Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Đối Với Bài Toán Dầm Liên Tục Chịu Tải Trọng Tĩnh

Khám phá phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung, ứng dụng và lợi ích trong kỹ thuật xây dựng.

• Tác giả: Nguyễn Văn Trường
• Người hướng dẫn: GS. Hà Huy Cương
• Trường học: Trường Đại Học Dân Lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Dân Dụng & Công Nghiệp
• Đề tài: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Đối Với Bài Toán Dầm Liên Tục Chịu Tải Trọng Tĩnh
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sỹ Kỹ Thuật
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

Tóm tắt

I. Tổng Quan Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Cho Dầm Liên Tục

Bài toán cơ học kết cấu được giải bằng nhiều phương pháp, bao gồm cả phương pháp chính xác (phương pháp lực, phương pháp chuyển vị) và phương pháp gần đúng (phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn). Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) rời rạc hóa công trình thành các phần tử nhỏ, kết nối bằng phương trình cân bằng và liên tục. Tiếp cận bài toán có thể theo mô hình chuyển vị, cân bằng, hoặc hỗn hợp. Trong luận văn này, mô hình chuyển vị được sử dụng để giải bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung. Mục tiêu là xác định nội lực và chuyển vị. Nhiệm vụ nghiên cứu bao gồm tìm hiểu các phương pháp giải, trình bày lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, áp dụng PP PTHH, và lập trình máy tính.

1.1. Giới thiệu chung về Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn PP PTHH

PP PTHH là phương pháp số hiệu quả để tìm nghiệm gần đúng của hàm trong miền xác định. Thay vì tìm nghiệm trên toàn miền, PP PTHH xấp xỉ nghiệm trong từng miền con (phần tử). Điều này phù hợp với bài toán vật lý và kỹ thuật trên miền phức tạp. PP PTHH chia kết cấu thành các phần tử, nối với nhau tại các nút. Tính toán được thực hiện trên các phần tử, sau đó kết nối để có lời giải cho toàn bộ kết cấu. Sự khác biệt so với phương pháp sai phân hữu hạn nằm ở cách xác định giá trị giữa các nút, sử dụng nội suy tuyến tính (sai phân) hoặc hàm nội suy (hàm dạng - quan trọng trong PTHH).

1.2. Các Mô Hình Tiếp Cận Trong Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng, việc lựa chọn hàm nội suy quyết định loại mô hình phân tích: Mô hình chuyển vị (chuyển vị là đại lượng cần tìm), mô hình cân bằng (ứng suất/nội lực là đại lượng cần tìm) và mô hình hỗn hợp (cả chuyển vị và ứng suất). Hiện nay, mô hình chuyển vị được sử dụng phổ biến nhất. Trong mô hình này, thành phần chuyển vị là đại lượng cần tìm, và được xấp xỉ bằng một hàm đơn giản gọi là hàm nội suy (hay hàm chuyển vị). Việc lựa chọn hàm nội suy phù hợp là then chốt để đảm bảo độ chính xác của kết quả.

II. Bài Toán Cơ Học Kết Cấu Và Các Phương Pháp Giải Dầm

Bài toán cơ học kết cấu xác định nội lực và chuyển vị của hệ thanh, tấm, vỏ dưới tác dụng của tải trọng, nhiệt độ. Chia thành bài toán tĩnh định (giải bằng phương trình cân bằng) và bài toán siêu tĩnh (cần thêm phương trình biến dạng). Các phương pháp truyền thống là phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Các phương pháp số như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn được bổ sung khi có máy tính. Trong đó, phương pháp lực thay liên kết thừa bằng lực chưa biết, còn phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị tại các nút làm ẩn. Phương pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp là sự kết hợp giữa hai phương pháp trên.

2.1. Phân Biệt Bài Toán Tĩnh Định và Bài Toán Siêu Tĩnh

Bài toán tĩnh định có cấu tạo hình học bất biến hình và đủ liên kết tựa. Để xác định nội lực và chuyển vị chỉ cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học. Ngược lại, bài toán siêu tĩnh có cấu tạo hình học bất biến hình và thừa liên kết (nội hoặc ngoại) chịu các loại tải trọng. Để xác định nội lực và chuyển vị ngoài các phương trình cân bằng ta còn phải bổ sung các phương trình biến dạng. Về bản chất, mọi bài toán cơ học vật rắn biến dạng đều là bài toán siêu tĩnh.

2.2. Ưu Nhược Điểm Của Các Phương Pháp Giải Truyền Thống

Phương pháp lực và phương pháp chuyển vị là hai phương pháp truyền thống cơ bản. Khi sử dụng chúng thường phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Số lượng các phương trình tùy thuộc vào phương pháp phân tích. Từ phương pháp chuyển vị ta có hai cách tính gần đúng hay được sử dụng là H. Từ khi xuất hiện máy tính điện tử, người ta bổ sung thêm các phương pháp số khác như: Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp sai phân hữu hạn…

2.3. Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn và Phương Pháp Biến Phân

Phương pháp sai phân hữu hạn cũng là thay thế hệ liên tục bằng mô hình rời rạc. Hàm cần tìm nhận những giá trị gần đúng tại một số hữu hạn điểm của miền tích phân. Giá trị các điểm trung gian được xác định nhờ một phương pháp tích phân nào đó. Phương pháp này cho lời giải số của phương trình vi phân về chuyển vị và nội lực tại các điểm nút. Kết hợp phương pháp sai phân với phương pháp biến phân ta có một phương pháp linh động hơn.

III. Cách Xây Dựng Ma Trận Độ Cứng Trong PP PTHH Dầm

Xây dựng phương trình cân bằng trong từng phần tử, thiết lập ma trận độ cứng [K]e và vectơ tải trọng nút {F}e của phần tử thứ e. Cần thiết lập biểu thức tính biến dạng và ứng suất tại một điểm bất kì trong phần tử thông qua ẩn cơ bản là chuyển vị nút phần tử {δ}e. Sử dụng các công thức trong Lí thuyết đàn hồi, mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị. Thế năng toàn phần ∏e của phần tử được tính dựa trên công của ngoại lực We và thế năng biến dạng Ue của phần tử đó.

3.1. Thiết Lập Mối Quan Hệ Biến Dạng và Chuyển Vị Nút

Biểu thức tính biến dạng và ứng suất tại một điểm bất kỳ trong phần tử thông qua ẩn cơ bản là chuyển vị nút phần tử {δ}e. Ta có {ε} = [∇]{u}, trong đó [N] là ma trận hàm dạng (chứa tọa độ các điểm nút), và [u] là vector chuyển vị. Tiếp đó, {ε} = [B]{δ}e, với [B] = [∇][N] là ma trận chứa đạo hàm của hàm dạng.

3.2. Xây Dựng Thế Năng Toàn Phần Của Phần Tử

Thế năng toàn phần ∏e của phần tử là sự kết hợp giữa công của ngoại lực We và thế năng biến dạng Ue. Công ngoại lực We (không xét lực thể tích) được tính: We = {δ}eT{Pn}e + ∫{u}T{q} dS. Thế năng biến dạng Ue của PT được tính: Ue = 1/2 ∫{ε}T{σ} dV. Kết hợp hai thành phần này, ta có thế năng toàn phần ∏e = Ue - We.

IV. Ghép Nối Phần Tử Giải Phương Trình Cân Bằng Dầm Liên Tục

Giả sử hệ kết cấu được rời rạc hoá thành m phần tử. Viết m phương trình cân bằng cho tất cả m phần tử trong hệ toạ độ riêng của từng phần tử. Sau khi chuyển về hệ tọa độ chung của toàn kết cấu, tiến tới gộp các phương trình cân bằng của từng phần tử trong cả hệ, thu được phương trình cân bằng cho toàn hệ kết cấu trong hệ tọa độ chung: [K’]{δ’} = {F’}. Do thứ tự các thành phần trong vectơ chuyển vị nút {δ’}e của từng phần tử khác với thứ tự trong vectơ chuyển vị nút {δ’} của toàn hệ kết cấu, nên cần lưu ý xếp đúng vị trí của từng thành phần trong [K’]e và {F’}e vào [K’] và {F’}.

4.1. Sử Dụng Ma Trận Định Vị Phần Tử H e

Áp dụng ma trận định vị phần tử [H]e để thiết lập các ma trận tổng thể và vectơ tải trọng nút tổng thể của toàn hệ kết cấu. Với phần tử thứ e, số bậc tự do là ne, có véctơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ chung là {δ’}e. Các thành phần của {δ’}e nằm trong số các thành phần của {δ’}. Do đó có sự biểu diễn quan hệ giữa 2 vectơ này như sau: {δ’}e = [H]e {δ’}.

4.2. Thiết Lập Phương Trình Cân Bằng Toàn Hệ

Sau khi xác định thế năng toàn phần cho từng phần tử, cộng gộp của m phần tử, xác định được thế năng toàn phần của hệ. áp dụng nguyên lí thế năng dừng toàn phần sẽ có điều kiện cân bằng của toàn hệ tại điểm nút. Việc giải phương trình cân bằng này sẽ cho phép tìm ra chuyển vị tại các nút, và từ đó xác định được nội lực của dầm liên tục.

V. Ứng Dụng Thực Tế Kết Quả Nghiên Cứu Dầm Liên Tục

Việc áp dụng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn vào tính toán dầm liên tục mang lại nhiều lợi ích, đặc biệt trong các công trình phức tạp. Các phần mềm chuyên dụng cho phép mô phỏng chính xác hành vi của dầm dưới tác động của tải trọng tĩnh, giúp kỹ sư đưa ra quyết định thiết kế tối ưu. Kết quả nghiên cứu thường được so sánh với các phương pháp giải truyền thống để đánh giá độ tin cậy và độ chính xác của PP PTHH.

5.1. Phần Mềm Hỗ Trợ Tính Toán Dầm Liên Tục Bằng PP PTHH

Hiện nay, có nhiều phần mềm hỗ trợ tính toán dầm liên tục bằng PP PTHH, ví dụ như ANSYS, SAP2000, và ETABS. Các phần mềm này cung cấp giao diện trực quan, thư viện phần tử phong phú, và khả năng xử lý bài toán lớn với độ phức tạp cao. Việc sử dụng phần mềm giúp giảm thiểu thời gian tính toán và tăng độ chính xác của kết quả.

5.2. So Sánh Kết Quả Với Phương Pháp Giải Truyền Thống

Để đảm bảo độ tin cậy, kết quả tính toán bằng PP PTHH thường được so sánh với kết quả từ phương pháp giải truyền thống như phương pháp lực hoặc phương pháp chuyển vị. Sự sai khác giữa các kết quả cần được đánh giá kỹ lưỡng, và các yếu tố ảnh hưởng đến độ chính xác của PP PTHH (ví dụ: kích thước phần tử, loại phần tử) cần được xem xét.

VI. Kết Luận Hướng Phát Triển Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn là công cụ mạnh mẽ để phân tích kết cấu dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh. Việc sử dụng mô hình chuyển vị và các phần mềm chuyên dụng cho phép giải quyết bài toán phức tạp một cách hiệu quả. Hướng phát triển trong tương lai tập trung vào việc cải thiện độ chính xác của PP PTHH, mở rộng phạm vi ứng dụng cho các loại tải trọng động và phi tuyến, và tích hợp PP PTHH với các công nghệ mới như trí tuệ nhân tạo và học máy.

6.1. Những Ưu Điểm Nổi Bật Của PP PTHH Trong Tính Toán Kết Cấu

PP PTHH có nhiều ưu điểm so với phương pháp truyền thống, bao gồm khả năng xử lý hình học phức tạp, vật liệu không đồng nhất, và điều kiện biên phức tạp. PP PTHH cũng cho phép phân tích kết cấu với độ chính xác cao, và cung cấp thông tin chi tiết về ứng suất và biến dạng trong kết cấu.

6.2. Triển Vọng Phát Triển Của PP PTHH Trong Kỹ Thuật Xây Dựng

Trong tương lai, PP PTHH sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong kỹ thuật xây dựng. Việc tích hợp PP PTHH với các công nghệ mới sẽ mở ra nhiều cơ hội mới cho việc thiết kế và phân tích kết cấu. Ví dụ, trí tuệ nhân tạo có thể được sử dụng để tối ưu hóa thiết kế kết cấu, và học máy có thể được sử dụng để dự đoán hành vi của kết cấu dưới tác động của tải trọng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỞ ĐẦU Bài toán cơ học kết cấu hiện nay nói chung được xây dựng theo bốn đường lối đó là: Xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange. Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp được coi là chính xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp và các phương pháp gần đúng như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân. Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được xây dựng dựa trên ý tưởng rời rạc hóa công trình thành những phần tử nhỏ (số phần tử là hữu hạn). Các phần tử nhỏ được nối lại với nhau thông qua các phương trình cân bằng và các phương trình liên tục.

Để giải quyết bài toán cơ học kết cấu, có thể tiếp cận phương pháp này theo ba mô hình gồm: Mô hình chuyển vị, xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử; Mô hình cân bằng, hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử và mô hình hỗn hợp, coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Đối tƣợng, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị để xây dựng và giải bài toán dầm liên tục chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tập trung. Mục đích nghiên cứu của đề tài “Xác định nội lực và chuyển vị của dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung bằng phương pháp phần tử hữu hạn” 1 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1.

Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay. Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli 3. Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn và áp dụng để giải bài toán dầm liên tục, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tập trung. Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên.

BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI Trong chương này giới thiệu bài toán cơ học kết cấu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay. Bài toán cơ học kết cấu Bài toán cơ học kết cấu nhằm xác định nội lực và chuyển vị của hệ thanh, tấm, vỏ dưới tác dụng của các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…và được chia làm hai loại: - Bài toán tĩnh định: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và đủ liên kết tựa với đất, các liên kết sắp xếp hợp lý, chịu các loại tải trọng. Để xác định nội lực và chuyển vị chỉ cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học là đủ; - Bài toán siêu tĩnh: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và thừa liên kết (nội hoặc ngoại) chịu các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…Để xác định nội lực và chuyển vị ngoài các phương trình cân bằng ta còn phải bổ sung các phương trình biến dạng. Nếu tính đến tận ứng suất, có thể nói rằng mọi bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói chung và bài toán cơ học kết cấu nói riêng đều là bài toán siêu tĩnh.

Các phƣơng pháp giải hiện nay Đã có nhiều phương pháp để giải bài toán siêu tĩnh. Hai phương pháp truyền thống cơ bản là phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Khi sử dụng chúng thường phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Số lượng các phương trình tùy thuộc vào phương pháp phân tích.

Từ phương pháp chuyển vị ta có hai cách tính gần đúng hay được sử dụng là H. Từ khi xuất hiện máy tính điện tử, người ta bổ sung thêm các phương pháp số khác như: Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp sai phân hữu hạn… 3 1. Phƣơng pháp lực Trong hệ siêu tĩnh ta thay các liên kết thừa bằng các lực chưa biết, còn giá trị các chuyển vị trong hệ cơ bản tương ứng với vị trí và phương của các lực ẩn số do bản thân các lực đó và do các nguyên nhân bên ngoài gây ra bằng không. Từ điều kiện này ta lập được hệ các phương trình đại số tuyến tính, giải hệ này ta tìm được các ẩn số và từ đó suy ra các đại lượng cần tìm.

Phƣơng pháp chuyển vị Khác với phương pháp lực, phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị tại các nút làm ẩn. Những chuyển vị này phải có giá trị sao cho phản lực tại các liên kết đặt thêm vào hệ do bản thân chúng và do các nguyên nhân bên ngoài gây ra bằng không. Lập hệ phương trình đại số tuyến tính thỏa mãn điều kiện này và giải hệ đó ta tìm được các ẩn, từ đó xác định các đại lượng còn lại. Hệ cơ bản trong phương pháp chuyển vị là duy nhất và giới hạn giải các bài toán phụ thuộc vào số các phần tử mẫu có sẵn.

Phƣơng pháp hỗn hợp và phƣơng pháp liên hợp Phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp là sự kết hợp song song giữa phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Trong phương pháp này ta có thể chọn hệ cơ bản theo phương pháp lực nhưng không loại bỏ hết các liên kết thừa mà chỉ loại bỏ các liên kết thuộc bộ phận thích hợp với phương pháp lực; hoặc chọn hệ cơ bản theo phương pháp chuyển vị nhưng không đặt đầy đủ các liên kết phụ nhằm ngăn cản toàn bộ các chuyển vị nút mà chỉ đặt các liên kết phụ tại các nút thuộc bộ phận thích hợp với phương pháp chuyển vị. Trường hợp đầu hệ cơ bản là siêu tĩnh, còn trường hợp sau hệ cơ bản là siêu động. Trong cả hai cách nói trên, bài toán ban đầu được đưa về hai bài toán độc lập: Một theo phương pháp lực và một theo phương pháp chuyển vị.

Phƣơng pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn cũng là thay thế hệ liên tục bằng mô hình rời rạc, song hàm cần tìm (hàm mang đến cho phiếm hàm giá trị dừng), nhận những giá trị gần đúng tại một số hữu hạn điểm của miền tích phân, còn giá trị các điểm trung gian sẽ được xác định nhờ một phương pháp tích phân nào đó. Phương pháp này cho lời giải số của phương trình vi phân về chuyển vị và nội lực tại các điểm nút. Thông thường ta phải thay đạo hàm bằng các sai phân của hàm tại các nút. Phương trình vi phân của chuyển vị hoặc nội lực được viết dưới dạng sai phân tại mỗi nút, biểu thị quan hệ của chuyển vị tại một nút và các nút lân cận dưới tác dụng của ngoại lực.

Phƣơng pháp hỗn hợp sai phân – biến phân Kết hợp phương pháp sai phân với phương pháp biến phân ta có một phương pháp linh động hơn: Hoặc là sai phân các đạo hàm trong phương trình biến phân hoặc là sai phân theo một phương và biến phân theo một phương khác (đối với bài toán hai chiều). 5 CHƢƠNG 2 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Trong chương trình bày một số khái niệm cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn, để phục vụ cho việc xây dựng các bài toán xác định nội lực và chuyển vị cho các dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung theo phương pháp phần tử hữu hạn ở chương 3. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó. Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V.

Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên các miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Phương pháp ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát biểu một cách chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử. Trong phương pháp phần tử hữu hạn chia kết cấu công trình thành một số hữu hạn các phần tử. Các phần tử này được nối với nhau tại các điểm định trước thường tại đỉnh phần tử (thậm trí tại các điểm trên biên phần tử) gọi là nút.

Như vậy việc tính toán kết cấu công trình được đưa về tính toán trên các phần tử của kết cấu sau đó kết nối các phần tử này lại với nhau ta được lời giải của một kết cấu công trình hoàn chỉnh. Tương tự như phương pháp sai phân hữu hạn cũng chia công trình thành các đoạn nhỏ (phần tử) và các trạng thái chuyển vị (trường chuyển vị) v.v… được xác định tại các điểm nút sai 6 phân. Sự khác biệt của hai phương pháp là Phương pháp sai phân hữu hạn sau khi tìm được các chuyển vị tại các nút của sai phân còn các điểm nằm giữa hai nút được xác định bằng nội suy tuyến tính, còn phương pháp phân tử hữu hạn sau khi xác định được chuyển vị tại các nút của phần tử thì các điểm bên trong được xác định bằng hàm nội suy (hàm dạng). Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng, tuỳ theo ý nghĩa vật lí của hàm nội suy có thể phân tích bài toán theo 3 loại mô hình sau: - Mô hình chuyển vị: Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử.

- Mô hình cân bằng: Hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử. - Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Hiện nay, khi áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán cơ học thường sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị.

Sau đây luận văn trình bài nội dung phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị.