CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU 1.1 Lý thuyết dấu ấn 1.1 Đại số tenxơ Trong phần này, chúng tôi sẽ xác định không gian mà dấu ấn (signature) được xác định và giới thiệu các ký hiệu được sử dụng [1], [2]. Định nghĩa Đại số tensor. Với mỗi n ∈ N0 xét tích tensor n lần của Rd được cho bởi: (Rd )⊗0 := R, (Rd )⊗n := |Rd ⊗ ·{z · · ⊗ R}d. n Với d ∈ N, ta định nghĩa đại số tensor mở rộng trên Rd là: T ((Rd )) := {a := (a0 ,.
Tương tự, ta giới thiệu đại số tensor cắt ngắn bậc N ∈ N: T (N ) (Rd ) := {a ∈ T ((Rd )) : an = 0 ∀n > N }, Hay, chúng ta định nghĩa đại số tenxơ cắt cụt có bậc N ∈ N và đại số tenxơ bằng T (N ) Rd và T Rd tương ứng, bởi: d ⊗n n o (N ) d ∞ và an ̸= 0 ∀n ≥ N ⊂ T ((Rd )) T R := a = (an )n=0 | an ∈ R N M ⊗n = Rd , n=0 ∞ M ⊗n T Rd := Rd ⊂ T ((Rd )).1) Đại số tenxơ cắt cụt bậc N có kích thước: N X k dN +1 − 1 d = .1: Theo trực giác, mức không của đại số tenxơ, Rd , là tập hợp tất cả các số vô hướng a0 ∈ R, với kích thước d0 = 1. Ở cấp độ đầu tiên, ⊗1 Rd là tập hợp của tất cả các véc tơ d chiều. Tương tự như vậy, ở cấp độ ⊗2 thứ hai, Rd là tập hợp của tất cả các ma trận d × d với các giá trị trong R. Sau đó, tenxơ đại số bị cắt cụt theo bậc 2, T (2) Rd , có số chiều 1 + d + d2 và chứa tất cả các tenxơ bậc 0, 1, 2 với các giá trị trong Rd.
Với mỗi a, b ∈ T ((Rd )) và λ ∈ R, ta có: a + b := (a0 + b0 , .), Pn d trong đó cn := k=0 ak ⊗ bn−k. Quan sát thấy (T ((R )), +, ·, ⊗) là một đại số thực không giao hoán với phần tử trung hòa 1 = (1, 0,. Định nghĩa: Không gian đối ngẫu của đại số tensor. , cd } ⊂ Rd là một cơ sở cho Rd , sau đó nó có một cơ sở kép ∗ ∗ {c∗i ,.
, c∗d } ⊂ Rd , Rd là không gian đối ngẫu của Rd. Nhớ lại rằng không gian đối ngẫu này là không gian của tất cả các hàm tuyến tính từ Rd đến R. Chúng ta cũng có thể định nghĩa một cơ sở tương tự cho T Rd và ∗ không gian đối ngẫu của nó T Rd. ∗ Chúng ta xác định không gian đối ngẫu này của đại số tenxơ, T Rd , với khoảng cách của tất cả các từ.
Hãy xem xét bảng chữ cái sau Ad := {1,. , d}, bao gồm d chữ cái. Để dễ ghi chú, chúng tôi thực hiện như sau: d ∗ ci1 ⊗ · · · ⊗ cin ∈ T R ⇔ i1 .3) với W (Ad ) là không gian vectơ thực của tất cả các từ có chữ cái Ad. Từ rỗng ∗ sẽ được ký hiệu là f.
Sau đó, chúng ta có T Rd = W (Ad ). Nghĩa là bất kỳ hàm tuyến tính nào ℓ : T Rd → R có thể được xác định thông qua các thành phần trong W (Ad ). Chúng ta có thể nghĩ về các từ như các hàm 5 tuyến tính trên đại số tenxơ. Với chỉ số I := (i1 ,.
, in ), ta đặt |I| := n. Ta cũng xem xét chỉ số rỗng I := ∅ và đặt |I| := 0. Nếu n ≥ 1 hoặc n ≥ 2, ta đặt I ′ := (i1 ,. , in−2 ) tương ứng.
Ta sử dụng ký hiệu: {I : |I| = n} := {1,. , d}n , Với mỗi |I| ≥ 1, ta đặt eI := ei1 ⊗ · · · ⊗ ein trong đó e1 ,. , ed ký hiệu các vector cơ sở chuẩn tắc của Rd. Tập {eI : |I| = N } là một cơ sở trực chuẩn của (Rd )⊗N.
Ký hiệu e∅ là phần tử cơ sở tương ứng với (Rd )⊗0 , mỗi phần tử a ∈ T ((Rd )) có thể được viết như sau: X a= aI eI (1.4) |I|≥0 Với mỗi a ∈ T (Rd ) và mỗi b ∈ T ((Rd )), ta đặt: X ⟨a, b⟩ := ⟨aI , bI ⟩.5) |I|≥0 Quan sát thấy bI = ⟨eI , b⟩. Cho X ∈ T Rd là một phần tử của đại số tenxơ. Chúng ta có thể xem X theo các phần tử của nó trong đại số tenxơ, và mỗi đa chỉ số tương ứng với một từ, ví dụ: 1 x11 ··· 1d x x 0 .2 Các khái niệm Khái niệm dấu ấn Cho một không gian xác suất với lọc (Ω, F, (Ft )t≥0 , P). Cho (Xt )t∈[0,T ] là một semimartingale liên tục có giá trị Rd.
Dấu ấn của X là quá trình có giá trị T ((Rd )) (s, t) 7→ Xs,t có các thành phần được định nghĩa đệ quy như sau: ⟨e∅ , Xs,t ⟩ := 1, Z t (1.8) ⟨eI , Xs,t ⟩ := ⟨eI ′ , Xs,r ⟩ ◦ dXirn s Với mỗi I = (i1 ,. , in−1 ), và 0 ≤ s ≤ t ≤ T , trong đó ◦ ký hiệu tích phân Stratonovich. Dấu ấn cắt cụt Hình chiếu XN của nó lên T (N ) (Rd ) được cho bởi: X XN s,t = ⟨eI , Xs,t ⟩eI (1.9) |I|≤N và được gọi là dấu ấn của X bị cắt cụt ở mức N. Nếu s = 0, ta sử dụng ký hiệu Xt và XN t tương ứng.
Với ký hiệu tương đương, ta có thể viết: Z t Z t 1 Xt = 1, 1 ◦ dXs ,. , 1 ◦ dXsd , Z t 0Z s 0 Z t Z s 1 ◦ dXr1 ◦ dXs1 , 1 ◦ dXr1 ◦ dXs2 , (1. 0 0 7 Sử dụng tích phân Itô, điều này có thể được viết lại như sau: Xt = 1, Xt1 − X01 ,. , 0 2 trong đó các dấu ngoặc vuông biểu thị các quá trình biến thiên bậc hai và đồng biến thiên.
Đặc biệt, theo định nghĩa của tích phân Stratonovich và công thức Itô, ta có thể viết: Z t Z s 1 ⟨e(i,i) , Xt ⟩ = 1 ◦ dXri ◦ dXsi = (Xti − X0i )2 = ⟨ei , Xt ⟩2 (1.12) 0 0 2 cho thấy rằng biểu thức bậc hai ở vế phải có một biểu diễn tuyến tính. Tính chất này tổng quát hóa cho mọi hàm đa thức. Để phát biểu chính xác, trước tiên ta cần giới thiệu phép nhân hoán vị. Phép nhân hoán vị Với hai chỉ số I := (i1 ,.
, jm ), tích giao hoán được định nghĩa đệ quy như sau: eI ⨿ eJ := (eI ′ ⨿ eJ ) ⊗ ein + (eI ⨿ eJ ′ ) ⊗ ejm (1.13) với eI ⨿ e∅ := e∅ ⨿ eI = eI. Nó được mở rộng cho a, b ∈ T (Rd ) như sau: X a⨿b= aI bJ (eI ⨿ eJ ).14) |I|,|J|≥0 Nhận xét rằng (T (Rd ), +, ⨿) là một đại số giao hoán, điều này có nghĩa là tích hoán vị có tính kết hợp và giao hoán. Ví dụ: Giả sử (Xt )t∈[0,T ] là một semimartingale giá trị trong Rd với X0 = 0. Khi đó, công thức tích phân từng phần (Stratonovich) thu được cho bất kỳ 8 i, j ∈ {1,.
, d}: Z T Z T ⟨ei , XT ⟩⟨ej , XT ⟩ = XTi XTj = Xti ◦ dXtj + Xtj ◦ dXti , 0 0 = ⟨ei ⊗ ej , XT ⟩ + ⟨ej ⊗ ei , XT ⟩ = ⟨ei ⨿ ej , XT ⟩. Ví dụ: Giả sử (Xt )t∈[0,T ] là một semimartingale giá trị trong R với X0 = 0. Khi đó ⟨e1 , XT ⟩ = XT − X0. Suy ra: 1 1 1 XT = 1, XT − X0 , (XT − X0 )2 , (XT − X0 )3 , .3 Tính chất của dấu ấn Tính duy nhất của dấu ấn Giả sử (Xt )t∈[0,T ] và (Yt )t∈[0,T ] là hai semimartingale giá trị trong Rd với X0 = Y0 = 0.
Đặt X̂ := (t, Xt ), Ŷ := (t, Yt ) là quá trình mở rộng của (Xt ) và (Yt ) với thời gian t, đặt X̂ và Ŷ là các quá trình dấu ấn tương ứng. Khi đó X̂T = ŶT khi và chỉ khi Xt = Yt với xác suất bằng 1 cho mọi t ∈ [0, T ]. Chú ý: (tk /k!)k∈N0 là một cơ sở của L2 ([0, T ], dt) và Z T k it ⟨(ei ⨿ (e⊗k 0 )) ⊗ e0 , X̂ T ⟩ = X t dt 0 k! là phép chiếu tương ứng của X i lên tk /k!. Tính chất này có thể được sử dụng để xây dựng rõ ràng một chuỗi đa thức với các hệ số ngẫu nhiên trên [0, T ] hội tụ hầu như chắc chắn đến X i trong L2 ([0, T ], dt).
Nó cũng thiết lập một liên kết giữa các phương pháp dựa trên dấu ấn và các phương pháp định lượng hóa. Đẳng thức Chen 9 Cho (Xt )t∈[0,T ] là một semimartingale có giá trị Rd. Khi đó: Xs,t = Xs,u ⊗ Xu,t (1. Điều này có thể được viết tương đương như: X ⟨eI , Xs,t ⟩ = ⟨eI1 , Xs,u ⟩⟨eI2 , Xu,t ⟩ eI1 ⊗eI2 =eI với mọi chỉ số I.4 Quỹ đạo của dấu ấn Quỹ đạo của dấu ấn là các vectơ đặc trưng có độ dài cố định mà chúng ta có thể sử dụng để biểu diễn chuỗi thời gian đa chiều, trong đó các dữ liệu trong chuỗi thời gian không cần phải cách đều nhau theo thời gian.
Phần này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về quỹ đạo và luồng, quỹ đạo của dấu ấn và phép biến đổi quỹ đạo. Để minh họa, ban đầu chúng tôi sẽ xem xét các quỹ đạo một chiều. Nhưng ý tưởng của một chiều là tiền đề để xử lý các quỹ đạo đa chiều. Định nghĩa của quỹ đạo Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu chữ in hoa sau cho các đường dẫn: Chúng ta định nghĩa một quỹ đạo N -chiều là phép ánh xạ X : [a, b] → RN.
Hơn nữa, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu Xt = X(t) để biểu thị sự phụ thuộc của X vào t ∈ [a, b].