Luận án tiến sĩ về giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng trong toán học

Giải tích biến phân bậc hai là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, nghiên cứu các cấu trúc vi phân bậc hai và các vấn đề liên quan đến tối ưu hóa. Các khái niệm cơ bản của lĩnh vực này đã được phát triển từ lâu, nhưng gần đây đã thu hút sự quan tâm lớn từ các nhà nghiên cứu. Giải tích biến phân bậc hai không chỉ giúp mở rộng các điều kiện cực trị mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật và khoa học tự nhiên. Theo Rockafellar và Wets, tên gọi “Giải tích biến phân” đã được chấp nhận rộng rãi từ năm 1998, nhấn mạnh tầm quan trọng của lĩnh vực này trong nghiên cứu toán học hiện đại. Những cấu trúc vi phân bậc hai xuất hiện tự nhiên trong các bài toán tối ưu không trơn và tối ưu có ràng buộc, cho thấy sự cần thiết của việc phát triển các công cụ và phương pháp mới trong nghiên cứu.

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản và tính chất bổ trợ trong giải tích biến phân. Đặc biệt, hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng là một trong những khái niệm quan trọng, giúp thiết lập các quy tắc tính toán cho các bài toán tối ưu. Các điều kiện cần và đủ cho hàm chính thường nửa liên tục dưới được biểu diễn thông qua tính nửa xác định dương và xác định dương của dưới đạo hàm bậc hai. Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các cấu trúc vi phân và điều kiện tối ưu. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc thiết kế và phân tích các thuật toán tối ưu, từ đó nâng cao hiệu quả giải quyết các bài toán thực tế.

Chương này tập trung vào việc thiết lập các điều kiện tối ưu bậc hai cho lớp bài toán quy hoạch nón. Các điều kiện cần tối ưu bậc hai được xác định thông qua tính nửa xác định dương của đạo hàm đồ thị dưới gradient. Điều này cho phép xác định các đặc trưng của điều kiện tăng trưởng bậc hai, từ đó cung cấp một cái nhìn sâu sắc về mối quan hệ giữa các điều kiện tối ưu và tính ổn định của nghiệm. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán quy hoạch nón trong thực tiễn, đặc biệt là trong các lĩnh vực như kinh tế và kỹ thuật.

Các ứng dụng của giải tích biến phân bậc hai trong khoa học rất đa dạng. Từ việc thiết lập các điều kiện tối ưu cho các bài toán quy hoạch nón đến việc phân tích sự hội tụ của các thuật toán tối ưu, lĩnh vực này đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển các phương pháp giải quyết vấn đề thực tiễn. Các điều kiện tối ưu không chỉ giúp đảm bảo tính ổn định của nghiệm mà còn cung cấp các công cụ cần thiết để phân tích và thiết kế các thuật toán hiệu quả. Điều này cho thấy giá trị thực tiễn của giải tích biến phân trong việc giải quyết các bài toán phức tạp trong nhiều lĩnh vực khác nhau.