I. Mở đầu
Luận án này tập trung vào việc nghiên cứu tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và các ứng dụng của nó. Tính dưới chính quy mêtric là một trong những tính chất chính quy quan trọng, ảnh hưởng đến khả năng giải quyết các bài toán tối ưu. Nghiên cứu này không chỉ nhằm làm rõ vai trò của tính dưới chính quy mêtric mà còn mở rộng các ứng dụng của nó trong lý thuyết tối ưu và các lĩnh vực liên quan. Đặc biệt, luận án sẽ khảo sát các khái niệm như đạo hàm đồ thị và tính ổn định xiên, từ đó đưa ra các kết quả mới trong việc áp dụng các khái niệm này vào các bài toán tối ưu không ràng buộc và quy hoạch phi tuyến.
1.1. Lý do chọn đề tài
Lý do chọn đề tài này xuất phát từ nhu cầu nghiên cứu sâu hơn về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân. Các khái niệm vi phân suy rộng đã được phát triển từ những năm 1960, và tính dưới chính quy mêtric đã được đề xuất như một công cụ quan trọng trong việc khảo sát các bài toán tối ưu. Nghiên cứu này sẽ giúp làm rõ hơn vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong việc thiết lập các điều kiện tối ưu và tính ổn định cho các bài toán tối ưu, từ đó mở rộng ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau.
II. Kiến thức chuẩn bị
Chương này sẽ trình bày các khái niệm cơ bản và tính chất bổ trợ liên quan đến tính toán mêtric và giải tích biến phân. Các khái niệm như không gian mêtric, hàm số và biến phân sẽ được giới thiệu để tạo nền tảng cho các nghiên cứu tiếp theo. Đặc biệt, tính chất mêtric và điều kiện chuẩn hóa sẽ được phân tích kỹ lưỡng, nhằm làm rõ mối liên hệ giữa các khái niệm này và tính dưới chính quy mêtric. Việc hiểu rõ các khái niệm này là rất quan trọng để áp dụng vào các bài toán tối ưu và các vấn đề liên quan trong giải tích biến phân.
2.1. Một số khái niệm và tính chất bổ trợ
Trong phần này, các khái niệm như không gian mêtric, hàm số và biến phân sẽ được giới thiệu. Tính chất mêtric sẽ được phân tích để làm rõ vai trò của nó trong việc thiết lập các điều kiện tối ưu. Các khái niệm này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về tính dưới chính quy mêtric mà còn tạo cơ sở cho việc áp dụng vào các bài toán tối ưu. Việc nắm vững các khái niệm này sẽ giúp người đọc có cái nhìn tổng quát hơn về giải tích biến phân và các ứng dụng của nó.
III. Đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtric
Chương này sẽ tập trung vào việc tính toán đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến trong bối cảnh tính dưới chính quy mêtric. Các kết quả sẽ được thiết lập dựa trên các điều kiện cần thiết và đủ cho đạo hàm đồ thị. Việc áp dụng các kết quả này vào lý thuyết phương trình suy rộng sẽ được thảo luận chi tiết. Đặc biệt, chương này sẽ làm rõ mối liên hệ giữa đạo hàm đồ thị và tính ổn định xiên, từ đó đưa ra các ứng dụng thực tiễn trong các bài toán tối ưu.
3.1. Tính toán đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến
Phần này sẽ trình bày chi tiết về cách tính toán đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến. Các phương pháp và kỹ thuật sẽ được áp dụng để thiết lập các kết quả chính xác. Việc tính toán này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về tính dưới chính quy mêtric mà còn mở rộng khả năng áp dụng vào các bài toán tối ưu. Các ví dụ minh họa sẽ được đưa ra để làm rõ hơn các khái niệm và kết quả đã được thiết lập.
