MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhằm bổ sung công cụ để khảo sát các bài toán tối ưu và bài toán liên quan, đầu những năm 1960, R. Moreau đề xuất và nghiên cứu khái niệm dưới vi phân cho hàm lồi. Giữa thập niên 1970, F.
Mordukhovich độc lập đưa ra các khái niệm dưới vi phân cho hàm có thể không lồi. Đạo hàm và đối đạo hàm của ánh xạ đa trị xuất hiện vào đầu thập niên 1980. Bên cạnh đó, nhiều khái niệm vi phân suy rộng khác (đạo hàm theo hướng, dưới đạo hàm, dưới vi phân bậc hai, dưới đạo hàm bậc hai,.) cũng đã được giới thiệu và nghiên cứu. Wets xuất bản cuốn sách chuyên khảo “Variational Analysis” ([70]) trên cơ sở tổng hợp, hệ thống hóa và bổ sung những kết quả cơ bản theo hướng nghiên cứu này, đánh dấu sự ra đời của Giải tích biến phân.
Đến nay, giải tích biến phân bậc nhất đã khá hoàn thiện, trong khi đó giải tích biến phân bậc hai đang được nghiên cứu mạnh mẽ và phát triển nhanh ([21], [55], [56], [70]). Lĩnh vực này thu hút được sự chú ý của nhiều nhà toán học trong thời gian gần đây ([6], [8], [55], [70]). Vi phân suy rộng đóng vai trò trung tâm trong giải tích biến phân và ứng dụng ([55]). Hơn nữa, đối với bất kỳ cấu trúc vi phân suy rộng nào, luôn có hai vấn đề cơ bản được đặt ra một cách tự nhiên: thứ nhất là cấu trúc đó phản ánh được tính chất nào của hàm số, ánh xạ hay tập hợp; thứ hai là làm thế nào để tính toán hoặc ước lượng cấu trúc đó theo dữ 8 liệu ban đầu của bài toán.
Thực tế là để giải quyết thấu đáo mỗi vấn đề này người ta đều cần đến thông tin về tính chính quy nào đó của hàm số, ánh xạ hay tập hợp có liên quan ([21], [44], [55], [70]). Chính vì vậy, các tính chất chính quy là những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong giải tích biến phân ([21], [44], [55], [65], [70]). Tính dưới chính quy mêtric là một trong những tính chất chính quy đáng chú ý trong giải tích biến phân bậc nhất ([15], [21], [36], [43], [51]). Gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân bậc hai ([25], [52]).
Tuy vậy, vai trò của tính chất này trong giải tích biến phân bậc hai vẫn là một vấn đề thú vị cần được khảo sát thêm. Với các lý do như thế, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án của mình là “Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng”. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào việc khảo sát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tính chính quy trong giải tích biến phân, đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân (còn được gọi là đạo hàm đồ thị dưới gradient), tính ổn định xiên (tilt stability) và tính chất tĩnh lặng cô lập (isolated calmness).
Phạm vi nghiên cứu - Đối với vấn đề thứ nhất, luận án tập trung nghiên cứu khả năng của đạo hàm đồ thị dưới gradient trong việc nhận biết tính ổn định xiên cho 9 các bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề. Đồng thời, luận án cũng quan tâm đến các bài toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc bất đẳng thức thỏa mãn điều kiện dưới chính quy mêtric với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc khả vi liên tục hai lần. - Đối với vấn đề thứ hai, luận án tập trung vào việc tính đạo hàm đồ thị dưới gradient cho một lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtric và sử dụng kết quả tính toán này để khảo sát tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân và các kĩ thuật của giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm về quy tắc tính toán trong giải tích biến phân; đồng thời, luận án cũng đề xuất cách tiếp cận mới nghiên cứu tính ổn định xiên, cải thiện được một số kết quả về tính ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến; qua đó làm rõ hơn vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng. Luận án là tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu lĩnh vực giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu và ứng dụng. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án Các tính chất chính quy đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân và ứng dụng ([55], [56], [70]).
Một mặt, những tính chất này được dùng để thiết lập điều kiện cực trị và nghiên cứu vấn đề ổn định cho các 10 bài toán tối ưu và các bài toán liên quan. Mặt khác, chúng được sử dụng để phát triển hệ thống quy tắc tính toán trong giải tích biến phân. Ngoài ra, tính chất chính quy cũng được dùng để khảo sát sự hội tụ của các thuật toán trong tối ưu số ([29], [54], [55], [57], [58]). Trong giải tích biến phân, người ta đã đề xuất và nghiên cứu nhiều khái niệm chính quy khác nhau cho cả tập hợp, hàm giá trị thực mở rộng và ánh xạ đa trị.
Đối với tập hợp, tập chính quy Clarke và tập chính quy gần kề là hai khái niệm rất đáng chú ý, bởi vai trò quan trọng của chúng trong việc nghiên cứu lý thuyết vi phân suy rộng và ứng dụng. Những khái niệm này cũng có thể được dùng để định nghĩa tính chính quy cho hàm giá trị thực mở rộng và ánh xạ đa trị. Chẳng hạn, hàm giá trị thực mở rộng là chính quy dưới vi phân nếu trên đồ thị của nó là chính quy Clarke ([70, Definition 7.25]); ánh xạ đa trị là chính quy đồ thị nếu đồ thị của nó là chính quy Clarke ([70, Definition 8.38]); hàm giá trị thực mở rộng là chính quy gần kề nếu và chỉ nếu trên đồ thị của nó là chính quy gần kề ([65, Theorem 3. Đối với ánh xạ đa trị, các khái niệm chính quy kiểu mêtric như chính quy mêtric, chính quy mêtric mạnh, dưới chính quy mêtric và dưới chính quy mêtric mạnh có vai trò quan trọng cả trong lý thuyết lẫn ứng dụng ([21], [44], [70]).
Ngoài ra, khá nhiều mở rộng và biến thể của các khái niệm chính quy đề cập ở trên cũng đã xuất hiện trong giải tích biến phân và tìm được những ứng dụng nhất định. Phần tiếp theo của tổng quan sẽ tập trung vào tính chính quy gần kề và một số tính chất chính quy kiểu mêtric, bởi đây là các khái niệm chính quy liên quan trực tiếp đến đóng góp của luận án này. Khái niệm hàm chính quy gần kề được Poliquin và Rockafellar ([65]) giới thiệu năm 1996. Ngoài các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới, lớp hàm chính quy gần kề còn bao gồm nhiều hàm số quan trọng khác trong giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu, như hàm khả vi có đạo hàm Lipschitz địa phương, hàm dưới-C 2 , hợp của hàm lồi chính thường nửa 11 liên tục dưới với ánh xạ khả vi liên tục hai lần thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa chính quy mêtric, hàm chỉ (indicator function) của tập ràng buộc của bài toán quy hoạch phi tuyến với chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric ([1], [15], [65]).
Bao Moreau (Moreau envelope) của hàm chính quy gần kề là khả vi và có đạo hàm Lipschitz địa phương, trong khi ánh xạ gần kề (proximal mapping) liên kết với nó là đơn điệu, đơn trị và Lipschitz địa phương ([70, Proposition 13. Đây là những tính chất đáng chú ý xét từ góc độ tối ưu số. Tính chính quy gần kề được dùng nhiều trong các nghiên cứu về vi phân suy rộng bậc hai ([65], [70]). Nó còn được sử dụng trong nghiên cứu quá trình quét (sweeping process), tính khả vi của hàm khoảng cách và tính trơn của phép chiếu mêtric lên tập không lồi ([5], [16], [27], [67]).
Thông tin chi tiết về nhiều ứng dụng khác nhau của khái niệm chính quy gần kề có thể tìm thấy trong tài liệu [15]. Tính chính quy kiểu mêtric của ánh xạ xuất hiện lần đầu vào cuối thập niên 1970. Nó được sử dụng để nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhau trong giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu, như thiết lập qui tắc tính toán cho các cấu trúc vi phân suy rộng, nghiên cứu điều kiện cực trị, tính ổn định và phương pháp giải cho các bài toán tối ưu và bài toán liên quan. Khái niệm chính quy mêtric là một ví dụ điển hình về chính quy kiểu mêtric.
Khái niệm này có nguồn gốc từ định lý ánh xạ mở Banach- Schauder trong giải tích hàm và định lý Lyusternik-Graves trong giải tích phi tuyến. Thuật ngữ “chính quy mêtric” được Borwein ([9]) đề xuất năm 1986. Borwein và Zhuang ([10]) cùng với Penot ([64]) cho thấy rằng ánh xạ đa trị là chính quy mêtric nếu và chỉ nếu nó là mở tuyến tính, hơn nữa các tính chất này tương đương với tính chất Aubin của ánh xạ ngược. Năm 1993, Mordukhovich ([54]) đã thiết lập được đặc trưng đối đạo hàm cho các ánh xạ đa trị chính quy mêtric và tiêu chuẩn Mordukhovich cho tính chất Aubin ([70, Theorem 9.
Năm 2003, để nghiên cứu vấn đề bảo tồn tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị dưới tác động của nhiễu, 12 Dontchev và các cộng sự ([22]) đã giới thiệu khái niệm bán kính chính quy mêtric (the radius of metric regularity) của ánh xạ đa trị, đồng thời đưa ra công thức tính đại lượng này thông qua đối đạo hàm của ánh xạ đa trị được xem xét. Kết quả này là một mở rộng của định lý Eckart-Young nổi tiếng trong giải tích số. Ý tưởng bán kính chính quy mêtric sau đó được áp dụng để nghiên cứu tính chính quy mêtric mạnh và một số khái niệm khác, dẫn đến sự hợp nhất của nhiều kết quả cơ bản của giải tích biến phân. Thông tin chi tiết về tính chính quy mêtric có thể tìm thấy trong các bài báo tổng quan về vấn đề này của Ioffe (xem [40], [41], [42]).