I. Giới thiệu bài toán
Luận văn này nghiên cứu về tối ưu hóa cho vật thể đối xứng lồi và bất đẳng thức Bourgain-Milman. Bài toán giả thuyết Mahler đã được đặt ra từ năm 1939, liên quan đến tích số của thể tích của một vật thể lồi K và vật thể cực của nó K0. Đặc biệt, vật thể lồi K được gọi là đối xứng nếu với mỗi x thuộc K, thì -x cũng thuộc K. Mahler đã phỏng đoán rằng có bất đẳng thức liên quan đến độ đo thể tích Mahler của K và K0. Cụ thể, M(K) = vn(K) vn(K0) với vn là độ đo thể tích Lebesgue n chiều. Bất đẳng thức Bourgain-Milman là một kết quả quan trọng trong lý thuyết không gian Banach hữu hạn chiều, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết số và tối ưu lồi. Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu và chứng minh các kết quả liên quan đến bất đẳng thức này.
1.1 Giả thuyết Mahler
Giả thuyết Mahler đã được chứng minh một phần bởi Blaschke và Santaló. Đặc biệt, Santaló đã sử dụng đối xứng Steiner để chứng minh giới hạn trên của giả thuyết. Vấn đề giới hạn dưới vẫn còn là một bài toán mở. Mặc dù có một số chứng minh cho trường hợp đặc biệt, như n=2 và n=3, nhưng phần lớn vẫn chưa được giải quyết. Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng bất đẳng thức này có thể được cải tiến và mở rộng, tạo điều kiện cho những nghiên cứu sâu hơn trong tương lai.
1.2 Bất đẳng thức Bourgain Milman
Bất đẳng thức Bourgain-Milman đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học trong những năm gần đây. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng có thể cải thiện hằng số c trong bất đẳng thức này. Kuperberg đã đưa ra hằng số c = π vào năm 2008, trong khi Nazarov và Blocki đã sử dụng các phương pháp giải tích phức để chứng minh các bất đẳng thức liên quan. Đặc biệt, phương pháp của Berndtsson đã cung cấp một cái nhìn mới về cách chứng minh bất đẳng thức này thông qua các hàm lồi.
II. Kiến thức chuẩn bị
Chương này cung cấp những kiến thức cơ bản cần thiết cho việc nghiên cứu tối ưu hóa và bất đẳng thức Bourgain-Milman. Các khái niệm như hình học lồi, hàm giải tích, và các không gian Bergman và Paley-Wiener được trình bày chi tiết. Đặc biệt, hình học lồi là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu về vật thể lồi và các hàm lồi. Hệ thống các định nghĩa và tính chất của các hàm này sẽ giúp hiểu rõ hơn về các ứng dụng của chúng trong chứng minh bất đẳng thức. Các hàm chỉnh hình, hàm điều hòa và hàm đa điều hòa dưới cũng được nhắc đến, tạo nền tảng cho việc áp dụng trong các bài toán tối ưu hóa.
2.1 Khái niệm hình học lồi
Hình học lồi là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, nghiên cứu về các vật thể lồi và các thuộc tính của chúng. Một vật thể lồi K được định nghĩa là tập hợp lồi compact trong Rn, với phần trong khác rỗng. Đặc điểm của vật thể lồi là nếu x thuộc K thì -x cũng thuộc K. Các hàm tựa của vật thể lồi có vai trò quan trọng trong việc xác định các thuộc tính hình học của chúng. Ngoài ra, các khái niệm như hàm lồi và hàm đồng nhất cũng được trình bày, giúp làm rõ mối liên hệ giữa hình học lồi và các hàm giải tích.
2.2 Hàm giải tích
Hàm giải tích là một trong những khái niệm cơ bản trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực giải tích phức. Một hàm được gọi là chỉnh hình nếu nó khả vi phức và thỏa mãn các điều kiện Cauchy-Riemann. Các hàm chỉnh hình có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu về không gian phức và các vấn đề liên quan đến tối ưu hóa. Sự liên hệ giữa các hàm giải tích và hình học lồi sẽ được khai thác trong phần sau của luận văn, nhằm chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến vật thể lồi.
III. Tối ưu cho vật thể đối xứng lồi
Chương này tập trung vào việc thiết lập tối ưu hóa cho vật thể đối xứng lồi và ứng dụng để chứng minh bất đẳng thức Bourgain-Milman. Các kết quả nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng có thể áp dụng các phương pháp giải tích phức để tìm ra các hằng số tối ưu cho bất đẳng thức này. Việc sử dụng các hàm lồi và không gian Bergman trong chứng minh cho thấy sự liên kết chặt chẽ giữa hình học và phân tích. Các kết quả từ nghiên cứu sẽ được trình bày rõ ràng, giúp người đọc hiểu được cách thức mà các phương pháp này được áp dụng trong thực tiễn.
3.1 Bài toán bất đẳng thức Bourgain Milman
Bài toán này đã được nghiên cứu sâu rộng trong nhiều thập kỷ qua. Đặc biệt, việc tìm kiếm các hằng số tối ưu c cho bất đẳng thức Bourgain-Milman đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu. Các phương pháp chứng minh hiện tại bao gồm phân tích Fourier và các phương pháp giải tích phức, cho phép xác định các hằng số này một cách chính xác hơn. Bằng cách áp dụng các kỹ thuật này, luận văn sẽ chỉ ra những tiến bộ trong việc chứng minh bất đẳng thức và mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này.
3.2 Chứng minh các kết quả
Luận văn sẽ trình bày các chứng minh chi tiết cho các kết quả đã được thiết lập trong nghiên cứu. Sử dụng các phương pháp giải tích phức, các hàm lồi và không gian Bergman, các chứng minh sẽ được thực hiện một cách chặt chẽ và logic. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các bài toán tối ưu hóa khác. Việc chứng minh thành công bất đẳng thức Bourgain-Milman sẽ đóng góp vào nền tảng lý thuyết của hình học lồi và tối ưu hóa.
