Tính Ổn Định Của Một Lớp Các Hệ Chuyển Mạch Tuyến Tính Trên Thang Thời Gian

Hệ chuyển mạch là các hệ liên quan cả động lực liên tục và động lực rời rạc. Chúng bao gồm một số hữu hạn các hệ con và một quy tắc rời rạc để đưa ra sự chuyển mạch giữa các hệ. Chúng đã được nghiên cứu rộng rãi trong hai thập kỷ gần đây bởi vì chúng miêu tả một lớp rộng các hệ vật lý cũng như các hệ thống kỹ thuật. Ví dụ cụ thể là hệ khuếch đại (cascaded system) bao gồm một bộ điều chỉnh thời gian liên tục (continuous-time plant), một tập điều khiển thời gian rời rạc và các chuyển mạch giữa các bộ điều khiển.

Hầu hết các phương pháp hiện tại để phân tích ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính không thể áp dụng cho hệ phát triển trên miền thời gian liên tục hoặc rời rạc. Trong bài báo [9], các tác giả đã phân tích tính ổn định cho một trường hợp đặc biệt của hệ chuyển mạch tuyến tính mà trong đó hệ động lực chuyển mạch giữa hệ con tuyến tính liên tục và hệ con tuyến tính rời rạc trong một chu kỳ thời gian nhất định. Thật ra, tính chất thời gian của chúng không thể biểu diễn được bằng đường thẳng liên tục (tức là R) hay đường rời rạc (tức là Z).

Phương pháp tiếp cận trong [6, 7] không áp dụng được nếu một hệ riêng biệt không ổn định tiệm cận. Do tầm quan trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học nước ngoài và Việt Nam đã dành nhiều thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các tính ổn định giải tích của hệ chuyển mạch. Luận văn này trình bày đề tài: “Tính ổn định của một lớp các hệ chuyển mạch tuyến tính trên thang thời gian”.

Luận văn được tổng hợp từ bài báo [9] của F. Djemai cùng với một số giáo trình về lý thuyết hệ động lực trên thang thời gian, hệ chuyển mạch trên thang thời gian. Mục đích của luận văn này là mở rộng các kết quả cho miền thời gian không đều T = Pak ,bk tạo bởi hợp các khoảng rời nhau với độ dài biến thiên ak và khoảng cách biến thiên bk . Hệ được nghiên cứu chuyển mạch giữa một hệ động lực con liên tục và một hệ con rời rạc với hàm hạt bị chặn.

Với h > 0 ta định nghĩa tập số phức Hilger Ch và dải Zh như sau: Ch := {z ∈ C : z 6= − 1/h}, Zh = {z ∈ C : −π/h < Im(z) ≤ π/h}, và với h = 0, đặt C0 = C, Z0 = C. Với h > 0, ta định nghĩa phép biến đổi trụ ξh : Ch → Zh bởi ξh (z) = (1/h)log(1 + hz), trong đó log là nhánh chính của logarit. Với h = 0, ta định nghĩa ξ0 (z) = z với mọi z ∈ C.

Hàm p : T → K được gọi là hồi quy nếu 1+µ(t)p(t) 6= 0, ∀t ∈ Tk . Ký hiệu tập tất cả các hàm hồi quy và rd-liên tục là R và ký hiệu R + nếu chúng thỏa mãn 1 + µ(t)p(t) > 0, ∀t ∈ Tk (tức là hàm hồi quy dương). Hàm ma trận A : T → Mn (R) được gọi là hồi quy, nếu ∀t ∈ Tk , I + µ(t)A(t) là khả nghịch, trong đó I là ma trận đơn vị.

Xét phương trình tuyến tính x∆ = Ax xác định trên thang thời gian T. Ta có các giá trị riêng của ma trận A là −2 và −3, nên A chéo hóa được. Nếu lấy T = R thì Spec(A) = {−2, −3} ⊂ S(T) = {λ ∈ C : Re λ < 0} và phương trình là ổn định mũ. Nếu lấy T = 2Z thì S(T) = SC (T) ∪ SR (T) = {λ ∈ C : |1 + 2λ| < 1} ∪ {− 1/2}.

Để nghiên cứu tính ổn định của hệ động lực trên thang thời gian, ta định nghĩa một tập mở của mặt phẳng phức được gọi là hình tròn Hilger. Với mỗi t ∈ T, hình tròn Hilger được định nghĩa là Hµ(t) = {z ∈ C : |z + 1/µ(t)| < 1/µ(t)}. Khi µ(t) = 0, ta ký hiệu H0 = {z ∈ C : Re(z) < 0} = C− , là nửa trái của nửa mặt phẳng phức.

Các kết quả chính bao gồm việc đưa ra các điều kiện để đảm bảo tính ổn định mũ của hệ dưới các điều kiện khác nhau về tính ổn định của các hệ con. Phương pháp tiếp cận dựa trên thang thời gian cho phép xử lý cả hệ liên tục và hệ rời rạc một cách thống nhất.

Các hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc mở rộng các kết quả cho các lớp hệ chuyển mạch phức tạp hơn, cũng như phát triển các phương pháp tính toán hiệu quả để kiểm tra các điều kiện ổn định trong thực tế. Nghiên cứu sâu hơn về điều khiển thích nghi và điều khiển bền vững cho hệ chuyển mạch trên thang thời gian cũng là một hướng đi tiềm năng.