CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) 1. Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) 1. Khái niệm cơ bản Phương pháp phần từ hữu hạn (Finite Element Method-FEM) hay còn gọi là phân tích phần tử hữu hạn (Finite Element Analyze-FEA) được dựa trên ý tưởng từ việc xây dựng một vật thể phức tạp với những khối đơn giản hoặc chia những khối phức tạp đó thành những phần nhỏ và có thể kiểm soát. Người ta có thể tìm thấy ứng dụng của ý tưởng đơn giản này ở bất cứ nơi đâu trong cuộc sống hàng ngày cũng như trong kỹ thuật.
Ví dụ: • Đồ chơi dành cho trẻ em (Thường bằng khối hoặc nhựa được ghép lại với nhau) • Những tòa nhà • Xấp xỉ diện tích hình tròn Hình 1.1 : Ý tưởng từ cuộc sống Diện tích một tam giác: S i = Diện tích của hình tròn: SN= = ( ) πR2 khi N ∞ Với N = tổng số tam giác (các phần tử) 10 Nhận xét: Những vật thể có cấu tạo phức tạp hoặc đồng nhất có thể được biểu diễn bằng nhiều phần tử đơn giản về hình học. Khả năng của phương pháp (FEM) Phương pháp FEM là một phương pháp số đặc biệt, nó tìm dạng gần đúng của một ẩn hàm chưa biết trong miền xác định giới hạn bởi mô hình của nó. Nó không tìm hàm xấp xỉ của một hàm mà tìm trong từng miền con, chính nhờ đặc điểm này mà FEM được sử dụng tương đối rộng rãi. Phương pháp FEM có thể tính toán: • Tính toán được bằng tay hay có thể mô phỏng bằng máy tính.
• Có khả năng tích hợp các phần mềm CAD/CAM Những ứng dụng của FEM trong kỹ thuật: • Chế tạo máy, kỹ thuật hàng không, xây dựng và ô tô. • Phân tích cấu trúc, kết cấu (tĩnh/động lực học, tuyến tính/phi tuyến). • Phân tích nhiệt và dòng chảy chất lỏng. • Điện từ • Cơ học địa chất (Geomechanics) • Sinh học • …… Ví dụ: Hình 1.2: Mô hình ăn khớp bánh răng 11 1.
Tóm lược lịch sự phát triển của phương pháp • Năm 1943, Courant với phương pháp biến phân (variational methods) • Năm 1956, Turner, Clough, Martin và Topp với độ cứng hay độ bền vững. • Năm 1960, Clough ra đời phần tử hữu hạn với những vấn đề về mặt phẳng. • Những năm 1970, ứng dụng trên (Mainframe computers) • Những năm 1980, trên máy tính cỡ nhỏ và bộ sử lý • Những năm 1990, phân tích những hệ thống cấu trúc lớn. Phương pháp FEM trong phân tích kết cấu • Chia cấu trúc thành các mảnh nhỏ (phần tử với các nút ) • Mô tả trạng thái đại lượng vật lý trên mỗi phần tử • Liên kết phần tử tại các nút để hình thành lên một hệ phương trình tương đương cho toàn bộ cấu trúc • Giải hệ phương trình bao gồm cả các đại lượng chưa biết tại các nút đó (ví dụ chuyển vị) • Tính các đại lượng cần quan tâm (ví dụ biến dạng và ứng suất) tại các nút đã chọn.3: Mô hình FEM cho bánh răng 12 Thực hiện tính toán • Tiền xử lý: Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn FE, đặt tải và các ràng buộc lên mô hình • Giải quyết: Giải bài toán mô hình (FEA) • Hậu xử lý: Lựa chọn hiển thị kết quả Các phần mềm FEM hiện có sẵn trên thị trường • ANSYS (Phân tích đầy đủ và tổng hợp, chạy trên PC hoặc workstations) • SDRC/I-DEAS (trọn bộ CAD/CAM/CAE) • NASTRAN (Phân tích đầy đủ và tổng hợp FEA trên máy tính lớn) • ABAQUS (Phân tích động lực học và phi tuyến) • COSMOS (Phân tích đầy đủ và tổng hợp FEA) • ALGOR (Chạy trên PC và workstation) • PATRAN (Phân tích tiền và hậu xử lý) • HyperMesh ( Phân tích tiền và hậu xử lý) • Dyna-3D ( phân tích va chạm và phá hủy) 1.
Các kiểu của phần tử hữu hạn 1. Phần tử 1-D Phần tử này chỉ gồm 1 đường thẳng, trong các phân tích lò xo , giàn , dầm và ống thường mô tả theo kiểu phần tử này. Phần tử 2-D Phần tử này giống như màng mỏng, tấm phẳng, vỏ bọc… 13 1. Phần tử 3-D Là phần tử vật rắn 3-D, kiểu phần tử này thường có trong các bài toán về nhiệt độ, chuyển vị , ứng suất , vận tốc dòng 1.
Phần tử lò xo Phần từ bao gồm 1 lò xo Xét mô hình trên có 2 nút : i và j và các chuyển vị nút: ui, uj ( in, m, mm) Lực tại nút: fi, fj (lb, newton) Độ cứng lò xo : k (lb/in, N/m, N/mm) Từ mối quan hệ lực và chuyển vị lò xo F=k (với = ui – u j ) ta có đồ thị: 14 Linear : đường tuyến tính Nonlinear : đường phi tuyến Với K = (>0) là lực cần thiết để tạo ra sức căng đơn vị Xét cân bằng lực tại các nút ta rút ra được phương trình: = Hay, ku = f Với : k = ( phần tử ) ma trận độ cứng u = ( phần tử nút) véc tơ chuyển vị f = ( phần tử nút) véc tơ lực Xét với hệ lò xo Phân tích tương tự như lò xo đơn ta được dạng ma trận: Hay, KU = F K là ma trận độ cứng cho hệ lò xo 15 Một cách lựa chọn việc kết hợp toàn bộ ma trận độ cứng : Mở rộng các ma trận độ cứng cho phần tử 1 và 2. Chúng ta có Thêm ma trận cân bằng 2 Đây là phương trình tương đương chúng ta suy ra bằng việc sử dụng khái niệm cân bằng lực. Phần tử thanh và dầm Hầu hết những bài toán phân tích cấu trúc có thể được giải quyết như những bài toán tĩnh tuyến tính, dựa trên những giả thiết sau. • Biến dạng là nhỏ (mô hình tải trọng không được thay đổi vì hình đã bị biến dạng).
• Vật liệu đàn hồi (không có tính dẻo hoặc phá hủy) • Tải trọng tĩnh (Tải trọng được đặt vaò cấu trúc theo một hình dạng ổn định và thay đổi chậm) Phân tích tuyến tính có thể cung cấp hầu hết thông tin về trạng thái của cấu trúc, và có thể gần như xấp xỉ nhiều phân tích khác. Nó cũng là cơ sở của những phân tích phi tuyến trong hầu hết các trường hợp. 16 Phần tử thanh L : chiều dài thanh A : Diện tích mặt cắt ngang E : mô dun đàn hồi u = u(x) chuyển vị ε = ε(x) biến dạng σ = σ(x) ứng suất Phần từ dầm (trong mặt phẳng đơn) L : chiều dài I : mô men quán tính diện tích mặt cắt ngang\ E : Modul đàn hồi v = v(x) : độ võng (deflection) của trục chính θ= : góc xoay quanh trục z F = F(x) Lực cắt ngang (Shear force) M = M(x) Momen theo trục z (quay quanh trục z) 17 Lý thuyết cơ sở về dầm (Elementary Beam Theory) EI = M(x) σ= 1. Học thuyết cơ bản về ứng suất và biến dạng với phần tử 3D Nhìn chung, ứng suất và biến dạng trong một cấu trúc gồm sáu thành phần: Ứng suất gồm: σx , σy , σ z , τxy , τyz , τzx Biến dạng gồm: εx , εy , ε z , γxy, γyz , γ zx Để đơn giản mô hình, người ta tinh giảm từ phân tích 3D xuống phân tích 2D • Ứng suất mặt phẳng σ z = τ yz = τzx = 0 ( ε z ≠ 0) • Biến dạng phẳng ε z = γyz=γzx = 0 (σz≠0) 18 Quan hệ giữa ứng suất – biến dạng – nhiệt độ Cho vật liệu đàn hồi và đẳng hướng, chúng ta có: (1.1) Hoặc : ε = E -1 σ + ε0 Trong đó ε0 là biến dạng ban đầu, E là modul đàn hồi của vật liệu, ν là hệ sô Poisson và G là hằng số đàn hồi hoặc là modul trượt: G = , nghĩa là chỉ có 2 hệ số vật liệu () đồng nhất và đẳng hướng.
Giải phương trình (1.2) Hoặc, σ = Eε + σ0 (σ0 = - Eε 0 là ứng suất ban đầu) Quan hệ ở trên cũng đúng cho trường hợp ứng suất phẳng và biến dạng phẳng. Chúng ta chỉ cần thay đổi các hệ số về vật liệu ở phương trình (1.2) Ví dụ như quan hệ giữa ứng suất và biến dạng được cho bởi phương trình sau: 19 (1.3) Biến dạng ban đầu do sự thay đổi nhiệt độ đưa ra bởi phương trình: Trong đó α là hệ số giãn nở nhiệt, ΔT là sự thay đổi nhiệt độ. Nếu như cấu trúc là chịu tác dụng riêng của tải trọng nhiệt thì sẽ không có ứng suất đàn hồi trong cấu trúc này. Quan hệ biến dạng và chuyển vị Cho biến dạng nhỏ và chuyển vị quay nhỏ, chúng ta có: Theo ma trận: (1.4) Hoặc ε = Du Từ quan hệ này (Pt 1.4) ta thấy nếu như chuyển vị theo một phương trình đại số thì ứng suất ( hoặc biến dạng ) sẽ có bậc nhỏ hơn so với chuyển vị.
Phương trình cân bằng Theo học thuyết về đàn hồi thì ứng suất trong cấu trúc là an toàn theo như phương trình cân bằng sau: 20 (1.5) Trong đó fx và f y là lực do bản chất vật thể sinh ra ( như là trọng lực) trên đơn vị thể tích. Trong FEM thì điều kiện cân bằng chỉ mang tính chất gần đúng. Điều kiện biên Điều kiện biên S của vật thể có thể chia ra thành 2 phần S u và St. Điều kiện biên (BC’s) được miêu tả: Với t x và ty là lực kéo (ứng suất trên biên) Với FEM, tất cả các kiểu tải trọng (lực tác dụng trên bề mặt, lực do bản thân vật sinh ra, lực tập trung, mô men…v…v) được chuyển thành lực tại điểm tác động trên nút.
Để giải quyết bài toán cần xét đến phương trình cân bằng (1.5) và điều kiện biên kết hợp với điều kiện về khả năng tương thích. Học thuyết đàn hồi với phần tử 3D 1. Các phần tử solid 3D • Khối tứ diện 21 Tuyến tính (4 nút) Bậc 2 (10 nút) • Khối 6 mặt Tuyến tính (6 nút) Bậc 2 (20 nút) • Khối 5 mặt Tuyến tính (6 nút) Bậc 2 (15 nút) Tránh sử dụng phần tử khối tứ diện tuyến tính (4 nút) trong những phân tích ứng suất 3-D. Tuy nhiên có thể sử dụng nó trong phân tích biến dạng hoặc là dao động.Học thuyết đàn hồi Ta sẽ đưa ra những phương trình mô tả ứng suất, quan hệ ứng suất – biến dạng, biến dạng – chuyển vị với những phần tử và mô hình phần tử 3D.
• Ứng suất 22 Hoặc (1.