Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Tối ưu hoá đa trị phụ thuộc tham số. Điều kiện cần tối ưu và bất đẳng thức biến phân" do nghiên cứu sinh Lê Minh Lưu thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh (năm 2002), thuộc chuyên ngành Giải tích (mã số: 1.01), dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Phan Quốc Khánh và TS. Trần Huệ Nương.

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Lý thuyết tối ưu hóa chứa các ánh xạ đa trị (gọi tắt là tối ưu hóa đa trị) bắt đầu được nghiên cứu hệ thống từ công trình của Corley (1981) và phát triển thành một lĩnh vực ứng dụng trọng tâm của giải tích đa trị. Trong lý thuyết này, nghiên cứu về điều kiện cần tối ưu đóng vai trò nền tảng. Khi mở rộng sang các mô hình thực tế, việc đưa tham số vào bài toán xuất phát từ hai nguyên nhân chính:

  1. Các bài toán thực tế thường chứa nhiều biến số liên kết phức tạp; mô hình hóa toán học đòi hỏi phải phân định giữa biến độc lập chính và biến độc lập đóng vai trò tham số (như trong các bài toán điều khiển hệ động).
  2. Dữ liệu của các bài toán thực tế phần lớn mang tính gần đúng và chịu biến động liên tục, đòi hỏi mô hình toán học phải khảo sát tính ổn định của tập nghiệm theo sự thay đổi của tham số.

Khoảng trống nghiên cứu lớn mà các công trình trước đó (chẳng hạn như Corley 1981, 1988, 1989) chưa giải quyết được là việc luôn phải áp đặt giả thiết nón thứ tự trong tích các không gian ảnh có phần trong khác rỗng. Giả thiết này khiến mô hình không thể áp dụng cho các bài toán có ràng buộc đẳng thức hoặc ràng buộc bao hàm thức vi phân (trong đó nón thứ tự tương ứng có phần trong bằng rỗng), từ đó làm hạn chế việc áp dụng vào bài toán điều khiển tối ưu.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định ba mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

  1. Thiết lập các điều kiện cần tối ưu dạng Fritz John và Kuhn-Tucker cho bài toán tối ưu nhiều mục tiêu đa trị phụ thuộc tham số với ràng buộc đẳng thức đơn trị và ràng buộc bao hàm thức đa trị, loại bỏ giả thiết nón thứ tự có phần trong khác rỗng thông qua việc kết hợp đạo hàm Clarke và định lý Lusternik.
  2. Thiết lập các định lý tổng quát về sự tồn tại nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân và giả bất đẳng thức biến phân (quasi-variational inequality) với toán tử đa trị, giảm nhẹ các giả thiết về tính đơn điệu và mở rộng cho bài toán bù, bài toán cân bằng mạng giao thông.
  3. Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm giả bất đẳng thức biến phân thông qua tính nửa liên tục trên theo tham số của tập nghiệm.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach, các bài toán tối ưu hóa nhiều mục tiêu phụ thuộc tham số, toán tử biến phân đa trị, bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân và bài toán giả bù.
  • Phạm vi nghiên cứu: Khảo sát trên nền tảng các không gian Banach vô hạn chiều $X, Y, Z, W$, tập tham số bất kỳ $U$, tập sắp thứ tự bởi các nón lồi đóng, tập nghiệm hữu hạn/vô hạn chiều và bài toán mạng giao thông theo nguyên lý cân bằng Wardrop.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án tổng thuật các hướng nghiên cứu nền tảng và xác lập vị trí học thuật qua việc so sánh trực tiếp với các công trình đi trước:

Tác giả / Công trình Năm Hướng nghiên cứu & Giới hạn lý thuyết Đóng góp và vị trí của luận án
Corley 1981, 1988, 1989 Nghiên cứu điều kiện cần tối ưu Fritz John cho tối ưu đa trị không tham số; yêu cầu nón thứ tự có phần trong khác rỗng. Loại bỏ giả thiết phần trong khác rỗng; mở rộng sang bài toán có tham số và ràng buộc đẳng thức/bao hàm thức.
Ioffe – Tihomirov 1979 Điều kiện cần Fritz John, Kuhn-Tucker cho bài toán tối ưu vô hướng phụ thuộc tham số với ràng buộc đẳng thức chính quy; áp dụng nguyên lý cực đại Pontryagin. Mở rộng mô hình từ tối ưu vô hướng đơn trị sang tối ưu nhiều mục tiêu với các ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số.
Khanh – Nuong 1988, 1989 Mở rộng kết quả của Ioffe – Tihomirov cho bài toán tối ưu vectơ (nhiều mục tiêu) đơn trị phụ thuộc tham số. Phát triển tiếp tục hệ thống lý thuyết từ đơn trị sang bài toán chứa các ánh xạ hoàn toàn đa trị.
Luc – Malivert; Sach – Craven; Sach – Yen – Craven 1991, 1992, 1994 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị trong các không gian sắp thứ tự. Cải tiến điều kiện đặt lên nón thứ tự và mở rộng sang lớp bài toán chứa ràng buộc bao hàm thức thực sự.
Hartman – Stampacchia; Harker – Pang 1966, 1969, 1990 Bất đẳng thức biến phân cổ điển trong không gian hữu hạn chiều $\mathbb{R}^n$ và không gian Banach vô hạn chiều. Đưa ra các định lý tồn tại nghiệm cho bất đẳng thức biến phân với toán tử đa trị $(VI)$, $(SVI)$ và giả bất đẳng thức biến phân.
Sawaragi – Nakayama – Tanino; Khanh; Liu – Gong 1984, 1992, 2000 Nghiệm thực sự trong tối ưu hóa đa mục tiêu và bất đẳng thức biến phân vectơ tương ứng. Cải tiến các định lý tồn tại nghiệm (giai đoạn 1997–1999), giảm nhẹ điều kiện đơn điệu và đề xuất dạng bài toán bù mới.

Khoảng trống mà luận án lựa chọn giải quyết là xây dựng công cụ giải tích xử lý bài toán tối ưu đa trị có tham số với ràng buộc đẳng thức và bao hàm thức vi phân (nơi nón thứ tự suy biến có phần trong rỗng) và thiết lập các điều kiện tồn tại, ổn định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân dưới các giả thiết giảm nhẹ.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và các khái niệm công cụ

Luận án xây dựng trên cơ sở giải tích phi tuyến, giải tích đa trị và giải tích hàm:

  • Không gian khảo sát: Các không gian Banach $X, Y, Z, W$, trong đó $Y$ và $Z$ được sắp thứ tự bởi các nón lồi $K$ và $M$ chứa đỉnh $0$, có phần trong khác rỗng ($\text{int} K \ne \emptyset, \text{int} M \ne \emptyset$). Tập tham số $U$ là một tập bất kỳ mang tô-pô tầm thường.
  • Mô hình bài toán:
    • Bài toán $(P)$: $\min F(x,u)$ với ràng buộc $G(x,u) \subset -M$, $0 \in P(x,u)$.
    • Bài toán $(\bar{P})$: $\min F(x,u)$ với ràng buộc $G(x,u) \cap (-M) \ne \emptyset$, $0 \in P(x,u)$. Trong đó $F, G, P$ là các ánh xạ đa trị từ $X \times U$ lần lượt vào $Y, Z, W$.
  • Khái niệm nghiệm hiệu quả: Điểm $(x_0; f_0)$ với $f_0 \in F(x_0)$ được gọi là cực tiểu Pareto trên $A \subset X$ nếu $F(A) - f_0 \subset Y \setminus ((-K) \setminus {0})$, và là cực tiểu yếu nếu $F(A) - f_0 \subset Y \setminus (-\text{int} K)$.
  • Đạo hàm Clarke của ánh xạ đa trị: Đạo hàm Clarke $DF(x_0; f_0)$ của $F$ tại $(x_0; f_0) \in \text{gr} F$ là ánh xạ đa trị từ $X$ vào $Y$ có đồ thị: $$\text{gr} DF(x_0; f_0) := \limsup_{(x, f) \to (x_0, f_0), , t \downarrow 0} \frac{F(x + tx') - f}{t}$$ Đồ thị này luôn là một quá trình lồi đóng (nón lồi đóng khác rỗng).
  • Tính khả vi đều và tính nửa liên tục: Tính $K$-khả vi đều theo hướng, $K$-khả vi đều; tính $K$-nửa liên tục dưới mạnh ($K$-slsc) và $K$-nửa liên tục dưới đều ($K$-ulsc).
  • Tính giống lồi mở rộng: Phát triển từ khái niệm giống lồi cổ điển của Ky Fan (1953, 1955) sang các dạng: $K \times {0}$-giống lồi yếu trong $(U, {u_0})$, tính giống lồi xấp xỉ và giống lồi xấp xỉ yếu.
  • Lát cắt địa phương: Ánh xạ đơn trị $f: X \to Y$ được gọi là lát cắt địa phương chính quy của $F$ tại $(x_0, f_0)$ nếu $f(x_0) = f_0$, $f(x) \in F(x)$ và $f'_x(x_0)X = Y$; được gọi là lát cắt địa phương dưới chính quy nếu $f'_x(x_0)X$ có đối chiều hữu hạn trong $Y$.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng phương pháp nghiên cứu toán học thuần túy:

  • Kỹ thuật xây dựng các tập nón xấp xỉ và tập lồi $C$ trong không gian tích $Y \times Z \times W$.
  • Chứng minh phần trong của tập $C$ khác rỗng ($\text{int} C \ne \emptyset$).
  • Áp dụng Định lý tách tập lồi để thu được bộ nhân tử Lagrange $(\lambda_0, \mu_0, \nu_0) \in K^* \times M_0^* \times W^* \setminus {(0,0,0)}$.
  • Sử dụng Định lý Lusternik để xây dựng các quỹ đạo tiệm cận xấp xỉ, dẫn tới mâu thuẫn nếu điểm khảo sát không thỏa mãn điều kiện cần tối ưu.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Điều kiện cần tối ưu cho tối ưu hoá đa trị phụ thuộc tham số với ràng buộc đẳng thức đơn trị

Chương này tập trung giải quyết bài toán $(P)$ và $(\bar{P})$ trong trường hợp ánh xạ ràng buộc $P = p$ là đơn trị (tức là $p(x,u) = 0$). Ràng buộc này thường mô tả phương trình trạng thái của hệ, điều kiện đầu và điều kiện biên.

  • Định lý 1.1 & Định lý 1.2: Thiết lập điều kiện cần tối ưu Fritz John cho bài toán $(P)$ và $(\bar{P})$ dưới giả thiết $p(\cdot, u)$ khả vi liên tục, đạo hàm Fréchet $p_x(x_0, u_0)$ là ánh xạ lên ($p_x(x_0, u_0)X = W$), các ánh xạ $F, G$ thỏa mãn tính khả vi đều theo hướng và tính $K \times M \times {0}$-giống lồi trong $(U, {u_0})$. Khi đó tồn tại bộ nhân tử $(\lambda_0, \mu_0, \nu_0) \ne (0,0,0)$ sao cho: $$\langle \lambda_0, D_x F(x_0, u_0; f_0)x + F(x_0, u) - f_0 \rangle + \langle \mu_0, D_x G(x_0, u_0; g_0)x + G(x_0, u) - g_0 \rangle + \langle \nu_0, p_x(x_0, u_0)x + p(x_0, u) \rangle \subset \mathbb{R}_+$$
  • Điều kiện cần dạng Kuhn-Tucker (Định lý 1.3): Bổ sung điều kiện chính quy kiểu Slater: $p_x(x_0, u_0)X + p(x_0, U)$ chứa lân cận gốc tọa độ và tồn tại điểm $(\bar{x}, \bar{u})$ sao cho $D_x G(x_0, u_0; g_0)\bar{x} + G(x_0, \bar{u}) - g_0 \subset -\text{int} M_0^*$, $p_x(x_0, u_0)\bar{x} + p(x_0, \bar{u}) = 0$, từ đó chứng minh nhân tử mục tiêu $\lambda_0 \ne 0$.
  • Cải tiến giảm nhẹ giả thiết (Định lý 1.4 & Định lý 1.6): Luận án đã giảm nhẹ giả thiết toàn ánh $p_x(x_0, u_0)X = W$ xuống điều kiện ảnh $p_x(x_0, u_0)X$ có đối chiều hữu hạn, đồng thời thay tính giống lồi bằng tính giống lồi xấp xỉ (sử dụng Bổ đề 1.3 và Bổ đề 1.5). Thí dụ 1.2 và Thí dụ 1.3 được xây dựng để chứng minh tính khả thi của việc kiểm tra các giả thiết này.

Chương 2: Điều kiện cần tối ưu cho tối ưu hoá đa trị phụ thuộc tham số với ràng buộc bao hàm thức

Chương 2 mở rộng toàn diện kết quả của Chương 1 sang trường hợp ràng buộc $0 \in P(x,u)$ là một bao hàm thức thực sự (thường gặp khi trạng thái hệ động học được mô tả bằng bao hàm thức vi phân).

  • Định lý 2.1 & Định lý 2.2: Thiết lập điều kiện cần Fritz John và Kuhn-Tucker cho bài toán $(P)$ và $(\bar{P})$ khi ánh xạ $P(\cdot, u_0)$ có lát cắt dưới chính quy $p(\cdot, u_0)$ (tức $p_x(x_0, u_0)X$ có đối chiều hữu hạn trong $W$) và có lát cắt địa phương khả vi liên tục theo $x$. Kết luận khẳng định sự tồn tại của bộ nhân tử $(\lambda_0, \mu_0, \nu_0) \in K^* \times M_0^* \times W^* \setminus {(0,0,0)}$ thỏa mãn: $$\langle \lambda_0, D_x F(x_0, u_0; f_0)x + F(x_0, u) - f_0 \rangle + \langle \mu_0, D_x G(x_0, u_0; g_0)x + G(x_0, u) - g_0 \rangle + \langle \nu_0, D_x P(x_0, u_0; 0)x + P(x_0, u) \rangle \subset \mathbb{R}_+$$
  • Định lý 2.3 & Định lý 2.4: Thay thế tính nửa liên tục mạnh bằng tính nửa liên tục đều, và thay tính giống lồi bằng khái niệm bộ ba $(F, G, P)$ giống lồi xấp xỉ tại $(x_0, u_0)$.
  • Thí dụ minh họa: Thí dụ 2.1 minh họa trực tiếp cho bài toán tối ưu với ràng buộc bao hàm thức vi phân: $$\min \int_0^1 f(x(t))dt + u^2 \quad \text{với } 0 \in {(x - x_0)(\alpha x_0 + 1) : \alpha \in \mathbb{R}}, ; x(0) = 0$$ Thí dụ 2.2 kiểm tra cụ thể các bước tính đạo hàm Clarke $D_x P(x_0, u_0; 0)x$ và các đánh giá xấp xỉ trong không gian Banach.

Chương 3: Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân và giả bất đẳng thức biến phân

Chương này nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển, mở rộng sang không gian vô hạn chiều và lớp toán tử đa trị $T: E \to L(X,Y)$.

  • Phát biểu bài toán:
    • Bài toán $(VI)$: Tìm $x_0 \in E$ sao cho $\forall x \in E, \exists t_x \in T(x), \langle t_x, x - x_0 \rangle \in Y \setminus (-\text{int} K)$.
    • Bài toán chặt hơn $(SVI)$: Tìm $x_0 \in E$ sao cho $\forall x \in E, \forall t \in T(x), \langle t, x - x_0 \rangle \in Y \setminus (-\text{int} K)$.
  • Mối liên hệ với tối ưu hóa và ứng dụng:
    1. Tương đương với bài toán tìm cực tiểu không ràng buộc của hàm merit (hàm gap).
    2. Khi tập xét $E$ là một nón, bài toán biến phân tương đương với bài toán bù (complementarity problem).
    3. Nghiệm cân bằng mạng giao thông theo nghĩa Wardrop chính là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân xác định trên mạng.
    4. Biểu diễn nghiệm qua phép chiếu metric trên tập lồi đóng $E$: $x_0 = P_E(x_0 - \alpha f(x_0))$ với $\alpha > 0$.
  • Đóng góp về định lý tồn tại: Thiết lập các định lý tồn tại nghiệm cho $(VI)$, $(SVI)$ và bài toán giả bất đẳng thức biến phân (QVI - nơi tập ràng buộc $E$ phụ thuộc vào chính biến số $x$), cải tiến và bao hàm nhiều kết quả công bố trong giai đoạn 1997–1999 nhờ giảm nhẹ giả thiết về tính đơn điệu của toán tử.

Chương 4: Sự ổn định nghiệm giả bất đẳng thức biến phân

Chương 4 tiếp cận bài toán tham số dưới góc độ phân tích độ nhạy và tính ổn định của tập nghiệm khi dữ kiện bài toán bị nhiễu:

  • Khảo sát sự ổn định của nghiệm bất đẳng thức biến phân khi tham số biến thiên trong không gian tô-pô.
  • Thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên (upper semicontinuity) của ánh xạ nghiệm của giả bất đẳng thức biến phân theo tham số.
  • Áp dụng các kết quả ổn định vào bài toán giả bù phụ thuộc tham số.

Kết quả và những đóng góp mới

Đóng góp về mặt lý luận

  1. Mở rộng lý thuyết điều kiện cần tối ưu: Thiết lập thành công hệ thống điều kiện cần tối ưu dạng Fritz John và Kuhn-Tucker cho bài toán tối ưu nhiều mục tiêu đa trị phụ thuộc tham số có chứa ràng buộc đẳng thức đơn trị và ràng buộc bao hàm thức đa trị.
  2. Khắc phục trở ngại nón thứ tự suy biến: Giải quyết triệt để khó khăn kỹ thuật khi nón thứ tự có phần trong bằng rỗng trong bài toán có ràng buộc đẳng thức bằng cách kết hợp đạo hàm Clarke của ánh xạ đa trị và Định lý Lusternik.
  3. Giảm nhẹ các giả thiết kỹ thuật: Nới lỏng giả thiết toàn ánh của đạo hàm xuống điều kiện ảnh có đối chiều hữu hạn; làm yếu giả thiết giống lồi kinh điển của Ky Fan thành tính giống lồi xấp xỉ.
  4. Phát triển lý thuyết bất đẳng thức biến phân: Mở rộng bài toán bất đẳng thức biến phân và giả bất đẳng thức biến phân sang trường hợp toán tử đa trị trong không gian Banach; đưa ra các định lý tồn tại nghiệm tổng quát với các giả thiết đơn điệu được giảm nhẹ; thiết lập các kết quả mới về tính nửa liên tục trên theo tham số của tập nghiệm.

Đóng góp về mặt ứng dụng

  • Thiết lập cầu nối lý thuyết giữa bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị với bài toán cân bằng mạng giao thông Wardrop và bài toán bù.
  • Đặt nền móng giải tích để áp dụng điều kiện cần tối ưu vào các bài toán điều khiển tối ưu hệ động có ràng buộc trạng thái mô tả bởi bao hàm thức vi phân.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên các nhận xét và phân tích trong văn bản luận án:

  • Hạn chế đối với ràng buộc bao hàm thức: Luận án mới chỉ khảo sát trường hợp ánh xạ đa trị $P$ có các lát cắt đơn trị thích hợp (chính quy hoặc dưới chính quy), chưa xử lý được hoàn toàn trường hợp bao hàm thức đa trị tổng quát không tồn tại lát cắt đơn trị.
  • Hạn chế về ứng dụng điều khiển: Việc áp dụng trực tiếp các định lý điều kiện cần sang bài toán điều khiển tối ưu hệ động có trạng thái mô tả bởi bao hàm thức vi phân đòi hỏi bộ công cụ kỹ thuật phức tạp hơn, luận án mới dừng ở mức xây dựng mô hình lý thuyết và thí dụ minh họa.
  • Hướng nghiên cứu tiếp theo:
    1. Loại bỏ yêu cầu tồn tại lát cắt đơn trị bằng cách sử dụng các định lý mở rộng của Định lý Lusternik cho ánh xạ đa trị (như các kết quả của Phan Quốc Khánh 1986, 1988, 1989).
    2. Phát triển và hoàn thiện việc áp dụng các điều kiện cần tối ưu vào bài toán điều khiển tối ưu hệ động chứa bao hàm thức vi phân nhằm suy ra nguyên lý cực đại Pontryagin dạng đa trị hoàn toàn.

Giá trị tham khảo

Luận án mang lại giá trị tham khảo khoa học chuyên sâu cho các đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học chuyên ngành Giải tích và Toán ứng dụng: Nguồn tài liệu tham khảo về kỹ thuật sử dụng đạo hàm Clarke, quá trình lồi đóng và định lý tách tô-pô trong giải tích đa trị.
  • Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Tối ưu hóa và Lý thuyết Điều khiển: Cung cấp khung phương pháp luận kết hợp định lý Lusternik với giải tích biến phân để xử lý ràng buộc đẳng thức và bao hàm thức vi phân có đối chiều hữu hạn.
  • Chuyên gia mô hình hóa kinh tế và giao thông: Cung cấp cơ sở toán học về bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân và bài toán bù để giải quyết các bài toán cân bằng mạng lưới giao thông (mô hình Wardrop) và phân tích độ ổn định nghiệm theo tham số.

Câu hỏi thường gặp

1. Luận án phát biểu hai mô hình bài toán tối ưu đa trị $(P)$ và $(\bar{P})$ khác nhau ở điểm nào?

Trong Chương 1 và Chương 2, bài toán $(P)$ và $(\bar{P})$ đều tìm cực tiểu của ánh xạ đa trị $F(x,u)$ trên không gian Banach với ràng buộc $0 \in P(x,u)$. Điểm khác biệt duy nhất nằm ở ràng buộc bất đẳng thức đa trị $G(x,u)$:

  • Bài toán $(P)$ yêu cầu ràng buộc chứa hoàn toàn: $G(x,u) \subset -M$.
  • Bài toán $(\bar{P})$ chỉ yêu cầu giao khác rỗng: $G(x,u) \cap (-M) \ne \emptyset$. Khi $G$ là ánh xạ đơn trị $g$, cả hai ràng buộc này đều trở về dạng quen thuộc $g(x,u) \le 0$.

2. Tại sao việc đưa ràng buộc đẳng thức đơn trị $p(x,u) = 0$ vào bài toán tối ưu đa trị lại gây khó khăn kỹ thuật lớn?

Trong các nghiên cứu tối ưu đa trị trước đó (như Corley 1981, 1988), giả thiết cốt yếu là nón thứ tự trong tích không gian ảnh phải có phần trong khác rỗng. Khi đưa ràng buộc đẳng thức $p(x,u) = 0$ vào (xem như ràng buộc thuộc nón ${0}$), nón này có phần trong bằng rỗng ($\text{int}{0} = \emptyset$), làm vô hiệu hóa các kỹ thuật tách tập thông thường và đòi hỏi phải áp dụng cỗ máy kỹ thuật phức tạp với trung tâm là Định lý Lusternik.

3. Đạo hàm Clarke của ánh xạ đa trị $F$ tại điểm $(x_0; f_0)$ được hiểu như thế nào?

Đạo hàm Clarke $DF(x_0; f_0)$ là một ánh xạ đa trị từ $X$ vào $Y$ có đồ thị được định nghĩa bằng giới hạn trên Kuratowski của các tỷ sai phân: $$\text{gr} DF(x_0; f_0) := \limsup_{(x, f) \to (x_0, f_0), , t \downarrow 0} \frac{F(x + tx') - f}{t}$$ Đồ thị $\text{gr} DF(x_0; f_0)$ luôn là một nón lồi đóng khác rỗng trong $X \times Y$, tức là một quá trình lồi đóng (closed convex process).

4. Bài toán bất đẳng thức biến phân có những mối liên hệ cơ bản nào với tối ưu hóa và thực tế được luận án nêu ra?

Luận án chỉ ra bốn mối liên hệ cốt lõi:

  1. Bất đẳng thức biến phân tương đương với bài toán tìm cực tiểu không ràng buộc của hàm merit (hàm gap).
  2. Khi miền khảo sát là một nón, bất đẳng thức biến phân tương đương với bài toán bù (complementarity problem).
  3. Nghiệm cân bằng mạng giao thông theo nguyên lý Wardrop chính là nghiệm của bất đẳng thức biến phân tương ứng.
  4. Nghiệm bất đẳng thức biến phân tương đương với một phép chiếu metric: $x_0 = P_E(x_0 - \alpha f(x_0))$ với $\alpha > 0$.

5. Khái niệm lát cắt địa phương dưới chính quy của ánh xạ đa trị $P$ được định nghĩa như thế nào?

Ánh xạ đơn trị $p: X \to W$ xác định trong lân cận của $x_0$ được gọi là lát cắt địa phương dưới chính quy của ánh xạ đa trị $P$ tại $(x_0, 0)$ nếu $p(x_0) = 0$, $p(x) \in P(x)$ với mọi $x \in N \cap \text{dom} P$, và không gian ảnh đạo hàm Fréchet $p'_x(x_0)X$ có đối chiều hữu hạn trong không gian Banach $W$.

Kết luận

Luận án của NCS. Lê Minh Lưu đã giải quyết có hệ thống bài toán tối ưu hóa đa trị phụ thuộc tham số với các ràng buộc đẳng thức đơn trị và bao hàm thức đa trị, khắc phục hạn chế nón thứ tự có phần trong rỗng nhờ kết hợp hiệu quả đạo hàm Clarke và định lý Lusternik. Bên cạnh đó, công trình đã mở rộng lý thuyết bất đẳng thức biến phân và giả bất đẳng thức biến phân cho toán tử đa trị, thiết lập các định lý tồn tại nghiệm dưới giả thiết đơn điệu giảm nhẹ và khảo sát tính ổn định nghiệm theo tham số. Đây là một công trình nghiên cứu lý thuyết giải tích toán học hoàn chỉnh, đặt nền tảng phương pháp luận quan trọng cho các nghiên cứu tiếp theo về điều khiển tối ưu hệ động chứa bao hàm thức vi phân và bài toán cân bằng mạng.