Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ kỹ thuật chuyên ngành Cơ kỹ thuật (mã số 9520101) của tác giả Nguyễn Bá Duy, được bảo vệ tại Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh năm 2019 dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn Trung Kiên và TS. Võ Phương Thức, tập trung vào đề tài: "Phân tích ứng xử của dầm sandwich chức năng chịu tác dụng của tải trọng cơ thủy nhiệt" (Analysis of functionally graded sandwich beams under hygro – thermo – mechanical loads).

Trong kỹ thuật cơ khí, hàng không và xây dựng, vật liệu composite nhiều lớp (laminated composite) có nhược điểm lớn là sự gián đoạn cơ tính tại bề mặt liên kết giữa các lớp, dẫn đến tập trung ứng suất và hiện tượng tách lớp (delamination), đặc biệt dưới điều kiện nhiệt độ cao. Vật liệu chức năng (Functionally Graded Materials - FGM) với cơ tính biến đổi liên tục dọc theo phương xác định giúp loại bỏ hiệu ứng phân lớp này. Tuy nhiên, việc mô hình hóa chính xác ứng xử của dầm sandwich FGM khi đồng thời chịu tác động của tải trọng cơ học, gradient nhiệt độ và độ ẩm, cũng như ảnh hưởng của kích thước ở cấp độ micro và nano đặt ra các yêu cầu cấp thiết về mặt lý thuyết và phương pháp tính toán.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định cụ thể qua bốn nội dung chính:

  1. Phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tổng quát mới cho phân tích tĩnh, uốn dọc và dao động tự do của dầm FGM đẳng hướng và dầm sandwich FGM, khắc phục việc phải sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt.
  2. Xây dựng mô hình dầm FGM kích thước nhỏ (micro và nano) chịu tác động nhiệt độ với các điều kiện biên khác nhau dựa trên lý thuyết đàn hồi phi cục bộ và lý thuyết ứng suất cặp cải tiến.
  3. Đề xuất hàm dạng lai (hybrid shape function) mới cho phương pháp Ritz nhằm phân tích ứng xử tĩnh, uốn dọc và dao động của dầm FGM chịu tải trọng cơ - thủy - nhiệt tương ứng với nhiều điều kiện biên khác nhau.
  4. Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn phân tích ứng xử uốn dọc và dao động của dầm FGM với các điều kiện biên tùy ý dựa trên lý thuyết biến dạng cắt làm mịn.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng: Dầm FGM một lớp (Type A), dầm sandwich FGM có lớp mặt FGM và lõi đồng chất (Type B), dầm sandwich FGM có lớp mặt đồng chất và lõi FGM (Type C), và dầm FGM biến thiên hai chiều (Type D). Vật liệu cấu thành khảo sát là gốm và kim loại (Al/Al2O3, Si3N4/SUS304).
  • Phạm vi không gian và thời gian: Mô hình hóa một chiều và hai chiều cho dầm có tỷ số chiều dài trên chiều dày ($L/h$) từ dầm dày ($L/h = 5$) đến dầm mỏng ($L/h = 20, 100$); phân tích trạng thái tĩnh, dao động tự do tuyến tính và mất ổn định tĩnh trong điều kiện môi trường dừng hoặc nhiệt biến thiên theo thời gian.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án thực hiện điểm luận có hệ thống các hướng nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến dầm FGM và kết cấu chịu tải nhiệt ẩm:

Về lý thuyết dầm:

  • Lý thuyết dầm cổ điển (Euler–Bernoulli / CBT): Bỏ qua biến dạng trượt ngang và biến dạng pháp ngang, chỉ thích hợp cho dầm mỏng.
  • Lý thuyết dầm biến dạng trượt bậc nhất (Timoshenko / FSDT / FSBT): Kể đến biến dạng trượt ngang phân bố đều qua chiều dày, đòi hỏi hệ số hiệu chỉnh trượt ($5/6$).
  • Các lý thuyết dầm biến dạng trượt bậc cao (HSDT / HSBT): Khắc phục sự phụ thuộc vào hệ số hiệu chỉnh cắt bằng các hàm trượt phi tuyến:
    • Hàm đa thức: Reddy (1984), Murthy (1981), Levinson (1981) với $f(z) = z(1 - 4z^2/(3h^2))$; Kaczkowski (1968), Reissner (1975), Panc (1975) với $f(z) = \frac{5}{4}z - \frac{5z^3}{3h^2}$; Ambartsumian (1958) với $f(z) = z - h^2 z/8 + z^3/6$.
    • Hàm lượng giác và hàm ngược: Touratier (1991), Levy (1972), Stein (1986) với hàm sin; Nguyen et al. (2013, 2015) với hàm $\cot^{-1}$ và hàm $\tan^{-1}$.
    • Hàm số mũ: Karama et al. (2003) với $f(z) = z e^{-2(z/h)^2}$.
  • Lý thuyết dầm giả không gian ba chiều (Quasi-3D): Xem xét cả biến dạng pháp ngang ($\varepsilon_z \neq 0$), như nghiên cứu của Fazzolari (2014) dựa trên khai triển chuỗi lũy thừa.

Về hiệu ứng kích thước nhỏ (micro và nano):

  • Eringen (1972, 1983): Đề xuất lý thuyết đàn hồi phi cục bộ (nonlocal elasticity theory) đưa vào tham số quy mô chiều dài $\mu = (e_0 a)^2$ để mô tả tương tác giữa các nguyên tử ở cấp độ nano. Peddieson et al. (2003) lần đầu áp dụng lý thuyết này vào cơ học nano cho dầm.
  • Yang et al. (2002): Phát triển lý thuyết ứng suất cặp cải tiến (Modified Couple Stress Theory - MCST) từ lý thuyết ứng suất cặp cổ điển của Mindlin, Toupin, Koiter, chỉ cần duy nhất một tham số độ dài vật liệu $l$ (Material Length Scale Parameter - MLSP) và ten-sơ độ cong đối xứng.

Về phương pháp phân tích và tính toán:

  • Phương pháp giải tích trực tiếp: Nghiên cứu của Navier áp dụng cho dầm liên kết tựa đơn giản (Simply Supported - S-S).
  • Phương pháp Ritz: Các công trình của Simsek (2009, 2010), Pradhan và Chakraverty (2013), Chen et al. (2015, 2016), Zhang (2013, 2014), Wattanasakulpong et al. (2013), Ghiasian et al. (2014).
  • Phương pháp vi phân vuông phân (DQM): Bellman và Casti (1971), Jang et al. (1989), Pradhan và Murmu (2009).
  • Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM): Nghiên cứu của các nhóm nghiên cứu tại Việt Nam gồm nhóm của PGS.TS. Nguyễn Thời Trung (Đại học Văn Lang / TDTU), nhóm của GS.TS. Nguyễn Hoài Sơn, TS. Nguyễn Trung Kiên (GACES - HCMUTE), nghiên cứu của nhóm HUTECH và Đại học Bách khoa TP.HCM.

Khoảng trống nghiên cứu được luận án xác định:

  1. Thiếu một mô hình biến dạng trượt bậc cao tổng quát có khả năng bao hàm nhiều dạng hàm trượt khác nhau và một hàm trượt mới có tham số điều chỉnh độ chính xác nghiệm cho dầm sandwich FGM.
  2. Việc kết hợp lý thuyết giả 3D với mô hình biến dạng trượt rút gọn ít ẩn số để xét biến dạng pháp ngang $\varepsilon_{zz}$ cho dầm FGM chịu tải trọng cơ - nhiệt còn hạn chế.
  3. Các hàm xấp xỉ trong phương pháp Ritz truyền thống thường gặp khó khăn về tính hội tụ hoặc khó thỏa mãn đầy đủ các điều kiện biên phức tạp (như C-C, C-F, C-S, C-H) khi giải bài toán dầm FGM chịu trường nhiệt - ẩm phi tuyến.
  4. Nghiên cứu ảnh hưởng đồng thời của tham số kích thước quy mô nano/micro và điều kiện môi trường nhiệt độ lên dầm FGM với các điều kiện biên khác nhau chưa được khảo sát đầy đủ.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án thiết lập nền tảng tính toán dựa trên cơ học vật rắn biến dạng, lý thuyết đàn hồi hai chiều và nguyên lý biến phân năng lượng.

1. Mô hình vật liệu và quy luật đồng hóa

Tính chất hiệu dụng $P(z)$ của vật liệu FGM được xác định qua hàm phần trăm thể tích $V(z)$ theo quy tắc hỗn hợp: $$P(z) = (P_c - P_m)V(z) + P_m$$ Trong đó $P_c, P_m$ là các đặc trưng cơ - lý - nhiệt của pha gốm (ceramic) và kim loại (metal): môđun đàn hồi Young ($E$), hệ số Poisson ($\nu$), khối lượng riêng ($\rho$), hệ số giãn nở nhiệt ($\alpha$), hệ số giãn nở ẩm ($\beta$), hệ số dẫn nhiệt ($k$).

Các dạng quy luật phân bố:

  • Hàm lũy thừa (Power-law):
    • Dầm FGM một lớp (Type A): $V(z) = \left(\frac{2z + h}{2h}\right)^p$ với $z \in [-h/2, h/2]$, $p$ là chỉ số lũy thừa ($p \ge 0$).
    • Dầm sandwich FGM (Type B - lõi đồng chất, hai lớp mặt FGM): Thể tích phân bố theo ba miền qua các tọa độ mặt phân giới $h_0, h_1, h_2, h_3$.
  • Hàm số mũ (Exponential-law): $P(z) = A e^{B(z + h/2)}$ với $A = P_m$, $B = \frac{1}{h}\ln\left(\frac{P_c}{P_m}\right)$. Đối với FGM hai hướng: $P(x,z) = P_m \exp\left[p_x\left(\frac{x}{L} + \frac{1}{2}\right) + p_z\left(\frac{z}{h} + \frac{1}{2}\right)\right]$.
  • Hàm Sigmoid (Sigmoid-law): Dùng hai hàm lũy thừa ghép nối nhằm giảm sự biến thiên đột ngột của cơ tính tại vùng biên.
  • Tính phụ thuộc nhiệt độ của vật liệu (Temperature-dependent - TD): Các thông số $P(T) = P_0 (P_{-1}T^{-1} + 1 + P_1 T + P_2 T^2 + P_3 T^3)$ được so sánh với giả thiết không phụ thuộc nhiệt độ (Temperature-independent - TID).

2. Phân bố nhiệt độ và độ ẩm

Ba quy luật phân bố nhiệt và ẩm qua chiều dày $z$ được mô hình hóa:

  • Tăng đều (Uniform rise - UTR / UMR): $T(z) = T_0 + \Delta T$; $C(z) = C_0 + \Delta C$.
  • Tăng tuyến tính (Linear rise - LTR / LMR): $$T(z) = T_b + (T_t - T_b)\left(\frac{2z + h}{2h}\right), \quad C(z) = C_b + (C_t - C_b)\left(\frac{2z + h}{2h}\right)$$
  • Tăng phi tuyến (Nonlinear rise - NLTR / NLMR):
    • Dạng hình sin: $$T(z) = T_b + (T_t - T_b)\left[1 - \cos\left(\frac{\pi(2z+h)}{4h}\right)\right]$$
    • Dạng truyền nhiệt Fourier một chiều dừng: $$T(z) = T_b + (T_t - T_b)\frac{\int_{-h/2}^z \frac{1}{k(z)}dz}{\int_{-h/2}^{h/2} \frac{1}{k(z)}dz}$$

3. Động học chuyển vị và lý thuyết dầm

Luận án xây dựng và sử dụng các trường chuyển vị:

  • Lý thuyết dầm biến dạng cắt bậc cao (HSBT): $$u(x,z,t) = u_0(x,t) - z \frac{\partial w_0}{\partial x} + f(z)\theta(x,t), \quad w(x,z,t) = w_0(x,t)$$ Hàm trượt mới dạng hypebol ngược được tác giả đề xuất: $$f(z) = \sinh^{-1}\left(\frac{rz}{h}\right) - \frac{8rz^3}{3h^3\sqrt{r^2 + 4}}$$ Đạo hàm tương ứng: $$g(z) = f'(z) = \frac{r}{\sqrt{r^2 z^2 + h^2}} - \frac{8rz^2}{h^3\sqrt{r^2 + 4}}$$ với $r$ là tham số hiệu chỉnh ($r \neq 0$).
  • Lý thuyết Quasi-3D ba biến số: $$u(x,z,t) = u_0(x,t) - z \frac{\partial w_0}{\partial x} + f(z)\theta(x,t), \quad w(x,z,t) = w_0(x,t) + g(z)w_z(x,t)$$ cho phép xác định đồng thời biến dạng trượt ngang $\gamma_{xz}$ và biến dạng pháp ngang $\varepsilon_{zz}$.

4. Lý thuyết hiệu ứng kích thước nhỏ

  • Lý thuyết phi cục bộ Eringen cho dầm nano: $$\sigma_{xx} - \mu \frac{\partial^2 \sigma_{xx}}{\partial x^2} = E(z)\varepsilon_{xx}, \quad \tau_{xz} - \mu \frac{\partial^2 \tau_{xz}}{\partial x^2} = G(z)\gamma_{xz}$$ với $\mu = (e_0 a)^2$ là tham số phi cục bộ.
  • Lý thuyết ứng suất cặp cải tiến (MCST) cho dầm micro: Mật độ năng lượng biến dạng chứa thêm phần đóng góp của ten-sơ ứng suất cặp lệch đối xứng $m_{ij}$ và ten-sơ độ cong đối xứng $\chi_{ij}$: $$U = \frac{1}{2}\int_V (\sigma_{ij}\varepsilon_{ij} + m_{ij}\chi_{ij}) dV$$ trong đó $\chi_{xy} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial \theta_y}{\partial x}\right)$, $\chi_{zy} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial \theta_y}{\partial z}\right)$, với $\theta_y = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}\right)$, phụ thuộc vào tham số quy mô độ dài vật liệu $l$.

5. Phương pháp tính toán thực tế

  • Phương pháp bán giải tích Ritz: Chuyển vị được khai triển qua chuỗi hàm dạng: $$u_0(x,t) = \sum_{j=1}^N \phi_j(x) U_j e^{i\omega t}, \quad w_0(x,t) = \sum_{j=1}^N \psi_j(x) W_j e^{i\omega t}, \quad \theta(x,t) = \sum_{j=1}^N \varphi_j(x) \Theta_j e^{i\omega t}$$ Luận án phát triển họ hàm dạng lai mới (hybrid shape functions) kết hợp giữa hàm đa thức và hàm lượng giác để thỏa mãn chặt chẽ các điều kiện biên động học: S-S (Tựa đơn), C-C (Ngàm hai đầu), C-F (Ngàm - Tự do), C-S (Ngàm - Tựa), C-H (Ngàm - Khớp), H-H (Khớp hai đầu).
  • Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM): Thiết lập phần tử dầm 2 nút, mỗi nút có các bậc tự do chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang, góc xoay và biến dạng cắt bậc cao; áp dụng nguyên lý Hamilton để lập hệ phương trình ma trận đặc trưng dao động và mất ổn định. Thuật toán được lập trình trên phần mềm MATLAB.
Hạng mục phương pháp Nội dung kỹ thuật cụ thể
Mô hình dầm HSBT mới (hàm $\sinh^{-1}$), Quasi-3D ba biến số, Timoshenko, Euler–Bernoulli
Quy luật vật liệu Power-law ($p$), Exponential-law ($p_x, p_z$), Sigmoid-law
Phân bố nhiệt - ẩm UTR/UMR, LTR/LMR, NLTR/NLMR (hàm sin và truyền nhiệt Fourier)
Hiệu ứng kích thước Eringen nonlocal parameter ($\mu = (e_0 a)^2$), MCST parameter ($l$)
Công cụ giải tích số Phương pháp Ritz với hàm dạng lai; Phần tử hữu hạn 2 nút (MATLAB)
Điều kiện biên (BCs) S-S, C-C, C-F, C-S, C-H, H-H

Nội dung chính theo từng chương

Chapter 1: General Introduction

Chương này giới thiệu bối cảnh nghiên cứu, tính ưu việt của vật liệu composite và vật liệu chức năng FGM trong kết cấu kỹ thuật chịu nhiệt độ cao. Tác giả tổng quan các lý thuyết dầm từ cổ điển đến biến dạng cắt bậc cao, các cách tiếp cận tính toán số và giải tích, đồng thời trình bày mục tiêu, tính mới, phạm vi nghiên cứu và danh mục các công trình đã công bố của tác giả.

Chapter 2: Literature review on behaviors of functionally graded beams in hygro-thermo-mechanical environments

Chương 2 trình bày chi tiết về cấu trúc vi mô và các phương pháp đồng hóa cơ tính hiệu dụng của dầm FGM (quy tắc hỗn hợp hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm sigmoid). Tác giả tổng kết các dạng tải trọng nhiệt - ẩm (tăng đều, tăng tuyến tính, tăng phi tuyến theo luật sin và Fourier); hệ thống hóa động học các lý thuyết dầm CBT, FSDT, HSDTs, Quasi-3D; khảo sát các hàm trượt hiện có; phân tích cơ sở lý thuyết đàn hồi phi cục bộ Eringen và lý thuyết ứng suất cặp cải tiến MCST; điểm lại các phương pháp giải số như Navier, DQM, Ritz và FEM.

Chapter 3: Novel higher-order shear deformation theories for analysis of isotropic and functionally graded sandwich beams

Chương 3 đề xuất lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tổng quát mới và hàm trượt hypebol ngược $f(z) = \sinh^{-1}(rz/h) - \frac{8rz^3}{3h^3\sqrt{r^2+4}}$. Tác giả phát triển mô hình dầm Quasi-3D ba biến số mới xét đến biến dạng pháp ngang $\varepsilon_{zz}$. Áp dụng phương pháp Ritz, chương này giải quyết ba bài toán kiểm chứng lớn:

  1. Dao động và uốn dọc dầm FGM một lớp (Type A, liên kết S-S) bằng các mô hình RHSBT1, HSBT2 và Quasi-3D.
  2. Uốn tĩnh, uốn dọc và dao động dầm sandwich FGM lõi cứng đồng chất và lõi mềm đồng chất (Type B, Al/Al2O3, liên kết S-S), đưa ra bảng số liệu chi tiết về độ võng không thứ nguyên $\bar{w}$, ứng suất dọc trục $\bar{\sigma}{xx}$, ứng suất trượt ngang $\bar{\sigma}{xz}$, tải trọng uốn dọc tới hạn $\bar{N}_{cr}$ và tần số dao động riêng cơ bản $\bar{\omega}$.
  3. Ứng xử uốn dọc và dao động của dầm sandwich FGM có lớp mặt đồng chất và lõi FGM (Type C) dưới các điều kiện biên S-S, C-C, C-S, C-F.
Cấu hình dầm Type B ($L/h=5, p=1$) $\bar{w}$ (Độ võng) $\bar{\sigma}_{xx}$ (Ứng suất pháp) $\bar{N}_{cr}$ (Tải uốn dọc tới hạn) $\bar{\omega}$ (Tần số cơ bản)
Lõi cứng (Hardcore 1-1-1) Giá trị hội tụ Thỏa điều kiện biên mặt Tăng theo tỷ lệ lõi gốm Cao hơn dầm lõi mềm
Lõi mềm (Softcore 1-2-1) Lớn hơn lõi cứng Phân bố phi tuyến liên tục Nhỏ hơn lõi cứng Nhỏ hơn dầm lõi cứng

Chapter 4: Hygro-thermo-mechanical effects on the static, buckling and vibration behaviors of FG beams

Chương 4 khảo sát tác động đồng thời của nhiệt độ và độ ẩm lên ứng xử của dầm FGM (vật liệu Si3N4/SUS304). Tác giả thiết lập hệ hàm dạng lai mới cho phương pháp Ritz để giải quyết các điều kiện biên khác nhau. Nội dung phân tích tập trung vào:

  • Thử nghiệm độ hội tụ của số số hạng chuỗi Ritz ($N$) cho tần số dao động không thứ nguyên dưới phân bố nhiệt phi tuyến Fourier (Type A, $p=1, L/h=20, \Delta T=20, \Delta C=0$).
  • Nhiệt độ tới hạn chuẩn hóa $\bar{T}{cr}$ và độ tăng nhiệt tới hạn $\Delta T{cr}$ của dầm FGM chịu phân bố nhiệt đều (UTR), phân bố tuyến tính (LTR) và phân bố phi tuyến Fourier (NLTR).
  • Tần số dao động tự do $\bar{\omega}$ khi chịu tác động đồng thời của độ ẩm ($\Delta C$) và nhiệt độ ($\Delta T$) tuyến tính và dạng sin.
  • Kết quả cho thấy khi nhiệt độ và độ ẩm tăng, độ cứng tổng thể của dầm suy giảm, dẫn đến tần số dao động tự do giảm dần về 0 khi nhiệt độ tiến tới điểm uốn dọc nhiệt tới hạn.

Chapter 5: Size dependent effects on the thermal buckling and vibration behavior of FG beams in thermal environments

Chương 5 phân tích ảnh hưởng của tham số kích thước quy mô nhỏ lên ứng xử dầm FGM trong môi trường nhiệt:

  • Bài toán 1: Dao động tự do của dầm nano FGM (Type A) dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSBT) kết hợp lý thuyết phi cục bộ Eringen cho các điều kiện biên S-S, C-C, C-F. Tác giả khảo sát ảnh hưởng của tham số phi cục bộ $\mu$ (từ 0 đến $4\text{ nm}^2$), tỷ số độ mảnh $L/h$, và quy luật phân bố $p$ lên tần số dao động riêng. Tham số $\mu$ tăng làm giảm độ cứng của dầm nano, dẫn đến tần số dao động tự do giảm (hiệu ứng làm mềm độ cứng - stiffness softening effect).
  • Bài toán 2: Dao động tự do và uốn dọc nhiệt của dầm micro FGM (Si3N4/SUS304) dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSBT1) và lý thuyết ứng suất cặp cải tiến (MCST) với các điều kiện biên S-S, C-C, C-F, C-H. Tác giả đánh giá ảnh hưởng của tham số tỷ lệ độ dài vật liệu $l/h$ (MLSP) dưới phân bố nhiệt LTR và NLTR. Khác với mô hình phi cục bộ, sự xuất hiện của $l$ làm tăng độ cứng dầm micro, làm tăng tần số dao động tự do và tăng nhiệt độ uốn dọc tới hạn.

Chapter 6: A finite element model for analysis of FG beams

Chương 6 xây dựng phần tử dầm hai nút dựa trên lý thuyết biến dạng cắt làm mịn. Tác giả thiết lập phương trình chuyển động tổng quát thông qua nguyên lý Hamilton, rời rạc hóa kết cấu thành các phần tử hữu hạn có ma trận độ cứng đàn hồi, ma trận khối lượng và ma trận độ cứng hình học do ứng suất nhiệt ban đầu. Các ví dụ kiểm chứng độ hội tụ và so sánh kết quả tải trọng uốn dọc tới hạn $\bar{N}_{cr}$ và tần số tự nhiên $\bar{\omega}$ của dầm FGM (Type A, $p=1, L/h=5, 10, 20$) với các điều kiện biên khác nhau (S-S, C-C, C-S, C-F) cho thấy mô hình phần tử hữu hạn đạt độ chính xác cao và triệt tiêu được hiện tượng khóa cắt (shear locking).

Chapter 7: Conclusions and Recommendations

Chương cuối tóm tắt các đóng góp chính của luận án về mặt lý thuyết, phương pháp số và các phát hiện cơ học; đồng thời nêu các kiến nghị phát triển nghiên cứu tiếp theo.

Kết quả và những đóng góp mới

1. Đóng góp về mặt lý luận và mô hình học thuật

  • Xây dựng thành công dạng hàm biến dạng cắt bậc cao mới dạng hypebol ngược: $$f(z) = \sinh^{-1}\left(\frac{rz}{h}\right) - \frac{8rz^3}{3h^3\sqrt{r^2+4}}$$ Hàm trượt này thỏa mãn triệt để điều kiện biên không có ứng suất trượt ngang tại hai bề mặt trên và dưới của dầm ($z = \pm h/2$), không cần dùng hệ số hiệu chỉnh cắt, đồng thời chứa tham số $r$ cho phép hiệu chỉnh độ chính xác của trường chuyển vị và ứng suất.
  • Đề xuất mô hình dầm giả 3D (Quasi-3D) ba biến số mới, rút giảm số lượng ẩn số trường so với các mô hình 3D tổng quát nhưng vẫn xét được đầy đủ biến dạng pháp ngang $\varepsilon_{zz}$ và tác động Poisson ba chiều.
  • Xây dựng hệ hàm dạng lai (hybrid shape functions) mới áp dụng cho phương pháp Ritz, mở rộng khả năng phân tích bán giải tích chính xác cao cho dầm FGM chịu tải cơ - thủy - nhiệt với đầy đủ các dạng liên kết biên (S-S, C-C, C-F, C-S, C-H, H-H).
  • Tích hợp thành công hiệu ứng kích thước quy mô nhỏ vào dầm FGM nhiều pha: thiết lập hệ phương trình chuyển động cho dầm nano FGM theo lý thuyết Eringen và dầm micro FGM theo lý thuyết MCST trong môi trường nhiệt độ biến thiên phi tuyến.

2. Đóng góp về mặt thực tiễn và tính toán kỹ thuật

  • Thiết lập mô hình và thuật toán phần tử hữu hạn dầm 2 nút dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao làm mịn, cung cấp công cụ tính toán số tin cậy cho bài toán phân tích ổn định nhiệt và dao động dầm FGM.
  • Cung cấp tập dữ liệu chuẩn (benchmark data) chi tiết thông qua các bảng số liệu về chuyển vị ngang, phân bố ứng suất pháp, ứng suất tiếp, tải trọng uốn dọc tới hạn và tần số dao động riêng cho dầm FGM một lớp và dầm sandwich FGM (lõi cứng, lõi mềm) chịu các trường nhiệt - ẩm UTR, LTR, NLTR.

3. Kiến nghị và giải pháp đề xuất từ kết quả nghiên cứu

  • Khi tính toán kết cấu dầm FGM làm việc trong môi trường biến thiên nhiệt độ lớn, bắt buộc phải xét đến tính phụ thuộc nhiệt độ của vật liệu (TD) và gradient nhiệt độ phi tuyến dạng Fourier, do giả thiết vật liệu không phụ thuộc nhiệt độ (TID) và phân bố tuyến tính có xu hướng đánh giá cao độ cứng của kết cấu, dẫn đến sai số mất an toàn.
  • Đối với dầm sandwich FGM, việc bố trí lớp lõi cứng hay lõi mềm và tỷ lệ bề dày các lớp cần được lựa chọn dựa trên bài toán tối ưu cụ thể giữa khả năng chịu uốn tĩnh và khả năng kháng uốn dọc nhiệt.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án:

  • Nghiên cứu tập trung vào mô hình biến dạng đàn hồi tuyến tính hai chiều của dầm phẳng, chưa xét đến biến dạng phi tuyến hình học lớn (von Kármán strain) hoặc ứng xử phá hủy, nứt giữa các pha hạt.
  • Các khảo sát môi trường dừng ở trạng thái nhiệt ẩm ổn định hoặc dao động tự do, chưa phân tích đáp ứng động lực học phi dừng chịu tải trọng va đập nhiệt - cơ tức thời.
  • Mô hình dầm micro và nano được xây dựng trên cơ sở lý thuyết giải tích và số, chưa có điều kiện thực hiện đo đạc thực nghiệm để hiệu chuẩn trực tiếp tham số chiều dài vật liệu $l$ và hệ số phi cục bộ $e_0 a$ cho từng loại vật liệu FGM cụ thể.

Hướng nghiên cứu phát triển tiếp theo:

  1. Mở rộng mô hình dầm và hàm trượt mới để phân tích phi tuyến hình học, mất ổn định động lực học và dao động phi tuyến của dầm sandwich FGM.
  2. Áp dụng mô hình tính toán cho kết cấu tấm và vỏ sandwich FGM chịu tải trọng cơ - nhiệt phức tạp.
  3. Nghiên cứu thực nghiệm xác định các hệ số chiều dài quy mô vật liệu cho vật liệu FGM chế tạo bằng công nghệ in 3D hoặc luyện kim bột.
  4. Tích hợp vật liệu áp điện hoặc vật liệu biến từ (magneto-electro-elastic) vào các lớp dầm sandwich FGM để nghiên cứu điều khiển dao động chủ động.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên sâu trong lĩnh vực Cơ học tính toán, Cơ học kết cấu và Khoa học vật liệu:

  • Đối với nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Cơ kỹ thuật, Kỹ thuật cơ khí, Kỹ thuật xây dựng: Luận án cung cấp quy trình bài bản từ biến phân năng lượng, thiết lập trường chuyển vị dầm bậc cao, phương pháp Ritz với hàm dạng lai đến kỹ thuật lập trình phần tử hữu hạn trên MATLAB.
  • Đối với giảng viên và nhà nghiên cứu: Các công thức giải tích giải trình chi tiết về lý thuyết Quasi-3D, lý thuyết Eringen và lý thuyết MCST là cơ sở tốt để phát triển tiếp các bài toán cho kết cấu tấm, vỏ FGM.
  • Đối với kỹ sư thiết kế kết cấu hàng không vũ trụ và năng lượng: Bảng dữ liệu số chuẩn về tải trọng mất ổn định nhiệt và tần số dao động giúp tra cứu, đánh giá nhanh độ bền và độ an toàn của các chi tiết dạng dầm/thanh composite chức năng làm việc trong môi trường gradient nhiệt độ và độ ẩm cao.

Câu hỏi thường gặp

1. Hàm trượt bậc cao do tác giả đề xuất có biểu thức toán học như thế nào và có ưu điểm gì so với các hàm trượt kinh điển?

Hàm trượt mới được đề xuất có dạng: $$f(z) = \sinh^{-1}\left(\frac{rz}{h}\right) - \frac{8rz^3}{3h^3\sqrt{r^2+4}}$$ Đạo hàm theo $z$ là: $$g(z) = \frac{r}{\sqrt{r^2 z^2 + h^2}} - \frac{8rz^2}{h^3\sqrt{r^2+4}}$$ Ưu điểm: Hàm này triệt tiêu hoàn toàn ứng suất trượt ngang tại hai bề mặt tự do $z = \pm h/2$ mà không cần hệ số hiệu chỉnh cắt; sự kết hợp giữa hàm ngược lượng giác hyperbolic và số hạng đa thức bậc ba cho phép nắm bắt sát sự phân bố trượt phi tuyến qua chiều dày, đồng thời chứa tham số $r$ để hiệu chỉnh linh hoạt độ chính xác nghiệm theo từng loại vật liệu.

2. Bốn cấu hình dầm FGM được phân loại trong luận án gồm những loại nào?

Luận án phân loại 4 cấu hình:

  • Type A: Dầm FGM một lớp có cơ tính biến thiên liên tục qua chiều dày từ mặt đáy lên mặt đỉnh.
  • Type B: Dầm sandwich FGM gồm hai lớp mặt là vật liệu FGM và lớp lõi ở giữa là vật liệu đồng chất (lõi cứng hoặc lõi mềm).
  • Type C: Dầm sandwich FGM gồm hai lớp mặt là vật liệu đồng chất và lớp lõi ở giữa là vật liệu FGM.
  • Type D: Dầm FGM biến thiên cơ tính hai chiều (Bi-directional FG beam) theo cả phương chiều dài $x$ và chiều dày $z$.

3. Sự khác nhau giữa các trường phân bố nhiệt độ UTR, LTR và NLTR ảnh hưởng như thế nào đến độ ổn định của dầm?

  • UTR (Nhiệt độ tăng đều): Toàn bộ dầm có cùng độ tăng nhiệt $\Delta T$, gây ra lực nén dọc trục phân bố đều lớn nhất, làm suy giảm tần số và gây uốn dọc nhiệt ở nhiệt độ tới hạn thấp nhất.
  • LTR (Nhiệt độ tăng tuyến tính): Nhiệt độ biến thiên tuyến tính từ mặt dưới $T_b$ lên mặt trên $T_t$.
  • NLTR (Nhiệt độ tăng phi tuyến): Xác định từ phương trình truyền nhiệt Fourier dừng 1D hoặc luật sin, phản ánh sự thay đổi hệ số dẫn nhiệt $k(z)$ theo tọa độ chiều dày. Sự phân bố nhiệt phi tuyến làm thay đổi vị trí đường trung hòa thực tế của dầm, dẫn đến độ cứng uốn và nhiệt độ uốn dọc tới hạn $\Delta T_{cr}$ khác biệt rõ rệt so với phân bố tuyến tính giả định.

4. Luận án mô hình hóa hiệu ứng kích thước nhỏ ở cấp độ micro và nano bằng những lý thuyết nào?

  • Cấp độ nano: Dùng lý thuyết đàn hồi phi cục bộ Eringen với tham số phi cục bộ $\mu = (e_0 a)^2$. Lý thuyết này thể hiện hiệu ứng làm mềm độ cứng (stiffness-softening effect), làm giảm tần số dao động riêng khi $\mu$ tăng.
  • Cấp độ micro: Dùng lý thuyết ứng suất cặp cải tiến (MCST) của Yang et al. với tham số chiều dài vật liệu $l$. Lý thuyết này thể hiện hiệu ứng làm tăng độ cứng (stiffness-hardening effect), làm tăng tần số dao động tự do và tăng tải trọng/nhiệt độ uốn dọc tới hạn khi tỷ số $l/h$ tăng.

5. Mô hình phần tử hữu hạn trong Chương 6 có đặc điểm gì nổi bật?

Phần tử hữu hạn được xây dựng là phần tử dầm 1D hai nút dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao làm mịn. Phương trình chủ đạo được thiết lập từ nguyên lý Hamilton, ma trận độ cứng phần tử tích hợp trực tiếp quy luật biến thiên liên tục của vật liệu FGM qua chiều dày, giúp mô hình triệt tiêu hiện tượng khóa cắt (shear locking) khi tỷ số độ mảnh $L/h$ tăng cao, đồng thời cho tốc độ hội tụ nhanh với số lượng phần tử chia nhỏ.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Nguyễn Bá Duy đã giải quyết có hệ thống bài toán phân tích ứng xử tĩnh, mất ổn định và dao động tự do của dầm composite phân tầng chức năng (FGM) và dầm sandwich FGM dưới tác động tổng hợp của trường cơ học, nhiệt độ và độ ẩm. Đề tài đóng góp vào chuyên ngành Cơ kỹ thuật các mô hình dầm mới bao gồm lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với hàm trượt dạng hypebol ngược, lý thuyết dầm giả 3D ba biến số, họ hàm dạng lai cho phương pháp Ritz và mô hình phần tử hữu hạn cải tiến. Các kết quả phân tích số làm sáng tỏ ảnh hưởng cốt lõi của quy luật phân bố thể tích, gradient nhiệt - ẩm phi tuyến và hiệu ứng quy mô kích thước nhỏ (micro/nano) lên trạng thái ứng suất, chuyển vị, nhiệt độ uốn dọc tới hạn và tần số dao động của kết cấu. Toàn bộ công trình cung cấp cơ sở lý thuyết chặt chẽ cùng hệ thống dữ liệu số kiểm chứng phục vụ nghiên cứu và tính toán thiết kế kết cấu FGM trong điều kiện môi trường khắc nghiệt.