Sử Dụng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Để Giải Bài Toán Tiếp Xúc

Khám phá phương pháp phần tử hữu hạn trong giải bài toán tiếp xúc, ứng dụng trong nghiên cứu khoa học sinh viên, nâng cao kỹ năng và kiến thức.

• Tác giả: Nguyễn Tiến Đạt
• Người hướng dẫn: Thạc Sĩ Trần Thanh Hải
• Trường học: Trường ĐH GTVT Cơ Sở II
• Chuyên ngành: Cơ Điện Tử
• Đề tài: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trong Giải Bài Toán Tiếp Xúc
• Loại tài liệu: Đề Tài Nghiên Cứu Khoa Học
• Năm xuất bản: 2012
• Địa điểm: TP Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN FEM
• 1.1. Khái niệm phần tử hữu hạn
• 1.2. Ưu nhược điểm của phương pháp phần tử hữu hạn
• 1.3. Khắc phục nhược điểm
• 1.4. Lịch sử phát triển
• 1.5. Phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)
• 1.5.1. Một số bài toán sử dụng trong bài toán phần tử hữu hạn
• 1.5.2. Hàm xấp xỉ (approximation function)
• 1.5.3. Dạng đa thức xấp xỉ
• 1.5.4. Chọn bậc của đa thức xấp xỉ hay hàm xấp xỉ
• 1.5.5. Phép nội suy
• 1.5.6. Ghép nối phần tử - ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể
• 1.5.7. Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn
• 1.6. Giải bài toán hệ thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn
• 2. CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM ANSYS
• 2.1. Giới thiệu chung
• 2.2. Các modun trong ANSYS
• 2.3. Chức năng của ANSYS
• 2.4. Phân tích kết cấu
• 2.5. Động lực học biến dạng lớn
• 2.6. Phân tích nhiệt
• 2.7. Phân tích điện từ
• 2.8. Tính toán động lực học dòng chảy
• 2.9. Phân tích tương tác giữa các trường vật lý
• 2.10. Các bước thực hiện khi giải bài toán
• 2.10.1. Pre-processing: Tiền xử lý
• 2.10.2. Solution: Giải
• 2.10.3. Post-processing: Hậu xử lý
• 3. CHƯƠNG 3: TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN TIẾP XÚC VÀ BÀI TOÁN CỤ THỂ VỀ VIỆC ỨNG DỤNG ANSYS ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TIẾP XÚC
• 3.1. Tổng quan về bài toán tiếp xúc
• 3.2. Tổng quan về phi tuyến tính
• 3.3. Bài toán cụ thể
• 3.4. Hướng triển khai bài toán
• 3.5. Giải quyết bài toán trên Ansys
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn trong giải bài toán tiếp xúc

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán kỹ thuật phức tạp. Đặc biệt, trong lĩnh vực giải bài toán tiếp xúc, FEM cho phép mô phỏng và phân tích các hiện tượng vật lý một cách chính xác. Bài viết này sẽ cung cấp cái nhìn tổng quan về phương pháp này, từ khái niệm cơ bản đến ứng dụng thực tiễn.

1.1. Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) được phát triển để giải quyết các bài toán kỹ thuật phức tạp bằng cách chia nhỏ miền nghiên cứu thành các phần tử đơn giản. Mỗi phần tử được mô tả bằng các hàm xấp xỉ, giúp dễ dàng tính toán và phân tích.

1.2. Lịch sử phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn

FEM đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển từ những năm 1940, với những đóng góp quan trọng từ các nhà nghiên cứu như Hrennikoff và Courant. Sự phát triển này đã mở ra nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật khác nhau.

II. Vấn đề và thách thức trong giải bài toán tiếp xúc bằng FEM

Giải bài toán tiếp xúc bằng phương pháp phần tử hữu hạn gặp phải nhiều thách thức, đặc biệt là trong việc xác định điều kiện biên và tính toán độ chính xác của mô hình. Những vấn đề này cần được giải quyết để đảm bảo tính khả thi và độ tin cậy của kết quả.

2.1. Các vấn đề thường gặp trong mô phỏng tiếp xúc

Mô phỏng tiếp xúc thường gặp khó khăn trong việc xác định chính xác các điều kiện biên và lực tác động. Điều này có thể dẫn đến kết quả không chính xác nếu không được xử lý đúng cách.

2.2. Thách thức trong việc tối ưu hóa mô hình FEM

Việc tối ưu hóa mô hình FEM để đạt được độ chính xác cao trong giải bài toán tiếp xúc là một thách thức lớn. Cần phải cân nhắc giữa độ phức tạp của mô hình và thời gian tính toán.

III. Phương pháp giải bài toán tiếp xúc bằng FEM hiệu quả

Để giải bài toán tiếp xúc một cách hiệu quả, cần áp dụng các phương pháp và kỹ thuật phù hợp. Việc lựa chọn phần tử, hàm xấp xỉ và điều kiện biên là rất quan trọng trong quá trình này.

3.1. Lựa chọn phần tử trong mô hình FEM

Việc lựa chọn loại phần tử phù hợp là rất quan trọng trong mô hình FEM. Các phần tử như phần tử khối, phần tử tấm hay phần tử dầm đều có những ưu nhược điểm riêng, ảnh hưởng đến kết quả mô phỏng.

3.2. Xây dựng hàm xấp xỉ cho mô hình FEM

Hàm xấp xỉ được sử dụng để mô tả hành vi của vật liệu trong mô hình FEM. Việc chọn hàm xấp xỉ phù hợp sẽ giúp cải thiện độ chính xác của kết quả tính toán.

IV. Ứng dụng thực tiễn của phương pháp phần tử hữu hạn trong giải bài toán tiếp xúc

Phương pháp phần tử hữu hạn đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, từ xây dựng đến cơ khí. Các ứng dụng này không chỉ giúp tiết kiệm thời gian mà còn nâng cao độ chính xác trong thiết kế và phân tích.

4.1. Ứng dụng trong ngành xây dựng

Trong ngành xây dựng, FEM được sử dụng để phân tích ứng suất và biến dạng của các kết cấu, giúp đảm bảo an toàn và hiệu quả trong thiết kế.

4.2. Ứng dụng trong ngành cơ khí

FEM cũng được áp dụng trong ngành cơ khí để mô phỏng và phân tích các chi tiết máy, từ đó tối ưu hóa thiết kế và nâng cao hiệu suất hoạt động.

V. Kết luận và tương lai của phương pháp phần tử hữu hạn trong giải bài toán tiếp xúc

Phương pháp phần tử hữu hạn đã chứng minh được giá trị của mình trong việc giải quyết các bài toán kỹ thuật phức tạp. Tương lai của FEM hứa hẹn sẽ còn phát triển hơn nữa với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin và phần mềm hiện đại.

5.1. Xu hướng phát triển của FEM

Với sự phát triển của công nghệ, FEM sẽ ngày càng trở nên mạnh mẽ hơn, cho phép giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong thời gian ngắn hơn.

5.2. Tầm quan trọng của FEM trong nghiên cứu và ứng dụng

FEM không chỉ là một công cụ tính toán mà còn là một phần không thể thiếu trong nghiên cứu và phát triển sản phẩm mới trong nhiều lĩnh vực.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN FEM 1. Khái niệm phần tử hữu hạn: Hình 1. 1 Mô tả phần tử hữu hạn Phương pháp PTHH (Finite Element Method) được phát triển đầu tiên bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1943). Phương pháp PTHH là một phương pháp số đặc biệt hiệu quả dựa trên ý tưởng là chia một vật thể phức tạp thành các phần tử nhỏ và đơn giản.

TRẦN THANH HẢI 9 SVTH: NGUYỄN TIẾN ĐẠT TRẦN CHIẾN THẮNG TRƯỜNG ĐH GTVT CƠ SỞ II ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC KHOA CƠ KHÍ SINH VIÊN Theo phương pháp PTHH, một miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con Ve gọi là phần tử (element). Các phần tử này được kết nối với nhau tại các điểm định trước trên biên phần tử, gọi là nút (node). Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ dưới dạng một hàm đơn giản gọi là hàm xấp xỉ (approximation fuction). Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị hàm (hoặc cả giá trị của đạo hàm của nó) tại các điểm nút trên phần tử.

Các giá trị này gọi là các bậc tự do của các phần tử và là các đại lượng cần tìm của bài toán. Như vậy, phương pháp PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn bộ miền V mà chỉ trong từng miền con Ve của nó. Do đó phương pháp này thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó các hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều miền nhỏ có đặc tính hình học hay vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Ưu nhược điểm của phương pháp phần tử hữu hạn: 1.

Ưu điểm: + Ứng dụng được cho rất nhiều bài toán kỹ thuật phức tạp (dễ dàng công thức hoá sau đó số hoá các bài toán kỹ thuật) + Có thể giải được các bài toán phi tuyến + Các bước giải được hệ thống hoá một cách rõ ràng nên ứng dụng rất rộng rãi + Nếu việc tính toán mô phỏng được thực hiện tốt thì kết quả đạt được đáng tin cậy 1. Nhươc điểm: + Kết quả tìm được là xấp xỉ + Kết quả phụ thuộc vào dạng phần tử và mật độ đựơc chọn tức là phụ thuộc vào trình độ và kinh nghiệm người giải 1. Khắc phục nhược điểm: + Tính toán lại bằng tay (nếu có thể) + Dùng thí nghiệm kiểm chứng lại 1. Lịch sử phát triển: GVHD: THS.

TRẦN THANH HẢI 10 SVTH: NGUYỄN TIẾN ĐẠT TRẦN CHIẾN THẮNG TRƯỜNG ĐH GTVT CƠ SỞ II ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC KHOA CƠ KHÍ SINH VIÊN + A. Hrennikoff [1941] - Lattice of 1D bars + McHenry [1943] - Model 3D solids + R. Courant [1943] - Variational form + Levy [1947, 1953] - Flexibility & Stiffness + M. Turner [1953] - FEM computations on a wing + Boeing [1950's] Engineer's at Boeing apply FEM to delta wings + Argryis and Kelsey [1954] - Energy Prin.

for Matrix Methods + Turner, Clough, Martin and Topp [1956] - 2D elements + R. Clough [1960] – Coins the term “Finite Elements” + 1963 - Mathematical validity of method established - applied to non-structural problems + 1960's - First general purpose FEA code developed + 1970's - Non-linear solvers developed + 1980's - Graphical pre-/postprocessors are developed + 1990's - FEM tools integrated in CAD software 1. Phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn (FEM): 1. Một số bài toán sử dụng trong bài toán phần tử hữu hạn: a.

Hàm xấp xỉ ( approximation function): Biểu diễn dạng phân bố của ẩn hàm cần tìm theo một quy luật nào đó trong phạm vi từng phần tử. Như vậy các ẩn hàm cần tìm được xấp xỉ hóa trên mỗi phần tử. Như vậy việc lựa chọn hàm xấp xỉ phải mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi phần tử. Thông thường hàm xấp xỉ hay được chọn ở dạng đa thức.

Dạng đa thức xấp xỉ: Như đã nói ở trên, hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức đơn giản. Có thể như sau : Bài toán 1 – D (một chiều): u ( x) = a 1 + a 2 x (xấp xỉ tuyến tính) u ( x) = a 1 + a 2 x + a 3 x2 (xấp xỉ bậc hai) GVHD: THS. TRẦN THANH HẢI 11 SVTH: NGUYỄN TIẾN ĐẠT TRẦN CHIẾN THẮNG TRƯỜNG ĐH GTVT CƠ SỞ II ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC KHOA CƠ KHÍ SINH VIÊN u ( x) = a 1 + a 2 x + a 3 x2 + a 4 x3 (xấp xỉ bậc 3) n +1 Hay nếu lấy u ( x) là một hàm xấp xỉ bậc n thì: u ( x) = ∑ ai.     an +1   Hay: u ( x) = [ P( x)]{a} Trong đó: [P (x)] gọi là ma trận các đơn thức.

{a} gọi là vector các tọa độ tổng quát hay vector các tham số.     a6  u ( x) = [ P( x) ]{a} Bài toán 3 – D (ba chiều) U(x,y,z)=[P(x,y,z)]{a} [P(x,y,z)] được chọn là các ma trận đơn thức. {a} được gọi là vecto các tham số ( hay vecto tọa độ tổng quát). Chọn bậc của đa thức xấp xỉ hay hàm xấp xỉ Về nguyên tắc nếu chọn bậc đa thức xấp xỉ càng cao thì kết quả xấp xỉ càng chính xác.

Tuy nhiên, đa thức được chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau đây :  Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ: Liên tục trong phạm vi phần tử. TRẦN THANH HẢI 12 SVTH: NGUYỄN TIẾN ĐẠT TRẦN CHIẾN THẮNG TRƯỜNG ĐH GTVT CƠ SỞ II ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC KHOA CƠ KHÍ SINH VIÊN Đảm bảo được rằng khi kích thước phần tử giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác.  Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình học. Để đáp ứng yêu cầu này, ta có thể chọn dạng đa thức từ tam giác Pascal ( bài toán 2- D) hay từ tháp Pascal (bài toán 3- D).

Đối với xấp xỉ của bài toán 1- D thì yêu cầu này tự nhiên thỏa mãn. Phép nội suy: Tuy nhiên, trong phương pháp PTHH các hệ số của hàm xấp xỉ dạng đa thức được biểu diễn qua chính các giá trị của nó (hoặc cả giá trị các đạo hàm) tại một số điểm nút được định trước trên phần tử. Nói cách khác là hàm xấp xỉ được nội suy theo các giá trị ( hoặc cả các đạo hàm) của nó tại các nút phần tử. Kết quả là, trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần tìm là hàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóa bằng một đa thức nội suy qua các giá trị (hoặc cả các đạo hàm) của nó tại điểm nút của phần tử.

TRẦN THANH HẢI 13 SVTH: NGUYỄN TIẾN ĐẠT TRẦN CHIẾN THẮNG TRƯỜNG ĐH GTVT CƠ SỞ II ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC KHOA CƠ KHÍ SINH VIÊN Hình 1. Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange Trong các ví dụ trên các hàm bất kì được biểu diễn xấp xỉ bằng các đa thức bậc 0, bậc 1, bậc 2 theo các giá trị (chỉ theo giá trị) của hàm tại điểm định trước (điểm nút). Phép xấp xỉ này được gọi là phép nội suy Lagrange. (Nội suy Hecmit : Khác với phép nội suy Lagrange, nội suy Hecmit là phép xấp xỉ theo giá trị và cả đạo hàm từ bậc 1 đến bậc nào đó tại các điểm cơ sở.

Hàm nội suy Hecmit Bằng việc xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi phần tử thì trên toàn miền V khảo sát, đại lượng cần tìm cũng được biểu diễn gần đúng theo các giá trị (và có thể cả đạo hàm đến cấp nào đó) của chính nó tại các điểm nút. TRẦN THANH HẢI 14 SVTH: NGUYỄN TIẾN ĐẠT TRẦN CHIẾN THẮNG TRƯỜNG ĐH GTVT CƠ SỞ II ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC KHOA CƠ KHÍ SINH VIÊN Và rõ ràng nếu lưới phần tử càng mịn thì kết quả nhận được càng tiến đến sự mô tả chính xác của nghiệm cần tìm. Ví dụ : Với phép nội suy Lagrange Hình 1. Hàm nội suy Lagrange khi lưới phần tử mịn d.

Ghép nối phần tử - ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể: Giả sử vật thể (miền V) được chia thành N e phần tử (miền con V e ) bởi R điểm nút. Nếu mỗi nút có s bậc tự do thì số bậc tự do của cả hệ là n = R.s Gọi {q} là véc tơ chuyển vị nút tổng thể (hay véc tơ chuyển vị nút kết cấu). − Nó sẽ là tập hợp của tất cả các bậc tự do của tất cả các nút của hệ và gồm n thành phần. Giả sử mỗi phần tử có r nút, thì số bậc tự do của r nút của phần tử gồm n e = r.

Và véc tơ chuyển vị nút phần tử {q e } gồm tất cả các bậc tự do của r nút của phần tử tức là gồm n e thành phần. Rõ ràng theo mô hình tương thích, các thành phần này của {q e } là nằm trong số các thành phần của {q}. Và do đó sự liên hệ giữa 2 véc tơ này có thể được biểu diễn như − sau: _ {qe } = [ L ]e. Ma trận này cho − thấy hình ảnh sắp xếp các thành phần của véc tơ {q e } trong {q}.

TRẦN THANH HẢI 15 SVTH: NGUYỄN TIẾN ĐẠT TRẦN CHIẾN THẮNG TRƯỜNG ĐH GTVT CƠ SỞ II ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC KHOA CƠ KHÍ SINH VIÊN − Ví dụ: Dầm với bốn điểm nút như hình 1.6 có véc tơ chuyển vị nút tổng thể {q} là: _ {q} = {q1 , q2 , q3 ,. Các bậc tự do của dầm 4 nút  q1  10000000   q1  q   01000000   q   2 _   2 = {q}1 =  [ L ]= 1{q}   q3   00100000  . Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn Bước 1 - Rời rạc hoá miền khảo sát (chia lưới vật thể): Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve tức là các phần tử. Các phần tử này có hình dạng thích hợp.

Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản. Ví dụ như: GVHD: THS. TRẦN THANH HẢI 16 SVTH: NGUYỄN TIẾN ĐẠT TRẦN CHIẾN THẮNG TRƯỜNG ĐH GTVT CƠ SỞ II ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC KHOA CƠ KHÍ SINH VIÊN Bước 2 - Chọn hàm xấp xỉ: Vì đại lượng cần tìm chưa biết nên ta chọn dạng hàm xấp xỉ của nó sao cho đơn giản đối với tính toán nhưng phải thoả mãn các tiêu chuẩn hội tụ. Ta thường chọn hàm xấp xỉ dạng đa thức.