hai nghiệm của (1.10) có phần thực dương. Khi đó, nghiệm tổng quát của hệ (1.8) thỏa mãn điều kiện tắt dần (1.13) (c21 − c22 )sk Dễ dàng chứng minh các mệnh đề sau. Nếu sóng Rayleigh tồn tại thì vận tốc sóng c của nó phải thỏa mãn bất đẳng thức: 0 < c < c2 .14) 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.
Giả sử sóng Rayleigh tồn tại. Khi đó hai nghiệm có phần thực dương của của phương trình đặc trưng (1.15) c21 c22 Phương trình tán sắc Phương trình tán sắc là phương trình xác định vận tốc truyền của sóng Rayleigh.16), chuyển dịch của sóng Rayleigh là: u1 = (A1 e−s1 y + A2 e−s2 y )eik(x1 −ct) , (1.17) u2 = (is1 A1 e−s1 y + i A2 e−s2 y )eik(x1 −ct) , s2 trong đó s1 , s2 xác định bởi (1. Từ điều kiện tự do đối với ứng suất (1. c2 s2 Do A1 , A2 không thể đồng thời bằng không nên định thức của (1.18) phải bằng không, suy ra: s s c2 2 c2 c2 (2 − ) −4 1− 1− =0 (1.
Phương trình (1.20) chính là phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, được Rayleigh [29] tìm vào năm 1885. Từ phương trình này vận tốc sóng c của sóng Rayleigh được xác định. Trong khoảng (0, 1) phương trình (1.20) tương đương với phương trình bậc ba sau x3 − 8x2 + 8(3 − 2γ)x − 16(1 − γ) = 0.21) Thật vậy, với 0 < x < 1, phương trình (1.20) ⇔ (2 − x)4 = 16(1 − x)(1 − γx) ⇔ phương trình (1. 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có mệnh đề sau.3 (tham khảo [1]) Với mọi giá trị của (tham số) γ thuộc khoảng (0, 3/4), phương trình (1.21), do vậy phương trình (1.20), có một nghiệm duy nhất trong khoảng (0, 1).3 suy ra định lý sau về sự tồn tại duy nhất sủa sóng Rayleigh.
Luôn tồn tại duy nhất một sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được tự do đối với ứng suất. Vận tốc của nó là nghiệm của phương trình (1.21) (hay phương trình (1. Dễ thấy A2 = 2s1 s2 A1 /(x − 2), A1 tùy ý khác không, là nghiệm của hệ (1. Do vậy, chuyển dịch của sóng Rayleigh là u1 = A1 e−s1 y + 2s1 s2 e−s2 y eik(x1 −ct) x−2 −s y 2s1 −s y ik(x −ct) , y = kx2 , (1.22) u2 = is1 A1 e 1 + e 2 e 1 x−2 √ trong đó A1 là một hằng số tùy ý khác không, s1 , s2 xác định bởi (1.15), c = c2 x, x được xác định bởi phương trình (1.21) (hay phương trình (1.20)), k = ω/c, ω là tần số sóng (cho trước).
Đặt uk = Uk (y)eik(x1 −ct) (k = 1, 2), từ (1.23) ta thấy rằng, nếu biết véc tơ phân cực thì các hằng số A1 , A2 hoàn toàn xác định bởi hệ phương trình (1.22) véc tơ phân cực U(0) xác định chính xác đến một hằng số (phức) tùy ý khác không. Để phân biệt, ta gọi U1 (0)/U2 (0) là "tỷ số H/V". Sóng Rayleigh trong bán không gian phủ một lớp đàn hồi Sau khi thay thế ảnh hưởng của lớp lên bán không gian bằng điều kiện biên hiệu dụng [58], liên hệ giữa véctơ ứng lực và véctơ chuyển dịch tại mặt biên của bán không gian, sóng Rayleigh truyền trong bán không gian phủ một lớp đàn hồi được xem xét như một sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Tuy nhiên, bán không gian đàn hồi không còn tự do đối với ứng suất mà chịu điều kiện biên hiệu dụng.
Trong khi có duy nhất một sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi tự do đối với ứng suất, mang đặc tính sóng Lamb (truyền trong một lớp đàn hồi), sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi có vô số mode. Sự xuất hiện của lớp đàn hồi làm cho sóng Rayleigh có nhiều đặc tính thú vị hơn, nhưng cũng làm cho việc tìm ra các phương trình tán sắc dạng hiện trở nên khó khăn hơn, so với trường hợp chỉ có bán không gian. Hầu hết chúng được tìm ra trong thời gian gần đây, xem [52]-[58]. Lịch sử phát triển của sóng Rayleigh Sóng mặt Rayleigh được Rayleigh tìm ra từ 1885 đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, vẫn đang được nghiên cứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to to lớn của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ, như địa vật lý, âm học, khoa học vật liệu, công nghệ truyền thông.
Lịch sử phát triển của sóng mặt Rayleigh có thể chia làm hai giai đoạn. Giai đoạn 1: từ năm 1885 đến năm 1965; giai đoạn 2: từ năm 1965 đến nay. Trong giai đoạn 1, các nghiên cứu về sóng Rayleigh chủ yếu phục vụ dự báo và phòng chống động đất vì sóng mặt Rayleigh là nguyên nhân chính tàn phá các công trình xây dựng trên bề mặt trái đất khi động đất xảy ra. Nó cũng được sử dụng (một cách tích cực) để đánh giá các đặc trưng cơ học của vỏ trái đất.
Các nghiên cứu về sóng Rayleigh trong giai đoạn này chủ yếu xét trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng hoặc đẳng hướng ngang. Giai đoạn 2 đánh dấu bằng sự kiện quan trọng, khi White và Voltmer [62] chế tạo thành công thiết bị IDT (Interdigital Transducer) vào năm 1965. Với thiết bị này, sóng Rayleigh được tạo ra dễ dàng trong các vật liệu. Từ thời điểm này, sóng Rayleigh trở thành một công cụ vô cùng tiện lợi trong đánh giá không phá hủy các đặc trưng cơ học, phát hiện các vết nứt, khuyết tật của các cấu trúc trước và trong quá trình sử dụng.
Ngày nay, vật liệu mới được tạo ra thường xuyên và việc theo dõi "tình trạng sức khỏe" (health monitoring) của các cấu trúc (như cánh máy bay,.) trong quá trình sử dụng là hết sức cần thiết, nên ứng dụng của sóng Rayleigh trong công nghệ hiện đại là rất lớn. Gần đây, sóng Rayleigh được tạo ra dễ dàng hơn bằng một thiết bị laser [16] nên phạm vi ứng dụng của nó càng mở rộng. Các nghiên cứu về sóng Rayleigh trong giai đoạn này đã mở rộng xét các bán không gian đàn hồi dị hướng, các bán không gian đàn hồi phức tạp như micropolar, porous, piezoelectic,. 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.