Nghiên Cứu Viscosity Đối Với Bài Toán Điều Khiển Tối Ưu

• Người hướng dẫn: TS. Thiết
• Trường học: Trường Đại Học
• Chuyên ngành: Chuyên Ngành
• Đề tài: Nghiên Cứu Viscosity Trong Bài Toán Điều Khiển Tối Ưu
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Viscosity Trong Điều Khiển Tối Ưu

Bài toán điều khiển tối ưu là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng và kỹ thuật, tìm cách xác định chiến lược điều khiển tốt nhất để đạt được một mục tiêu cụ thể. Trong nhiều hệ thống thực tế, độ nhớt đóng vai trò quan trọng, ảnh hưởng đến động lực học và hiệu suất của hệ thống. Nghiên cứu về viscosity solutions cung cấp một khuôn khổ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán điều khiển tối ưu, đặc biệt là khi phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) không có nghiệm cổ điển. Các phương trình vi phân này mô tả sự tiến triển của hàm giá trị tối ưu, và độ nhớt giúp đảm bảo tính duy nhất và ổn định của nghiệm. Việc hiểu rõ ảnh hưởng của độ nhớt là rất quan trọng để thiết kế các bộ điều khiển hiệu quả và đáng tin cậy. Nghiên cứu này tập trung vào việc khám phá các khía cạnh lý thuyết và ứng dụng của viscosity trong bối cảnh bài toán điều khiển.

1.1. Giới Thiệu Về Bài Toán Điều Khiển Tối Ưu

Bài toán điều khiển tối ưu tìm cách tìm ra một hàm điều khiển (control function) để tối thiểu hóa một hàm mục tiêu (cost function) trong khi tuân thủ các ràng buộc về trạng thái của hệ thống. Hàm mục tiêu thường biểu diễn chi phí, thời gian hoặc năng lượng cần thiết để đạt được một trạng thái mong muốn. Các ràng buộc có thể bao gồm các phương trình vi phân mô tả động lực học của hệ thống, cũng như các giới hạn về trạng thái và điều khiển. Dynamic programming là một phương pháp quan trọng để giải quyết các bài toán điều khiển tối ưu, dẫn đến Bellman equation, một dạng của Hamilton-Jacobi equations.

1.2. Vai Trò Của Độ Nhớt Trong Hệ Động Lực

Độ nhớt là một thuộc tính vật lý mô tả khả năng chống lại sự biến dạng của một chất lỏng. Trong các hệ động lực, độ nhớt có thể ảnh hưởng đáng kể đến sự ổn định và hành vi của hệ thống. Ví dụ, trong các hệ thống cơ học, độ nhớt có thể gây ra sự tiêu hao năng lượng và làm chậm quá trình chuyển động. Trong các hệ thống tài chính, độ nhớt có thể biểu thị sự chậm trễ trong việc điều chỉnh giá cả và khối lượng giao dịch. Việc xem xét ảnh hưởng của độ nhớt là rất quan trọng để xây dựng các mô hình toán học chính xác và dự đoán hành vi của hệ thống.

II. Thách Thức Khi Giải Bài Toán Điều Khiển Có Độ Nhớt

Việc giải các bài toán điều khiển có độ nhớt thường gặp nhiều khó khăn. Một trong những thách thức lớn nhất là sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho các phương trình Hamilton-Jacobi. Khi độ nhớt tiến tới không, nghiệm của phương trình HJB có thể trở nên không liên tục hoặc không khả vi, gây khó khăn cho việc áp dụng các phương pháp giải tích truyền thống. Ngoài ra, việc tính toán nghiệm của các viscosity solutions cũng đòi hỏi các phương pháp số phức tạp, chẳng hạn như finite difference schemes hoặc finite element methods. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp và đảm bảo tính hội tụ và ổn định của nghiệm là một vấn đề quan trọng. Phân tích độ nhạy cũng là một thách thức, vì sự thay đổi nhỏ trong độ nhớt có thể dẫn đến sự thay đổi lớn trong nghiệm.

2.1. Sự Tồn Tại Và Duy Nhất Của Nghiệm Viscosity

Trong lý thuyết viscosity solutions, sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm là những vấn đề cơ bản. Các nghiệm cổ điển của phương trình Hamilton-Jacobi thường không tồn tại, đặc biệt là khi hàm Hamilton không lồi hoặc khi điều kiện biên không trơn tru. Viscosity solutions cung cấp một khái niệm nghiệm yếu hơn, cho phép giải quyết các bài toán mà nghiệm cổ điển không tồn tại. Tuy nhiên, việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của viscosity solutions đòi hỏi các kỹ thuật toán học tinh vi, chẳng hạn như tính ổn định và tính liên tục.

2.2. Khó Khăn Trong Tính Toán Số Nghiệm Viscosity

Việc tính toán số viscosity solutions là một thách thức lớn do tính chất không trơn tru của nghiệm. Các phương pháp số truyền thống, chẳng hạn như finite difference schemes, có thể không hội tụ hoặc cho kết quả không chính xác. Các numerical methods for viscosity solutions đặc biệt, chẳng hạn như các lược đồ đơn điệu và bảo toàn, được phát triển để giải quyết vấn đề này. Tuy nhiên, việc lựa chọn lược đồ phù hợp và đảm bảo tính hội tụ và ổn định của nghiệm vẫn là một vấn đề mở. Ngoài ra, việc tính toán viscosity solutions trong không gian nhiều chiều có thể đòi hỏi tài nguyên tính toán lớn.

III. Phương Pháp Tiếp Cận Bài Toán Điều Khiển Tối Ưu Với Độ Nhớt

Có nhiều phương pháp khác nhau để tiếp cận bài toán điều khiển tối ưu với độ nhớt. Một trong những phương pháp phổ biến nhất là sử dụng phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Phương trình này mô tả sự tiến triển của hàm giá trị tối ưu, và viscosity solutions cung cấp một cách để giải quyết phương trình này ngay cả khi nó không có nghiệm cổ điển. Một phương pháp khác là sử dụng dynamic programming, trong đó bài toán được chia thành các bài toán con nhỏ hơn và giải quyết một cách đệ quy. Các thuật toán điều khiển tối ưu dựa trên mô hình toán học cũng có thể được sử dụng để tìm ra chiến lược điều khiển tốt nhất.

3.1. Sử Dụng Phương Trình Hamilton Jacobi Bellman HJB

Phương trình HJB là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán điều khiển tối ưu. Phương trình này là một phương trình vi phân phi tuyến tính bậc nhất mô tả sự tiến triển của hàm giá trị tối ưu. Viscosity solutions cung cấp một cách để giải quyết phương trình HJB ngay cả khi nó không có nghiệm cổ điển. Việc tìm ra viscosity solutions của phương trình HJB có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các phương pháp số, chẳng hạn như finite difference schemes hoặc finite element methods.

3.2. Ứng Dụng Dynamic Programming Trong Điều Khiển

Dynamic programming là một phương pháp quan trọng để giải quyết các bài toán điều khiển tối ưu. Phương pháp này dựa trên nguyên tắc tối ưu của Bellman, theo đó một chiến lược tối ưu phải tối ưu tại mọi thời điểm. Trong dynamic programming, bài toán được chia thành các bài toán con nhỏ hơn và giải quyết một cách đệ quy. Kết quả của các bài toán con được lưu trữ để tránh tính toán lại, giúp giảm đáng kể thời gian tính toán. Dynamic programming có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán điều khiển có độ nhớt bằng cách sử dụng viscosity solutions.

IV. Ứng Dụng Thực Tế Của Nghiên Cứu Viscosity Trong Điều Khiển

Nghiên cứu về viscosity trong bài toán điều khiển có nhiều ứng dụng thực tế quan trọng. Trong ứng dụng trong kỹ thuật, nó có thể được sử dụng để thiết kế các bộ điều khiển cho các hệ thống cơ học, điện tử và hóa học. Trong ứng dụng trong kinh tế, nó có thể được sử dụng để mô hình hóa và điều khiển các hệ thống tài chính và kinh tế vĩ mô. Trong ứng dụng trong kinh tế, nó có thể được sử dụng để mô hình hóa và điều khiển các hệ thống tài chính và kinh tế vĩ mô. Ví dụ, viscosity solutions có thể được sử dụng để định giá các công cụ phái sinh tài chính, quản lý rủi ro và tối ưu hóa các chiến lược đầu tư.

4.1. Ứng Dụng Trong Kỹ Thuật Điều Khiển Hệ Thống

Trong ứng dụng trong kỹ thuật, nghiên cứu về viscosity trong bài toán điều khiển có thể được sử dụng để thiết kế các bộ điều khiển cho các hệ thống phức tạp, chẳng hạn như robot, máy bay và ô tô tự lái. Các bộ điều khiển này phải có khả năng hoạt động trong môi trường không chắc chắn và đối phó với các nhiễu loạn và ràng buộc. Viscosity solutions cung cấp một cách để thiết kế các bộ điều khiển mạnh mẽ và ổn định, đảm bảo hiệu suất cao và an toàn.

4.2. Ứng Dụng Trong Kinh Tế Và Tài Chính

Trong ứng dụng trong kinh tế và tài chính, nghiên cứu về viscosity trong bài toán điều khiển có thể được sử dụng để mô hình hóa và điều khiển các hệ thống tài chính và kinh tế vĩ mô. Ví dụ, viscosity solutions có thể được sử dụng để định giá các công cụ phái sinh tài chính, quản lý rủi ro và tối ưu hóa các chiến lược đầu tư. Các mô hình này có thể giúp các nhà đầu tư và nhà hoạch định chính sách đưa ra các quyết định sáng suốt và cải thiện hiệu quả của thị trường.

V. Kết Luận Và Hướng Nghiên Cứu Tương Lai Về Độ Nhớt

Nghiên cứu về viscosity trong bài toán điều khiển tối ưu là một lĩnh vực đang phát triển mạnh mẽ, với nhiều kết quả lý thuyết và ứng dụng thực tế quan trọng. Các viscosity solutions cung cấp một khuôn khổ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán điều khiển mà nghiệm cổ điển không tồn tại. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn đề mở cần được giải quyết, chẳng hạn như việc phát triển các phương pháp số hiệu quả hơn và việc mở rộng lý thuyết cho các lớp bài toán phức tạp hơn. Các hướng nghiên cứu tương lai bao gồm việc khám phá các ứng dụng mới trong các lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như y học, năng lượng và môi trường.

5.1. Tổng Kết Các Kết Quả Nghiên Cứu Chính

Nghiên cứu này đã trình bày một tổng quan về các kết quả nghiên cứu chính về viscosity trong bài toán điều khiển tối ưu. Các kết quả này bao gồm sự tồn tại và tính duy nhất của viscosity solutions, các phương pháp số để tính toán nghiệm và các ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau. Nghiên cứu cũng đã chỉ ra những thách thức và cơ hội trong lĩnh vực này, và đề xuất các hướng nghiên cứu tương lai.

5.2. Các Hướng Nghiên Cứu Tiềm Năng Trong Tương Lai

Các hướng nghiên cứu tiềm năng trong tương lai bao gồm việc phát triển các phương pháp số hiệu quả hơn để tính toán viscosity solutions, việc mở rộng lý thuyết cho các lớp bài toán phức tạp hơn và việc khám phá các ứng dụng mới trong các lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, có thể nghiên cứu việc sử dụng viscosity solutions để điều khiển các hệ thống có độ trễ thời gian, các hệ thống ngẫu nhiên và các hệ thống phân tán. Ngoài ra, có thể nghiên cứu việc sử dụng viscosity solutions để giải quyết các bài toán trong y học, chẳng hạn như điều khiển sự phát triển của khối u và điều trị các bệnh tim mạch.

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực toán học ứng dụng và điều khiển tối ưu, việc nghiên cứu các tính chất của hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng và các quy tắc tính toán liên quan đến đạo hàm đồ thị đóng vai trò quan trọng. Luận văn tập trung vào việc thiết lập các điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương mạnh của hàm chính thường nửa liên tục dưới thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient, đồng thời đặc trưng điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh đối với các lớp hàm lồi biến phân. Nghiên cứu được thực hiện trong phạm vi các hàm biểu diễn dưới dạng tổng của hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng và một hàm liên tục dưới vi phân, chính quy gần kề và khả vi trên đồ thị hai lần.

Mục tiêu chính của luận văn là phát triển lý thuyết về nghiệm của các hệ thống tuyến tính trong không gian hàm, đồng thời khảo sát tính liên tục và tính duy nhất của các nghiệm này. Phạm vi nghiên cứu bao gồm các đoạn thực bất kỳ, với các hàm ma trận và vector liên tục trên đoạn đó, áp dụng cho các bài toán giá trị ban đầu (IVP) trong điều khiển tối ưu. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp các công cụ toán học vững chắc để giải quyết các bài toán điều khiển tối ưu phức tạp, góp phần nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong các ứng dụng kỹ thuật và khoa học.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết nền tảng về hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng, đạo hàm đồ thị dưới gradient, và các lớp hàm lồi biến phân. Các khái niệm chính bao gồm:

• Hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng: mở rộng khái niệm đạo hàm truyền thống để áp dụng cho các hàm không khả vi theo nghĩa cổ điển nhưng vẫn có thể định nghĩa đạo hàm dưới dạng đồ thị.
• Đạo hàm đồ thị dưới gradient và đạo hàm parabol: các công cụ để phân tích sự biến thiên của hàm trong không gian đa chiều, đặc biệt hữu ích trong việc xác định cực trị và tính ổn định.
• Lớp hàm lồi biến phân và tính dưới chính quy mêtric mạnh: giúp đặc trưng các tính chất hội tụ và ổn định của các hàm trong không gian hàm, đảm bảo tính khả vi và liên tục cần thiết cho các bài toán tối ưu.

Ngoài ra, luận văn còn sử dụng các định lý về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm cho hệ thống tuyến tính, định lý Fubini, và các kết quả về mollifiers trong không gian hàm Lp để xây dựng nền tảng lý thuyết vững chắc.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu chủ yếu là các công trình toán học lý thuyết và các bài báo khoa học liên quan đến giải tích hàm, đại số tuyến tính, và điều khiển tối ưu. Phương pháp phân tích bao gồm:

• Phân tích toán học nghiêm ngặt: sử dụng các định lý và mệnh đề để chứng minh các tính chất của hàm và nghiệm hệ thống.
• Xấp xỉ bằng mollifiers: áp dụng dãy mollifiers để xấp xỉ các hàm trong không gian Lp, từ đó chứng minh tính liên tục và khả vi của các hàm phức tạp.
• Phương pháp quy nạp và bất đẳng thức tam giác: dùng để chứng minh sự hội tụ đồng đều của dãy hàm và tính duy nhất của nghiệm.
• Phân tích độ giao hoán tương đối của nhóm con trong nhóm: áp dụng trong phần mở rộng lý thuyết về vành và nhóm, liên quan đến tính chất ∆U của vành nhóm.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong khoảng thời gian từ năm 2022 đến 2024, với các giai đoạn chính gồm khảo sát lý thuyết, phát triển mô hình toán học, chứng minh các định lý, và tổng hợp kết quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Thiết lập điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương mạnh: Luận văn đã chứng minh được rằng hàm chính thường nửa liên tục dưới thỏa mãn điều kiện cực tiểu địa phương mạnh khi đạo hàm đồ thị dưới gradient thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai. Kết quả này được hỗ trợ bởi các bất đẳng thức liên quan đến đạo hàm parabol và tính dưới chính quy mêtric mạnh.

2. Định lý sự tồn tại và duy nhất của nghiệm hệ thống tuyến tính: Với giả thiết hàm ma trận A và vector B liên tục trên đoạn I, tồn tại nghiệm duy nhất X(t) của bài toán giá trị ban đầu (IVP) trên đoạn I. Quá trình xấp xỉ nghiệm bằng dãy hàm liên tục X_m hội tụ đồng đều với nghiệm X, với sai số được ước lượng qua chuẩn tối đa trên đoạn con J ⊂ I.

3. Tính liên tục của nghiệm theo các biến đầu vào: Nghiên cứu chỉ ra rằng nghiệm X(t) phụ thuộc liên tục vào các tham số đầu vào như t, A, B, τ, ξ. Sự thay đổi nhỏ trong các tham số này dẫn đến sự thay đổi nhỏ trong nghiệm, được chứng minh bằng các ước lượng chuẩn sup và bất đẳng thức tam giác.

4. Xấp xỉ hàm trong không gian Lp bằng mollifiers: Luận văn đã xây dựng dãy mollifiers (ϱ_h) để xấp xỉ các hàm trong Lp(Ω), chứng minh tính liên tục và khả vi của các hàm xấp xỉ, đồng thời đảm bảo hội tụ trong chuẩn Lp. Điều này hỗ trợ việc xử lý các hàm phức tạp trong bài toán điều khiển tối ưu.

Thảo luận kết quả

Các kết quả trên được minh họa qua các biểu đồ thể hiện sự hội tụ đồng đều của dãy hàm xấp xỉ đến nghiệm thực tế, cũng như bảng so sánh sai số ước lượng trên các đoạn con khác nhau. Việc chứng minh tính liên tục của nghiệm theo các biến đầu vào giúp tăng tính ổn định và khả năng ứng dụng trong các bài toán điều khiển thực tế, nơi các tham số thường biến đổi.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng phạm vi áp dụng của các định lý về nghiệm hệ thống tuyến tính sang các hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng, đồng thời kết hợp các kỹ thuật xấp xỉ hiện đại như mollifiers để xử lý các hàm không khả vi cổ điển. Điều này tạo ra bước tiến quan trọng trong việc giải quyết các bài toán điều khiển tối ưu phức tạp hơn.

Ý nghĩa của các kết quả không chỉ nằm ở mặt lý thuyết mà còn có thể ứng dụng trong các lĩnh vực như kỹ thuật điều khiển, mô hình hóa hệ thống động lực học, và phân tích các hệ thống phi tuyến.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển phần mềm tính toán dựa trên lý thuyết đạo hàm đồ thị: Xây dựng các công cụ số để giải các bài toán điều khiển tối ưu sử dụng các hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng, nhằm tăng độ chính xác và hiệu quả tính toán trong các ứng dụng thực tế. Thời gian thực hiện dự kiến 1-2 năm, do các nhóm nghiên cứu toán ứng dụng và kỹ sư phần mềm phối hợp thực hiện.

2. Mở rộng nghiên cứu sang các hệ thống phi tuyến và đa biến: Áp dụng các kết quả đã chứng minh để phân tích và điều khiển các hệ thống phi tuyến phức tạp hơn, đặc biệt trong các lĩnh vực như robot, tự động hóa và kinh tế lượng. Khuyến nghị triển khai trong 3 năm tới với sự hợp tác giữa các viện nghiên cứu và doanh nghiệp.

3. Đào tạo và phổ biến kiến thức về mollifiers và xấp xỉ hàm trong Lp: Tổ chức các khóa học, hội thảo chuyên sâu nhằm nâng cao nhận thức và kỹ năng ứng dụng các kỹ thuật xấp xỉ hiện đại trong toán học và kỹ thuật. Thời gian thực hiện 6-12 tháng, chủ yếu dành cho giảng viên và sinh viên cao học.

4. Nghiên cứu tính chất ∆U của vành nhóm trong các mô hình toán học mới: Khai thác các đặc tính của vành ∆U để phát triển các mô hình toán học có tính ổn định cao trong lý thuyết nhóm và đại số, phục vụ cho các ứng dụng trong vật lý lý thuyết và mật mã học. Đề xuất thực hiện trong 2-3 năm với sự tham gia của các nhà toán học chuyên sâu.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giảng viên và nghiên cứu sinh ngành Toán ứng dụng và Điều khiển tối ưu: Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết sâu sắc và các phương pháp phân tích hiện đại, hỗ trợ nghiên cứu và giảng dạy các môn học liên quan đến giải tích hàm và điều khiển.

2. Kỹ sư và chuyên gia phát triển phần mềm điều khiển tự động: Các kết quả về tính liên tục và duy nhất của nghiệm giúp cải thiện thuật toán điều khiển, tăng độ tin cậy và hiệu quả trong các hệ thống tự động hóa.

3. Nhà toán học nghiên cứu về đại số và lý thuyết nhóm: Phần mở rộng về tính chất ∆U của vành nhóm và độ giao hoán tương đối của nhóm con cung cấp các công cụ mới để phân tích cấu trúc đại số phức tạp.

4. Sinh viên cao học và nghiên cứu sinh các ngành liên quan: Luận văn là tài liệu tham khảo quý giá cho việc học tập và nghiên cứu chuyên sâu về các khái niệm như mollifiers, hàm khả vi mở rộng, và các kỹ thuật xấp xỉ trong không gian hàm.

Câu hỏi thường gặp

1. Hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng là gì?
   Hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng là hàm không nhất thiết phải khả vi theo nghĩa cổ điển nhưng có thể định nghĩa đạo hàm bậc hai thông qua đồ thị và các giới hạn phù hợp. Ví dụ, các hàm nửa liên tục thường được xử lý theo cách này để mở rộng phạm vi ứng dụng.

2. Tại sao mollifiers lại quan trọng trong xấp xỉ hàm?
   Mollifiers là dãy hàm mượt dùng để xấp xỉ các hàm trong không gian Lp, giúp chuyển đổi các hàm không mượt thành các hàm mượt gần đúng, từ đó dễ dàng áp dụng các kỹ thuật giải tích và tính toán. Đây là công cụ quan trọng trong phân tích hàm và điều khiển tối ưu.

3. Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương mạnh được xác định như thế nào?
   Điều kiện này được thiết lập thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient và điều kiện tăng trưởng bậc hai, đảm bảo hàm chính thường nửa liên tục có cực tiểu địa phương mạnh, giúp xác định điểm tối ưu trong bài toán điều khiển.

4. Làm thế nào để chứng minh tính liên tục của nghiệm theo các biến đầu vào?
   Bằng cách sử dụng các ước lượng chuẩn sup và bất đẳng thức tam giác, chứng minh rằng sự thay đổi nhỏ trong các tham số đầu vào dẫn đến sự thay đổi nhỏ trong nghiệm, đảm bảo tính ổn định của hệ thống.

5. Độ giao hoán tương đối của nhóm con có ý nghĩa gì trong nghiên cứu?
   Độ giao hoán tương đối đo lường mức độ giao hoán giữa nhóm con và nhóm cha, giúp phân tích cấu trúc nhóm và các tính chất đại số liên quan, có ứng dụng trong lý thuyết nhóm và đại số đại cương.

Kết luận

• Luận văn đã thiết lập thành công các điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương mạnh của hàm chính thường nửa liên tục dựa trên đạo hàm đồ thị dưới gradient.
• Định lý sự tồn tại và duy nhất của nghiệm hệ thống tuyến tính được chứng minh với các ước lượng sai số cụ thể, đảm bảo tính ổn định và khả thi trong ứng dụng.
• Mollifiers được sử dụng hiệu quả để xấp xỉ các hàm trong không gian Lp, hỗ trợ việc xử lý các hàm không mượt trong bài toán điều khiển tối ưu.
• Tính liên tục của nghiệm theo các biến đầu vào được khẳng định, nâng cao độ tin cậy của các mô hình toán học trong thực tế.
• Các kết quả mở rộng về tính chất ∆U của vành nhóm và độ giao hoán tương đối của nhóm con cung cấp nền tảng cho các nghiên cứu đại số sâu hơn.

Next steps: Triển khai các giải pháp phần mềm, mở rộng nghiên cứu sang hệ thống phi tuyến, và tổ chức đào tạo chuyên sâu về các kỹ thuật phân tích hàm hiện đại. Đề nghị các nhà nghiên cứu và kỹ sư quan tâm liên hệ để hợp tác phát triển ứng dụng thực tiễn.