Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Đối Với Bài Toán Dầm Liên Tục

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện pháp hoàn thiện trong lĩnh vực toán học.

• Tác giả: Phạm Văn Nam
• Người hướng dẫn: TS. Phạm Thị Loan
• Trường học: Trường Đại Học Dân Lập Hải Phòng
• Chuyên ngành: Kỹ Thuật Xây Dựng Công Trình Dân Dụng & Công Nghiệp
• Đề tài: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Đối Với Bài Toán Dầm Liên Tục
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sỹ Kỹ Thuật
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hải Phòng

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. MỞ ĐẦU
• 1.1. BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
• 1.1.1. Bài toán cơ học kết cấu
• 1.1.2. Các phương pháp giải hiện nay
• 1.1.2.1. Phương pháp lực
• 1.1.2.2. Phương pháp chuyển vị
• 1.1.2.3. Phương pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp
• 1.1.2.4. Phương pháp sai phân hữu hạn
• 1.1.2.5. Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
• 2.1. Phương pháp phần tử hữu hạn
• 2.1.1. Nội dung phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị
• 2.1.2. Rời rạc hoá miền khảo sát
• 2.1.3. Chọn hàm xấp xỉ
• 2.1.4. Xây dựng phương trình cân bằng trong từng phần tử, thiết lập ma trận độ cứng [K]e và vectơ tải trọng nút {F}e của phần tử thứ e
• 2.1.5. Thiết lập mối quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị nút phần tử
• 2.1.6. Thế năng toàn phần Πe của phần tử
• 2.1.7. Thiết lập phương trình cân bằng
• 2.1.8. Ghép nối các phần tử xây dựng phương trình cân bằng của toàn hệ
• 2.1.9. Áp dụng ma trận định vị phần tử [H]e
• 2.1.10. Biểu diễn thế năng toàn phần của hệ theo vectơ chuyển vị nút tổng thể {δ'}
• 2.1.11. Áp dụng nguyên lí thế năng dừng toàn phần
• 2.1.12. Phương trình cân bằng cho toàn hệ
• 2.1.13. Ví dụ 2.1: Xác định các ma trận định vị [H]e của dầm với 4 điểm nút
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trong Giải Bài Toán Dầm Liên Tục

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một trong những phương pháp số hiệu quả nhất trong việc giải quyết các bài toán cơ học kết cấu, đặc biệt là bài toán dầm liên tục. Phương pháp này cho phép phân tích các cấu trúc phức tạp bằng cách chia nhỏ chúng thành các phần tử đơn giản hơn. Mỗi phần tử được mô hình hóa và tính toán riêng biệt, sau đó kết nối lại để tạo ra lời giải cho toàn bộ hệ thống. Việc áp dụng FEM giúp tối ưu hóa quá trình thiết kế và phân tích kết cấu, từ đó nâng cao độ chính xác và hiệu quả trong công việc.

1.1. Khái Niệm Cơ Bản Về Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là một kỹ thuật số được sử dụng để tìm kiếm nghiệm gần đúng cho các bài toán vi phân. Nó chia miền nghiên cứu thành các phần tử nhỏ, từ đó áp dụng các phương trình vật lý để tính toán các đại lượng cần thiết.

1.2. Lịch Sử Phát Triển Của Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn đã được phát triển từ những năm 1950 và nhanh chóng trở thành một công cụ quan trọng trong kỹ thuật và khoa học. Sự phát triển của máy tính đã thúc đẩy việc áp dụng phương pháp này trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

II. Vấn Đề Trong Giải Bài Toán Dầm Liên Tục Bằng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Giải bài toán dầm liên tục bằng phương pháp phần tử hữu hạn gặp phải nhiều thách thức, bao gồm việc xác định chính xác các điều kiện biên và lựa chọn hàm nội suy phù hợp. Những vấn đề này có thể ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả tính toán. Việc rời rạc hóa miền khảo sát cũng cần được thực hiện cẩn thận để đảm bảo rằng các phần tử được chọn có thể mô tả chính xác hành vi của dầm dưới tác dụng của tải trọng.

2.1. Thách Thức Trong Việc Xác Định Điều Kiện Biên

Điều kiện biên là yếu tố quan trọng trong việc giải bài toán dầm liên tục. Việc xác định không chính xác có thể dẫn đến kết quả sai lệch, ảnh hưởng đến tính chính xác của mô hình.

2.2. Lựa Chọn Hàm Nội Suy Phù Hợp

Hàm nội suy đóng vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa chuyển vị và ứng suất trong phần tử. Việc lựa chọn hàm nội suy không phù hợp có thể làm giảm độ chính xác của kết quả tính toán.

III. Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Để Giải Bài Toán Dầm Liên Tục

Phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng để giải bài toán dầm liên tục thông qua các bước cụ thể. Đầu tiên, miền khảo sát được chia thành các phần tử nhỏ. Sau đó, hàm nội suy được chọn để mô hình hóa chuyển vị trong từng phần tử. Cuối cùng, các phương trình cân bằng được thiết lập và giải để tìm ra nội lực và chuyển vị của dầm.

3.1. Rời Rạc Hóa Miền Khảo Sát

Rời rạc hóa miền khảo sát là bước đầu tiên trong phương pháp phần tử hữu hạn. Miền được chia thành các phần tử nhỏ, giúp dễ dàng tính toán và mô hình hóa.

3.2. Thiết Lập Phương Trình Cân Bằng

Sau khi rời rạc hóa, các phương trình cân bằng được thiết lập cho từng phần tử. Điều này cho phép tính toán nội lực và chuyển vị một cách chính xác.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trong Giải Bài Toán Dầm Liên Tục

Phương pháp phần tử hữu hạn đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, từ xây dựng đến cơ khí. Việc sử dụng FEM giúp các kỹ sư có thể dự đoán chính xác hành vi của dầm dưới tác dụng của tải trọng, từ đó đưa ra các giải pháp thiết kế tối ưu hơn. Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng FEM có thể cải thiện đáng kể độ chính xác trong tính toán nội lực và chuyển vị của dầm liên tục.

4.1. Ví Dụ Về Ứng Dụng Trong Xây Dựng

Trong ngành xây dựng, FEM được sử dụng để phân tích và thiết kế các kết cấu phức tạp, giúp đảm bảo an toàn và hiệu quả cho các công trình.

4.2. Nghiên Cứu Tình Huống Cụ Thể

Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc áp dụng FEM trong tính toán dầm liên tục giúp giảm thiểu rủi ro và tối ưu hóa chi phí xây dựng.

V. Kết Luận Về Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trong Giải Bài Toán Dầm Liên Tục

Phương pháp phần tử hữu hạn là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán dầm liên tục. Với khả năng mô hình hóa chính xác và tính toán hiệu quả, FEM đã trở thành một phần không thể thiếu trong thiết kế và phân tích kết cấu. Tương lai của phương pháp này hứa hẹn sẽ còn phát triển hơn nữa với sự tiến bộ của công nghệ và phần mềm tính toán.

5.1. Triển Vọng Phát Triển Của Phương Pháp

Với sự phát triển không ngừng của công nghệ, phương pháp phần tử hữu hạn sẽ tiếp tục được cải tiến, mở rộng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

5.2. Tầm Quan Trọng Của Nghiên Cứu Liên Quan

Nghiên cứu và phát triển các phương pháp mới trong FEM sẽ giúp nâng cao độ chính xác và hiệu quả trong giải quyết các bài toán cơ học kết cấu.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong kỹ thuật công trình hiện đại, hệ kết cấu dầm liên tục xuất hiện trong hơn 65% các dự án xây dựng dân dụng, công nghiệp và cầu đường nhờ khả năng phân bố mô men uốn hợp lý và tối ưu hóa vật liệu. Việc phân tích chính xác ứng xử cơ học của dầm liên tục giúp giảm thiểu khoảng 15% đến 20% chi phí kết cấu mà vẫn đảm bảo độ an toàn chịu lực. Tuy nhiên, việc xác định nội lực và chuyển vị của các hệ dầm siêu tĩnh bậc cao bằng các phương pháp giải tích cổ điển như phương pháp lực hay phương pháp chuyển vị truyền thống thường đòi hỏi khối lượng tính toán thủ công rất lớn, dễ phát sinh sai sót khi số nhịp vượt quá 3 nhịp.

Nhằm giải quyết triệt để vấn đề trên, luận văn thạc sĩ kỹ thuật chuyên ngành Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp của tác giả Phạm Văn Nam, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Phạm Thị Loan tại Trường Đại học Dân lập Hải Phòng (năm 2017), đã tập trung nghiên cứu đề tài: "Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục".

Mục tiêu cốt lõi của nghiên cứu là xây dựng quy trình thuật toán hoàn chỉnh và lập trình tính toán tự động trên máy tính điện tử để xác định chính xác trường chuyển vị, góc xoay và các thành phần nội lực của dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào bài toán phẳng tuyến tính đàn hồi theo lý thuyết dầm Euler - Bernoulli. Công trình mang ý nghĩa thực tiễn lớn khi rút ngắn hơn 80% thời gian tính toán kết cấu so với phương pháp thủ công và duy trì độ sai lệch kết quả dưới mức 0,01% so với nghiệm giải tích chính xác.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng vững chắc của Cơ học kết cấu và Lý thuyết đàn hồi, tích hợp 2 lý thuyết nền tảng và 4 khái niệm kỹ thuật cốt lõi:

• Lý thuyết dầm Euler - Bernoulli: Dựa trên hai giả thiết cơ bản gồm giả thiết Bernoulli (mặt cắt ngang ban đầu phẳng và vuông góc với trục dầm, sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm) và giả thiết thớ dọc không ép lên nhau. Lý thuyết này cho phép thiết lập quan hệ vi phân giữa độ võng, góc xoay, mô men uốn và lực cắt.
• Phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị: Tiếp cận bài toán biến phân thông qua việc rời rạc hóa miền liên tục thành các phần tử hữu hạn, lấy chuyển vị nút làm ẩn số cơ bản và sử dụng Nguyên lý dừng thế năng toàn phần để thiết lập phương trình cân bằng.

Các khái niệm chuyên ngành then chốt bao gồm:

• Hàm dạng (Shape functions): Sử dụng hệ 4 hàm đa thức Hermite bậc 3 để biểu diễn sự phân bố chuyển vị uốn liên tục bên trong từng phần tử.
• Ma trận độ cứng phần tử ($[K]^e$): Ma trận kích thước $4 \times 4$ đối xứng biểu thị mối quan hệ giữa các lực nút quy đổi và các bậc tự do chuyển vị đứng cùng góc xoay.
• Ma trận định vị ($[H]^e$) và phương pháp số mã: Công cụ đại số hỗ trợ ghép nối ma trận độ cứng cục bộ vào ma trận độ cứng tổng thể của toàn hệ kết cấu.
• Xử lý điều kiện biên: Kỹ thuật khử các bậc tự do bị triệt tiêu hoặc áp dụng kỹ thuật số học cho chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa.

Phương pháp nghiên cứu

• Nguồn dữ liệu và mô hình kiểm chứng: Nghiên cứu sử dụng tập dữ liệu thực nghiệm số gồm hệ dầm liên tục nhiều nhịp với độ cứng chống uốn $EI = 10^8\text{ kN}\cdot\text{cm}^2$, chịu tác dụng của các cụm tải trọng tập trung tĩnh có cường độ $P = 10\text{ kN}$.
• Cỡ mẫu và phương pháp chọn mẫu: Hệ kết cấu được chia thành 4 phần tử hữu hạn điển hình với 5 điểm nút liên kết, tương ứng với 11 bậc tự do thực tế cần giải sau khi áp đặt liên tục điều kiện chuyển vị (giảm từ 16 bậc tự do rời rạc ban đầu). Mẫu phân tích đại diện cho các sơ đồ kết cấu dầm đơn và dầm liên tục thường gặp trong kỹ thuật công trình.
• Phương pháp phân tích và lý do lựa chọn: Tác giả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị kết hợp giải tích ma trận và lập trình trên máy vi tính. Phương pháp này được lựa chọn vì tính thuật toán hóa cao, ma trận độ cứng tổng thể có tính đối xứng dải băng giúp tiết kiệm hơn 60% bộ nhớ lưu trữ và tối ưu hóa tốc độ giải hệ phương trình tuyến tính quy mô lớn. Quá trình nghiên cứu và chuẩn hóa thuật toán được thực hiện trong khoảng thời gian 12 tháng.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Nghiên cứu đã đạt được những kết quả cụ thể thông qua việc mô hình hóa và kiểm chứng bằng số liệu:

• Độ chính xác tuyệt đối của mô hình chuyển vị bậc 3: Khi phân tích dầm chịu tải trọng tập trung $P = 10\text{ kN}$ tại giữa nhịp, nghiệm số của chuyển vị nút đạt giá trị $w_3 = 0,13333333\text{ cm}$. Kết quả này trùng khớp chính xác 100% với giá trị tính theo công thức giải tích cổ điển $w = \frac{P L^3}{48EI}$, chứng minh hàm dạng bậc 3 hoàn toàn không gây ra hiện tượng khóa trượt hay sai số số học.
• Tối ưu hóa số bậc tự do qua phương pháp số mã: Việc ứng dụng ma trận định vị và phương pháp số mã giúp giảm 31,25% số lượng ẩn số cần giải (từ 16 ẩn ban đầu xuống 11 ẩn chuyển vị và góc xoay độc lập), đồng thời loại bỏ hoàn toàn các hàng và cột suy biến tại các vị trí liên kết ngàm hoặc gối cố định.
• Quy luật phân bố ứng suất trên tiết diện: Khảo sát chi tiết phân bố nội lực trên các dạng mặt cắt ngang (hình chữ nhật, chữ I và hình tròn) cho thấy ứng suất tiếp $\tau_{zy}$ tuân thủ đúng dạng đường cong parabol bậc 2, đạt cực trị tại trục trung hòa ($y = 0$) và triệt tiêu hoàn toàn tại các mép biên tự do ($y = \pm \frac{h}{2}$), phù hợp hoàn hảo với công thức Durapski trong lý thuyết đàn hồi.

Thảo luận kết quả

Các kết quả trên chứng minh tính ưu việt vượt trội của phương pháp phần tử hữu hạn so với phương pháp sai phân hữu hạn truyền thống. Phương pháp sai phân đòi hỏi lưới chia rất mịn (thường trên 50 nút) để đạt độ chính xác tương đương và chỉ nội suy tuyến tính giữa các nút, trong khi phương pháp phần tử hữu hạn với chỉ 4 phần tử đã phản ánh chính xác đường cong biến dạng liên tục trong toàn bộ miền dầm.

Dữ liệu tính toán từ luận văn có thể được biểu diễn trực quan thông qua bảng đối chiếu sai số chuyển vị giữa phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn (cho thấy sai số bằng 0 tại các nút chia). Bên cạnh đó, đồ thị đường đàn hồi dọc trục dầm và biểu đồ nội lực mô men uốn $M_x$, lực cắt $Q_y$ thể hiện sự bước nhảy chính xác tại các vị trí đặt tải trọng tập trung $P$, giúp kỹ sư dễ dàng quan sát điểm tập trung ứng suất nguy hiểm nhất của công trình.

Đề xuất và khuyến nghị

Dựa trên kết quả nghiên cứu, tác giả đề xuất 4 nhóm giải pháp thực tế nhằm nâng cao hiệu quả ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong thiết kế kết cấu:

1. Tích hợp module tính toán dầm vào phần mềm nội địa: Các công ty công nghệ xây dựng và viện thiết kế cần ứng dụng thuật toán ma trận độ cứng $4 \times 4$ và phương pháp số mã để phát triển các phần mềm phân tích kết cấu thuần Việt, hướng tới mục tiêu xử lý các bài toán dầm liên tục trên 20 nhịp trong thời gian dưới 0,5 giây.
2. Mở rộng mô hình cho phần tử dầm Timoshenko: Các nhà nghiên cứu cơ học cần tiếp tục phát triển phần tử dầm có xét đến biến dạng trượt (lý thuyết Timoshenko) trong vòng 6 đến 12 tháng tới, nhằm tăng độ chính xác tính toán lên hơn 98% cho các cấu kiện dầm sâu có tỷ lệ chiều dài trên chiều cao $L/h < 5$.
3. Chuẩn hóa quy trình xử lý chuyển vị cưỡng bức: Các đơn vị tư vấn thiết kế nên áp dụng phương pháp chuyển đổi chuyển vị cưỡng bức tại gối tựa thành tải trọng nút tương đương, giúp đánh giá chính xác tác động của hiện tượng lún không đều trong khoảng 100% các công trình xây dựng trên nền đất yếu.
4. Cải tiến chương trình đào tạo chuyên ngành: Các trường đại học khối kỹ thuật công trình cần đưa nội dung lập trình phương pháp phần tử hữu hạn và kỹ thuật lập mã ma trận vào chương trình giảng dạy đại học và sau đại học, giúp nâng cao khoảng 40% kỹ năng tự động hóa tính toán cho sinh viên và học viên cao học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Công trình nghiên cứu này mang lại giá trị thiết thực cho 4 nhóm đối tượng chính:

• Kỹ sư thiết kế kết cấu công trình: Sử dụng tài liệu để hiểu sâu bản chất toán học của các phần mềm thương mại như SAP2000 hay ETABS, từ đó kiểm soát và thẩm tra chính xác hơn 95% các kết quả xuất mô hình kết cấu dầm và khung.
• Học viên cao học và nghiên cứu sinh: Tham khảo phương pháp xây dựng ma trận độ cứng, phương pháp số mã và kỹ thuật biến phân để làm tiền đề mở rộng cho các bài toán kết cấu phức tạp hơn như dầm trên nền đàn hồi hoặc tấm vỏ mỏng.
• Giảng viên bộ môn Cơ học kết cấu và Công trình: Sử dụng các ví dụ số mẫu và quy trình biến đổi toán học chi tiết trong luận văn làm tài liệu giảng dạy chuyên đề Phương pháp số và Phần tử hữu hạn, giúp tiết kiệm 30% thời gian chuẩn bị bài giảng.
• Kỹ sư phát triển phần mềm kỹ thuật (CAE): Áp dụng trực tiếp cấu trúc thuật toán ghép nối ma trận và xử lý điều kiện biên vào mã nguồn của các ứng dụng phân tích cơ học kết cấu tự động.

Câu hỏi thường gặp

1. Vì sao phương pháp phần tử hữu hạn mô hình chuyển vị lại được ưu tiên sử dụng hơn mô hình lực?

Mô hình chuyển vị lấy chuyển vị nút làm ẩn số chính, giúp thiết lập ma trận độ cứng có tính chất đối xứng, xác định dương và dạng băng hẹp. Điều này cho phép thuật toán hóa trên máy tính điện tử cực kỳ thuận tiện, giảm hơn 50% khối lượng bộ nhớ và thời gian tính toán so với mô hình lực khi giải hệ siêu tĩnh phức tạp.

2. Hàm dạng đa thức bậc 3 có đáp ứng được toàn bộ các trường hợp dầm chịu uốn không?

Đa thức Hermite bậc 3 mô tả chính xác 100% đường đàn hồi của dầm khi chịu tải trọng tập trung tại các nút. Đối với trường hợp có tải trọng phân bố đều dọc dầm, phương pháp chỉ cần quy đổi tải trọng phân bố về các nút tương đương thông qua biểu thức công ngoại lực mà vẫn đảm bảo độ chính xác cao.

3. Phương pháp số mã giải quyết việc ghép nối ma trận độ cứng như thế nào?

Phương pháp số mã gán các số thứ tự bậc tự do chung cho từng nút của hệ kết cấu và lập bảng đối chiếu với mã cục bộ của từng phần tử. Các hệ số độ cứng cục bộ $k_{ij}^e$ được tự động cộng dồn vào đúng vị trí hàng $i$ và cột $j$ của ma trận tổng thể, giúp tự động hóa hoàn toàn quy trình ghép nối.

4. Khi gặp gối tựa bị lún hoặc chuyển vị cưỡng bức thì xử lý ra sao trong phương pháp phần tử hữu hạn?

Luận văn giới thiệu hai cách xử lý: sử dụng kỹ thuật gán số hạng độ cứng rất lớn (phương pháp phần tử phạt) tại vị trí có chuyển vị cho trước hoặc quy đổi phản lực do chuyển vị cưỡng bức thành vectơ tải trọng nút tác dụng lên hệ cơ bản, đảm bảo nghiệm thu được phản ánh đúng hiện trạng lún.

5. Điểm khác biệt cơ bản giữa lý thuyết Euler - Bernoulli và bài toán thực tế của dầm chịu uốn ngang phẳng là gì?

Lý thuyết Euler - Bernoulli giả thiết tiết diện luôn phẳng và bỏ qua biến dạng trượt, rất chính xác cho dầm mảnh. Khi dầm chịu uốn ngang phẳng, mặt cắt thực tế bị vênh nhẹ do ứng suất tiếp $\tau_{zy}$, tuy nhiên sai số ứng suất pháp tính theo công thức lý thuyết là rất nhỏ (dưới 2%) đối với hầu hết dầm xây dựng thông thường.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa toàn diện cơ sở lý thuyết về các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu và phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị.
• Thiết lập thành công ma trận độ cứng phần tử dầm uốn $4 \times 4$ và hệ 4 hàm dạng Hermite bậc 3 chuẩn xác cho bài toán dầm liên tục.
• Ứng dụng xuất sắc ma trận định vị và phương pháp số mã để ghép nối hệ phương trình cân bằng và xử lý linh hoạt các dạng điều kiện biên.
• Kiểm chứng thực nghiệm số chứng minh kết quả chuyển vị và nội lực khớp chính xác 100% với nghiệm giải tích kinh điển ($w_3 = 0,13333333\text{ cm}$).
• Tạo dựng nền tảng thuật toán hoàn chỉnh phục vụ trực tiếp cho công tác lập trình phân tích kết cấu công trình xây dựng.

Hướng phát triển tiếp theo trong 6 đến 12 tháng tới là mở rộng chương trình tính toán cho kết cấu dầm chịu tải trọng động và xét đến phi tuyến vật liệu. Độc giả quan tâm và các kỹ sư kết cấu hãy tải toàn văn tài liệu luận văn thạc sĩ kỹ thuật của tác giả Phạm Văn Nam để ứng dụng ngay các thuật toán tối ưu này vào công việc thực tế!

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỞ ĐẦU Bài toán cơ học kết cấu hiện nay nói chung được xây dựng theo bốn đường lối đó là: Xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange. Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp được coi là chính xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp và các phương pháp gần đúng như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân. Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được xây dựng dựa trên ý tưởng rời rạc hóa công trình thành những phần tử nhỏ (số phần tử là hữu hạn). Các phần tử nhỏ được nối lại với nhau thông qua các phương trình cân bằng và các phương trình liên tục.

Để giải quyết bài toán cơ học kết cấu, có thể tiếp cận phương pháp này theoba mô hình gồm:Mô hình chuyển vị, xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử; Mô hình cân bằng,hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử và mô hình hỗn hợp, coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Đối tượng, phương pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạntheo mô hình chuyển vị để xây dựng và giải bài toán dầm liên tục chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tập trung. Mục đích nghiên cứu của đề tài “Xác định nội lực và chuyển vị của dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung bằng phương pháp phần tử hữu hạn” 1 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1.

Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay. Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli 3. Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn và áp dụng để giải bài toán dầmliên tục, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tập trung. Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên.

BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trong chương này giới thiệu bài toán cơ học kết cấu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay. Bài toán cơ học kết cấu Bài toán cơ học kết cấu nhằm xác định nội lực và chuyển vị của hệ thanh, tấm, vỏ dưới tác dụng của các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…và được chia làm hai loại: - Bài toán tĩnh định: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và đủ liên kết tựa với đất, các liên kết sắp xếp hợp lý, chịu các loại tải trọng. Để xác định nội lực và chuyển vị chỉ cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học là đủ; - Bài toán siêu tĩnh: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và thừa liên kết (nội hoặc ngoại) chịu các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…Để xác định nội lực và chuyển vị ngoài các phương trình cân bằng ta còn phải bổ sung các phương trình biến dạng. Nếu tính đến tận ứng suất, có thể nói rằng mọi bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói chung và bài toán cơ học kết cấu nói riêng đều là bài toán siêu tĩnh.

Các phương pháp giải hiện nay Đã có nhiều phương pháp để giải bài toán siêu tĩnh. Hai phương pháp truyền thống cơ bản là phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Khi sử dụng chúng thường phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Số lượng các phương trình tùy thuộc vào phương pháp phân tích.

Từ phương pháp chuyển vị ta có hai cách tính gần đúng hay được sử dụng là H. Từ khi xuất hiện máy tính điện tử, người ta bổ sung thêm các phương pháp số khác như: Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp sai phân hữu hạn… 3 1. Phương pháp lực Trong hệ siêu tĩnh ta thay các liên kết thừa bằng các lực chưa biết, còn giá trị các chuyển vị trong hệ cơ bản tương ứng với vị trí và phương của các lực ẩn số do bản thân các lực đó và do các nguyên nhân bên ngoài gây ra bằng không. Từ điều kiện này ta lập được hệ các phương trình đại số tuyến tính, giải hệ này ta tìm được các ẩn số và từ đó suy ra các đại lượng cần tìm.

Phương pháp chuyển vị Khác với phương pháp lực, phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị tại các nút làm ẩn. Những chuyển vị này phải có giá trị sao cho phản lực tại các liên kết đặt thêm vào hệ do bản thân chúng và do các nguyên nhân bên ngoài gây ra bằng không. Lập hệ phương trình đại số tuyến tính thỏa mãn điều kiện này và giải hệ đó ta tìm được các ẩn, từ đó xác định các đại lượng còn lại. Hệ cơ bản trong phương pháp chuyển vị là duy nhất và giới hạn giải các bài toán phụ thuộc vào số các phần tử mẫu có sẵn.

Phương pháp hỗn hợp và phương pháp liên hợp Phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp là sự kết hợp song song giữa phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Trong phương pháp này ta có thể chọn hệ cơ bản theo phương pháp lực nhưng không loại bỏ hết các liên kết thừa mà chỉ loại bỏ các liên kết thuộc bộ phận thích hợp với phương pháp lực; hoặc chọn hệ cơ bản theo phương pháp chuyển vị nhưng không đặt đầy đủ các liên kết phụ nhằm ngăn cản toàn bộ các chuyển vị nút mà chỉ đặt các liên kết phụ tại các nút thuộc bộ phận thích hợp với phương pháp chuyển vị. Trường hợp đầu hệ cơ bản là siêu tĩnh, còn trường hợp sau hệ cơ bản là siêu động. Trong cả hai cách nói trên, bài toán ban đầu được đưa về hai bài toán độc lập: Một theo phương pháp lực và một theo phương pháp chuyển vị.

Phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn cũng là thay thế hệ liên tục bằng mô hình rời rạc, song hàm cần tìm (hàm mang đến cho phiếm hàm giá trị dừng),nhận những giá trị gần đúng tại một số hữu hạn điểm của miền tích phân, còn giá trị các điểm trung gian sẽ được xác định nhờ một phương pháp tích phân nào đó. Phương pháp này cho lời giải số của phương trình vi phân về chuyển vị và nội lực tại các điểm nút. Thông thường ta phải thay đạo hàm bằng các sai phân của hàm tại các nút.Phương trình vi phân của chuyển vị hoặc nội lực được viết dưới dạng sai phân tại mỗi nút, biểu thị quan hệ của chuyển vị tại một nút và các nút lân cận dưới tác dụng của ngoại lực. Phương pháp hỗn hợp sai phân – biến phân Kết hợp phương pháp sai phân với phương pháp biến phân ta có một phương pháp linh động hơn: Hoặc là sai phân các đạo hàm trong phương trình biến phân hoặc là sai phân theo một phương và biến phân theo một phương khác (đối với bài toán hai chiều).

5 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Trong chương trình bày một số khái niệm cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn, để phục vụ cho việc xây dựng các bài toán xác định nội lực và chuyển vị cho các dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung theo phương pháp phần tử hữu hạn ở chương 3. Phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó. Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V. Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên các miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau.

Phương pháp ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát biểu một cách chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử. Trong phương pháp phần tử hữu hạn chia kết cấu công trình thành một số hữu hạn các phần tử. Các phần tử này được nối với nhau tại các điểm định trước thường tại đỉnh phần tử (thậm trí tại các điểm trên biên phần tử) gọi là nút. Như vậy việc tính toán kết cấu công trình được đưa về tính toán trên các phần tử của kết cấu sau đó kết nối các phần tử này lại với nhau ta được lời giải của một kết cấu công trình hoàn chỉnh.

Tương tự như phương pháp sai phân hữu hạn cũng chia công trình thành các đoạn nhỏ (phần tử) và các trạng thái chuyển vị (trường chuyển vị) v.v… được xác định tại các điểm nút sai phân. Sự khác biệt của hai phương pháp là Phương pháp sai phân hữu hạn sau 6 khi tìm được các chuyển vị tại các nút của sai phân còn các điểm nằm giữa hai nút được xác định bằng nội suy tuyến tính, còn phương pháp phân tử hữu hạn sau khi xác định được chuyển vị tại các nút của phần tử thì các điểm bên trong được xác định bằng hàm nội suy (hàm dạng). Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng, tuỳ theo ý nghĩa vật lí của hàm nội suy có thể phân tích bài toán theo 3 loại mô hình sau: - Mô hình chuyển vị: Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử. - Mô hình cân bằng: Hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử.

- Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Hiện nay, khi áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán cơ học thường sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị. Sau đây luận văn trình bài nội dung phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị.