I. Tổng Quan Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Cho Dầm Liên Tục
Bài toán cơ học kết cấu được giải bằng nhiều phương pháp, bao gồm cả phương pháp chính xác (phương pháp lực, phương pháp chuyển vị) và phương pháp gần đúng (phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn). Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) rời rạc hóa công trình thành các phần tử nhỏ, kết nối bằng phương trình cân bằng và liên tục. Tiếp cận bài toán có thể theo mô hình chuyển vị, cân bằng, hoặc hỗn hợp. Trong luận văn này, mô hình chuyển vị được sử dụng để giải bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung. Mục tiêu là xác định nội lực và chuyển vị. Nhiệm vụ nghiên cứu bao gồm tìm hiểu các phương pháp giải, trình bày lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, áp dụng PP PTHH, và lập trình máy tính.
1.1. Giới thiệu chung về Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn PP PTHH
PP PTHH là phương pháp số hiệu quả để tìm nghiệm gần đúng của hàm trong miền xác định. Thay vì tìm nghiệm trên toàn miền, PP PTHH xấp xỉ nghiệm trong từng miền con (phần tử). Điều này phù hợp với bài toán vật lý và kỹ thuật trên miền phức tạp. PP PTHH chia kết cấu thành các phần tử, nối với nhau tại các nút. Tính toán được thực hiện trên các phần tử, sau đó kết nối để có lời giải cho toàn bộ kết cấu. Sự khác biệt so với phương pháp sai phân hữu hạn nằm ở cách xác định giá trị giữa các nút, sử dụng nội suy tuyến tính (sai phân) hoặc hàm nội suy (hàm dạng - quan trọng trong PTHH).
1.2. Các Mô Hình Tiếp Cận Trong Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng, việc lựa chọn hàm nội suy quyết định loại mô hình phân tích: Mô hình chuyển vị (chuyển vị là đại lượng cần tìm), mô hình cân bằng (ứng suất/nội lực là đại lượng cần tìm) và mô hình hỗn hợp (cả chuyển vị và ứng suất). Hiện nay, mô hình chuyển vị được sử dụng phổ biến nhất. Trong mô hình này, thành phần chuyển vị là đại lượng cần tìm, và được xấp xỉ bằng một hàm đơn giản gọi là hàm nội suy (hay hàm chuyển vị). Việc lựa chọn hàm nội suy phù hợp là then chốt để đảm bảo độ chính xác của kết quả.
II. Bài Toán Cơ Học Kết Cấu Và Các Phương Pháp Giải Dầm
Bài toán cơ học kết cấu xác định nội lực và chuyển vị của hệ thanh, tấm, vỏ dưới tác dụng của tải trọng, nhiệt độ. Chia thành bài toán tĩnh định (giải bằng phương trình cân bằng) và bài toán siêu tĩnh (cần thêm phương trình biến dạng). Các phương pháp truyền thống là phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Các phương pháp số như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn được bổ sung khi có máy tính. Trong đó, phương pháp lực thay liên kết thừa bằng lực chưa biết, còn phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị tại các nút làm ẩn. Phương pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp là sự kết hợp giữa hai phương pháp trên.
2.1. Phân Biệt Bài Toán Tĩnh Định và Bài Toán Siêu Tĩnh
Bài toán tĩnh định có cấu tạo hình học bất biến hình và đủ liên kết tựa. Để xác định nội lực và chuyển vị chỉ cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học. Ngược lại, bài toán siêu tĩnh có cấu tạo hình học bất biến hình và thừa liên kết (nội hoặc ngoại) chịu các loại tải trọng. Để xác định nội lực và chuyển vị ngoài các phương trình cân bằng ta còn phải bổ sung các phương trình biến dạng. Về bản chất, mọi bài toán cơ học vật rắn biến dạng đều là bài toán siêu tĩnh.
2.2. Ưu Nhược Điểm Của Các Phương Pháp Giải Truyền Thống
Phương pháp lực và phương pháp chuyển vị là hai phương pháp truyền thống cơ bản. Khi sử dụng chúng thường phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Số lượng các phương trình tùy thuộc vào phương pháp phân tích. Từ phương pháp chuyển vị ta có hai cách tính gần đúng hay được sử dụng là H. Từ khi xuất hiện máy tính điện tử, người ta bổ sung thêm các phương pháp số khác như: Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp sai phân hữu hạn…
2.3. Phương Pháp Sai Phân Hữu Hạn và Phương Pháp Biến Phân
Phương pháp sai phân hữu hạn cũng là thay thế hệ liên tục bằng mô hình rời rạc. Hàm cần tìm nhận những giá trị gần đúng tại một số hữu hạn điểm của miền tích phân. Giá trị các điểm trung gian được xác định nhờ một phương pháp tích phân nào đó. Phương pháp này cho lời giải số của phương trình vi phân về chuyển vị và nội lực tại các điểm nút. Kết hợp phương pháp sai phân với phương pháp biến phân ta có một phương pháp linh động hơn.
III. Cách Xây Dựng Ma Trận Độ Cứng Trong PP PTHH Dầm
Xây dựng phương trình cân bằng trong từng phần tử, thiết lập ma trận độ cứng [K]e và vectơ tải trọng nút {F}e của phần tử thứ e. Cần thiết lập biểu thức tính biến dạng và ứng suất tại một điểm bất kì trong phần tử thông qua ẩn cơ bản là chuyển vị nút phần tử {δ}e. Sử dụng các công thức trong Lí thuyết đàn hồi, mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị. Thế năng toàn phần ∏e của phần tử được tính dựa trên công của ngoại lực We và thế năng biến dạng Ue của phần tử đó.
3.1. Thiết Lập Mối Quan Hệ Biến Dạng và Chuyển Vị Nút
Biểu thức tính biến dạng và ứng suất tại một điểm bất kỳ trong phần tử thông qua ẩn cơ bản là chuyển vị nút phần tử {δ}e. Ta có {ε} = [∇]{u}, trong đó [N] là ma trận hàm dạng (chứa tọa độ các điểm nút), và [u] là vector chuyển vị. Tiếp đó, {ε} = [B]{δ}e, với [B] = [∇][N] là ma trận chứa đạo hàm của hàm dạng.
3.2. Xây Dựng Thế Năng Toàn Phần Của Phần Tử
Thế năng toàn phần ∏e của phần tử là sự kết hợp giữa công của ngoại lực We và thế năng biến dạng Ue. Công ngoại lực We (không xét lực thể tích) được tính: We = {δ}eT{Pn}e + ∫{u}T{q} dS. Thế năng biến dạng Ue của PT được tính: Ue = 1/2 ∫{ε}T{σ} dV. Kết hợp hai thành phần này, ta có thế năng toàn phần ∏e = Ue - We.
IV. Ghép Nối Phần Tử Giải Phương Trình Cân Bằng Dầm Liên Tục
Giả sử hệ kết cấu được rời rạc hoá thành m phần tử. Viết m phương trình cân bằng cho tất cả m phần tử trong hệ toạ độ riêng của từng phần tử. Sau khi chuyển về hệ tọa độ chung của toàn kết cấu, tiến tới gộp các phương trình cân bằng của từng phần tử trong cả hệ, thu được phương trình cân bằng cho toàn hệ kết cấu trong hệ tọa độ chung: [K’]{δ’} = {F’}. Do thứ tự các thành phần trong vectơ chuyển vị nút {δ’}e của từng phần tử khác với thứ tự trong vectơ chuyển vị nút {δ’} của toàn hệ kết cấu, nên cần lưu ý xếp đúng vị trí của từng thành phần trong [K’]e và {F’}e vào [K’] và {F’}.
4.1. Sử Dụng Ma Trận Định Vị Phần Tử H e
Áp dụng ma trận định vị phần tử [H]e để thiết lập các ma trận tổng thể và vectơ tải trọng nút tổng thể của toàn hệ kết cấu. Với phần tử thứ e, số bậc tự do là ne, có véctơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ chung là {δ’}e. Các thành phần của {δ’}e nằm trong số các thành phần của {δ’}. Do đó có sự biểu diễn quan hệ giữa 2 vectơ này như sau: {δ’}e = [H]e {δ’}.
4.2. Thiết Lập Phương Trình Cân Bằng Toàn Hệ
Sau khi xác định thế năng toàn phần cho từng phần tử, cộng gộp của m phần tử, xác định được thế năng toàn phần của hệ. áp dụng nguyên lí thế năng dừng toàn phần sẽ có điều kiện cân bằng của toàn hệ tại điểm nút. Việc giải phương trình cân bằng này sẽ cho phép tìm ra chuyển vị tại các nút, và từ đó xác định được nội lực của dầm liên tục.
V. Ứng Dụng Thực Tế Kết Quả Nghiên Cứu Dầm Liên Tục
Việc áp dụng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn vào tính toán dầm liên tục mang lại nhiều lợi ích, đặc biệt trong các công trình phức tạp. Các phần mềm chuyên dụng cho phép mô phỏng chính xác hành vi của dầm dưới tác động của tải trọng tĩnh, giúp kỹ sư đưa ra quyết định thiết kế tối ưu. Kết quả nghiên cứu thường được so sánh với các phương pháp giải truyền thống để đánh giá độ tin cậy và độ chính xác của PP PTHH.
5.1. Phần Mềm Hỗ Trợ Tính Toán Dầm Liên Tục Bằng PP PTHH
Hiện nay, có nhiều phần mềm hỗ trợ tính toán dầm liên tục bằng PP PTHH, ví dụ như ANSYS, SAP2000, và ETABS. Các phần mềm này cung cấp giao diện trực quan, thư viện phần tử phong phú, và khả năng xử lý bài toán lớn với độ phức tạp cao. Việc sử dụng phần mềm giúp giảm thiểu thời gian tính toán và tăng độ chính xác của kết quả.
5.2. So Sánh Kết Quả Với Phương Pháp Giải Truyền Thống
Để đảm bảo độ tin cậy, kết quả tính toán bằng PP PTHH thường được so sánh với kết quả từ phương pháp giải truyền thống như phương pháp lực hoặc phương pháp chuyển vị. Sự sai khác giữa các kết quả cần được đánh giá kỹ lưỡng, và các yếu tố ảnh hưởng đến độ chính xác của PP PTHH (ví dụ: kích thước phần tử, loại phần tử) cần được xem xét.
VI. Kết Luận Hướng Phát Triển Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn là công cụ mạnh mẽ để phân tích kết cấu dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh. Việc sử dụng mô hình chuyển vị và các phần mềm chuyên dụng cho phép giải quyết bài toán phức tạp một cách hiệu quả. Hướng phát triển trong tương lai tập trung vào việc cải thiện độ chính xác của PP PTHH, mở rộng phạm vi ứng dụng cho các loại tải trọng động và phi tuyến, và tích hợp PP PTHH với các công nghệ mới như trí tuệ nhân tạo và học máy.
6.1. Những Ưu Điểm Nổi Bật Của PP PTHH Trong Tính Toán Kết Cấu
PP PTHH có nhiều ưu điểm so với phương pháp truyền thống, bao gồm khả năng xử lý hình học phức tạp, vật liệu không đồng nhất, và điều kiện biên phức tạp. PP PTHH cũng cho phép phân tích kết cấu với độ chính xác cao, và cung cấp thông tin chi tiết về ứng suất và biến dạng trong kết cấu.
6.2. Triển Vọng Phát Triển Của PP PTHH Trong Kỹ Thuật Xây Dựng
Trong tương lai, PP PTHH sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong kỹ thuật xây dựng. Việc tích hợp PP PTHH với các công nghệ mới sẽ mở ra nhiều cơ hội mới cho việc thiết kế và phân tích kết cấu. Ví dụ, trí tuệ nhân tạo có thể được sử dụng để tối ưu hóa thiết kế kết cấu, và học máy có thể được sử dụng để dự đoán hành vi của kết cấu dưới tác động của tải trọng.
