Luận văn thạc sĩ: Tối ưu đa mục tiêu bằng phương pháp gradient trong toán ứng dụng

• Tác giả: Nguyễn Đức Thịnh
• Người hướng dẫn: PGS. Đoàn Thái Sơn
• Trường học: Học viện Khoa học và Công nghệ
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Tối ưu đa mục tiêu với phương pháp gradient trong toán ứng dụng
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Phương pháp tựa Newton miền tin cậy
• 1.2. Phương pháp Lagrange tăng cường
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP GRADIENT CHO BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU
• 2.1. Bài toán đa mục tiêu
• 2.2. Phương pháp tổng có trọng số
• 2.3. Phương pháp giao biên pháp tuyến
• DANH SÁCH HÌNH VẼ
• DANH SÁCH BẢNG

I. Giới thiệu về tối ưu đa mục tiêu

Bài toán tối ưu đa mục tiêu là một lĩnh vực quan trọng trong toán ứng dụng, nơi mà mục tiêu chính là tối đa hóa nhiều hàm mục tiêu đồng thời. Trong trường hợp không thể tìm thấy một véctơ thiết kế mà có thể cực đại hóa tất cả các hàm mục tiêu, nghiệm của bài toán sẽ được xác định trên mặt Pareto. Mặt Pareto thể hiện các điểm mà không thể cải thiện một mục tiêu mà không làm giảm một mục tiêu khác. Luận văn này tập trung vào việc xây dựng mặt Pareto cho các bài toán tối ưu hai mục tiêu, với một ứng dụng cụ thể trong tối ưu bơm ép nước. Phương pháp tổng có trọng số là một trong những phương pháp đơn giản và hiệu quả để thu được mặt Pareto, cho phép tìm kiếm các điểm xấp xỉ trên mặt Pareto một cách đồng đều.

1.1 Đặc điểm của mặt Pareto

Mặt Pareto có một đặc điểm quan trọng là không thể tìm thấy một điểm khác trên mặt này mà tất cả các hàm mục tiêu đều đạt giá trị lớn hơn. Điều này có nghĩa rằng, với bất kỳ điểm nào trên mặt Pareto, việc cải thiện một mục tiêu sẽ dẫn đến sự suy giảm của ít nhất một mục tiêu khác. Điều này làm cho việc tối ưu hóa đa mục tiêu trở nên phức tạp hơn, vì các nhà nghiên cứu cần phải tìm ra các chiến lược để cân bằng giữa các mục tiêu khác nhau. Việc áp dụng các phương pháp như phương pháp gradient và phương pháp tổng có trọng số giúp giải quyết vấn đề này bằng cách cung cấp các công cụ để định lượng và tối ưu hóa các mục tiêu mâu thuẫn nhau.

II. Phương pháp gradient trong tối ưu đa mục tiêu

Phương pháp gradient là một trong những kỹ thuật phổ biến trong tối ưu hóa, cho phép tìm kiếm cực trị của một hàm thông qua việc tính toán đạo hàm. Trong bối cảnh tối ưu đa mục tiêu, phương pháp này được áp dụng để tối ưu hóa các hàm mục tiêu đồng thời. Việc sử dụng gradient descent trong bài toán tối ưu đa mục tiêu giúp tìm ra các điểm trên mặt Pareto bằng cách tối ưu hóa hàm tổng hợp được xây dựng từ các hàm mục tiêu. Tuy nhiên, phương pháp này cũng gặp một số hạn chế, như không thể tìm kiếm các điểm trên phần lõm của mặt Pareto. Để giải quyết vấn đề này, phương pháp giao biên pháp tuyến (NBI) được đề xuất, cho phép tìm kiếm tất cả các điểm trên biên của tập Z trong không gian mục tiêu.

2.1 Cách thức hoạt động của phương pháp gradient

Phương pháp gradient hoạt động bằng cách cập nhật điểm tối ưu theo hướng của gradient, tức là hướng mà hàm mục tiêu tăng nhanh nhất. Điều này được thực hiện thông qua các bước lặp, trong đó tại mỗi bước, gradient được tính toán và điểm tối ưu được cập nhật. Trong bối cảnh tối ưu đa mục tiêu, các trọng số được gán cho từng hàm mục tiêu và tổng hợp thành một hàm duy nhất để tối ưu hóa. Mặc dù phương pháp này đơn giản và hiệu quả, nhưng nó có thể gặp khó khăn trong việc tìm kiếm các điểm tối ưu trên mặt Pareto, đặc biệt là trong các trường hợp hàm mục tiêu không liên tục hoặc không khả vi.

III. Ứng dụng trong tối ưu bơm ép nước

Ứng dụng của phương pháp tối ưu đa mục tiêu trong bơm ép nước là một ví dụ điển hình về việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn. Bài toán này thường liên quan đến việc tối ưu hóa hai mục tiêu xung đột nhau: cực đại hóa giá trị thu thực dài hạn và ngắn hạn trong khai thác dầu khí. Việc sử dụng phương pháp tổng có trọng số và giao biên phương pháp tuyến giúp xác định các điểm tối ưu trên mặt Pareto, từ đó đưa ra quyết định tối ưu cho việc điều khiển bơm. Điều này không chỉ giúp tăng hiệu quả khai thác mà còn giảm thiểu rủi ro và chi phí trong quá trình sản xuất.

3.1 Kết quả đạt được từ ứng dụng

Kết quả từ việc áp dụng các phương pháp tối ưu cho bài toán bơm ép nước cho thấy sự cải thiện rõ rệt trong hiệu suất khai thác. Các nghiệm tối ưu thu được từ phương pháp tổng có trọng số và giao biên phương pháp tuyến đã cung cấp những điểm tối ưu Pareto, giúp các nhà quản lý có cái nhìn tổng quan về các lựa chọn khả thi. Qua đó, các quyết định được đưa ra không chỉ dựa trên một mục tiêu đơn lẻ mà còn cân nhắc đến tác động của các mục tiêu khác, từ đó tối ưu hóa lợi ích tổng thể trong khai thác dầu khí.

Tổng quan nghiên cứu

Trong bối cảnh phát triển ngành dầu khí, việc tối ưu hóa quá trình khai thác mỏ dầu khí đóng vai trò quan trọng nhằm nâng cao hiệu quả kinh tế và kỹ thuật. Theo ước tính, phương pháp bơm ép nước bù áp suất vỉa được áp dụng rộng rãi tại nhiều mỏ dầu khí, đặc biệt là các mỏ đá móng nứt nẻ phổ biến tại Việt Nam. Vấn đề nghiên cứu trọng tâm của luận văn là xây dựng và áp dụng các phương pháp gradient cho bài toán tối ưu đa mục tiêu, cụ thể là tối ưu hóa đồng thời giá trị thu thực dài hạn và ngắn hạn trong khai thác dầu khí bằng bơm ép nước. Mục tiêu nghiên cứu nhằm phát triển các thuật toán tối ưu hiệu quả, có khả năng tìm kiếm các nghiệm tối ưu Pareto phân bố đều, giúp cân bằng giữa các mục tiêu xung đột nhau trong khai thác mỏ.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào mô hình mỏ dầu chảy hình sông với các giếng khai thác và giếng bơm ép được mô phỏng trên lưới 25 × 25 × 1, kích thước ô lưới 200 ft × 200 ft × 20 ft, áp suất ban đầu 3800 psi, độ bão hòa nước ngầm 0.2 và dầu còn lại 0. Giá dầu được giả định là 50$/STB, chi phí xử lý nước 5.56$/STB, tỷ lệ chiết khấu hàng năm 6%. Nghiên cứu có ý nghĩa thực tiễn lớn trong việc nâng cao hệ số thu hồi dầu, giảm thiểu độ ngập nước và tối ưu hóa lợi nhuận khai thác mỏ, đồng thời cung cấp công cụ toán học và thuật toán tối ưu đa mục tiêu ứng dụng trong ngành dầu khí.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết bài toán tối ưu đa mục tiêu, trong đó nghiệm tối ưu được xác định trên mặt Pareto — tập hợp các điểm mà không thể cải thiện một hàm mục tiêu nào mà không làm giảm giá trị hàm mục tiêu khác. Hai phương pháp chính được áp dụng là:

• Phương pháp tổng có trọng số (Weighted Sum Method): Tổng hợp các hàm mục tiêu thành một hàm mục tiêu đơn bằng cách gán trọng số cho từng hàm. Phương pháp này đơn giản, dễ thực hiện nhưng không thể tìm được các điểm trên phần lõm của mặt Pareto và có thể dẫn đến phân bố nghiệm không đều.

• Phương pháp giao biên pháp tuyến (Normal Boundary Intersection - NBI): Tìm các điểm trên biên của tập ảnh hàm mục tiêu bằng cách tối ưu hóa theo hướng pháp tuyến vuông góc với đường utopia nối các điểm cực tiểu riêng lẻ của từng hàm mục tiêu. Phương pháp này có thể tìm được các điểm trên phần lõm của mặt Pareto và phân bố nghiệm đều hơn.

Các thuật toán tối ưu được xây dựng dựa trên:

• Phương pháp tựa Newton miền tin cậy: Giúp tối ưu hàm mục tiêu không ràng buộc bằng cách xấp xỉ ma trận Hessian và giới hạn bước di chuyển trong miền tin cậy, đảm bảo hội tụ nhanh và ổn định.

• Phương pháp Lagrange tăng cường: Giải quyết bài toán tối ưu có ràng buộc đẳng thức bằng cách kết hợp hàm Lagrange với hàm phạt, xử lý hiệu quả các ràng buộc trong bài toán phụ của phương pháp NBI.

Các khái niệm chính bao gồm: mặt Pareto, tập nghiệm tối ưu Pareto, hàm mục tiêu đa chiều, gradient, ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, thuật toán tối ưu gradient, và các chỉ số kinh tế như giá trị thu thực (Net Present Value - NPV).

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu là các mô hình mô phỏng mỏ dầu khí dạng 2D chảy hình sông với 13 giếng thẳng đứng (4 giếng khai thác, 9 giếng bơm ép), mô hình dựa trên lưới 25 × 25 × 1 với các tham số địa chất và vận hành thực tế. Số bước thời gian mô phỏng dài hạn là 1800 ngày, ngắn hạn là 360 ngày, với bước điều khiển 180 ngày.

Phương pháp phân tích gồm:

• Áp dụng thuật toán gradient dựa trên phương pháp tựa Newton miền tin cậy để tối ưu hàm tổng hợp trong phương pháp tổng có trọng số.

• Sử dụng thuật toán Lagrange tăng cường kết hợp với phương pháp gradient liên hợp để giải bài toán phụ trong phương pháp giao biên pháp tuyến.

• So sánh hiệu quả giữa ba phương pháp: tổng có trọng số, tổng có trọng số điều chỉnh (điều chỉnh trọng số để cải thiện phân bố nghiệm), và giao biên pháp tuyến.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong năm 2023, bao gồm xây dựng mô hình toán học, phát triển thuật toán, thực hiện mô phỏng và phân tích kết quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Phân bố nghiệm trên mặt Pareto:

   • Phương pháp tổng có trọng số tạo ra các nghiệm tập trung không đều, chủ yếu ở một đầu mặt Pareto, với giá trị thu thực dài hạn dao động trong khoảng 367.85 triệu đến 370.85 triệu đô la khi thay đổi trọng số từ 0 đến 1.
   • Phương pháp tổng có trọng số điều chỉnh cải thiện phân bố nghiệm, tạo ra các điểm tối ưu Pareto phân bố đều hơn, giảm thiểu hiện tượng tập trung nghiệm.
   • Phương pháp giao biên pháp tuyến thu được các nghiệm phân bố đều trên mặt Pareto, bao phủ cả phần lõm của mặt Pareto mà phương pháp tổng có trọng số không thể tìm được.

2. Hiệu quả tối ưu giá trị thu thực:

   • Giá trị thu thực dài hạn tối đa đạt khoảng 3.75 × 10^8 đô la, giá trị thu thực ngắn hạn tối đa khoảng 2.685 × 10^8 đô la.
   • Cho phép giảm giá trị thu thực dài hạn dưới 1% có thể tăng giá trị thu thực ngắn hạn lên khoảng 10%, thể hiện sự cân bằng hiệu quả giữa hai mục tiêu.
   • Phương pháp giao biên pháp tuyến có thể tăng giá trị thu thực ngắn hạn thêm 20.5% trong khi chỉ giảm giá trị thu thực dài hạn khoảng 0.5%.

3. Chi phí tính toán:

   • Phương pháp tổng có trọng số yêu cầu khoảng 1012 lượt chạy mô phỏng tương đương.
   • Phương pháp tổng có trọng số điều chỉnh cần khoảng 1140 lượt chạy.
   • Phương pháp giao biên pháp tuyến tốn kém hơn với khoảng 1392 lượt chạy mô phỏng do xử lý ràng buộc đẳng thức phức tạp.

4. Tối ưu kỳ vọng và độ biến động trong điều kiện không chắc chắn:

   • Sử dụng 6 mô hình dự đoán địa chất khác nhau để đại diện cho sự không chắc chắn.
   • Cả hai phương pháp tổng có trọng số và giao biên pháp tuyến đều hiệu quả trong việc xây dựng mặt Pareto tối ưu kỳ vọng và giảm độ biến động (độ lệch chuẩn) của giá trị thu thực.
   • Giảm độ biến động có thể đạt được đến 27% khi chấp nhận giảm 1% kỳ vọng, hoặc giảm 12.5% độ biến động với mức giảm kỳ vọng nhỏ hơn.
   • Việc giảm độ biến động chủ yếu do giảm giá trị thu thực của các dự đoán có giá trị thu thực cao, trong khi giá trị thu thực của các dự đoán thấp không cải thiện nhiều.

Thảo luận kết quả

Kết quả cho thấy phương pháp giao biên pháp tuyến vượt trội trong việc tìm kiếm nghiệm tối ưu phân bố đều trên mặt Pareto, bao gồm cả phần lõm, điều mà phương pháp tổng có trọng số không thể thực hiện. Tuy nhiên, chi phí tính toán cao hơn là một hạn chế cần cân nhắc trong ứng dụng thực tế.

Việc điều chỉnh trọng số trong phương pháp tổng có trọng số giúp giảm thiểu hiện tượng tập trung nghiệm, cải thiện khả năng mô tả mặt Pareto, đồng thời giảm chi phí tính toán so với phương pháp giao biên pháp tuyến.

Kết quả tối ưu kỳ vọng và độ biến động phản ánh tính thực tiễn trong khai thác mỏ dầu khí khi phải đối mặt với sự không chắc chắn về địa chất. Việc cân bằng giữa kỳ vọng lợi nhuận và rủi ro biến động là cần thiết để đảm bảo hiệu quả khai thác bền vững.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ mặt Pareto, biểu đồ phân bố nghiệm, và bảng so sánh chi phí tính toán, giúp trực quan hóa hiệu quả và phân bố nghiệm của các phương pháp.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Áp dụng phương pháp giao biên pháp tuyến trong tối ưu khai thác mỏ:

   • Động từ hành động: Triển khai
   • Target metric: Tăng phân bố nghiệm đều trên mặt Pareto, tối ưu đồng thời giá trị thu thực dài hạn và ngắn hạn
   • Timeline: 6-12 tháng
   • Chủ thể thực hiện: Các công ty khai thác dầu khí, nhóm nghiên cứu tối ưu hóa

2. Sử dụng phương pháp tổng có trọng số điều chỉnh để cân bằng chi phí và hiệu quả:

   • Động từ hành động: Áp dụng
   • Target metric: Giảm chi phí tính toán trong khi duy trì chất lượng nghiệm tối ưu
   • Timeline: 3-6 tháng
   • Chủ thể thực hiện: Các nhà phân tích dữ liệu, kỹ sư tối ưu hóa

3. Phát triển mô hình dự báo mỏ đa dự đoán để xử lý không chắc chắn địa chất:

   • Động từ hành động: Xây dựng
   • Target metric: Tối ưu kỳ vọng và giảm độ biến động giá trị thu thực
   • Timeline: 12 tháng
   • Chủ thể thực hiện: Viện nghiên cứu, các chuyên gia địa chất và mô phỏng

4. Tích hợp các thuật toán tối ưu gradient vào phần mềm điều hành khai thác:

   • Động từ hành động: Tích hợp
   • Target metric: Tăng tốc độ hội tụ và độ chính xác của giải pháp tối ưu
   • Timeline: 6 tháng
   • Chủ thể thực hiện: Đội ngũ phát triển phần mềm, kỹ sư tự động hóa

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Chuyên gia và kỹ sư khai thác dầu khí:

   • Lợi ích: Áp dụng các phương pháp tối ưu đa mục tiêu để nâng cao hiệu quả khai thác, giảm thiểu rủi ro và chi phí vận hành.
   • Use case: Thiết kế chiến lược bơm ép nước tối ưu cho mỏ dầu thực tế.

2. Nhà nghiên cứu và sinh viên ngành toán ứng dụng, kỹ thuật tối ưu:

   • Lợi ích: Nắm bắt các thuật toán tối ưu gradient, phương pháp tổng có trọng số và giao biên pháp tuyến trong bài toán đa mục tiêu.
   • Use case: Phát triển thuật toán tối ưu mới hoặc nghiên cứu sâu về tối ưu đa mục tiêu.

3. Các công ty phần mềm mô phỏng và tối ưu hóa mỏ dầu khí:

   • Lợi ích: Tích hợp các thuật toán tối ưu hiệu quả vào sản phẩm phần mềm, nâng cao tính cạnh tranh.
   • Use case: Cải tiến công cụ mô phỏng khai thác mỏ với khả năng xử lý đa mục tiêu và không chắc chắn.

4. Nhà quản lý và hoạch định chiến lược ngành dầu khí:

   • Lợi ích: Hiểu rõ các yếu tố ảnh hưởng đến hiệu quả khai thác và rủi ro, từ đó đưa ra quyết định đầu tư hợp lý.
   • Use case: Đánh giá các kịch bản khai thác dựa trên mặt Pareto tối ưu.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương pháp tổng có trọng số có những hạn chế gì trong tối ưu đa mục tiêu?
   Phương pháp này không thể tìm được các điểm trên phần lõm của mặt Pareto và thường tạo ra nghiệm tập trung không đều, gây khó khăn trong việc mô tả toàn diện tập nghiệm tối ưu. Ví dụ, trong nghiên cứu, các nghiệm tập trung chủ yếu ở một đầu mặt Pareto.

2. Phương pháp giao biên pháp tuyến có ưu điểm gì so với phương pháp tổng có trọng số?
   Phương pháp giao biên pháp tuyến có thể tìm được các điểm trên phần lõm của mặt Pareto và phân bố nghiệm đều hơn, giúp mô tả chính xác hơn tập nghiệm tối ưu. Tuy nhiên, chi phí tính toán cao hơn do xử lý ràng buộc phức tạp.

3. Làm thế nào để xử lý sự không chắc chắn trong mô hình mỏ dầu khí?
   Sử dụng nhiều mô hình dự đoán địa chất khác nhau để đại diện cho sự không chắc chắn, sau đó tối ưu đồng thời kỳ vọng và độ biến động của giá trị thu thực. Phương pháp này giúp cân bằng giữa lợi nhuận kỳ vọng và rủi ro.

4. Chi phí tính toán của các phương pháp tối ưu như thế nào?
   Phương pháp tổng có trọng số yêu cầu khoảng 1012 lượt chạy mô phỏng, tổng có trọng số điều chỉnh khoảng 1140 lượt, và giao biên pháp tuyến khoảng 1392 lượt. Chi phí cao hơn của giao biên pháp tuyến do xử lý ràng buộc đẳng thức phức tạp.

5. Có thể áp dụng các phương pháp này cho các mỏ dầu khác không?
   Có thể, các phương pháp tối ưu gradient đa mục tiêu và thuật toán Lagrange tăng cường có tính tổng quát cao, phù hợp với nhiều mô hình mỏ dầu khí khác nhau, đặc biệt khi cần cân bằng nhiều mục tiêu khai thác.

Kết luận

• Luận văn đã phát triển và áp dụng thành công các phương pháp gradient cho bài toán tối ưu đa mục tiêu trong khai thác dầu khí bằng bơm ép nước, bao gồm phương pháp tổng có trọng số và giao biên pháp tuyến.
• Phương pháp giao biên pháp tuyến cho phép tìm nghiệm phân bố đều trên mặt Pareto, bao gồm cả phần lõm, trong khi phương pháp tổng có trọng số điều chỉnh cải thiện phân bố nghiệm và giảm chi phí tính toán.
• Ứng dụng thực tế trên mô hình mỏ dầu chảy hình sông cho thấy khả năng tăng giá trị thu thực ngắn hạn lên đến 20.5% với sự giảm nhẹ giá trị thu thực dài hạn, đồng thời giảm độ biến động trong điều kiện không chắc chắn địa chất.
• Chi phí tính toán của các phương pháp được đánh giá và so sánh, cung cấp cơ sở lựa chọn phù hợp cho từng mục tiêu và điều kiện thực tế.
• Đề xuất tiếp theo là triển khai các thuật toán này vào phần mềm điều hành khai thác và mở rộng nghiên cứu cho các mô hình mỏ phức tạp hơn, đồng thời tích hợp xử lý không chắc chắn sâu hơn.

Call-to-action: Các nhà nghiên cứu và kỹ sư khai thác dầu khí được khuyến khích áp dụng và phát triển thêm các phương pháp tối ưu đa mục tiêu dựa trên gradient để nâng cao hiệu quả khai thác và quản lý rủi ro trong ngành dầu khí.