Chương 1 vẫn đúng đối với dạng thời gian rời rạc của (1.1) Δ 2 Δ với Δ > 0 là bước thời gian (cố định), ( +1 ) ∈ℕ là dãy cho trước trong ℝ hội tụ về 0 khi tiến tới ∞, và ( ) ∈ℕ là một dãy trong ℝ. Xét thuật toán backward Euler cho (1.2) với Δ > 0 là bước thời gian cố định: Cho ( 0 , 0 ) ∈ ℝ × ℝ và với = 0, 1, 2, … , ( +1 , +1 ) ∈ ℝ × ℝ thỏa: +1 − = +1, Δ +1 − =− +1 −∇ ( +1 )+ +1 , trong đó ( ) ∈ℕ là dãy cho trước trong ℝ. Chú ý rằng ta có có thể nhận được (2.2) bằng cách khử và Δt +1 +1 {. Ta giả sử là tiền lồi, nghĩa là tồn tại ≥ 0 sao cho: ⟨∇ ( )−∇ ( ), − ⟩≥− ‖ − ‖2 ;∀ , ∈ℝ , (2.
⟩ là tích vô hướng Euclidean trên ℝ kiện Lipschitz một bên, giả thiết này tương đương .3) còn được gọi là điều với giả thiết hàm: ⟼()+ ‖ ‖2 2 là lồi. Từ đó dẫn đến hệ quả của (2.3) là hàm thỏa mãn: ( )≥ ( )+⟨∇ ( ), − ⟩− ‖−‖ 2 ,∀ , ∈ ℝ .4) là hệ quả của (2.3) là do định lý sau: 11 Định lý Cho ánh xạ ∶ ℝ → ℝ, các mệnh đề sau là tương đương 1. là hàm lồi, nghĩa là: ∀ ,∈ℝ, ( +(1− ) )≤ ( )+(1− ) ( ), ∈[0,1]. Chứng minh Ta dễ dàng chứng minh định lý trong trường hợp = 1.
Vì là hàm lồi nên cũng là hàm lồi, do đó (1) ≥ (0) + ′(0), hay ( )≥ ( )+⟨∇ ( ), − ⟩. Cộng hai bất đẳng thức trên vế theo vế ta được ⟨∇ ( ) − ∇ ( ), − ⟩ ≥ 0. Áp dụng giả thiết (3) với ≔ + (1 − ) , ≔ ̅ + (1 − ̅) ta được ′ ′ ′ ( ()− ( ̅))( − ̅)≥ 0. Vậy là hàm lồi.
■ Áp dụng định lý trên với hàm lồi ( ) + 2 ‖ ‖ ta được (2.4) là hệ quả của (2. 2 Chú ý rằng nếu thỏa mãn (2.3) với < 0 thì khi đó là lồi nghiêm ngặt và có nhiều nhất một điểm tới hạn. Trong trường hợp này việc hội tụ về điểm cân bằng đã được chứng minh (tham khảo [2]). Trong trường hợp lồi ( = 0) cũng đã được nghiên cứu rộng rãi (xem [11] và trong các tài liệu tham khảo).
Ở đây chúng ta sẽ xét trường hợp > 0.5) =0 hoặc tồn tại > 0 sao cho ∞ sup ( +1 ∑‖ ‖ ) < ∞.6) ∈ℕ = ⟶ 0 khi ⟶ ∞, do đó thuật toán (2.2) là tiến hóa +1 +1 Hơn nữa, nếu ( ) được cho bởi công thức: +1 Chú ý rằng nếu thỏa mãn (2.6) thì sẽ thỏa mãn (2.5), và bảo cả hai điều kiện đều đảm tiêu tán. 1 +1 +1 ≔ ∫( )d trong đó = Δ , = 0, 1, 2, … Δ với thỏa mãn (1.3) thì khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 13 ∞ ∞ 1 +1 +1 ∑‖ ‖ = +1 2 +1 ∑‖ Δ = = ∞ +1 ≤ +1 ∑∫ ‖ ( )‖2d = 1 ∞ = +1 ∫ 2 ‖ ( )‖ d , Δ +1 do đó ( ) thỏa mãn (2. Ngược lại, nếu ( ) thỏa mãn (2.6), khi đó hàm được cho bởi công thức: +1 +1 ≡ +1 trên [ , +1), thỏa mãn (1. Vậy điều kiện (2.6) là dạng rời rạc của điều kiện (1.1 Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định Lyapunov Mệnh đề 2.3) và Δ 2 + Δ > , hoặc nếu infℝ > −∞ (không có giả thiết nào đối với Δ > 0), thì khi đó với mọi ( , ) ∈ ℝ × ℝ , tồn 1 0 0 tại ít nhất một dãy ( , ) ∈ℕ thỏa mãn (2.
Chứng minh Với ( , ) ∈ ℝ × ℝ , ta chỉ cần chỉ ra tồn tại ( , ) thỏa mãn (2.2), bằng cách khử +1 +1 +1 +1 trong (2.2), ta thấy rằng bất kì nghiệm của (2.7) Δ 2 Δ Δ +1 và ngược lại, nếu thỏa mãn (2.7), bằng cách đặt − +1 = +1 , ta thấy rằng ( +1 , +1 ) thỏa mãn (2. 2Δ 2 2Δ Δ 14 +1 +1 Chú ý rằng thỏa mãn (2.7) khi và chỉ khi ∇ ( ) = 0. Thật vậy, với = (,,…, ), +1 =( +1 , +1 ,…, +1 ), +1 =( +1 , +1 ,…, +1 ) 1 2 1 2 1 2 và +1 = ( +1 , +1 ,…, +1 ) thì ∇ ( +1 ) = 0 khi và chỉ khi: 1 2 1 ( +1 )=( + )( +1 − )− + ( +1 )− +1 = 0, Δ2 Δ Δ +1 với = 1,. Đẳng thức trên tương đương với thỏa mãn (2.
Nếu inf > −∞ thì ( ) ⟶ ∞ khi ‖ ‖ ⟶ ∞, do đó với ∈ℝ cố định, ℝ 0 tồn tại > 0 thỏa ( )> ( 0),∀ ∈ℝ ,‖ ‖≥. Suy ra inf ( ) = inf ( ). ∈ℝ ∈ℝ ‖ ‖≤ Đặt ≔ inf ( ), ∈ℝ ‖ ‖≤ không gian metric compact, ( ) là dãy bị chặn nên tồn tại dãy con ( ) và ∈ ℝ sao cho lim =. Hơn nữa do liên tục trên ℝ nên khi đó tồn tại ( ) ∈ℕ sao cho ‖ ‖ ≤ , ∀ ∈ ℕ và lim →∞ ( ) =.
Do ℝ là ∗ ∗ ), →∞ = lim ( ) = ( ∗ →∞ hay argmin{ ( )∶ ∈ ℝ } ≠ ∅, Tương tự, nếu thỏa mãn (2.4) với = và = , ta được: ) ≥ (2Δ 2+2Δ − 2)‖ ‖2−⟨Δ 1 ( − + +1 , − ⟩+ ( ). 15 + − > 0 thì ( ) ⟶ ∞ khi ‖ ‖ ⟶ ∞, lập luận như phần 1 Do đó nếu 2Δ 2 2Δ 2 trên, ta có thể chỉ ra tồn tại +1 là cực tiểu củatrên ℝ. ■ Tính tiền lồi của còn cho ta tính duy nhất khi Δ đủ nhỏ: 1 Mệnh đề 2.3) và + > thì với mỗi Δ 2 Δ ( , ) ∈ ℝ × ℝ , tồn tại nhiều nhất một ( +1 , +1 ) thỏa mãn (2. Chứng minh Ta biết rằng ( +1 , ) thỏa mãn (2.2) khi và chỉ khi +1 +1 thỏa mãn +1 +1− +1 ̅ +1 (2.
Giả sử và đều thỏa mãn (2. Nhân hai vế vớivà áp dụng (2. Δ 2 Δ Sử dụng giả thiết về tính đủ nhỏ của Δ , ta suy ra= 0. ■ Năng lượng của hệ được định nghĩa (như trong trường hợp liên tục) bằng công thức: ( , )≔ ‖ ‖2 +().
Giả sử thỏa mãn (2. Nếu Δ 2 ( , ) ∈ℕ là một dãy thỏa mãn (2.2) thì với > 0 đủ nhỏ, Δ Δ ( , ) + (1 − − )Δ ‖ ‖ ≤(,) + ‖ ‖, (2. Chứng minh Tích vô hướng hai vế của phương trình thứ hai của (2.2) với +1 − =Δ +1 , ta được, với mọi ≥ 0, +1 2 (‖ ‖ −⟨ , +1 ⟩) = −Δ ‖ +1 2 ‖ − ⟨∇ ( +1 ), +1 − ⟩ +Δ ⟨ +1 , +1 ⟩. = = +1 16 Áp dụng bất đẳng thức (2.4) với và , và bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, ta được: 2 (‖ ‖ − ‖ ‖2) ≤ −Δ ‖ +1 2 ‖ + ( )− ( +1 2 +1 )+ 2 ‖ +1 − ‖2 1 + Δ ‖ ‖ + Δ ‖ ‖ , +1 2 +1 2 4 từ đó suy ra điều phải chứng minh.4 Chú ý rằng nếu ≥ 0 đủ nhỏ, chúng ta có thể chọn Δ thỏa mãn điều 1 1 kiện ổn định > nhưng không thỏa mãn điều kiện duy nhất + >.
Δ 2 Δ 2 Δ Ta định nghĩa tập − limit của dãy ( ) : ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (( ) ) = { ∗ ∈ ℝ ∶ ∃ → ∞ sao cho → ∗ }= (2.9) ⋂⋃{ }, ≥0 ≥ và xét tập đã nêu ở Chương 1 ≔{ ∗∈ℝ ∶∇ ( ∗)}=0.10) Với một tập con của ℝ và một điểm ∈ ℝ , ( , ) gọi là khoảng cách từ điểm đếm tập hợp , được định nghĩa bởi công thức ( , ) ≔ inf ‖ − ∈ ‖. Ổn định Lyapunov dẫn đến một hệ quả nổi tiếng sau đây: Hệ quả 2.5 Giả sử thỏa mãn (2. Cho ( , ) là một dãy thỏa mãn (2.11) Chứng minh Bằng phép quy nạp, từ (2. Tính bị chặn của ( ) và tính chất vừa được chứng minh Δ = − ⟶ 0 khi ⟶ ∞ đảm bảo rằng +1 +1 =0 (( ) ) là tập compact liên thông khác rỗng và (2.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Thật vậy theo định nghĩa (( ) ) = ⋂ ≥0 ⋃ ≥ { } là tập đóng, hơn nữa ( ) bị chặn nên (( ) ) là tập đóng và bị chặn trong ℝ , suy ra (( ) ) là tập compact. 1 2 1 2 1 2 X ét ∈ ∩(() ) và ∈ ∩(() ), khi đó tồn tại > 0, ⟶∞ 1 2 0 ℎ ⟶ ∞ sao cho ( , ) ⊂ ,( ,)⊂ , lim = , lim =. ℎ 0 1 0 1 ⟶∞ ℎ⟶∞ Với > 0, tồn tại , , ℎ ∈ ℕ,ℎ ≥ ≥ sao cho 0 2 2 2 2 2 2 2 , và ‖ +1 − ‖< ,∀ ≥. 0 0 0 ‖ 2−‖< ,‖ ℎ2− ‖< 2 2 2 2 Ta thấy 2 ∈,ℎ2 ∈ và ∩ = ∅ nên 1 2 1 2 ≔ và ≥ ≥ }, 2 max { ∶ ∈ ℎ 1 2 2 thỏa mãn , hơn nữa do +1 2 ∉ ≥ ≥ nên ‖ 2 +1 − 2‖ < 0.
2 2 1 2 2 Với > 0, tồn tại , , ℎ ∈ ℕ,ℎ ≥ ≥ > ℎ sao cho 0 3 3 3 3 3 3 3 2 , và ‖ +1 − ‖< ,∀ ≥. 0 0 0 ‖ 3−‖< ,‖ ℎ3− ‖< 3 3 3 3 Ta thấy 3 ∈,ℎ3 ∈ và ∩ = ∅ nên 1 2 1 2 ≔ và ≥ ≥ }, 3 max { ∶ ∈ ℎ 1 3 3 thỏa mãn , hơn nữa do +1 3 ∉ ≥ ≥ nên ‖ 3 +1 − 3‖ < 0. 3 3 1 3 3 18 Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng được dãy con () của ( ) thỏa mãn ∩ = ∅ và ‖ +1 − ‖< ,∀. 0 ( )⊂ ,( ) +1 1 1 Do () là dãy con của ( ) nên ( ) bị chặn, suy ra tồn tại dãy con ( ) của () sao cho ( ) và ( +1 ) hội tụ, hơn nữa do ‖ +1 − ‖< 0 nên ,∀ ∗ ≔ lim = lim +1 .