I. Tổng quan và tính cấp thiết của đề tài
Bài toán cân bằng hai mức là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong toán học ứng dụng, đặc biệt trong lý thuyết tối ưu. Nikaido và Isoda đã giới thiệu bất đẳng thức minimax vào năm 1955, mở ra hướng nghiên cứu mới cho bài toán này. Từ đó, nhiều nhà toán học đã đóng góp vào việc phát triển lý thuyết và ứng dụng của bài toán cân bằng. Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak, được phát triển bởi Levitin và Polyak, đã trở thành một khái niệm quan trọng trong việc xác định sự tồn tại và duy nhất của nghiệm cho các bài toán tối ưu. Đề tài này nhằm nghiên cứu tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu, một chủ đề còn mới mẻ và chưa được khai thác nhiều trong tài liệu hiện có.
II. Cơ sở và phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu này dựa trên việc tổng hợp và phân tích các tài liệu có liên quan đến bài toán cân bằng hai mức và tính đặt chỉnh Levitin-Polyak. Phương pháp nghiên cứu bao gồm việc đọc và tham khảo các tài liệu, phân loại và hệ thống hóa kiến thức, cũng như trao đổi với các chuyên gia trong lĩnh vực. Các khái niệm cơ bản về ánh xạ đa trị và tính nửa liên tục sẽ được trình bày để làm nền tảng cho việc thiết lập tính đặt chỉnh. Phương pháp này không chỉ giúp làm rõ các khái niệm lý thuyết mà còn tạo điều kiện cho việc áp dụng vào các bài toán thực tiễn.
III. Tính đặt chỉnh cho bài toán cân bằng hai mức
Chương này tập trung vào việc thiết lập tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán cân bằng hai mức vectơ yếu. Đầu tiên, bài toán được định nghĩa rõ ràng với các không gian Banach và các điều kiện cần thiết. Sau đó, khái niệm dãy xấp xỉ Levitin-Polyak được giới thiệu, cùng với các điều kiện để bài toán được coi là đặt chỉnh. Sự tương đương giữa tính đặt chỉnh và sự tồn tại nghiệm được chứng minh, cho thấy rằng nếu bài toán có nghiệm duy nhất, thì mọi dãy xấp xỉ sẽ hội tụ về nghiệm đó. Kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa.
IV. Ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng
Chương cuối cùng của luận văn trình bày ứng dụng của các kết quả về tính đặt chỉnh Levitin-Polyak cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng. Các điều kiện cần thiết và đủ để bài toán này có nghiệm được phân tích kỹ lưỡng. Kết quả cho thấy rằng tính đặt chỉnh Levitin-Polyak không chỉ giúp xác định sự tồn tại nghiệm mà còn cung cấp các phương pháp tiếp cận mới cho việc giải quyết các bài toán bất đẳng thức trong thực tiễn. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới cho các bài toán tối ưu phức tạp hơn trong tương lai.
