Chương 1 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Số phức Định nghĩa số phức • Số phức z là biểu thức có dạng z = a + ib, trong đó a, b ∈ R; a được gọi là phần thực; b được gọi là phần ảo của số phức z ; i2 = −1, i được gọi là đơn vị ảo. • Tập hợp các số phức được ký hiệu là C. Biểu diễn z = a + ib còn được gọi là dạng đại số của số phức. • Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau.
( a1 = a2 a1 + ib1 = a2 + ib2 ⇔ b1 = b2 • Mỗi số thực được xem là một số phức với phần ảo bằng 0. Biểu diễn hình học của số phức Người ta dùng mặt phẳng tọa độ để minh họa cho tập hợp các số phức C. Mỗi số phức z = a + ib được biểu diễn bởi một điểm M (a, b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Khi đó, −−→ • Độ dài vector OM được gọi là mô-đun của số phức z.
−−→ −→ • Góc lượng giác ϕ = (OM , Ox) được gọi là argument của số phức z. Như vậy, số phức z = a + ib có thể được viết dưới dạng lượng giác là z = r(cos ϕ + i sin ϕ), trong đó: 5 √ • r= a2 + b2 là mô-đun của số phức z , kí hiệu là |z| = r. a • ϕ được gọi là argument của số phức z với tan ϕ = .1: Minh họa hình học của số phức. Nguồn: Tác giả Chú ý : Khi z = 0 thì mô-đun |z| = r = 0 và argument là không xác định.
Phép toán trên tập số phức Xét z1 , z2 ∈ C. Giả sử z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 , với ai , bi ∈ R (i = 1, 2).z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 ) z1 (a1 a2 + b1 b2 ) + i(a2 b1 − a1 b2 ) • = , (z2 6= 0) z2 a22 + b22 Ở dạng lượng giác, giả sử z1 = r1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ), z2 6= 0, ta có: • z1 z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] z1 r1 • = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] z2 r2 Như vậy: • |z1 z2 | = |z1 ||z2 | • Arg(z1 z2 ) = Arg(z1 ) + Arg(z2 ) 6 Công thức Euler Định lý 1. Với mọi số thực x, ta có công thức Euler: eix = cos x + i sin x Hệ quả 1. Với mọi số thực x, ta có: eix + e−ix eix − e−ix cos x = ; sin x = 2 2i 1.2 Chuỗi thời gian dừng Các khái niệm, các định lý được trình bày ở mục này có thể được tìm thấy trong các tài liệu Hamilton (2020); Neusser (2016); Nguyễn Quang Dong (2012); Wooldridge (2010).
Chúng tôi không trình bày chi tiết phần chứng minh cho các định lý. Một dãy các biến ngẫu nhiên được gán chỉ số theo thời gian được gọi là một quá trình ngẫu nhiên hay quá trình chuỗi thời gian, ký hiệu {Xt } với t ∈ T. Dữ liệu chuỗi thời gian là dữ liệu cụ thể được thu thập từ một quá trình ngẫu nhiên. Tập hợp T là tập có thứ tự, chứa các chỉ số xác định thời gian.
Trong nghiên cứu quá trình chuỗi thời gian (từ đây gọi tắt là chuỗi thời gian), thường gặp hai trường hợp như sau: • Chuỗi thời gian liên tục: T = R hoặc T = [0, +∞]. • Chuỗi thời gian rời rạc: T = Z hoặc T = N. Vì dữ liệu được thu thập dựa vào kết quả thực tế đã xảy ra nên trong nghiên cứu thực nghiệm chuỗi thời gian ta chỉ có duy nhất một bộ dữ liệu. Tuy vậy, ta không biết chính xác các giá trị tương lai của chuỗi dữ liệu.
Bên cạnh đó, nếu một điều kiện nào đó trong quá khứ thay đổi, ta có thể nhận được một bộ dữ liệu khác với dữ liệu thực tế hiện có. Vì thế, giả định rằng dữ liệu chuỗi thời gian là một kết quả cụ thể từ một quá trình ngẫu nhiên là hợp lý. Khi đó, tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của quá trình ngẫu nhiên được xem là tổng thể và bộ dữ liệu chuỗi thời gian đã được thu thập là một mẫu cụ thể. Một cách đơn giản, có thể cho rằng dữ liệu chuỗi thời gian là chuỗi các quan sát được thu thập trên cùng một đối tượng tại các thời điểm cách đều 7 nhau.
Khoảng cách giữa các quan sát được gọi là tần suất xuất hiện. Trong nghiên cứu các chuỗi thời gian kinh tế vĩ mô, chuỗi thời gian là chuỗi rời rạc với tần suất năm, quý, tháng, tuần,. Ví dụ, chuỗi chỉ số giá chứng khoán VN-Index được ghi nhận vào cuối mỗi tuần là chuỗi thời gian tần suất tuần; chuỗi giá trị GDP hằng năm của Việt Nam là chuỗi thời gian tần suất năm. Trong khuôn khổ đề tài, chúng tôi xét chuỗi thời gian kinh tế vĩ mô là chuỗi thời gian rời rạc với T = Z.
Cho {Xt } là một chuỗi thời gian có phương sai VXt < +∞ với mọi t ∈ Z. Khi đó, hàm tự hiệp phương sai của {Xt }, kí hiệu là γX (t, s) được xác định như sau: γX (t, s) = Cov(Xt , Xs ) = E [(Xt − EXt )(Xs − EXs )] Định nghĩa 1. Chuỗi thời gian {Xt } được gọi là dừng hiệp phương sai nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) EXt không đổi với mọi t ∈ Z. ii) VXt < +∞ với mọi t ∈ Z.
iii) Cov(Xt , Xs ) = Cov(Xt+h , Xs+h ) với mọi t, s, h ∈ Z. Trong khuôn khổ báo cáo, chuỗi thời gian dừng hiệp phương sai được gọi vắn tắt là chuỗi thời gian dừng.2: Đồ thị chuỗi thời gian dừng Nguồn: Tác giả 8 Từ điều kiện iii) suy ra chuỗi thời gian dừng có phương sai không đổi tại mọi thời điểm t vì khi t = s và h tùy ý thì VXt = Cov(Xt , Xt ) = Cov(Xt+h , Xt+h ) = VXt+h , ∀t, h. Bên cạnh đó, nếu h = −s thì Cov(Xt , Xs ) = Cov(Xt−s , X0 ). Viết dưới dạng hàm tự hiệp phương sai thì γX (t, s) = γX (t − s, 0).
Như vậy, khi {Xt } là chuỗi dừng thì hàm tự hiệp phương sai γX (t, s) không phụ thuộc vào hai biến số t, s mà chỉ phụ thuộc vào khoảng cách thời gian giữa t và s (nói cách khác, phụ thuộc vào t − s). Vì thế, đối với chuỗi thời gian dừng, hàm tự hiệp phương sai là hàm một biến, ký hiệu γ(h) = Cov(Xh , X0 ), h ∈ Z. Khi muốn chỉ rõ hàm tự hiệp phương sai của chuỗi thời gian {Xt }, ta sử dụng ký hiệu γX (h). Ví dụ đơn giản nhất về chuỗi thời gian dừng là Nhiễu trắng (White noise).
Một chuỗi thời gian {Zt } được gọi là nhiễu trắng, kí hiệu Zt W N (0, σ 2 ) nếu: • EZt = 0, ∀t. Mỗi chuỗi thời gian dừng {Xt } có kỳ vọng bằng 0, phương sai hữu hạn được biểu diễn như sau: +∞ X Xt = ψj Zt−j + Vt j=0 Trong đó, • Vt là thành phần tất định thuần túy (nghĩa là có thể được dự báo chính xác bởi vô hạn các quan sát trong quá khứ). Như vậy, định lý Wold đã mô tả cấu trúc một chuỗi thời gian dừng có phương sai hữu hạn trên miền thời gian t. Cấu trúc này bao gồm hai thành phần không tương quan nhau: thành phần tất định và thành phần ngẫu nhiên.
9 Thành phần tất định có thể là hàm số theo biến số thời gian hoặc là một chuỗi điều hòa. Thành phần ngẫu nhiên là trung bình trượt vô hạn của các nhiễu trắng.3 Chuỗi thời gian dừng trên miền tần số Ở phần này, chúng ta sẽ mô tả cấu trúc chuỗi dừng trên miền tần số. Một khái niệm cần thiết cho phần này là khái niệm quá trình điều hòa (harmonic process). Một quá trình điều hòa đơn giản là quá trình có dạng: Xt = A cos(λt) + B sin(λt), t ∈ (0, π).
trong đó A, B là các biến ngẫu nhiên không tương quan, trung bình bằng 0 và phương sai hữu hạn; λ được gọi là tần số dao động của {Xt }. Một quá trình điều hòa là tổng hữu hạn của các quá trình điều hòa đơn giản. < λM < π j=1 với Aj , Bi là các biến ngẫu nhiên không tương quan nhau, EAj = EBi = 0 và VAj = VBj = σj2 với i, j ∈ {1,. Quá trình điều hòa {Yt } là quá trình dừng.
Thật vậy, với mọi t ta có: M P • EYt = [(EAj ) cos(λj t) + (EBj ) sin(λj t)] = 0 j=1 M (EA2j ) cos2 (λj t) + (EBj2 ) sin2 (λj t) + E(Aj Bj ) sin(2λj t) • VYt = EYt2 = P j=1 M M σj2 cos2 (λj t) + σj2 sin2 (λj t) = σj2 P P = j=1 j=1 " ! !# M P M P • γY (h) = Cov(Yh , Y0 ) = E(Yh Y0 ) = E Aj cos(λj h) + Bj sin(λj h) Aj j=1 j=1 M σj2 cos(λj h) P = j=1 Như vậy, mỗi quá trình điều hòa gồm M thành phần là các quá trình điều hòa đơn giản: Xj = Aj cos(λj t) + Bj sin(λj t), (j = 1,. Các thành phần Xj 10 không tương quan nhau. Phương sai của mỗi thành phần là VXj = σj2 và đều M σj2. P đóng góp vào phương sai của quá trình điều hòa {Yt }: VYt = j=1 Xét quá trình điều hòa đơn giản Xt = A cos(λt) + B sin(λt), λ ∈ (0, π).
Khi đó, trên miền thời gian, {Xt } thỏa mãn: Xt = (2 cos λ)Xt−1 − Xt−2 với mọi t. Nghĩa là, Xt hoàn toàn được dự báo chính xác từ hai quan sát liên tiếp trong quá khứ. Như vậy, dễ dàng suy ra quá trình điều hòa là một quá trình tất định thuần túy. Cho {Xt } là chuỗi thời gian dừng có trung bình bằng 0 và +∞ P γX (h) là hàm tự hiệp phương sai: γX (h) = Cov(Xh , X0 ) thỏa γX (h) < +∞.
h=−∞ Khi đó, hàm số: +∞ 1 X f (λ) = γX (h)e−ihλ , λ ∈ R 2π h=−∞ được gọi là hàm mật độ phổ của chuỗi thời gian {Xt }.