Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Lê Văn Hiển tại Bộ môn Giải tích, Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh. Luận án thuộc chuyên ngành Giải tích toán học, đi sâu vào lĩnh vực Giải tích biến phân và Lý thuyết tối ưu.

Tính cấp thiết của luận án xuất phát từ sự phát triển của giải tích biến phân bậc hai. Sau khi giải tích biến phân bậc nhất đạt được sự hoàn thiện tương đối với các công cụ nền tảng như dưới vi phân Mordukhovich, đạo hàm và đối đạo hàm của ánh xạ đa trị, giải tích biến phân bậc hai trở thành trọng tâm nghiên cứu nhằm giải quyết các bài toán ổn định và tối ưu hóa phi tuyến. Đối với bất kỳ cấu trúc vi phân suy rộng nào, luôn có hai vấn đề cơ bản: cấu trúc đó phản ánh tính chất nào của đối tượng khảo sát và cách thức tính toán, ước lượng cấu trúc đó theo dữ liệu ban đầu. Cả hai bài toán này đều gắn liền với các điều kiện chính quy. Trong số các tính chất chính quy kiểu mêtric, tính dưới chính quy mêtric (metric subregularity) là một tính chất yếu, đóng vai trò bản chất trong lý thuyết chặn sai số, hàm phạt chính xác và điều kiện tối ưu bậc nhất. Tuy nhiên, việc khai thác tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân bậc hai vẫn còn nhiều vấn đề mở, đặc biệt là tính toán đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến và đặc trưng tính ổn định xiên (tilt stability).

Khoảng trống nghiên cứu mà luận án tập trung giải quyết gồm hai điểm cốt lõi:

  1. Xác định công thức giải tích tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến khi chỉ giả thiết tính dưới chính quy mêtric mà không đòi hỏi thêm các điều kiện phụ (như tính chính quy mêtric đều hay tính chất điểm cực biên bị chặn - BEPP) vốn là điều kiện bắt buộc trong các công trình công bố trước đó.
  2. Xây dựng phương pháp tiếp cận mới để nhận biết tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient thay cho việc sử dụng dưới vi phân bậc hai, từ đó cải thiện các điều kiện đủ bậc hai trong quy hoạch phi tuyến dưới điều kiện chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (MSCQ).

Mục tiêu nghiên cứu của luận án:

  1. Thiết lập công thức tường minh tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến cho tập ràng buộc với tập đích là tập lồi đa diện dưới điều kiện dưới chính quy mêtric; áp dụng kết quả này để tính đạo hàm đồ thị và thiết lập đặc trưng cho tính chất tĩnh lặng cô lập (isolated calmness) của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng chứa tham số.
  2. Thiết lập đặc trưng bậc hai cho tính ổn định xiên của bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient; áp dụng để tìm điều kiện đủ bậc hai cho cực tiểu địa phương ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến dưới giả thiết MSCQ.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Các tính chất chính quy trong giải tích biến phân (chính quy mêtric, dưới chính quy mêtric, chính quy mêtric mạnh, dưới chính quy mêtric mạnh, chính quy gần kề), đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân (đạo hàm đồ thị dưới gradient), đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến, tính ổn định xiên và tính chất tĩnh lặng cô lập.
  • Phạm vi nghiên cứu: Không gian Ơclit hữu hạn chiều $\mathbb{R}^n$. Đối với bài toán tính đạo hàm đồ thị, phạm vi là tập ràng buộc $\Gamma = {x \in \mathbb{R}^n \mid q(x) \in \Theta}$ với ánh xạ $q$ khả vi liên tục hai lần và $\Theta$ là tập lồi đa diện. Đối với bài toán ổn định xiên, phạm vi là bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề, liên tục dưới vi phân và bài toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc bất đẳng thức với dữ kiện thuộc lớp $C^2$ thỏa mãn MSCQ.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lịch sử phát triển của giải tích biến phân ghi nhận các mốc quan trọng:

  • Đầu những năm 1960, R. Moreau đề xuất khái niệm dưới vi phân cho hàm lồi.
  • Giữa thập niên 1970, B. Sh. Mordukhovich độc lập đưa ra các khái niệm dưới vi phân cho hàm không nhất thiết lồi.
  • Đầu thập niên 1980, đạo hàm và đối đạo hàm của ánh xạ đa trị xuất hiện, đặc biệt là khái niệm đạo hàm contingent của J.-P. Aubin (1981).
  • Năm 1998, cuốn sách chuyên khảo "Variational Analysis" của R. T. Rockafellar và R. J.-B. Wets ra đời, hệ thống hóa toàn bộ các nền tảng của giải tích biến phân.

Về tính chính quy mêtric và tính dưới chính quy mêtric:

  • Khái niệm chính quy mêtric bắt nguồn từ định lý ánh xạ mở Banach-Schauder và định lý Lyusternik-Graves. Thuật ngữ này được J. M. Borwein đề xuất năm 1986. J. M. Borwein, D. M. Zhuang (1988) và J.-P. Penot (1986) chứng minh tính tương đương giữa chính quy mêtric, tính mở tuyến tính và tính chất Aubin của ánh xạ ngược. B. Sh. Mordukhovich (1993) thiết lập tiêu chuẩn đối đạo hàm cho tính chất Aubin và chính quy mêtric. A. L. Dontchev, A. S. Lewis, B. Sh. Mordukhovich (2003) đưa ra khái niệm bán kính chính quy mêtric.
  • Tính dưới chính quy mêtric được A. D. Ioffe đưa ra từ năm 1979 để định nghĩa điểm chính quy và thiết lập điều kiện cần tối ưu bậc nhất. Thuật ngữ "metric subregularity" chính thức được A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar đề xuất năm 2004. Tính chất này tương đương với tính tĩnh lặng (calmness) của ánh xạ ngược. A. D. Ioffe và J. V. Outrata (2008) thiết lập hệ thống quy tắc tính toán cho vi phân suy rộng bậc nhất dạng đối ngẫu dưới điều kiện dưới chính quy mêtric.

Về bài toán tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến $DN_\Gamma$:

  • A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar (1996) tính đạo hàm đồ thị nón pháp tuyến trong trường hợp $\Gamma$ là tập lồi đa diện.
  • R. Henrion, A. Y. Kruger và J. V. Outrata (2013) đưa ra công thức tính khi ánh xạ $M_q(x) = q(x) - \Theta$ chính quy mêtric quanh điểm khảo sát, hoặc khi đồng thời thỏa mãn chuẩn hóa Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) và chuẩn hóa hạng hằng (CRCQ).
  • H. Gfrerer và J. V. Outrata (2014) chứng minh công thức của Henrion và cộng sự vẫn đúng nếu điều kiện chính quy mêtric được thay bằng tính dưới chính quy mêtric tại điểm khảo sát kết hợp với tính chính quy mêtric đều quanh điểm đó.
  • H. Gfrerer và B. Sh. Mordukhovich (2015) thiết lập kết quả cho trường hợp $\Theta = {0_{\mathbb{R}^{m_1}}} \times \mathbb{R}^{m - m_1}_-$ với giả thiết MSCQ kết hợp tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP).

Về tính ổn định xiên (tilt stability):

  • R. A. Poliquin và R. T. Rockafellar giới thiệu khái niệm này năm 1996 và thiết lập đặc trưng bậc hai thông qua tính xác định dương của dưới vi phân bậc hai qua giới hạn vào năm 1998 cho hàm chính quy gần kề.
  • B. Sh. Mordukhovich và R. T. Rockafellar (2012) chứng minh đối với quy hoạch phi tuyến thỏa mãn chuẩn hóa độc lập tuyến tính (LICQ), điểm dừng là cực tiểu địa phương ổn định xiên khi và chỉ khi điều kiện đủ bậc hai mạnh (SSOSC) thỏa mãn.
  • B. Sh. Mordukhovich và J. V. Outrata (2012) chứng minh SSOSC là điều kiện đủ dưới giả thiết MFCQ và CRCQ.
  • B. Sh. Mordukhovich và T. T. A. Nghia (2015) chỉ ra SSOSC không phải điều kiện cần và đưa ra điều kiện đủ bậc hai đều (USOSC).
  • H. Gfrerer và B. Sh. Mordukhovich (2015) thu được điều kiện đủ bậc hai dưới giả thiết MSCQ và BEPP.

Vị trí của luận án: Luận án giải quyết câu hỏi mở về việc loại bỏ các giả thiết bổ sung (như BEPP hoặc chính quy mêtric đều), chứng minh công thức tính đạo hàm đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến vẫn đúng khi chỉ có duy nhất giả thiết MSCQ với $\Theta$ lồi đa diện. Đồng thời, luận án khởi xướng hướng nghiên cứu dùng đạo hàm đồ thị dưới gradient để đặc trưng tính ổn định xiên thay cho dưới vi phân bậc hai, từ đó nới lỏng giả thiết điều kiện đủ bậc hai mạnh (SSOSC) trong quy hoạch phi tuyến về mức chuẩn hóa MSCQ.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng khung lý thuyết của giải tích biến phân hiện đại trong không gian Ơclit $\mathbb{R}^n$ với tích vô hướng $\langle \cdot, \cdot \rangle$ và chuẩn $|\cdot|$.

Các khái niệm hình học và vi phân suy rộng nền tảng:

  • Ánh xạ đa trị $F: \mathbb{R}^n \Rightarrow \mathbb{R}^m$, miền hữu hiệu $\operatorname{dom} F := {x \in \mathbb{R}^n \mid F(x) \neq \emptyset}$, đồ thị $\operatorname{gph} F := {(x, y) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \mid y \in F(x)}$, ảnh $\operatorname{rge} F := {y \in \mathbb{R}^m \mid \exists x, y \in F(x)}$ và ánh xạ ngược $F^{-1}(y) := {x \in \mathbb{R}^n \mid y \in F(x)}$.
  • Nón tiếp tuyến Bouligand-Severi (contingent cone) của tập $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ tại $\bar{x} \in \Omega$: $$T_\Omega(\bar{x}) := {v \in \mathbb{R}^n \mid \exists t_k \downarrow 0, v_k \to v \text{ sao cho } \bar{x} + t_k v_k \in \Omega, \forall k \in \mathbb{N}}$$
  • Nón pháp tuyến Fréchet (chính quy): $$\widehat{N}\Omega(\bar{x}) := \left{v \in \mathbb{R}^n ;\middle|; \limsup{x \xrightarrow{\Omega} \bar{x}} \frac{\langle v, x - \bar{x} \rangle}{|x - \bar{x}|} \le 0\right}$$
  • Nón pháp tuyến qua giới hạn Mordukhovich: $$N_\Omega(\bar{x}) := \limsup_{x \xrightarrow{\Omega} \bar{x}} \widehat{N}_\Omega(x)$$
  • Đạo hàm đồ thị của ánh xạ đa trị $F$ tại $(\bar{x}, \bar{y}) \in \operatorname{gph} F$: $$DF(\bar{x} \mid \bar{y})(u) := {v \in \mathbb{R}^m \mid (u, v) \in T_{\operatorname{gph} F}(\bar{x}, \bar{y})}$$
  • Đối đạo hàm Fréchet: $$\widehat{D}^* F(\bar{x}, \bar{y})(y^) := {x^ \in \mathbb{R}^n \mid (x^, -y^) \in \widehat{N}_{\operatorname{gph} F}(\bar{x}, \bar{y})}$$
  • Dưới vi phân Fréchet $\widehat{\partial}\phi(\bar{x})$ và dưới vi phân Mordukhovich $\partial\phi(\bar{x})$ của hàm số mở rộng $\phi: \mathbb{R}^n \to \overline{\mathbb{R}}$.
  • Khái niệm hàm chính quy gần kề (prox-regular): Hàm $f$ chính quy gần kề tại $\bar{x}$ đối với $\bar{v} \in \partial f(\bar{x})$ nếu tồn tại $r > 0, \varepsilon > 0$ sao cho với mọi $x, u \in B_\varepsilon(\bar{x})$ thỏa mãn $|f(u) - f(\bar{x})| < \varepsilon$, ta có: $$f(x) \ge f(u) + \langle v, x - u \rangle - \frac{r}{2} |x - u|^2 \quad \forall v \in \partial f(u) \cap B_\varepsilon(\bar{v})$$

Các khái niệm chính quy kiểu mêtric:

  • Ánh xạ $F$ là chính quy mêtric quanh $(\bar{x}, \bar{y})$ với môđun $\kappa > 0$ nếu: $$d_{F^{-1}(y)}(x) \le \kappa d_{F(x)}(y) \quad \forall (x, y) \in U \times V$$
  • Ánh xạ $F$ là dưới chính quy mêtric tại $(\bar{x}, \bar{y})$ với môđun $\kappa > 0$ nếu tồn tại lân cận $U$ của $\bar{x}$ sao cho: $$d_{F^{-1}(\bar{y})}(x) \le \kappa d_{F(x)}(\bar{y}) \quad \forall x \in U$$ Đại lượng $\operatorname{subreg} F(\bar{x} \mid \bar{y})$ là cận dưới đúng của các hằng số $\kappa$ thỏa mãn bất đẳng thức trên.
  • Tính dưới chính quy mêtric tương đương với tính tĩnh lặng (calmness) của ánh xạ ngược $F^{-1}$ tại $(\bar{y}, \bar{x})$.

Phương pháp nghiên cứu: Luận án kết hợp các công cụ của giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu. Luận án kế thừa và phát triển lược đồ chứng minh giải tích trực tiếp của H. Gfrerer và J. V. Outrata (2014), kết hợp với kỹ thuật xấp xỉ nhân tử của A. D. Ioffe và J. V. Outrata (2008). Trong quá trình thiết lập các ước lượng, luận án sử dụng các công cụ giải tích:

  • Bổ đề Hoffman về chặn sai số cho hệ phương trình và bất đẳng thức tuyến tính.
  • Định lý Robinson-Ursescu về đặc trưng tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị có đồ thị lồi đóng.
  • Quy tắc Fermat suy rộng cho cực tiểu địa phương của hàm chính thường.
  • Quy tắc tổng dưới vi phân của Mordukhovich cho tổng hàm khả vi chặt và hàm suy rộng.
  • Bổ đề về sự bảo toàn thứ hạng địa phương của hệ véc-tơ gradient.

Nguồn dữ liệu và tư liệu: Văn bản nghiên cứu thuần túy lý thuyết toán học; tư liệu là các công trình chuyên khảo, bài báo khoa học quốc tế của các chuyên gia trong lĩnh vực giải tích biến phân và tối ưu hóa (như R. T. Rockafellar, B. Sh. Mordukhovich, A. L. Dontchev, A. D. Ioffe, J. V. Outrata, H. Gfrerer).

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các định nghĩa, ký hiệu và tính chất giải tích biến phân làm cơ sở cho toàn bộ luận án, được chia thành hai mục nội dung.

Mục 1.1 trình bày các khái niệm và tính chất bổ trợ về ánh xạ đa trị, nón tiếp tuyến Bouligand-Severi, nón pháp tuyến Fréchet và Mordukhovich, đạo hàm đồ thị và đối đạo hàm. Trình bày định nghĩa hàm chính thường, dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Mordukhovich, hàm liên tục dưới vi phân và hàm chính quy gần kề. Bổ đề 1.107 khẳng định quy tắc tổng dưới vi phân: nếu $\psi: \mathbb{R}^n \to \overline{\mathbb{R}}$ hữu hạn tại $\bar{x}$ và $\phi$ khả vi chặt tại $\bar{x}$ thì $\partial(\phi + \psi)(\bar{x}) = \nabla\phi(\bar{x}) + \partial\psi(\bar{x})$.

Mục 1.2 tập trung vào các tính chất chính quy và các điều kiện chuẩn hóa ràng buộc:

  • Nhắc lại định nghĩa chính quy mêtric, chính quy mêtric mạnh (Robinson 1980), tính chất Aubin và mối liên hệ qua lại (Bổ đề 1.49: $F$ chính quy mêtric quanh điểm xét khi và chỉ khi $F^{-1}$ có tính chất Aubin quanh điểm nghịch đảo). Bổ đề 1.2 đưa ra tiêu chuẩn giới hạn đạo hàm đồ thị âm cho tính chất Aubin.
  • Định nghĩa chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (MSCQ): Cho tập ràng buộc $\Gamma := {x \in \mathbb{R}^n \mid q(x) \in \Theta}$ với $q: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ khả vi liên tục cấp hai và $\Theta$ là tập đóng khác rỗng. MSCQ thỏa mãn tại $\bar{x} \in \Gamma$ nếu ánh xạ $M_q(x) := q(x) - \Theta$ dưới chính quy mêtric tại $(\bar{x}, 0)$.
  • Trình bày hệ thống các chuẩn hóa ràng buộc đã biết trong bài toán quy hoạch phi tuyến với $\Theta = \mathbb{R}^m_-$:
    • Chuẩn hóa độc lập tuyến tính (LICQ): Hệ véc-tơ ${\nabla q_i(\bar{x}), i \in I(\bar{x})}$ độc lập tuyến tính, trong đó $I(\bar{x}) := {i \in {1, \dots, m} \mid q_i(\bar{x}) = 0}$.
    • Chuẩn hóa Mangasarian-Fromovitz (MFCQ): Tương đương với tính chính quy mêtric của $M_q(x) = q(x) - \mathbb{R}^m_-$ quanh $(\bar{x}, 0)$.
    • Chuẩn hóa hạng hằng (CRCQ).
    • Chuẩn hóa độc lập tuyến tính dương (CPLD), CPLD nới lỏng, CRCQ nới lỏng.
    • Tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP).

Mối quan hệ thứ bậc giữa các điều kiện chuẩn hóa ràng buộc được tổng hợp trong bảng sau:

Điều kiện chuẩn hóa Bản chất toán học Mối quan hệ suy dẫn trong luận án
LICQ Độc lập tuyến tính của hệ ${\nabla q_i(\bar{x})}_{i \in I(\bar{x})}$ Kéo theo MFCQ và CRCQ
MFCQ Tính chính quy mêtric của $M_q$ quanh $(\bar{x}, 0)$ Kéo theo MSCQ và BEPP
CRCQ Thứ hạng của các ma trận con gradient không đổi địa phương Kéo theo CPLD, MSCQ và BEPP
CPLD / CRCQ nới lỏng Độc lập tuyến tính dương / hạng hằng nới lỏng Kéo theo MSCQ
MSCQ Tính dưới chính quy mêtric của $M_q$ tại $(\bar{x}, 0)$ Yếu nhất; không tự suy ra BEPP
BEPP Tính bị chặn của tập các điểm cực biên của nhân tử Độc lập với MSCQ, cần kết hợp với MSCQ

Mục 1.2 cũng cung cấp Bổ đề 1.15: Nếu $q$ là ánh xạ $C^2$, $\Theta$ lồi đóng và MSCQ đúng tại $\bar{x} \in \Gamma$, thì tồn tại $\delta > 0$ sao cho $\widehat{N}\Gamma(x) = \nabla q(x)^T N{\mathbb{R}^m_-}(q(x))$ với mọi $x \in \Gamma \cap B_\delta(\bar{x})$; đồng thời hàm chỉ $\delta_\Gamma$ là chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân tại $\bar{x}$ đối với mọi $\bar{x}^* \in \partial\delta_\Gamma(\bar{x})$.

Chương 2. Đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtric

Chương 2 trình bày kết quả về công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến $N_\Gamma$ và ứng dụng cho phương trình suy rộng.

Mục 2.1 giả thiết tập ràng buộc $\Gamma := {x \in \mathbb{R}^n \mid q(x) \in \Theta}$, trong đó $q: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ thuộc lớp $C^2$ và $\Theta := {y \in \mathbb{R}^m \mid \langle b_i, y \rangle \le \alpha_i, i = 1, \dots, \ell}$ là tập lồi đa diện ($b_i \in \mathbb{R}^m \setminus {0}, \alpha_i \in \mathbb{R}$).

  • Tập chỉ số hoạt động tại $\bar{x}$: $I_q(\bar{x}) := {i \in {1, \dots, \ell} \mid \langle b_i, q(\bar{x}) \rangle = \alpha_i}$.
  • Tập nhân tử Lagrange tại $(\bar{x}, \bar{x}^)$: $\Lambda := {\lambda \in N_\Theta(q(\bar{x})) \mid \nabla q(\bar{x})^T \lambda = \bar{x}^}$. Do $\Theta$ lồi đa diện và MSCQ đúng, $\Lambda$ là tập lồi đa diện khác rỗng.
  • Nón tới hạn: $K := T_\Gamma(\bar{x}) \cap {\bar{x}^*}^\perp$.
  • Với mỗi hướng $v \in K$, xét bài toán quy hoạch tuyến tính $LP(v)$ và bài toán đối ngẫu $DP(v)$: $$LP(v): \min_{\lambda \in \Lambda} - v^T \nabla^2(\lambda^T q)(\bar{x}) v$$ $$DP(v): \max_{z} \langle \bar{x}^*, z \rangle \quad \text{với } \nabla q(\bar{x}) z + v^T \nabla^2 q(\bar{x}) v \in T_\Theta(\bar{y})$$ với $T_\Theta(\bar{y}) = {w \in \mathbb{R}^m \mid \langle b_i, w \rangle \le 0, \forall i \in I_q(\bar{x})}$.
  • Bổ đề 2.1 tính nón pháp tuyến qua giới hạn của nón tới hạn: Với mỗi $v \in K$ và $\lambda \in \Lambda$: $$N_K(v) = {\nabla q(\bar{x})^T \mu \mid \mu^T \nabla q(\bar{x}) v = 0, \mu \in T_{N_\Theta(\bar{y})}(\lambda)}$$ hay tương đương: $$N_K(v) = \left{ \sum_{i \in I_q(\bar{x}) \cap v^\perp} t_i b_i \nabla q(\bar{x}) - t_0 \bar{x}^* ;\middle|; t_0, t_i \in \mathbb{R}_+ \right}$$

Định lý trọng tâm của chương là Định lý 2.10: Giả sử MSCQ thỏa mãn tại $\bar{x} \in \Gamma$ và $\bar{x}^* \in N_\Gamma(\bar{x})$. Khi đó: $$T_{\operatorname{gph} N_\Gamma}(\bar{x}, \bar{x}^) = {(v, v^) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \mid \exists \lambda \in \Lambda(v) : v^* \in \nabla^2(\lambda^T q)(\bar{x}) v + N_K(v)}$$ Do đó, đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến $N_\Gamma$ được xác định tường minh bởi: $$DN_\Gamma(\bar{x} \mid \bar{x}^*)(v) = {\nabla^2(\lambda^T q)(\bar{x}) v \mid \lambda \in \Lambda(v)} + N_K(v)$$ trong đó $\Lambda(v)$ là tập các nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính $LP(v)$.

Chứng minh Định lý 2.10 được thực hiện qua hai chiều bao hàm chặt chẽ:

  1. Chứng minh bao hàm thức thuận: Với $(v, v^)$ thỏa mãn $v^ \in \nabla^2(\lambda^T q)(\bar{x}) v + N_K(v)$ với $\lambda \in \Lambda(v)$, luận án xây dựng bài toán tối ưu có tham số $t > 0$: $$(P_t): \min_{x \in \Gamma \cap B_r(\bar{x})} \left| \bar{x} + tv + \frac{1}{2}t^2 z + \alpha(\bar{x}^* + t v^) - x \right|^2$$ trong đó $z$ là nghiệm tối ưu của $DP(v)$. Sử dụng tính dưới chính quy mêtric của $M_q$ và Bổ đề Hoffman (Bổ đề 2.3), tác giả chứng minh nghiệm tối ưu $x_t$ của $(P_t)$ thỏa mãn $|x_t - (\bar{x} + tv)| = o(t)$ và $\lim_{t \downarrow 0} \frac{1}{t} d_{N_\Gamma(x_t)}(\bar{x}^ + t v^) = 0$, khẳng định $(v, v^) \in T_{\operatorname{gph} N_\Gamma}(\bar{x}, \bar{x}^*)$.
  2. Chứng minh bao hàm thức ngược: Lấy dãy $(x_k, x_k^) \in \operatorname{gph} N_\Gamma$ sao cho $x_k = \bar{x} + t_k v_k \to \bar{x}$ và $x_k^ = \bar{x}^* + t_k v_k^* \to \bar{x}^$. Luận án chứng minh sự tồn tại của dãy nhân tử bị chặn $\lambda_k \in \Lambda(x_k, x_k^)$ nhờ tính dưới chính quy mêtric. Áp dụng bổ đề Hoffman trên các nón con chỉ số $\Thetã = \operatorname{pos}{b_i \mid i \in I_0}$, xấp xỉ $\lambda_k$ bởi $\tilde{\lambda}_k \in \Lambda$ và qua giới hạn để chỉ ra véc-tơ giới hạn $\tilde{\lambda}$ thuộc $\Lambda(v)$, đồng thời véc-tơ $v^*$ thuộc $\nabla^2(\tilde{\lambda}^T q)(\bar{x}) v + N_K(v)$.

Mục 2.1 đưa ra hai ví dụ số học minh họa:

  • Ví dụ thứ nhất: Xét trong $\mathbb{R}^2$ với $q(x) = (-x_1^2 - x_2, -x_2)$, $\Theta = \mathbb{R}^2_-$, điểm $\bar{x} = (0, 0)$. Tại đây, ánh xạ $M_q$ không chính quy mêtric do $(0, 0) \notin \operatorname{int}(q(\bar{x}) + \nabla q(\bar{x})\mathbb{R}^2 - \Theta)$, nhưng $M_q$ dưới chính quy mêtric. Công thức của Định lý 2.10 tính chính xác $T_{\operatorname{gph} N_\Gamma}(0, 0, 0, -1) = {(v_1, v_2, v_1^, v_2^) \in \mathbb{R}^4 \mid v_1^* = -2v_1, v_2 = 0}$.
  • Ví dụ thứ hai: Ánh xạ $q(x) = (-x_1, x_1 - x_1^2 x_2^2)$, $\Theta = {(0, 0)}$, $\Gamma = {0} \times \mathbb{R}$ tại $\bar{x} = (0, 0)$. Tại đây MSCQ thỏa mãn nhưng BEPP bị vi phạm, chứng minh Định lý 2.10 áp dụng được trong trường hợp kết quả của Gfrerer và Mordukhovich (2015) không thể sử dụng.

Mục 2.2 áp dụng công thức đạo hàm đồ thị vào phương trình suy rộng có tham số $p$: $$0 \in f(p, x) + N_\Gamma(x)$$ Thiết lập biểu thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nghiệm $S(p) := {x \in \mathbb{R}^n \mid 0 \in f(p, x) + N_\Gamma(x)}$ và đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ $S$.

Chương 3. Ổn định xiên thông qua đạo hàm của ánh xạ dưới vi phân cho một lớp bài toán tối ưu với giả thiết chính quy gần kề

Chương 3 trình bày các kết quả về đặc trưng ổn định xiên cho bài toán tối ưu bằng cách tiếp cận đạo hàm đồ thị dưới gradient.

Khái niệm ổn định xiên: Cực tiểu địa phương $\bar{x}$ của bài toán tối ưu hàm mục tiêu $f$ được gọi là ổn định xiên nếu ánh xạ nghiệm dưới nhiễu tuyến tính $M(v) := \operatorname{argmin}_{x \in U} {f(x) - \langle v, x \rangle}$ là đơn trị và liên tục Lipschitz trên một lân cận của $0 \in \mathbb{R}^n$.

Mục 3.1 nghiên cứu bài toán tối ưu không ràng buộc: $$\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x)$$ với giả thiết hàm mục tiêu $f: \mathbb{R}^n \to \overline{\mathbb{R}}$ là chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân tại $\bar{x}$ đối với $0 \in \partial f(\bar{x})$. Thay vì sử dụng dưới vi phân bậc hai qua giới hạn $\partial^2 f(\bar{x} \mid 0)$, luận án sử dụng đạo hàm đồ thị dưới gradient $D(\partial f)(\bar{x} \mid 0)$. Thiết lập đặc trưng bậc hai: $\bar{x}$ là cực tiểu địa phương ổn định xiên của $f$ khi và chỉ khi đạo hàm đồ thị dưới gradient $D(\partial f)(\bar{x} \mid 0)$ thỏa mãn điều kiện xác định dương thích hợp trên nón tới hạn.

Mục 3.2 chuyển kết quả sang bài toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc bất đẳng thức: $$\min f_0(x) \quad \text{với } q_i(x) \le 0, ; i = 1, \dots, m$$ trong đó $f_0, q_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ thuộc lớp $C^2$. Bằng cách chuyển bài toán về dạng không ràng buộc với hàm mục tiêu mở rộng $f(x) = f_0(x) + \delta_\Gamma(x)$, nhờ Bổ đề 1.15, hàm chỉ $\delta_\Gamma$ là chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân khi MSCQ thỏa mãn. Quy tắc cộng vi phân suy rộng cho phép biểu diễn $\partial f(x) = \nabla f_0(x) + N_\Gamma(x)$. Áp dụng công thức đạo hàm đồ thị nón pháp tuyến từ Định lý 2.10 của Chương 2: $$D(\partial f)(\bar{x} \mid 0)(v) = \nabla^2 f_0(\bar{x})v + DN_\Gamma(\bar{x} \mid -\nabla f_0(\bar{x}))(v)$$ Từ cấu trúc này, luận án chứng minh:

  • Điều kiện đủ bậc hai mạnh (SSOSC): Nếu tại điểm dừng $\bar{x} \in \Gamma$, chuẩn hóa MSCQ thỏa mãn và với mọi $w \in K(\bar{x}, -\nabla f_0(\bar{x})) \setminus {0}$, ta có: $$\langle w, \nabla^2_{xx} L(\bar{x}, \lambda) w \rangle > 0 \quad \forall \lambda \in \Lambda(\bar{x}, -\nabla f_0(\bar{x}))$$ (trong đó $L(x, \lambda) := f_0(x) + \lambda^T q(x)$ là hàm Lagrange thông thường), thì $\bar{x}$ là cực tiểu địa phương ổn định xiên.
  • Kết quả này cải thiện trực tiếp kết quả năm 2012 của B. Sh. Mordukhovich và J. V. Outrata (vốn đòi hỏi cả MFCQ và CRCQ), cũng như kết quả năm 2015 của H. Gfrerer và B. Sh. Mordukhovich (vốn đòi hỏi MSCQ kết hợp BEPP).
  • Đối với bài toán quy hoạch toàn phương có một ràng buộc toàn phương dạng bất đẳng thức dưới chuẩn hóa MSCQ, luận án khai thác cấu trúc ma trận cụ thể để thiết lập điều kiện cần và đủ tường minh cho tính ổn định xiên.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự xác định các đóng góp mới về mặt lý luận và khoa học như sau:

  1. Thiết lập công thức tường minh tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến đối với tập ràng buộc có cấu trúc lồi đa diện chỉ dưới điều kiện chuẩn hóa dưới chính quy mêtric (MSCQ). Kết quả này trả lời khẳng định cho câu hỏi mở về việc loại bỏ các điều kiện chính quy bổ sung, đồng thời hợp nhất các kết quả nghiên cứu độc lập trước đó của Dontchev và Rockafellar (1996), Henrion và cộng sự (2013), Gfrerer và Outrata (2014), Gfrerer và Mordukhovich (2015).
  2. Thiết lập công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nghiệm và đưa ra các tiêu chuẩn cần và đủ đặc trưng cho tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng chứa tham số dưới điều kiện MSCQ.
  3. Đề xuất phương pháp tiếp cận mới trong lý thuyết ổn định xiên bằng cách sử dụng đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân (đạo hàm đồ thị dưới gradient) thay cho dưới vi phân bậc hai. Cách tiếp cận này tận dụng được các quy tắc tính toán giải tích trực tiếp của đạo hàm đồ thị nón pháp tuyến.
  4. Thiết lập đặc trưng bậc hai cho tính ổn định xiên của bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân.
  5. Cải thiện các điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến: Chứng minh điều kiện đủ bậc hai mạnh (SSOSC) đảm bảo tính ổn định xiên dưới điều kiện chuẩn hóa MSCQ, loại bỏ các giả thiết ngặt nghèo về MFCQ, CRCQ hay BEPP.
  6. Thiết lập các tiêu chuẩn tường minh, đơn giản kiểm tra tính ổn định xiên cho lớp bài toán quy hoạch toàn phương có một ràng buộc toàn phương bất đẳng thức dưới giả thiết MSCQ.

Các kết quả nghiên cứu của luận án đã được công bố trong 02 bài báo khoa học trên tạp chí toán học quốc tế thuộc danh mục SCI là SIAM Journal on Optimization và 01 bài báo đã gửi đăng. Các kết quả cũng đã được báo cáo tại Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 15 (2017) và lần thứ 16 (2018) tại Ba Vì.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án:

  • Về cấu trúc tập ràng buộc: Công thức đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến ở Chương 2 mới được thiết lập cho trường hợp tập đích $\Theta$ là tập lồi đa diện; chưa áp dụng trực tiếp được cho các tập lồi không đa diện như nón nón bán xác định hoặc nón cấp hai.
  • Về độ trơn: Các hàm số thành phần $q$ và hàm mục tiêu $f_0$ đòi hỏi tính khả vi liên tục hai lần ($C^2$).
  • Về lớp hàm trong bài toán tối ưu: Kết quả đặc trưng ổn định xiên ở Chương 3 đòi hỏi hàm mục tiêu phải thỏa mãn tính chất chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân.

Hướng nghiên cứu tiếp được đề xuất:

  • Mở rộng kỹ thuật tính toán đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến cho các bài toán tối ưu nón phi đa diện (như quy hoạch bán xác định đối xứng và quy hoạch nón cấp hai) dưới điều kiện dưới chính quy mêtric.
  • Khảo sát khả năng nới lỏng hoặc loại bỏ giả thiết chính quy gần kề của hàm mục tiêu khi thiết lập mối liên hệ giữa đạo hàm đồ thị dưới gradient và tính ổn định xiên.
  • Ứng dụng các kết quả về đạo hàm đồ thị nón pháp tuyến và tính tĩnh lặng cô lập để phân tích sự hội tụ và tốc độ hội tụ của các thuật toán số giải phương trình suy rộng và bài toán quy hoạch phi tuyến.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo dành cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học, giảng viên và các nhà nghiên cứu thuộc các chuyên ngành Toán giải tích, Lý thuyết tối ưu, Giải tích biến phân và Toán ứng dụng.
  • Nội dung Chương 1 cung cấp tài liệu tham khảo hệ thống về các tính chất chính quy kiểu mêtric và sơ đồ so sánh toàn diện giữa các chuẩn hóa ràng buộc từ cổ điển (LICQ, MFCQ, CRCQ) đến hiện đại (MSCQ, CPLD, BEPP).
  • Định lý 2.10 và Bổ đề 2.1 ở Chương 2 là công cụ tính toán giải tích cho các nghiên cứu về hệ biến phân, bài toán bù phi tuyến và phương trình suy rộng có cấu trúc đa diện.
  • Phương pháp tiếp cận ở Chương 3 hữu ích cho các nhà nghiên cứu quan tâm đến phân tích độ nhạy, tính ổn định nghiệm và sự phát triển của các thuật toán tối ưu hóa số.

Câu hỏi thường gặp

1. Chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (MSCQ) có quan hệ như thế nào với các chuẩn hóa ràng buộc kinh điển như LICQ, MFCQ và CRCQ?
MSCQ là điều kiện chuẩn hóa yếu hơn tất cả các chuẩn hóa kinh điển kể trên. Cụ thể, LICQ kéo theo cả MFCQ và CRCQ; MFCQ tương đương với tính chính quy mêtric của ánh xạ ràng buộc quanh điểm xét và kéo theo MSCQ; CRCQ kéo theo CPLD và kéo theo MSCQ. Ngược lại, MSCQ không kéo theo bất kỳ điều kiện nào trong số LICQ, MFCQ, CRCQ và thậm chí không kéo theo tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP).

2. Điểm khác biệt mấu chốt giữa công thức tính đạo hàm đồ thị nón pháp tuyến của luận án so với công trình của Gfrerer và Mordukhovich (2015) là gì?
Công trình năm 2015 của Gfrerer và Mordukhovich đòi hỏi hai giả thiết đồng thời: chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (MSCQ) và tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP). Luận án của tác giả Lê Văn Hiển chứng minh rằng đối với tập $\Theta$ lồi đa diện, công thức tính đạo hàm đồ thị nón pháp tuyến vẫn hoàn toàn chính xác khi chỉ cần duy nhất giả thiết MSCQ, loại bỏ hoàn toàn yêu cầu về BEPP.

3. Tại sao luận án lựa chọn đạo hàm đồ thị dưới gradient để nghiên cứu tính ổn định xiên thay vì sử dụng dưới vi phân bậc hai?
Mặc dù dưới vi phân bậc hai là công cụ truyền thống để nghiên cứu tính ổn định xiên, việc tính toán trực tiếp cấu trúc này theo dữ liệu ban đầu của bài toán quy hoạch phi tuyến rất phức tạp. Trong khi đó, đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân (đạo hàm đồ thị dưới gradient) đã có sẵn các quy tắc tính toán giải tích tường minh thông qua đạo hàm đồ thị nón pháp tuyến với các giả thiết yếu hơn, giúp thu được các điều kiện đủ bậc hai đơn giản hơn.

4. Hai bài toán quy hoạch tuyến tính $LP(v)$ và $DP(v)$ trong Chương 2 có vai trò gì trong việc tính đạo hàm đồ thị nón pháp tuyến?
Với mỗi hướng tiếp tuyến $v \in K$ (nón tới hạn), tập nghiệm tối ưu $\Lambda(v)$ của bài toán quy hoạch tuyến tính $LP(v)$ xác định chính xác các nhân tử Lagrange hữu hiệu tham gia vào thành phần đạo hàm cấp hai $\nabla^2(\lambda^T q)(\bar{x})v$. Bài toán đối ngẫu $DP(v)$ cung cấp véc-tơ nghiệm tối ưu $z$ dùng để xây dựng dãy xấp xỉ bậc hai trong bài toán tối ưu phụ trợ $(P_t)$, là mấu chốt kỹ thuật để chứng minh bao hàm thức thuận của đạo hàm đồ thị.

5. Kết quả của luận án đã được công bố trên những ấn phẩm khoa học nào?
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo khoa học trên tạp chí toán học quốc tế SIAM Journal on Optimization (thuộc danh mục ISI/SCI uy tín của Hiệp hội Toán học Ứng dụng và Công nghiệp Hoa Kỳ), 01 bài báo gửi đăng, và được báo cáo tại Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học toàn quốc lần thứ 15 (2017) và lần thứ 16 (2018).

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Lê Văn Hiển giải quyết trọn vẹn bài toán tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến trên tập lồi đa diện chỉ dưới giả thiết dưới chính quy mêtric (MSCQ), khắc phục triệt để các giả thiết bổ sung của các công trình quốc tế trước đó. Bằng cách đề xuất hướng tiếp cận mới sử dụng đạo hàm đồ thị dưới gradient, luận án đã thiết lập các đặc trưng bậc hai và chứng minh điều kiện đủ bậc hai mạnh (SSOSC) đảm bảo tính ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến dưới điều kiện MSCQ. Công trình có đóng góp khoa học về mặt giải tích biến phân lý thuyết và cung cấp cơ sở toán học cho lý thuyết phương trình suy rộng cũng như tối ưu hóa số.