Tổng quan luận án

Phương trình Hamilton-Jacobi cấp một là lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như cơ học cổ điển và lý thuyết điều khiển tối ưu tất định (dưới dạng phương trình quy hoạch động Hamilton-Jacobi-Bellman). Do tính chất phi tuyến, phương trình này nhìn chung không tồn tại nghiệm cổ điển khả vi, đòi hỏi việc phát triển các khái niệm nghiệm suy rộng, tiêu biểu là nghiệm nhớt. Khái niệm nghiệm nhớt ban đầu được xây dựng trên cơ sở dưới vi phân Fréchet và thường đòi hỏi tính trơn của chuẩn không gian nền. Tuy nhiên, trên nhiều không gian Banach vô hạn chiều quan trọng (chẳng hạn như không gian $L^1$ hay $\ell_1$), chuẩn không khả vi Fréchet. Để khắc phục hạn chế này, các nhà toán học đã đưa vào khái niệm borno $\beta$ và dưới vi phân $\beta$-nhớt. Mặc dù vậy, các nghiên cứu trước đây về tính duy nhất của nghiệm $\beta$-nhớt thường đòi hỏi giả thiết tính chất Radon-Nikodym hoặc thu hẹp trong lớp hàm liên tục đều và bị chặn, đồng thời các giả thiết về tính bị chặn của hàm chi phí trong bài toán điều khiển tối ưu trên mạng lưới, khớp nối còn tương đối ngặt nghèo. Khoảng trống nghiên cứu được luận án của nghiên cứu sinh Phan Trọng Tiến tập trung giải quyết là: xây dựng hệ thống tính chất của dưới vi phân $\beta$-nhớt; thiết lập tính duy nhất, tồn tại và ổn định của nghiệm $\beta$-nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi dạng tổng quát trong không gian Banach mà không sử dụng giả thiết Radon-Nikodym, mở rộng lớp nghiệm sang các hàm liên tục và hàm không bị chặn; áp dụng nghiệm $\beta$-nhớt để tìm điều kiện tối ưu trong không gian vô hạn chiều; và giải quyết bài toán điều khiển tối ưu trên khớp nối trong trường hợp hàm chi phí không bị chặn với tốc độ tăng trưởng mũ hoặc đa thức.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định cụ thể gồm bốn nhiệm vụ:

  1. Khảo sát các tính chất giải tích của dưới vi phân $\beta$-nhớt, chứng minh nguyên lý biến phân trơn và thiết lập quy tắc tổng mờ cho các hàm nửa liên tục dưới trên không gian Banach có chuẩn $\beta$-trơn hoặc thỏa mãn giả thiết tồn tại hàm bướu $(H_\beta^*)$.
  2. Chứng minh tính duy nhất của nghiệm $\beta$-nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi dạng $u + H(x, Du) = 0$ và dạng tổng quát $u + H(x, u, Du) = 0$ trên tập mở $\Omega$ của không gian Banach trong lớp hàm liên tục bị chặn và lớp hàm liên tục không bị chặn; chứng minh tính ổn định và sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp Perron.
  3. Ứng dụng nghiệm $\beta$-nhớt để chứng minh hàm giá trị của bài toán điều khiển tối ưu thời gian vô hạn trên không gian Banach là nghiệm $\beta$-nhớt duy nhất của phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman tương ứng; thiết lập điều kiện cần và điều kiện đủ cho điều khiển tối ưu.
  4. Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu trên khớp nối với hàm chi phí không bị chặn: khảo sát tính liên tục và tính Lipschitz địa phương của hàm giá trị tại đỉnh; chứng minh nguyên lý so sánh và tính duy nhất nghiệm nhớt; xác lập điều kiện cần, điều kiện đủ và xây dựng điều khiển phản hồi tối ưu.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là khái niệm dưới vi phân $\beta$-nhớt, nghiệm $\beta$-nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi cấp một dừng, hàm giá trị và các điều kiện tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu tất định. Phạm vi nghiên cứu về không gian bao gồm không gian Banach thực vô hạn chiều $X$ (như $\ell_1, \ell_2, L^p$), các tập con mở $\Omega \subset X$, và không gian hình học khớp nối $G$ gồm $N$ tia $J_i = [0, +\infty)e_i$ giao nhau tại điểm gốc $O$. Phạm vi bài toán tập trung vào bài toán biên Dirichlet đối với phương trình Hamilton-Jacobi cấp một và bài toán điều khiển tối ưu dừng với khoảng thời gian vô hạn $[0, +\infty)$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến được khởi xướng từ đầu những năm 1980 bởi M. G. Crandall và P. L. Lions (1983), sau đó được phát triển đồng thời bởi L. C. Evans cùng nhiều nhà toán học. Tên gọi "nghiệm nhớt" bắt nguồn từ phương pháp triệt tiêu độ nhớt đối với phương trình cấp hai. Ban đầu, nghiệm nhớt được định nghĩa thông qua dưới vi phân Fréchet. Về sau, để nghiên cứu các bài toán trên không gian vô hạn chiều thiếu tính trơn của chuẩn, khái niệm này được tổng quát hóa thành nghiệm $\beta$-nhớt thông qua borno $\beta$, được định hình qua các nghiên cứu của R. Deville, G. Godefroy, V. Zizler (1993) và J. M. Borwein (1999).

Trong bài toán Dirichlet đối với phương trình Hamilton-Jacobi, việc chứng minh tính duy nhất nghiệm là khâu phức tạp nhất, chủ yếu dựa trên kỹ thuật gấp đôi số biến phối hợp với các nguyên lý biến phân trơn. Deville, Godefroy và Zizler (1993) đã chứng minh nguyên lý biến phân trơn trên không gian Banach $X$ có hàm bướu $\beta$-khả vi để xử lý phương trình $u + F(Du) = f$. Tiếp đó, Borwein (1999) đã sử dụng nguyên lý này để chứng minh tính duy nhất nghiệm $\beta$-nhớt trong lớp hàm liên tục đều và bị chặn cho phương trình $u + H(x, Du) = 0$. Đối với phương trình dạng tổng quát $u + H(x, u, Du) = 0$, Crandall và Lions (1990) đã thiết lập tính duy nhất nghiệm Fréchet-nhớt nhưng phải viện dẫn đến giả thiết hình học ngặt nghèo là tính chất Radon-Nikodym của không gian Banach. Về phương diện lý thuyết điều khiển tối ưu, J. Zabczyk (1992, 1995) đã hệ thống hóa các kết quả trên không gian hữu hạn chiều và không gian Hilbert; D. Cannarsa và H. Frankowska (1991) đã xây dựng các điều kiện tối ưu trong không gian hữu hạn chiều thông qua dưới vi phân Fréchet. Đối với phương trình Hamilton-Jacobi trên khớp nối và mạng lưới, các công trình của Y. Achdou, F. Camilli, A. Cutrì, N. Marchi (2013), C. Imbert, R. Monneau, H. Zidani (2013) và Khang (2015) đã nghiên cứu nguyên lý so sánh và tính duy nhất của nghiệm nhớt, song đều dựa trên giả thiết hàm chi phí $\ell_i$ là liên tục và bị chặn.

Vị trí của luận án được xác lập thông qua việc giải quyết các khoảng trống còn tồn tại: loại bỏ hoàn toàn giả thiết Radon-Nikodym trong việc chứng minh tính duy nhất nghiệm cho phương trình Hamilton-Jacobi tổng quát; mở rộng lớp hàm nghiệm từ liên tục đều sang liên tục, và từ lớp hàm bị chặn sang lớp hàm không bị chặn; mở rộng bài toán điều khiển tối ưu từ không gian hữu hạn chiều sang không gian Banach tổng quát bằng công cụ nghiệm $\beta$-nhớt; đồng thời thay thế giả thiết bị chặn của hàm chi phí trên khớp nối bằng các điều kiện tăng trưởng tổng quát hơn là tăng trưởng hàm mũ và tăng trưởng hàm đa thức.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết của luận án dựa trên giải tích không trơn, lý thuyết toán tử và giải tích hàm hiện đại. Tác giả sử dụng hệ thống khái niệm chuẩn tắc:

  • Borno $\beta$ trên không gian Banach $X$: họ các tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của $X$, phủ toàn bộ không gian $X$, đóng kín với phép nhân vô hướng và phép hợp hữu hạn. Bốn borno tiêu chuẩn được xem xét gồm: Fréchet ($\mathcal{F}$ - các tập đóng, bị chặn), Hadamard ($\mathcal{H}$ - các tập compact), Hadamard yếu ($\mathcal{WH}$ - các tập compact yếu, đóng), và Gâteaux ($\mathcal{G}$ - các tập hữu hạn).
  • Tôpô $\tau_\beta$ trên không gian đối ngẫu $X^$: tôpô hội tụ đều trên các tập thuộc họ $\beta$, tạo thành không gian véctơ tôpô $X_\beta^$, thỏa mãn chuỗi bao hàm thức $\tau_{\mathcal{G}} \subset \tau_{\mathcal{H}} \subset \tau_{\mathcal{WH}} \subset \tau_{\mathcal{F}}$.
  • Dưới vi phân $\beta$-nhớt $D_\beta^- f(x)$ và trên vi phân $\beta$-nhớt $D_\beta^+ f(x)$: được xác định thông qua độ dốc của các hàm thử $g$ địa phương Lipschitz, $\beta$-trơn tiếp xúc dưới hoặc tiếp xúc trên với đồ thị hàm $f$.
  • Không gian thỏa mãn giả thiết $(H_\beta)$ và $(H_\beta^)$: không gian Banach tồn tại hàm bướu $b$ Lipschitz, bị chặn, $\beta$-khả vi và có đạo hàm $\nabla_\beta b: X \to X_\beta^$ liên tục.
  • Khớp nối $G$: tập hợp các tia bán thẳng $J_i = [0, +\infty)e_i$ ($i = 1, \dots, N$) gắn kết với nhau tại điểm gốc tọa độ $O$.

Phương pháp nghiên cứu thực tế của luận án là phương pháp toán học giải tích thuần túy, mang tính định tính định lý, không sử dụng kỹ thuật tính toán số hay thống kê thực nghiệm. Các kỹ thuật toán học chủ đạo bao gồm:

  • Kỹ thuật gấp đôi số biến (doubling of variables): kỹ thuật trung tâm trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến nhằm khử số hạng đạo hàm của nghiệm khi so sánh hai hàm nghiệm dưới và nghiệm trên.
  • Nguyên lý biến phân trơn Deville-Godefroy-Zizler: công cụ tạo ra các điểm cực trị bị nhiễu bởi hàm trơn, cho phép trích xuất các vectơ dưới vi phân có kiểm soát độ lớn chuẩn.
  • Phương pháp Perron mở rộng: xây dựng nghiệm nhớt thông qua bao trên của họ các nghiệm dưới bị chặn trên bởi một nghiệm trên cho trước.
  • Phương pháp đánh giá giải tích và nguyên lý quy hoạch động Bellman: phân tích các hàm giá trị trong lý thuyết điều khiển tối ưu, đánh giá môđun liên tục địa phương và ước lượng chặn trên thông qua các hàm tăng trưởng mũ hoặc đa thức.

Nguồn tư liệu của luận án là các hệ tiên đề toán học giải tích, các định lý và kết quả giải tích hàm đã được công bố trên các tạp chí chuyên ngành quốc tế trong danh mục tài liệu tham khảo.

Nội dung chính theo từng chương

Chương Tên chương trong văn bản Luận điểm và kết quả trung tâm
Chương 1 Dưới vi phân $\beta$-nhớt Khảo sát 4 loại borno và tính khả vi tương ứng; phân tích phản ví dụ; thiết lập quan hệ định lượng trong nguyên lý biến phân trơn; chứng minh quy tắc tổng mờ không cần tính nửa liên tục dưới địa phương đều.
Chương 2 Nghiệm $\beta$-nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi trong không gian Banach Chứng minh tính duy nhất nghiệm bị chặn cho phương trình $u + H(x, Du) = 0$ và dạng tổng quát; thiết lập nguyên lý so sánh cho nghiệm không bị chặn với giả thiết $(H0)-(H3)$; chứng minh tính ổn định và sự tồn tại bằng phương pháp Perron.
Chương 3 Ứng dụng của nghiệm $\beta$-nhớt đối với bài toán điều khiển tối ưu Chứng minh hàm giá trị $V(x)$ (kể cả không bị chặn) là nghiệm $\beta$-nhớt duy nhất của phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman; thiết lập điều kiện cần và điều kiện đủ cho điều khiển tối ưu trên không gian Banach vô hạn chiều.
Chương 4 Phương trình Hamilton-Jacobi với bài toán điều khiển tối ưu trên khớp nối với hàm chi phí không bị chặn Khảo sát hàm giá trị với hàm chi phí thỏa mãn giả thiết tăng trưởng mũ $(H2)$ hoặc đa thức $(H2)^*$; chứng minh tính liên tục trên $G$, tính Lipschitz tại $O$; thiết lập nguyên lý so sánh và tính duy nhất nghiệm nhớt; đưa ra điều kiện tối ưu và điều khiển phản hồi.

Chương 1. Dưới vi phân $\beta$-nhớt

Chương này tập trung xây dựng cơ sở giải tích về tính $\beta$-khả vi và dưới vi phân $\beta$-nhớt trên không gian Banach $X$. Tác giả làm rõ mối liên hệ giữa các loại borno: borno Fréchet $\mathcal{F}$, Hadamard $\mathcal{H}$, Hadamard yếu $\mathcal{WH}$, và Gâteaux $\mathcal{G}$, từ đó suy ra thứ bậc khả vi: khả vi Fréchet kéo theo khả vi Hadamard yếu, kéo theo khả vi Hadamard, và kéo theo khả vi Gâteaux. Trên không gian phản xạ, tính khả vi Fréchet tương đương với khả vi Hadamard yếu; trên không gian hữu hạn chiều $\mathbb{R}^n$, ba khái niệm Fréchet, Hadamard yếu và Hadamard trùng nhau; còn trên $\mathbb{R}$, tính khả vi Gâteaux và Fréchet là đồng nhất.

Để chứng minh chiều ngược lại nhìn chung không đúng, chương 1 trình bày ba phản ví dụ giải tích:

  1. Hàm $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ với $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^6 + y^2}$ khi $(x, y) \neq (0, 0)$ và $f(0, 0) = 0$ là hàm khả vi Gâteaux tại gốc tọa độ với đạo hàm $\nabla_G f(0, 0) = (0, 0)$, nhưng không khả vi Fréchet và do đó không khả vi Hadamard trên $\mathbb{R}^2$.
  2. Trên không gian Hilbert $\ell_2$, xét hàm liên tục Lipschitz $f(x) = \sup_{n \ge 1} {2\langle e_n, x\rangle - \frac{1}{n}}$: tác giả chứng minh $f$ khả vi Hadamard tại gốc tọa độ với $f'(0) = 0$, nhưng không khả vi Hadamard yếu do dãy cơ sở chính tắc $(e_n)$ hội tụ yếu về 0 nhưng tỷ số sai phân dọc theo hướng $t_n e_n$ (với $t_n = \frac{1}{n^2}$) không tiến về 0.
  3. Trên không gian $\ell_1$, chuẩn tổng trị tuyệt đối $|x| = \sum_{n=0}^\infty |x_n|$ là hàm Lipschitz khả vi Hadamard yếu tại các điểm có tọa độ khác không, nhưng không khả vi Fréchet tại bất kỳ điểm nào.

Về cấu trúc của dưới vi phân $\beta$-nhớt, tác giả chứng minh $D_\beta^- f(x)$ là tập lồi; nếu $D_\beta^- f(x)$ và $D_\beta^+ f(x)$ cùng khác rỗng thì hàm $f$ khả vi $\beta$ tại $x$; và với hàm lồi thì dưới vi phân $\beta$-nhớt trùng với dưới vi phân kinh điển trong giải tích lồi. Đóng góp kỹ thuật trọng tâm của chương 1 là Mệnh đề 1.5 và Định lý 1.3:

  • Mệnh đề 1.5 cải biên nguyên lý biến phân trơn Deville trên không gian thỏa mãn $(H_\beta^*)$ cho hàm nửa liên tục trên $u$ và nửa liên tục dưới $v$, thiết lập đánh giá định lượng bổ sung: $\sqrt{|x-y|}\sqrt{|p|} < C\varepsilon$ và $\sqrt{|x-y|}\sqrt{|q|} < C\varepsilon$ với $p \in D_\beta^+ u(x)$ và $q \in D_\beta^- v(y)$.
  • Định lý 1.3 và Định lý 1.4 thiết lập quy tắc tổng mờ cho $N$ hàm nửa liên tục dưới $f_1, \dots, f_N$ bị chặn dưới trên không gian Banach có chuẩn tương đương chuẩn $\beta$-trơn. Kết quả này nới lỏng giả thiết so với Định lý 2.9 của J. M. Borwein (1999) bằng cách loại bỏ đòi hỏi bộ hàm $(f_1, \dots, f_N)$ phải nửa liên tục dưới địa phương đều.

Chương 2. Nghiệm $\beta$-nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi trong không gian Banach

Chương 2 nghiên cứu tính đặt chỉnh của bài toán Dirichlet cho phương trình Hamilton-Jacobi cấp một: $$u + H(x, u, Du) = 0 \quad \text{trên } \Omega \subset X, \quad u = \phi \quad \text{trên } \partial\Omega$$ Tác giả bắt đầu bằng việc so sánh các khái niệm nghiệm: đưa ra ví dụ hàm $u = 1 - |x|$ trên $\mathbb{R}$ là nghiệm $G$-nhớt nhưng không là nghiệm cổ điển; và Ví dụ 2.2 trên không gian $\ell_1$ với phương trình $u(x) + 1 - u + |Du| = 0$, chứng minh hàm chuẩn $u(x) = |x|$ là nghiệm $F$-nhớt nhưng không phải là nghiệm $G$-nhớt (do tính lồi làm triệt tiêu trên vi phân Fréchet nhưng lại có đạo hàm Gâteaux vi phạm bất đẳng thức nghiệm dưới).

Đối với lớp nghiệm bị chặn, chương 2 chứng minh:

  • Định lý 2.1: Cho không gian Banach $X$ thỏa mãn giả thiết $(H_\beta^)$, xét phương trình $u + H(x, Du) = 0$. Giả thiết $(A)$ về hàm Hamilton cho phép chặn sai số có chứa số hạng căn bậc hai của chuẩn vectơ liên hợp: $|H(x, x^) - H(y, y^)| \le w(x-y, x^-y^) + K \max(\sqrt{|x^|}, \sqrt{|y^*|}) |x-y|$. Sử dụng Mệnh đề 1.5, tác giả chứng minh nguyên lý so sánh $u \le v$ và khẳng định tính duy nhất của nghiệm $\beta$-nhớt liên tục, bị chặn mà không cần giả thiết liên tục đều như công trình của Borwein.
  • Định lý 2.2 và Định lý 2.3: Thiết lập tính duy nhất nghiệm trong lớp hàm liên tục bị chặn trên không gian có chuẩn tương đương chuẩn $\beta$-trơn dưới giả thiết $(B)$, và mở rộng cho bài toán Dirichlet trên miền mở $\Omega$ tổng quát trong lớp hàm liên tục đều, bị chặn thỏa mãn $u \le v$ trên biên $\partial\Omega$.

Đối với lớp nghiệm không bị chặn, Định lý 2.4 thiết lập nguyên lý so sánh cho phương trình tổng quát $u + H(x, u, Du) = 0$ trên tập mở $\Omega$ dưới hệ giả thiết $(H0), (H1)$ (hoặc $(H1)^$), $(H2), (H3)$. Kỹ thuật chứng minh sử dụng Bổ đề 2.1 kết hợp hàm phạt hiệu chỉnh: $$\Phi(x, y) = u(x) - v(y) - \frac{|x-y|^2}{\varepsilon} + \lambda \zeta(|x| - R)$$ trên tập $\Delta(a) = {(x, y) \in \Omega \times \Omega : \rho(x), \rho(y) > a, |x-y| < a}$. Từ đó thu được đánh giá chặn sai phân: $$u(x) - v(x) \le \sup_{\partial\Omega}(u-v)^+ + \sup_{\Omega \times \mathbb{R} \times X^} (\hat{H} - H)^+$$ Về tính ổn định và sự tồn tại, tác giả chứng minh giới hạn đều địa phương của dãy nghiệm $\beta$-nhớt tương ứng với dãy Hamilton hội tụ cũng là một nghiệm $\beta$-nhớt, và áp dụng phương pháp Perron để khẳng định sự tồn tại nghiệm $\beta$-nhớt khi tồn tại cặp nghiệm dưới và nghiệm trên tương thích.

Chương 3. Ứng dụng của nghiệm $\beta$-nhớt đối với bài toán điều khiển tối ưu

Chương này vận dụng lý thuyết nghiệm $\beta$-nhớt vào bài toán điều khiển tối ưu tất định thời gian vô hạn trên không gian Banach vô hạn chiều $X$. Phương trình trạng thái của hệ động học được mô tả bởi phương trình vi phân: $$\dot{y}(s) = f(y(s), \alpha(s)), \quad y(0) = x, \quad s \ge 0$$ với $\alpha(\cdot) \in \mathcal{U}$ là tập các điều khiển chấp nhận được. Hàm chi phí tích lũy chiết khấu có dạng: $$J(x, \alpha) = \int_0^\infty e^{-\lambda s} \ell(y_x(s, \alpha), \alpha(s)) ds$$ và hàm giá trị tối ưu tương ứng là $V(x) = \inf_{\alpha \in \mathcal{U}} J(x, \alpha)$.

Nội dung chương triển khai theo các bước giải tích:

  1. Thiết lập nguyên lý quy hoạch động Bellman cho hàm giá trị: $$V(x) = \inf_{\alpha \in \mathcal{U}} \left{ \int_0^t e^{-\lambda s} \ell(y_x(s, \alpha), \alpha(s)) ds + e^{-\lambda t} V(y_x(t, \alpha)) \right}, \quad \forall t > 0$$
  2. Chứng minh rằng hàm giá trị $V(x)$, ngay cả trong trường hợp không bị chặn, thỏa mãn các điều kiện môđun liên tục và là nghiệm $\beta$-nhớt duy nhất của phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman dừng: $$\lambda V(x) + H(x, DV(x)) = 0 \quad \text{trên } X$$ trong đó hàm Hamilton $H$ được xác định qua biến đổi Fenchel-Legendre: $$H(x, p) = \sup_{a \in A} { -\langle p, f(x, a)\rangle - \ell(x, a) }$$
  3. Khảo sát các tính chất vi phân của hàm giá trị và thiết lập các mối liên hệ giữa dưới vi phân $\beta$-nhớt $D_\beta^- V(x)$ với quỹ đạo trạng thái tối ưu. Từ đó, chương 3 chứng minh điều kiện cần và điều kiện đủ cho quỹ đạo điều khiển tối ưu trong không gian vô hạn chiều, đồng thời phân tích dạng phản hồi tối ưu mà không đòi hỏi tính trơn Fréchet của không gian nền.

Chương 4. Phương trình Hamilton-Jacobi với bài toán điều khiển tối ưu trên khớp nối với hàm chi phí không bị chặn

Chương cuối cùng giải quyết bài toán điều khiển tối ưu trên tập hình học khớp nối $G$, bao gồm $N$ tia $J_i = [0, +\infty)e_i$ giao nhau tại điểm tiếp giáp duy nhất là gốc tọa độ $O$. Trên mỗi tia $J_i$, hệ thống chịu sự chi phối của trường véctơ động lực $f_i(x, a)$ và hàm chi phí chuyển động $\ell_i(x, a)$.

Điểm mấu chốt của chương là thay thế giả thiết bị chặn thông thường của hàm chi phí trong các công trình của Y. Achdou, Camilli, Cutrì, Marchi (2013) và Khang (2015) bằng hai lớp giả thiết nới lỏng:

  • Giả thiết $(H2)$ (tăng trưởng hàm mũ): hàm chi phí liên tục và thỏa mãn $|\ell_i(x, a)| \le C e^{m|x|}$ với $0 \le m < \frac{\lambda}{M}$.
  • Giả thiết $(H2)^*$ (tăng trưởng hàm đa thức): hàm chi phí liên tục và thỏa mãn $|\ell_i(x, a)| \le C (1 + |x|)^m$ với $m \ge 0$.

Dưới các điều kiện tăng trưởng này, tác giả đạt được các kết quả giải tích:

  1. Tính chất hàm giá trị: Chứng minh hàm giá trị $V$ liên tục trên toàn bộ khớp nối $G$, đạt tính liên tục Lipschitz địa phương trên mỗi lân cận đỉnh $J_i \cap B(O, \varepsilon)$, và thiết lập các bất đẳng thức đánh giá mức độ tăng trưởng của $V(x)$ không vượt quá hàm mũ tương ứng (dưới $(H2)$) hoặc không vượt quá hàm đa thức (dưới $(H2)^*$), đồng thời ước lượng chính xác giá trị $V(O)$ thông qua hàm Hamilton tại điểm nối.
  2. Phương trình Hamilton-Jacobi và nghiệm nhớt trên khớp nối: Xây dựng định nghĩa nghiệm nhớt trên khớp nối $G$, bao gồm phương trình Hamilton-Jacobi trên phần trong của từng cạnh $J_i \setminus {O}$ và điều kiện tiếp xúc đặc thù tại đỉnh $O$ thông qua trường véctơ định hướng.
  3. Nguyên lý so sánh và tính duy nhất: Chứng minh nguyên lý so sánh cho nghiệm nhớt không bị chặn trên $G$, khẳng định hàm giá trị của bài toán điều khiển tối ưu chính là nghiệm nhớt duy nhất của bài toán biên trên khớp nối.
  4. Điều kiện tối ưu: Chứng minh Định lý 4.3 về điều kiện cần và điều kiện đủ để một điều khiển là tối ưu trên khớp nối, đồng thời xác lập công thức xây dựng điều khiển phản hồi tối ưu qua hệ đạo hàm dưới nhớt tại các điểm trong và tại đỉnh nối.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được bốn nhóm kết quả khoa học mới về mặt lý luận toán học giải tích:

  1. Về lý thuyết dưới vi phân: Đưa ra hệ thống tính chất của dưới vi phân $\beta$-nhớt và phân tích tường minh mối quan hệ bao hàm giữa các dạng đạo hàm không trơn (Fréchet, Hadamard yếu, Hadamard, Gâteaux) qua các ví dụ phản chứng cụ thể; thiết lập các đánh giá định lượng mở rộng trong nguyên lý biến phân trơn Deville trên không gian có hàm bướu $\beta$-khả vi; chứng minh quy tắc tổng mờ cho họ $N$ hàm nửa liên tục dưới trên không gian Banach có chuẩn tương đương chuẩn $\beta$-trơn mà không cần giả thiết nửa liên tục dưới địa phương đều.
  2. Về tính đặt chỉnh của phương trình Hamilton-Jacobi: Chứng minh tính duy nhất nghiệm $\beta$-nhớt cho phương trình $u + H(x, Du) = 0$ và dạng tổng quát $u + H(x, u, Du) = 0$ trong lớp hàm liên tục bị chặn trên không gian Banach mà không sử dụng giả thiết Radon-Nikodym; mở rộng tính duy nhất sang lớp hàm liên tục không bị chặn thỏa mãn các điều kiện môđun suy rộng; chứng minh tính ổn định và sự tồn tại nghiệm $\beta$-nhớt thông qua phương pháp Perron.
  3. Về ứng dụng điều khiển tối ưu trong không gian vô hạn chiều: Chứng minh hàm giá trị của bài toán điều khiển tối ưu chiết khấu thời gian vô hạn (kể cả trường hợp không bị chặn) là nghiệm $\beta$-nhớt duy nhất của phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman tương ứng trên không gian Banach; thiết lập điều kiện cần và điều kiện đủ cho điều khiển tối ưu bằng ngôn ngữ dưới vi phân $\beta$-nhớt.
  4. Về bài toán điều khiển tối ưu trên khớp nối: Mở rộng thành công bài toán sang trường hợp hàm chi phí không bị chặn có tốc độ tăng trưởng mũ hoặc đa thức; chứng minh tính liên tục toàn cục trên $G$ và tính Lipschitz địa phương tại đỉnh của hàm giá trị; thiết lập nguyên lý so sánh và tính duy nhất nghiệm nhớt trên khớp nối; xác lập điều kiện cần, điều kiện đủ và xây dựng điều khiển phản hồi tối ưu.

Về mặt kiến nghị khoa học, luận án đề xuất việc ứng dụng bộ công cụ dưới vi phân $\beta$-nhớt để thay thế cho dưới vi phân Fréchet khi nghiên cứu các bài toán biến phân và phương trình đạo hàm riêng trên các không gian hàm không phản xạ hoặc không có chuẩn trơn Fréchet.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Về mặt hạn chế, các kết quả của luận án hoàn toàn tập trung vào phương trình Hamilton-Jacobi cấp một dừng (stationary) và bài toán điều khiển tất định; chưa mở rộng trực tiếp sang các phương trình tiến hóa phụ thuộc thời gian (bài toán Cauchy cấp một), phương trình cấp hai suy biến có số hạng độ nhớt thực sự, hoặc hệ phương trình điều khiển ngẫu nhiên chứa nhiễu trắng trên không gian Banach. Đối với cấu trúc hình học ở chương 4, đối tượng khảo sát giới hạn ở mô hình khớp nối hình sao đơn giản gồm một đỉnh nối duy nhất $O$ gắn kết các tia vô hạn, chưa bao quát các mạng lưới phức tạp gồm nhiều nút, cạnh hữu hạn đan xen và có chu trình.

Các hướng nghiên cứu tiếp được gợi mở từ phạm vi văn bản gồm:

  • Nghiên cứu nghiệm $\beta$-nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi cấp một không dừng dạng $u_t + H(x, t, u, Du) = 0$ trên không gian Banach.
  • Mở rộng bài toán điều khiển tối ưu với hàm chi phí không bị chặn từ cấu trúc khớp nối một đỉnh sang hệ thống mạng lưới tổng quát (networks) có nhiều nút giao và các cạnh liên kết hữu hạn.
  • Khảo sát phương trình Hamilton-Jacobi chứa đạo hàm cấp phân thứ hoặc mở rộng cho bài toán điều khiển ngẫu nhiên trên các cấu trúc hình học phân nhánh.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu chuyên khảo có giá trị học thuật phục vụ trực tiếp cho các đối tượng nghiên cứu và đào tạo:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Toán Giải tích, Phương trình vi phân và tích phân, và Toán ứng dụng: có thể sử dụng chương 1 và chương 2 như tài liệu tham khảo chi tiết về kỹ thuật giải tích không trơn, phương pháp gấp đôi biến số và các nguyên lý biến phân trơn trên không gian vô hạn chiều.
  • Giảng viên và các nhà nghiên cứu về lý thuyết điều khiển tối ưu và giải tích biến phân: có thể khai thác các định lý về điều khiển tối ưu trong chương 3 để thiết lập các điều kiện cực trị cho hệ động học vô hạn chiều, hoặc tham khảo khung lý thuyết trên khớp nối ở chương 4 để mô hình hóa các bài toán phân luồng giao thông, dòng chảy dữ liệu trên mạng lưới viễn thông khi chi phí tăng trưởng nhanh.

Các phần có giá trị trích dẫn học thuật cao nhất bao gồm: Mệnh đề 1.5 và Định lý 1.3 (chương 1) về quy tắc tổng mờ; Định lý 2.1, Định lý 2.4 (chương 2) về nguyên lý so sánh nghiệm không bị chặn; và hệ thống Định lý 4.3, 4.4 (chương 4) về điều kiện tối ưu và nghiệm nhớt trên khớp nối dưới giả thiết chi phí tăng trưởng mũ.

Câu hỏi thường gặp

1. Khái niệm borno $\beta$ và dưới vi phân $\beta$-nhớt có ưu thế gì so với dưới vi phân Fréchet truyền thống? Dưới vi phân Fréchet đòi hỏi tính trơn mạnh của hàm chuẩn không gian nền (chẳng hạn không gian Hilbert), điều này không thỏa mãn trên nhiều không gian Banach quan trọng như $\ell_1$ hay $L^1$. Khái niệm borno $\beta$ cho phép tùy biến họ tập con kiểm soát sự hội tụ đều (từ tập hữu hạn trong borno Gâteaux, tập compact trong borno Hadamard, đến tập đóng bị chặn trong borno Fréchet), tạo ra các tôpô $\tau_\beta$ linh hoạt trên không gian đối ngẫu $X^*$. Nhờ đó, dưới vi phân $\beta$-nhớt có thể tồn tại và áp dụng hiệu quả trên các không gian thiếu tính trơn Fréchet.

2. Luận án đã khắc phục điều kiện ngặt nghèo nào của Crandall-Lions (1990) và Borwein (1999) khi chứng minh tính duy nhất nghiệm? Công trình của Crandall và Lions (1990) đòi hỏi không gian Banach phải thỏa mãn tính chất hình học Radon-Nikodym để chứng minh tính duy nhất nghiệm Fréchet-nhớt cho phương trình $u + H(x, u, Du) = 0$. Trong khi đó, công trình của Borwein (1999) đòi hỏi lớp nghiệm phải là các hàm liên tục đều và bị chặn, đồng thời họ hàm trong nguyên lý biến phân phải nửa liên tục dưới địa phương đều. Luận án đã loại bỏ hoàn toàn giả thiết Radon-Nikodym, mở rộng kết quả sang lớp hàm liên tục không bị chặn và loại bỏ điều kiện nửa liên tục dưới địa phương đều trong quy tắc tổng mờ.

3. Tại sao hàm chuẩn trên không gian $\ell_1$ là nghiệm $F$-nhớt nhưng không là nghiệm $G$-nhớt của phương trình $u(x) + 1 - u + |Du| = 0$? Trên không gian $\ell_1$, chuẩn $|x|$ là hàm lồi không khả vi Fréchet tại bất kỳ điểm nào, dẫn đến trên vi phân Fréchet $D_F^+ u(x)$ là tập rỗng tại mọi điểm, làm cho điều kiện nghiệm dưới $F$-nhớt tự động thỏa mãn một cách hiển nhiên. Ngược lại, chuẩn $|x|$ khả vi Gâteaux tại các điểm có tọa độ khác không, khiến cho trên vi phân Gâteaux $D_G^+ u(x) = {Du(x)}$. Khi thế vào phương trình, biểu thức trở thành $1 + |Du| \le 0$, là điều vô lý. Do đó hàm không thể là nghiệm dưới $G$-nhớt.

4. Giả thiết về hàm chi phí trong bài toán điều khiển trên khớp nối được luận án nới lỏng như thế nào so với các nghiên cứu trước đây? Các công trình trước của Y. Achdou, Camilli, Cutrì, Marchi (2013) và Khang (2015) đều yêu cầu giả thiết $(H1)$ là hàm chi phí $\ell_i$ phải bị chặn trên toàn miền xác định $J_i \times A_i$. Luận án đã thay thế bằng hai giả thiết tổng quát hơn: giả thiết $(H2)$ cho phép chi phí tăng trưởng không vượt quá hàm mũ $|\ell_i(x, a)| \le C e^{m|x|}$ (với $0 \le m < \frac{\lambda}{M}$), và giả thiết $(H2)^*$ cho phép chi phí tăng trưởng không vượt quá hàm đa thức $|\ell_i(x, a)| \le C(1 + |x|)^m$ ($m \ge 0$).

5. Hàm giá trị của bài toán điều khiển tối ưu trên khớp nối có tính chất giải tích gì đáng chú ý tại điểm tiếp giáp $O$? Dưới các giả thiết tăng trưởng mới, hàm giá trị $V$ duy trì được tính liên tục trên toàn bộ cấu trúc hình học $G$, đạt tính chất liên tục Lipschitz địa phương trên mỗi nhánh giao với lân cận đỉnh $J_i \cap B(O, \varepsilon)$, đồng thời giá trị tại đỉnh $V(O)$ được chặn và đánh giá định lượng tường minh thông qua cấu trúc của các hàm Hamilton thành phần tại điểm $O$.

Kết luận

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Phan Trọng Tiến đã phát triển hệ thống lý thuyết về dưới vi phân $\beta$-nhớt và nghiệm $\beta$-nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi cấp một trên không gian Banach vô hạn chiều và trên cấu trúc khớp nối. Công trình đã thiết lập trọn vẹn tính duy nhất, tồn tại và ổn định của nghiệm $\beta$-nhớt trong các lớp hàm liên tục bị chặn và không bị chặn mà không cần đến giả thiết Radon-Nikodym, đồng thời mở rộng quy tắc tổng mờ trong giải tích biến phân. Các kết quả giải tích này đã được ứng dụng thành công để giải quyết bài toán điều khiển tối ưu chiết khấu thời gian vô hạn trong không gian Banach và bài toán điều khiển trên khớp nối với hàm chi phí tăng trưởng mũ hoặc đa thức, cung cấp các điều kiện cần, điều kiện đủ và điều khiển phản hồi tối ưu tương ứng.