Luận Văn Thạc Sĩ Kỹ Thuật: Tính Toán Kết Cấu Bằng Phương Pháp So Sánh

Luận văn thạc sĩ kĩ thuật phân tích tính toán kết cấu bằng phương pháp so sánh, ứng dụng hiệu quả trong thiết kế và đánh giá công trình xây dựng.

• Người hướng dẫn: GS. TSKH Hà Huy Cương
• Chuyên ngành: Kỹ thuật kết cấu
• Đề tài: Phương pháp so sánh trong tính toán kết cấu
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU
• 1.1. Phương pháp xây dựng bài toán cơ học
• 1.2. Phương pháp năng lượng
• 1.3. Nguyên lý công bù cực đại
• 1.4. Nguyên lý công ảo
• 1.5. Phương trình Lagrange
• 2. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS
• 2.1. Nguyên lý cực trị Gauss
• 2.2. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss

Tóm tắt

I. Giới thiệu về phương pháp so sánh trong tính toán kết cấu

Phương pháp so sánh trong tính toán kết cấu được phát triển nhằm giải quyết các bài toán cơ học vật rắn biến dạng. Phương pháp này dựa trên nguyên lý cực trị Gauss, cho phép tìm ra lời giải cho một bài toán thông qua việc so sánh với lời giải của một bài toán khác đã biết. Điều này không chỉ giúp đơn giản hóa quá trình tính toán mà còn mở ra hướng đi mới trong nghiên cứu và ứng dụng trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng. Việc áp dụng phương pháp này trong luận văn thạc sĩ kỹ thuật không chỉ mang lại giá trị lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn cao trong việc tối ưu hóa thiết kế kết cấu chịu tải trọng tĩnh.

1.1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn này tập trung vào việc nghiên cứu nội lực và chuyển vị của kết cấu bằng phương pháp so sánh. Đối tượng nghiên cứu bao gồm các bài toán cơ học kết cấu chịu tác dụng của tải trọng tĩnh. Phạm vi nghiên cứu được xác định rõ ràng, nhằm đảm bảo tính khả thi và ứng dụng thực tiễn của phương pháp. Việc tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp xây dựng và giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay là một trong những nhiệm vụ quan trọng của luận văn.

II. Các phương pháp xây dựng và giải bài toán cơ học kết cấu

Trong chương này, các phương pháp truyền thống để xây dựng bài toán cơ học được trình bày. Bốn phương pháp chính bao gồm: phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố, phương pháp năng lượng, phương pháp nguyên lý công ảo và phương pháp sử dụng trực tiếp phương trình Lagrange. Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng, tuy nhiên, phương pháp so sánh nổi bật với khả năng đơn giản hóa quá trình tính toán và tìm kiếm lời giải. Việc áp dụng các phương pháp này trong thực tiễn sẽ giúp nâng cao hiệu quả trong công trình xây dựng.

2.1. Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố

Phương pháp này được xây dựng dựa trên việc xét các điều kiện cân bằng lực của phân tố tách ra khỏi kết cấu. Các giả thiết trong phương pháp này bao gồm trục dầm không bị biến dạng và mặt cắt vẫn phẳng sau khi biến dạng. Điều này dẫn đến việc chỉ cần nghiên cứu phương trình cân bằng của các nội lực tác dụng lên trục dầm. Phương pháp này có thể áp dụng cho nhiều loại kết cấu khác nhau, từ đó giúp tối ưu hóa thiết kế và tính toán nội lực một cách chính xác.

III. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Việc nghiên cứu và ứng dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực kỹ thuật xây dựng. Phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán phức tạp mà còn tạo ra những cơ sở lý thuyết vững chắc cho các nghiên cứu tiếp theo. Tính khả thi và ứng dụng thực tiễn của phương pháp so sánh trong tính toán kết cấu sẽ góp phần nâng cao hiệu quả trong thiết kế và thi công công trình. Điều này đặc biệt quan trọng trong bối cảnh hiện nay, khi mà yêu cầu về độ an toàn và hiệu quả kinh tế trong xây dựng ngày càng cao.

3.1. Ứng dụng trong thực tiễn

Phương pháp so sánh có thể được áp dụng rộng rãi trong các dự án xây dựng, từ việc tính toán nội lực đến việc phân tích chuyển vị của các kết cấu. Việc lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên sẽ giúp tiết kiệm thời gian và nâng cao độ chính xác trong tính toán. Điều này không chỉ mang lại lợi ích cho các kỹ sư mà còn cho toàn bộ ngành xây dựng, khi mà việc tối ưu hóa thiết kế và thi công là rất cần thiết.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Cơ học kết cấu là lĩnh vực nghiên cứu các bài toán liên quan đến nội lực và chuyển vị của các kết cấu chịu tải trọng tĩnh và động. Theo ước tính, việc xác định chính xác nội lực và chuyển vị trong kết cấu là yếu tố then chốt để đảm bảo an toàn và hiệu quả trong thiết kế công trình xây dựng, cầu đường, nhà cao tầng và các công trình kỹ thuật khác. Các phương pháp truyền thống trong cơ học kết cấu bao gồm phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố, phương pháp năng lượng, phương pháp nguyên lý công ảo và phương pháp sử dụng trực tiếp phương trình Lagrange. Tuy nhiên, các phương pháp này có những hạn chế nhất định trong việc giải các bài toán phức tạp hoặc siêu tĩnh.

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là ứng dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, do GS. TSKH Hà Huy Cương đề xuất, để xây dựng và giải các bài toán cơ học kết cấu chịu tải trọng tĩnh. Phương pháp này dựa trên nguyên lý so sánh giữa hệ cần tính và hệ so sánh có lời giải đã biết, từ đó tìm lời giải bài toán bằng cách cực tiểu hóa lượng cưỡng bức. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các bài toán cơ học kết cấu trong môi trường đàn hồi, đồng nhất, đẳng hướng, với các ví dụ minh họa như dầm chịu uốn thuần túy, hệ dầm, hệ thanh và dàn.

Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc cung cấp một phương pháp giải mới, tổng quát và hiệu quả hơn so với các phương pháp truyền thống, giúp nâng cao độ chính xác và giảm thiểu sai số trong tính toán nội lực và chuyển vị. Kết quả nghiên cứu có thể ứng dụng trong thiết kế và kiểm tra an toàn các công trình kỹ thuật, góp phần phát triển khoa học cơ học kết cấu hiện đại.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên bốn lý thuyết và mô hình nghiên cứu chính trong cơ học kết cấu:

1. Nguyên lý cực trị Gauss: Nguyên lý này phát biểu rằng chuyển động thực của hệ chất điểm có liên kết xảy ra sao cho lượng cưỡng bức (được định nghĩa là tổng các tích khối lượng với bình phương độ lệch vị trí so với hệ tự do) đạt cực tiểu. Phương pháp này cho phép so sánh hệ cần tính với hệ so sánh có lời giải đã biết, từ đó xây dựng lượng cưỡng bức và tìm nghiệm bài toán bằng cách cực tiểu hóa.

2. Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố: Dựa trên các điều kiện cân bằng lực và momen trên phân tố nhỏ của kết cấu, phương trình vi phân cân bằng được thiết lập để mô tả trạng thái ứng suất và chuyển vị.

3. Phương pháp năng lượng và nguyên lý công ảo: Phương pháp này sử dụng thế năng biến dạng và công của các lực để thiết lập các nguyên lý biến phân, từ đó suy ra các phương trình cân bằng và điều kiện biên.

4. Phương trình Lagrange: Phương trình vi phân chuyển động được biểu diễn qua các tọa độ tổng quát, kết hợp động năng và thế năng của hệ, giúp mô tả chuyển động và cân bằng của kết cấu.

Các khái niệm chuyên ngành quan trọng bao gồm: ứng suất phân tố, biến dạng, nội lực (mômen uốn, lực cắt, lực dọc trục), độ cứng uốn (EJ), độ cứng cắt (GF), độ cứng kéo-nén (EF), và các điều kiện biên liên kết (khớp, ngàm, tự do).

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu chủ yếu là các tài liệu học thuật, giáo trình cơ học kết cấu, các công trình nghiên cứu về nguyên lý cực trị Gauss và các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu hiện đại. Phương pháp nghiên cứu bao gồm:

• Phân tích lý thuyết: Trình bày và phát triển các biểu thức lượng cưỡng bức dựa trên nguyên lý cực trị Gauss, xây dựng các phiếm hàm và phương trình vi phân cân bằng cho các bài toán cơ học kết cấu.

• Phương pháp so sánh: Sử dụng hệ so sánh có lời giải đã biết để thiết lập lượng cưỡng bức, từ đó tìm nghiệm bài toán bằng cách cực tiểu hóa lượng cưỡng bức.

• Phương pháp biến phân và sai phân hữu hạn: Áp dụng phép tính biến phân để tìm điều kiện cực tiểu của phiếm hàm lượng cưỡng bức, đồng thời sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải các phương trình vi phân cân bằng.

• Lập trình máy tính: Xây dựng chương trình tính toán điện tử để giải các bài toán cơ học kết cấu theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss.

Thời gian nghiên cứu kéo dài trong khoảng vài năm, tập trung vào việc phát triển lý thuyết, kiểm chứng qua các ví dụ minh họa và xây dựng công cụ tính toán hỗ trợ.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss cho phép xây dựng lượng cưỡng bức tổng quát cho các bài toán cơ học kết cấu. Ví dụ, đối với dầm chịu uốn thuần túy, lượng cưỡng bức được biểu diễn dưới dạng tích phân bình phương hiệu số mômen uốn giữa hệ cần tính và hệ so sánh, với độ cứng mặt cắt làm trọng số. Công thức lượng cưỡng bức có dạng:

$$ Z = \int_0^l \frac{(M_x - M_{x0})^2}{D} dx $$

với $D = EJ$ là độ cứng uốn, $M_x$ và $M_{x0}$ là mômen uốn của dầm cần tính và dầm so sánh.

2. Phương pháp này mở rộng được cho hệ dầm, hệ thanh và hệ dàn, với lượng cưỡng bức bao gồm các thành phần mômen uốn, lực cắt và lực dọc trục, mỗi thành phần được cân nhắc với độ cứng tương ứng. Ví dụ, lượng cưỡng bức cho hệ dầm tổng quát là:

$$ Z = \int_0^l \left[ \frac{(M_x - M_{x0})^2}{EJ} + \frac{(Q_y - Q_{y0})^2}{GF} + \frac{(N_z - N_{z0})^2}{EF} \right] dx $$

3. Điều kiện cực tiểu của lượng cưỡng bức dẫn đến các phương trình vi phân cân bằng của cơ hệ, tương ứng với các phương trình Euler-Lagrange. Ví dụ, đối với dầm chịu uốn, phương trình vi phân đường độ võng được thiết lập như:

$$ EJ \frac{d^4 y}{dx^4} = q(x) $$

với $q(x)$ là tải trọng phân bố.

4. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss cho phép sử dụng hệ so sánh bất kỳ có cùng độ cứng và chịu cùng tải trọng, giúp đơn giản hóa việc giải bài toán phức tạp bằng cách so sánh với hệ có lời giải đã biết. Điều này làm tăng tính linh hoạt và hiệu quả của phương pháp.

Thảo luận kết quả

Nguyên lý cực trị Gauss cung cấp một cách tiếp cận mới trong cơ học kết cấu, chuyển đổi bài toán cân bằng lực phức tạp thành bài toán cực tiểu hóa lượng cưỡng bức, một bài toán toán học thuần túy. So với các phương pháp truyền thống như phương pháp lực, phương pháp chuyển vị hay phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp này có ưu điểm là có thể lựa chọn hệ so sánh phù hợp để giảm độ phức tạp tính toán.

Kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp này không chỉ áp dụng hiệu quả cho bài toán tĩnh mà còn có tiềm năng mở rộng sang bài toán động, nhờ vào tính tổng quát của nguyên lý Gauss bao gồm cả lực quán tính và lực liên kết. So sánh với các nghiên cứu trước đây, phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thể hiện sự vượt trội trong việc xử lý các bài toán siêu tĩnh và các bài toán có điều kiện biên phức tạp.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ so sánh lượng cưỡng bức giữa hệ cần tính và hệ so sánh, hoặc bảng tổng hợp các giá trị nội lực và chuyển vị thu được từ phương pháp này so với các phương pháp khác, minh họa sự chính xác và hiệu quả của phương pháp.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss trong thiết kế và kiểm tra an toàn kết cấu công trình: Các kỹ sư thiết kế nên sử dụng phương pháp này để tính toán nội lực và chuyển vị, đặc biệt trong các công trình phức tạp hoặc có điều kiện biên đặc biệt, nhằm nâng cao độ chính xác và giảm thiểu sai số. Thời gian thực hiện: 1-2 năm; chủ thể: các công ty tư vấn thiết kế và viện nghiên cứu.

2. Phát triển phần mềm tính toán dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss: Xây dựng các công cụ tính toán điện tử hỗ trợ giải các bài toán cơ học kết cấu theo phương pháp này, giúp tự động hóa và tăng tốc quá trình tính toán. Thời gian thực hiện: 1-3 năm; chủ thể: các nhóm nghiên cứu và doanh nghiệp công nghệ.

3. Mở rộng nghiên cứu ứng dụng phương pháp cho bài toán động và các vật liệu phi tuyến: Tiếp tục nghiên cứu để áp dụng phương pháp cho các bài toán động lực học kết cấu và các vật liệu có tính phi tuyến như vật liệu đàn dẻo, đàn nhớt. Thời gian thực hiện: 2-4 năm; chủ thể: các viện nghiên cứu và trường đại học.

4. Đào tạo và phổ biến kiến thức về phương pháp nguyên lý cực trị Gauss trong cộng đồng kỹ thuật và học thuật: Tổ chức các khóa đào tạo, hội thảo chuyên đề nhằm nâng cao nhận thức và kỹ năng sử dụng phương pháp này trong thực tiễn. Thời gian thực hiện: liên tục; chủ thể: các trường đại học, viện nghiên cứu và hiệp hội kỹ thuật.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành cơ học kết cấu, kỹ thuật xây dựng: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết và phương pháp nghiên cứu mới, giúp nâng cao kiến thức chuyên sâu và kỹ năng giải quyết bài toán phức tạp.

2. Kỹ sư thiết kế và tư vấn xây dựng: Các chuyên gia trong lĩnh vực thiết kế công trình có thể áp dụng phương pháp để tính toán nội lực và chuyển vị chính xác hơn, từ đó tối ưu hóa thiết kế và đảm bảo an toàn công trình.

3. Nhà nghiên cứu và giảng viên trong lĩnh vực cơ học vật rắn và cơ học môi trường liên tục: Luận văn cung cấp các khung lý thuyết và phương pháp mới, hỗ trợ nghiên cứu và giảng dạy nâng cao.

4. Doanh nghiệp phát triển phần mềm kỹ thuật và công nghệ xây dựng: Các công ty phát triển công cụ tính toán kỹ thuật có thể tích hợp phương pháp nguyên lý cực trị Gauss vào sản phẩm, nâng cao tính cạnh tranh và hiệu quả sử dụng.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss khác gì so với phương pháp phần tử hữu hạn?
   Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss dựa trên nguyên lý so sánh và cực tiểu hóa lượng cưỡng bức giữa hệ cần tính và hệ so sánh, trong khi phương pháp phần tử hữu hạn chia nhỏ kết cấu thành các phần tử và giải hệ phương trình đại số. Phương pháp Gauss có thể linh hoạt hơn trong việc lựa chọn hệ so sánh và giảm độ phức tạp tính toán.

2. Phương pháp này có áp dụng được cho bài toán động lực học không?
   Có. Nguyên lý cực trị Gauss bao gồm cả lực quán tính nên có thể mở rộng áp dụng cho bài toán động lực học kết cấu, giúp giải quyết các bài toán dao động và tác động tải trọng động.

3. Làm thế nào để chọn hệ so sánh phù hợp trong phương pháp này?
   Hệ so sánh cần có cùng độ cứng và chịu cùng tải trọng như hệ cần tính, nhưng có thể có liên kết khác hoặc đơn giản hơn để có lời giải đã biết hoặc dễ tính toán. Việc lựa chọn hệ so sánh phù hợp giúp giảm thiểu lượng cưỡng bức và tăng hiệu quả giải bài toán.

4. Phương pháp này có thể áp dụng cho các vật liệu phi tuyến không?
   Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss có thể mở rộng để nghiên cứu các vật liệu phi tuyến như vật liệu đàn dẻo, đàn nhớt, tuy nhiên cần phát triển thêm các mô hình liên hệ ứng suất-biến dạng phù hợp và điều chỉnh lượng cưỡng bức tương ứng.

5. Có phần mềm nào hỗ trợ tính toán theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss không?
   Hiện nay chưa có phần mềm thương mại phổ biến chuyên biệt cho phương pháp này, nhưng luận văn đã đề xuất xây dựng chương trình máy tính điện tử hỗ trợ giải các bài toán cơ học kết cấu theo nguyên lý cực trị Gauss, mở ra hướng phát triển công cụ tính toán trong tương lai.

Kết luận

• Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss là một công cụ mạnh mẽ và tổng quát để giải các bài toán cơ học kết cấu, đặc biệt là các bài toán siêu tĩnh và phức tạp.
• Việc sử dụng hệ so sánh linh hoạt giúp giảm thiểu lượng cưỡng bức và đơn giản hóa quá trình giải bài toán.
• Phương pháp cho phép thiết lập các phương trình vi phân cân bằng thông qua cực tiểu hóa lượng cưỡng bức, tương đương với các phương trình Euler-Lagrange truyền thống.
• Nghiên cứu đã xây dựng được các biểu thức lượng cưỡng bức cho dầm, hệ dầm, hệ thanh và dàn, đồng thời minh họa qua các ví dụ cụ thể.
• Đề xuất phát triển phần mềm tính toán và mở rộng ứng dụng phương pháp cho bài toán động và vật liệu phi tuyến trong các nghiên cứu tiếp theo.

Các nhà nghiên cứu và kỹ sư nên áp dụng và phát triển phương pháp nguyên lý cực trị Gauss trong thực tiễn thiết kế và tính toán kết cấu, đồng thời phối hợp xây dựng công cụ tính toán hỗ trợ để nâng cao hiệu quả và độ chính xác.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương 1, chương này trình bày nguyên lý Gauss, sau đó trình bày phương pháp mới dựa trên nguyên lý cực trị Gauss để xây dựng và giải các bài toán cơ học dưới dạng tổng quát, chủ yếu là của cơ hệ vật rắn biến dạng. Để đạt mục tiêu trên, trong chương còn giới thiệu các khái niệm ứng suất và biến dạng của cơ hệ môi trường liên tục và của cơ học kết cấu. Cuối cùng, để làm ví dụ, trình bày việc áp dụng phương pháp mới để nhận được các phương trình vi phân cân bằng của cơ hệ. Nguyên lý cực trị Gauss Năm 1829 nhà toán học người Đức K.

Gauss đã đưa ra nguyên lý sau đây đối với cơ hệ chất điểm [1,tr. 171]: “Chuyển động thực của hệ chất điểm có liên kết tùy ý chịu tác động bất kì ở mỗi thời điểm xảy ra một cách phù hợp nhất có thể với chuyển động của hệ đó khi hoàn toàn tự do, nghĩa là chuyển động thực xảy ra với lượng cưỡng bức tối thiểu nếu như số đo lượng cưỡng bức lấy bằng tổng các tích khối lượng chất điểm với bình phương độ lệch vị trí chất điểm so với vị trí khi chúng hoàn toàn tự do”. Gọi mi là khối lượng chất điểm, Ai là vị trí của nó, Bi là vị trí sau thời đoạn vô cùng bé do tác động lực ngoài và do vận tốc ở đầu thời đoạn gây ra, C i là vị trí có thể ( bị ràng buộc bởi liên kết) thì lượng cưỡng bức được viết như sau: i  Z   mi Bi Ci   Min 2 (2.1) Dấu tổng trong (2.1) lấy theo số chất điểm. 15 Sử dụng nguyên lý vận tốc ảo và nguyên lý D ‘Alembert, xét hệ ở trạng thái cân bằng và cho rằng có lực với độ lớn tỉ lệ với độ dài Bi Ci tác dụng theo chiều từ C i đến Bi , Gauss đã chứng minh nguyên lý của mình [1,tr.

Để có thể sử dụng nguyên lý Gauss cần biết đại lượng biến phân của nó. 889], Gibbs (năm 1879) và Appell (năm 1899) đi từ các lập luận khác nhau đều nhận được nguyên lý Gauss và chỉ ra rằng đại lượng biến phân của nguyên lý này là gia tốc. Điều này có nghĩa là: ri = 0 ;  r i = 0 ;  r i  0 (2.2) ở đây  là kí hiệu biến phân ( lấy vi phân khi cố định thời gian ), ri , r i và r i lần lượt là vectơ toạ độ, vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của điểm i. Chuyển dịch của chất điểm của hệ có liên kết dưới tác dụng của lực Fi sau thời đoạn dt tính theo công thức sau đây: 1 ri  ri dt  ri dt 2 (2.3) 2 Vì ri = 0 và  r i = 0 nên chuyển dịch của chất điểm hoàn toàn tự do (có thể hình dung ở đầu thời đoạn dt liên kết được giải phóng nhưng vẫn giữ lực tác dụng) sau thời đoạn dt là : 1 Fi 2 ri  ri dt  dt (2.4) 2 mi Hiệu của (2.3) cho ta độ lệch vị trí của chất điểm có liên kết so với vị trí của nó khi hoàn toàn tự do.

Có thể xem dt là hằng thì lượng cưỡng bức Z theo (2.1) được viết dưới dạng lực như sau (với độ chính xác bằng thừa số dt4 / 4) : 2 F  Z   mi  i  ri   Min (2.5) i  mi  hoặc 16 1 Z =  m F - m r )2  Min i i i i (2.5a) i Khi tính lượng cưỡng bức theo (2.5) cần xem gia tốc là đại lượng biến phân (biến phân kiểu Gauss theo cách nói của Boltzmann ). Như vậy, phương pháp tìm cực tiểu của các bài toán cơ học được xây dựng theo nguyên lý (2.5) không thể là bất kỳ mà phải là (khi không có ràng buôc nào khác): Z 0 (2.6) sẽ cho ta phương trình cân bằng. Thật vậy, áp dụng (2.5) ta nhận được phương trình cân bằng của hệ ( ở đây lực tác dụng bằng lực quán tính). Appell và Boltzmann (năm 1897) còn cho biết nguyên lý Gauss đúng cho hệ liên kết holonom và cả hệ liên kết không holonom [1,tr.5) có dạng của phương pháp bình phương tối thiểu là phương pháp cũng do Gauss đưa ra và được dùng rộng rãi trong toán học hiện đại, trong giải tích cũng như trong lời giải số.

Có lẽ vì vậy nguyên lý Gauss thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học, thí dụ, Hertz (năm 1894) dựa trên ý tưởng lượng cưỡng bức đưa ra nguyên lý đường thẳng nhất (đường có độ cong nhỏ nhất) hoặc Prigogine (năm 1954) và Gyarmati (năm 1965) đã xây dựng được lượng cưỡng bức của các quá trình không hồi phục trong nhiệt động lực học [2]. Các tài liệu giáo khoa về cơ học thường giới thiệu nguyên lý Gauss dưới dạng (2.5) là dạng dùng được để tính toán. Nhưng nguyên lý (2.5) với đại lượng biến phân là gia tốc chỉ là một biểu thị của nguyên lý Gauss (2.1) bởi vì đại lượng biến phân trong cơ học còn có thể là chuyyển vị và vận tốc như trình bày sau đây. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Trong bài viết của mình Gauss nêu nhận xét rằng nguyên lý vận tốc ảo biến vấn đề tĩnh học thành vấn đề toán học thuần tuý, còn nguyên lý D’Alembert đưa bài toán động lực học về bài toán tĩnh học và mọi nguyên lý của cơ học hoặc nhiều hoặc ít đều có thể trực tiếp rút ra từ hai nguyên lý trên.

Dưới đây trình bày phương pháp dựa trên nguyên lý chuyển vị ảo để nhận được biểu thức (2.1) của nguyên lý Gauss. Xét hệ chất điểm có liên kết tuỳ ý ở một thời điểm bất kì nào đó có nghĩa là phải đưa lực quán tính fi của hệ tại thời điểm đó tác dụng lên hệ. Đối với hệ hoàn toàn tự do lực quán tính f0i của nó bằng với ngoại lực (chỉ số ‘0’ ở chân kí tự chỉ rằng kí tự đó thuộc hệ so sánh, trường hợp này là hệ hoàn toàn tự do có cùng khối lượng và cùng chịu tác dụng lực ngoài giống như hệ có liên kết). Như vậy, các lực tác dụng lên hệ có liên kết gồm các lực fi= mi r i và các lực f0i = mi r 0i (thay cho ngoại lực).

Theo nguyên lý chuyển vị ảo đối với liên kết giữ (liên kết dưới dạng đẳng thức) và không giữ (liên kết dưới dạng bất đẳng thức) điều kiện cần và đủ để hệ ở trạng thái cân bằng là [1,tr.7) cũng được Fourier (năm 1798 ) và Ostrogradsky ( năm 1838) độc lập đưa ra. Có thể nhận xét ngay rằng phần trong ngoặc đơn của (2.7) biểu thị lực tác dụng lên hệ nên phải bằng không để hệ ở trạng thái cân bằng. Trong biểu thức (2.7) cần xem các chuyển vị ri độc lập đối với lực tác dụng. Cho nên từ (2.7) có thể viết: Z    f i  f 0 i ri  Min (2.8) ri là các biến độc lập cần tìm để bảo đảm cho Z cực tiểu.

Vì chuyển vị r0i của hệ hoàn toàn tự do đã biết nên biểu thức (2.8) tương đương với các 18 biểu thức dưới đây: Z =   f i  f 0i  ri  r0i   Min (2.8a) i hoặc f  Z =  mi  i  r0i  ( ri  r0i )  Min (2.8b) i  mi  Dễ dàng nhận thấy (2.8b) là tích của khối lượng mi với bình phương độ lệch vị trí chất điểm và do đó Z xác định theo (2.8) là lượng cưỡng bức của nguyên lý Gauss (với độ chính xác bằng thừa số dt2/ 2 ).5), lượng cưỡng bức Z xác định theo (2.8) biểu thị đầy đủ và rõ ràng tư tưởng của nguyên lý Gauss thể hiện ở chỗ, thứ nhất, nó cho phép so sánh hệ có liên kết với hệ hoàn toàn tự do, thứ hai, đại lượng không biết (đại lượng biến phân) trong (2.8) là chuyển vị giống như trong (2. Cực tiểu của (2.8) cần và phải được tìm từ điều kiện (khi không có các ràng buộc nào khác): Z =0 (2.9) ri Điều kiện (2.8) cho ta phương trình cân bằng của cơ hệ. Ví dụ 1 Ví dụ này lấy từ [3,tr. Viết phương trình chuyển động của khối lượng m chạy trên đường cong y= bx2 trong mặt phẳng (xy), không có lực ma sát, dưới tác dụng của trường gia tốc g (Hình 1.1 Các lực tác dụng lên khối lượng m bao gồm: lực quán tính theo chiều y, lực trọng trường theo chiều âm của y, lực quán tính theo x.

Chọn hệ so sánh là hệ có 19 cùng khối lượng m nằm trong trường gia tốc g nhưng hoàn toàn tự do. Lượng cưỡng bức được viết theo (2.8) như sau: Z = (my  mg ) y  (mx) x  Min (a) Thế y  bx 2 vào (a) ta có Z = (my  mg)bx 2  (mx) x  Min (b) Z Xem chuyển vị x là biến độc lập và từ điều kiện  0 nhận được: x 2bxy  2bgx  x  0 (c) Thay y = 2bxx  2bx 2 vào (c) nhận được phương trình chuyển động của khối lượng m (4b 2 x 2  1) x  4b 2 xx 2  2bgx  0 (d) Phương trình (d) là kết quả cần tìm. Như nhận xét của Gauss nêu trên, có thể nói biểu thức (2.7) đã biến vấn đề tĩnh học (cân bằng lực) thành vấn đề toán học thuần tuý. Thật vậy, nếu ta dùng gia tốc là đại lượng biến phân thì tương tự như (2.10) với điều kiện gia tốc r I là đại lượng độc lập đối với lực tác dụng.10) có thể viết Z =   f i  f 0i  r i  Min (2.11) cần xem gia tốc r i là đại lượng biến phân để bảo đảm cho Z cực tiểu.

Vì gia tốc r 0i của hệ hoàn toàn tự do đã biết nên biểu thức (2.11) tương đương với các biểu thức dưới đây: Z =   f i  f 0i  ( r i- r 0i)  Min (2.11a) i  f  hoặc Z =  mi  i  r0i  ( r i- r 0i)  Min i  mi  20 Z =  m. Các gia tốc ri phải thỏa mãn các liên kết nếu có và điều kiện cực tiểu của (2.11) là biểu thức (2. Làm lại ví dụ 1 (Hình 1) theo nguyên lí (2.5) hoặc biểu thức (2.11) Khối lượng m vừa chuyển động theo x, vừa chuyển động theo y, nhưng do có liên kết y= bx2 nên chỉ có một bậc tự do, thí dụ là x.