Phương Trình Vi Phân Đại Số Có Trễ Trong Lý Thuyết Điều Khiển

• Tác giả: Đỗ Thị Hương
• Người hướng dẫn: TS. Đào Thị Liên
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán giải tích
• Đề tài: Phương Trình Vi Phân Đại Số Có Trễ Trong Lý Thuyết Điều Khiển
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Thái Nguyên

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
• 1.1. Phương trình vi phân đại số (DAE)
• 1.2. Một số khái niệm về DAE
• 1.3. Chỉ số của DAE
• 1.4. Phương pháp giải số DAE
• 1.5. Phương trình vi phân thường có trễ (DODE)
• 1.6. Một số khái niệm và kết quả về DODE
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ TRỄ TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN
• 2.1. Bài toán sisofeed5
• 2.2. Tính chất của nghiệm
• 2.3. Các hàm đầu vào
• 2.4. Lựa chọn công thức
• 2.5. Ước lượng và điều khiển sai số
• 2.6. Sự lan truyền
• 2.7. Theo dõi các gián đoạn
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Phương Trình Vi Phân Đại Số Định Nghĩa Ứng Dụng

Các hệ tuyến tính bất biến (LTI) là mô hình cơ bản trong lý thuyết điều khiển. Các mô hình với trạng thái có trễ xuất hiện tự nhiên khi xây dựng các mối liên hệ ngược của các hàm truyền sơ cấp. Các nghiên cứu chỉ ra rằng các đối số trễ thường có ảnh hưởng lớn đến nghiệm của một hệ động lực. Tuy nhiên, các kết quả tương tự cho các hệ phương trình vi phân đại số (DDAE) còn rất ít, mặc dù chúng có nhiều ứng dụng trong tự nhiên, hóa học, sinh học…. Do đó, cần tập trung nghiên cứu về nghiệm dạng số của DDAE. Luận văn này trình bày về nghiệm dạng số của DDAE do L. Gahinet đưa ra trong bài báo “Delay differential algebraic equations in control theory” có dạng x(t )  Ax(t )  B1u (t )  B2 w(t ) (0.2). Trong đó các ma trận A, B1 , B2 , D21 , D22 không đổi và hàm đầu vào u (t ) là trơn từng khúc với t  0. Hàm w được xác định bởi N số hạng của vectơ (cột) z và với N trễ cố định  1 ,.

1.1. Khái niệm cơ bản về Phương Trình Vi Phân Đại Số DAE

Khi nghiên cứu về phương trình vi phân nói chung, ta thường bắt đầu từ phương trình vi phân cấp 1 tổng quát dạng F  t , x, x   0, t0  t  t f (1.1). Trong đó F  t , x, x  là một hàm vectơ phụ thuộc ba biến: t là biến thời gian, x là hàm chưa biết, x là đạo hàm của x . Nếu ma trận Jacobian không suy biến thì (1.1) có thể giải x  theo x và t, khi đó (1.1) là phương trình vi phân thường dạng x  f  t , x . Ngược lại, nếu ma trận Jacobian suy biến thì (1.1) được gọi là phương trình vi phân ẩn hay phương trình vi phân đại số (DAE) dạng tổng quát. DAE thường được nghiên cứu về mặt lý thuyết và mô tả nhiều hiện tượng trong kỹ thuật, tự nhiên, sinh học…. Một trường hợp đặc biệt quan trọng của DAE là dạng nửa hiện hoặc ODE cùng với các ràng buộc đại số dạng  y  f (t , y, z )  (1.2). Ở đây x  ( y, z ) và g (t , y, z)  0 là ràng buộc ẩn.

1.2. Chỉ Số Của Phương Trình Vi Phân Đại Số DAE Cách Xác Định

Chỉ số là một khái niệm được sử dụng trong lý thuyết về DAE để đo khoảng cách từ DAE đến ODE. Chỉ số là một số nguyên dương cung cấp những thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và những phức tạp tiềm ẩn khi phân tích và giải DAE. Nhìn chung, chỉ số càng cao, sẽ càng khó khăn hơn trong việc tìm nghiệm của DAE. Có nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm chỉ số này, ví dụ: chỉ số Kronecker, chỉ số vi phân, chỉ số nhiễu, chỉ số linh hoạt, chỉ số hình học và chỉ số lạ. Với những bài toán đơn giản thì những khái niệm chỉ số này là như nhau. Thực tế là, các chỉ số này có thể trở thành khái niệm địa phương với các giá trị khác nhau ở những miền khác nhau. Ví dụ, phương trình vi phân thường có chỉ số 0.

II. Thách Thức Giải Phương Trình Vi Phân Đại Số Có Trễ DDAE

Một trong những thách thức lớn nhất trong lý thuyết điều khiển là giải quyết các hệ thống có trễ. Sự xuất hiện của các thành phần trễ trong hệ thống điều khiển có thể gây ra sự không ổn định, dao động hoặc hiệu suất kém. Đặc biệt, khi kết hợp với phương trình vi phân đại số, bài toán trở nên phức tạp hơn nhiều. Cần có những phương pháp tiếp cận đặc biệt để xử lý các đặc tính độc đáo của DDAE, bao gồm việc xác định nghiệm, phân tích tính ổn định và thiết kế bộ điều khiển phù hợp.

2.1. Ảnh hưởng của Trễ đến Độ Ổn Định Hệ Thống Điều Khiển

Các đối số trễ thường có ảnh hưởng lớn đến dáng điệu nghiệm của một hệ động lực nói chung. Khi có trễ, hệ thống trở nên nhạy cảm hơn với các thay đổi và nhiễu loạn. Điều này có thể dẫn đến việc hệ thống mất ổn định hoặc dao động không mong muốn. Việc phân tích và đánh giá độ ổn định của hệ thống trễ là một bước quan trọng trong thiết kế điều khiển.

2.2. Khó khăn trong việc Giải Phương Trình DDAE Bằng Phương Pháp Số

Việc giải phương trình DDAE bằng phương pháp số gặp nhiều khó khăn do tính chất phức tạp của chúng. Các phương pháp số truyền thống thường không hiệu quả hoặc không chính xác khi áp dụng cho DDAE. Cần có những phương pháp số đặc biệt được thiết kế để xử lý các thành phần trễ và các ràng buộc đại số trong DDAE.

III. Phương Pháp Tiếp Cận Giải Quyết DDAE Trong Lý Thuyết Điều Khiển

Có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết DDAE trong lý thuyết điều khiển. Một trong những phương pháp phổ biến là sử dụng các phương pháp số đặc biệt, chẳng hạn như phương pháp Runge-Kutta với nội suy trễ hoặc phương pháp BDF với xử lý trễ. Ngoài ra, cũng có những phương pháp dựa trên việc biến đổi DDAE thành một hệ phương trình tương đương dễ giải hơn.

3.1. Sử dụng Phương Pháp Runge Kutta để Giải DDAE

Phương pháp Runge-Kutta là một phương pháp số phổ biến để giải các phương trình vi phân. Khi áp dụng cho DDAE, cần kết hợp với nội suy trễ để ước lượng giá trị của hàm tại các thời điểm trễ. Phương pháp này có thể đạt được độ chính xác cao và hiệu quả, nhưng đòi hỏi phải lựa chọn bước thời gian phù hợp.

3.2. Áp dụng Phương Pháp BDF cho Bài Toán Điều Khiển DDAE

Phương pháp BDF (Backward Differentiation Formula) là một phương pháp số khác được sử dụng để giải các phương trình vi phân. Khi áp dụng cho DDAE, cần kết hợp với xử lý trễ để đảm bảo tính ổn định và chính xác. Phương pháp này thường được sử dụng cho các hệ thống cương (stiff systems).

3.3. Giảm Chỉ Số DAE để đơn giản bài toán điều khiển

Thông thường, cách tốt nhất để giải DAE chỉ số cao là ta tìm cách hạ chỉ số của nó sau đó ta giải phương trình với chỉ số thấp hơn. Các phương trình vi phân có dạng  x  f (t , x, z ),  (1. trong đó,  là một tham số nhỏ được gọi là hệ ODE với nhiễu suy biến (singularly). Khi tham số   0 , (1.8) trở thành DAE dạng (1.8) là cương đối với các tham số  đủ nhỏ, nên một cách tự nhiên người ta tận dụng triệt để các phương pháp để giải ODEs cương, phương pháp này áp dụng cho việc rời rạc hóa trực tiếp DAEs dạng (1.2) và DAEs dạng tổng quát (1. Đặc biệt, khi sử dụng kết hợp các phương pháp BDF và Radau cho ODEs cương là rất hiệu quả.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn của DDAE Trong Mô Hình Hóa và Điều Khiển

Phương trình vi phân đại số có trễ (DDAE) có nhiều ứng dụng thực tiễn trong mô hình hóa và điều khiển các hệ thống phức tạp. Chúng được sử dụng để mô tả các hệ thống vật lý, hóa học, sinh học và kinh tế có các thành phần trễ. Ví dụ, DDAE có thể được sử dụng để mô hình hóa các hệ thống điều khiển với trễ truyền thông, các quá trình hóa học với thời gian phản ứng trễ hoặc các hệ thống sinh học với trễ sinh học.

4.1. Mô Hình Hóa Hệ Thống Điều Khiển với Trễ Truyền Thông

Trong các hệ thống điều khiển từ xa hoặc hệ thống điều khiển mạng, thường có trễ truyền thông giữa bộ điều khiển và đối tượng điều khiển. DDAE có thể được sử dụng để mô hình hóa các hệ thống này và thiết kế bộ điều khiển phù hợp để bù đắp cho trễ truyền thông.

4.2. Mô Hình Hóa Quá Trình Hóa Học với Thời Gian Phản Ứng Trễ

Trong các quá trình hóa học, thời gian phản ứng thường không phải là tức thời. DDAE có thể được sử dụng để mô hình hóa các quá trình này và thiết kế bộ điều khiển để đảm bảo hiệu suất và độ ổn định của quá trình.

V. Phân Tích Độ Nhạy Của Nghiệm DDAE Yếu Tố Ảnh Hưởng Lớn Nhất

Phân tích độ nhạy đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ ảnh hưởng của các tham số và điều kiện ban đầu đến nghiệm của DDAE. Bằng cách xác định các yếu tố nhạy cảm nhất, ta có thể tập trung vào việc điều chỉnh và kiểm soát chúng để đạt được hiệu suất mong muốn của hệ thống.

5.1. Ảnh Hưởng của Tham Số Trễ Đến Nghiệm của DDAE

Tham số trễ là một trong những yếu tố quan trọng nhất ảnh hưởng đến nghiệm của DDAE. Việc thay đổi giá trị của tham số trễ có thể dẫn đến sự thay đổi đáng kể trong tính ổn định và hiệu suất của hệ thống. Do đó, việc phân tích độ nhạy của nghiệm đối với tham số trễ là rất quan trọng.

5.2. Tác Động Của Điều Kiện Ban Đầu Đến Nghiệm DDAE Phân Tích

Điều kiện ban đầu cũng có thể ảnh hưởng đáng kể đến nghiệm của DDAE. Việc thay đổi điều kiện ban đầu có thể dẫn đến sự thay đổi trong dạng nghiệm và tính ổn định của hệ thống. Do đó, việc phân tích độ nhạy của nghiệm đối với điều kiện ban đầu là rất quan trọng.

VI. Kết Luận và Hướng Nghiên Cứu Tiềm Năng Về Phương Trình DDAE

Nghiên cứu về phương trình vi phân đại số có trễ (DDAE) đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết điều khiển và các ứng dụng liên quan. Mặc dù đã có nhiều tiến bộ trong việc giải quyết DDAE, vẫn còn nhiều thách thức và cơ hội để nghiên cứu sâu hơn. Các hướng nghiên cứu tiềm năng bao gồm phát triển các phương pháp số hiệu quả hơn, phân tích tính ổn định của DDAE và thiết kế bộ điều khiển tối ưu cho các hệ thống DDAE.

6.1. Đề Xuất Các Phương Pháp Số Mới Để Giải Quyết DDAE

Việc phát triển các phương pháp số mới hiệu quả hơn để giải quyết DDAE là một hướng nghiên cứu quan trọng. Các phương pháp này nên có khả năng xử lý các hệ thống có độ trễ lớn và các ràng buộc đại số phức tạp.

6.2. Nghiên Cứu Tính Ổn Định Của Hệ Thống Điều Khiển DDAE

Việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ thống điều khiển DDAE là rất quan trọng để đảm bảo hiệu suất và độ tin cậy của hệ thống. Cần phát triển các phương pháp phân tích và đánh giá độ ổn định của DDAE trong các điều kiện khác nhau.

## Tổng quan nghiên cứu

Phương trình vi phân đại số có trễ (DDAE) là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong toán học ứng dụng và lý thuyết điều khiển, với nhiều ứng dụng trong tự nhiên, kỹ thuật, sinh học và hóa học. Theo ước tính, các hệ thống điều khiển tuyến tính bất biến tổng quát (GENLTI) với trạng thái có trễ chiếm tỷ lệ lớn trong các mô hình thực tế, đặc biệt khi các trễ đầu vào hoặc đầu ra xuất hiện tự nhiên trong quá trình truyền tín hiệu. Nghiên cứu này tập trung vào việc phát triển và phân tích các phương pháp giải số cho DDAE, nhằm nâng cao độ chính xác và hiệu quả tính toán trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giây, với các hàm đầu vào có bước nhảy tại thời điểm t=0.

Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng khung lý thuyết và phương pháp giải số cho các phương trình vi phân đại số có trễ, đồng thời áp dụng vào bài toán sisofeed5 – một mô hình điển hình trong lý thuyết điều khiển. Nghiên cứu không chỉ giúp hiểu rõ hơn về tính chất nghiệm, sự lan truyền các bước nhảy trong hệ mà còn cung cấp các công cụ tính toán phù hợp cho các hệ thống điều khiển thực tế. Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc thiết kế và điều khiển các hệ thống có trễ, góp phần nâng cao hiệu suất và độ ổn định của hệ thống.

## Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

### Khung lý thuyết áp dụng

- **Phương trình vi phân đại số (DAE)**: Là loại phương trình trong đó ma trận Jacobian theo đạo hàm suy biến, dẫn đến sự kết hợp giữa phương trình vi phân và ràng buộc đại số. Khái niệm chỉ số vi phân của DAE được sử dụng để đo độ phức tạp và mức độ khó khăn trong việc tìm nghiệm, với chỉ số càng cao thì việc giải càng phức tạp.

- **Phương trình vi phân thường có trễ (DODE)**: Là phương trình vi phân trong đó đạo hàm tại thời điểm hiện tại phụ thuộc vào giá trị của hàm tại các thời điểm trễ trước đó. DODE có thể thuộc dạng trung hòa hoặc không trung hòa, ảnh hưởng đến tính chất nghiệm và phương pháp giải.

- **Hệ điều khiển tuyến tính liên tục và rời rạc**: Các hệ này được mô hình hóa bằng phương trình vi phân hoặc sai phân tuyến tính, với các điều kiện điều khiển được hoàn toàn, điều khiển được về 0, và các tiêu chuẩn điều khiển được dựa trên ma trận Kalman và các điều kiện hạng.

- **Phương pháp Radau IIA**: Là phương pháp Runge-Kutta ẩn dùng để giải các ODE cương, có tính ổn định cao và phù hợp với các phương trình có trễ.

- **Khái niệm bước nhảy và gián đoạn trong nghiệm**: Các bước nhảy trong hàm đầu vào lan truyền qua nghiệm và đạo hàm của nghiệm, tạo ra các điểm gián đoạn cần được xử lý cẩn thận trong phương pháp số.

### Phương pháp nghiên cứu

- **Nguồn dữ liệu**: Dữ liệu nghiên cứu được xây dựng dựa trên mô hình sisofeed5, với các ma trận hệ số A, B1, B2, C1, D21, D22 xác định rõ ràng và các giá trị trễ cố định (ví dụ 0.02 và 0.08 giây).

- **Phương pháp phân tích**: Sử dụng phương pháp đa bước để xây dựng nghiệm trên các khoảng thời gian liên tiếp, kết hợp với phương pháp Radau IIA để giải các hệ phương trình phi tuyến cương. Phương pháp này cho phép xử lý các bước nhảy và gián đoạn trong nghiệm một cách hiệu quả.

- **Timeline nghiên cứu**: Nghiên cứu tập trung vào khoảng thời gian từ 0 đến 1 giây, với việc khảo sát sự lan truyền các bước nhảy và tính chất trơn của nghiệm trên các khoảng con nhỏ hơn dựa trên các điểm gián đoạn do trễ gây ra.

## Kết quả nghiên cứu và thảo luận

### Những phát hiện chính

- **Phát hiện 1**: Nghiệm của hệ DDAE có dạng liên tục tại thời điểm t=0, nhưng đạo hàm của nghiệm và các biến đại số có thể có bước nhảy lan truyền theo các giá trị trễ. Ví dụ, hàm đầu vào u(t) có bước nhảy tại t=0 đã kéo theo bước nhảy trong biến z(t), đạo hàm x'(t) và đầu ra y(t).

- **Phát hiện 2**: Chỉ số vi phân của DAE trong bài toán sisofeed5 được xác định là 1, cho phép chuyển đổi hệ DDAE thành hệ ODE có trễ để giải số. Điều này giúp giảm độ phức tạp tính toán và đảm bảo tính ổn định của nghiệm.

- **Phát hiện 3**: Các bước nhảy trong nghiệm lan truyền theo chuỗi các điểm gián đoạn được xác định bởi các giá trị trễ, tạo thành tập hợp các điểm gián đoạn mức L, với điểm đầu tiên là t=0 và điểm tiếp theo là t=τ (giá trị trễ nhỏ nhất).

- **Phát hiện 4**: Phương pháp đa bước kết hợp với Radau IIA cho phép giải quyết hiệu quả các bài toán DDAE và DODE, xử lý tốt các gián đoạn và đảm bảo độ chính xác cao. Sai số địa phương được kiểm soát ở mức O(h^{2s}) với h là cỡ bước và s là bậc của phương pháp.

### Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của các bước nhảy và gián đoạn trong nghiệm là do sự xuất hiện của các trễ trong hàm đầu vào và các biến trạng thái, làm cho các giá trị tại thời điểm hiện tại phụ thuộc vào các giá trị trước đó. So với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng và áp dụng thành công các phương pháp giải số hiện đại cho hệ DDAE có trễ, đặc biệt là mô hình sisofeed5 với các trễ thực tế.

Việc xác định chỉ số vi phân của DAE giúp giảm bớt độ phức tạp trong giải pháp số, đồng thời đảm bảo tính tương thích của điều kiện ban đầu, một yếu tố quan trọng để đảm bảo tính duy nhất và ổn định của nghiệm. Kết quả cũng cho thấy các phương pháp số cần được điều chỉnh cỡ bước phù hợp với các điểm gián đoạn để tránh sai số lớn và đảm bảo độ trơn của nghiệm trên các khoảng liên tục.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ thể hiện sự lan truyền các bước nhảy trong hàm đầu ra y(t) và đạo hàm x'(t), cũng như bảng so sánh sai số giữa các phương pháp giải số khác nhau.

## Đề xuất và khuyến nghị

- **Áp dụng phương pháp đa bước kết hợp Radau IIA** để giải các hệ DDAE có trễ trong các bài toán điều khiển thực tế, nhằm nâng cao độ chính xác và hiệu quả tính toán.

- **Xây dựng bộ công cụ phần mềm chuyên biệt** hỗ trợ xử lý các bước nhảy và gián đoạn trong nghiệm, giúp người dùng dễ dàng mô phỏng và phân tích các hệ thống có trễ.

- **Khuyến nghị lựa chọn cỡ bước tính toán phù hợp** dựa trên các điểm gián đoạn xác định được từ giá trị trễ, nhằm giảm thiểu sai số và tăng tính ổn định của phương pháp số.

- **Phát triển các mô hình điều khiển tuyến tính bất biến tổng quát (GENLTI)** có tính đến các trễ đầu vào và đầu ra, phục vụ cho thiết kế hệ thống điều khiển chính xác và ổn định hơn.

- **Đào tạo và nâng cao nhận thức cho các nhà nghiên cứu và kỹ sư** về tầm quan trọng của việc xử lý trễ trong hệ thống điều khiển, cũng như các phương pháp giải số hiện đại cho DDAE và DODE.

## Đối tượng nên tham khảo luận văn

- **Nhà nghiên cứu và giảng viên toán ứng dụng**: Có thể sử dụng luận văn như tài liệu tham khảo để hiểu sâu về lý thuyết và phương pháp giải số cho DDAE và DODE, phục vụ cho nghiên cứu và giảng dạy.

- **Kỹ sư và chuyên gia điều khiển tự động**: Áp dụng các kết quả nghiên cứu để thiết kế và mô phỏng các hệ thống điều khiển có trễ, nâng cao hiệu suất và độ ổn định của hệ thống.

- **Sinh viên cao học chuyên ngành Toán học và Kỹ thuật điều khiển**: Tài liệu giúp hiểu rõ các khái niệm cơ bản và nâng cao về phương trình vi phân đại số có trễ, cũng như các kỹ thuật giải số hiện đại.

- **Nhà phát triển phần mềm mô phỏng và tính toán khoa học**: Tham khảo để phát triển các thuật toán và công cụ phần mềm hỗ trợ giải các bài toán DDAE và DODE phức tạp.

## Câu hỏi thường gặp

1. **Phương trình vi phân đại số có trễ (DDAE) là gì?**  
DDAE là loại phương trình kết hợp giữa phương trình vi phân đại số và các trễ thời gian trong biến trạng thái hoặc đầu vào, làm cho giá trị hiện tại phụ thuộc vào các giá trị quá khứ.

2. **Tại sao chỉ số vi phân của DAE quan trọng?**  
Chỉ số vi phân đo độ phức tạp của DAE, ảnh hưởng đến phương pháp giải và tính ổn định của nghiệm. Chỉ số thấp giúp giải dễ dàng hơn và đảm bảo điều kiện ban đầu tương thích.

3. **Phương pháp Radau IIA có ưu điểm gì trong giải DDAE?**  
Radau IIA là phương pháp Runge-Kutta ẩn có tính ổn định cao, phù hợp với các hệ phương trình cương và có trễ, giúp kiểm soát sai số và xử lý các gián đoạn trong nghiệm hiệu quả.

4. **Làm thế nào để xử lý các bước nhảy trong hàm đầu vào khi giải DDAE?**  
Phương pháp đa bước được sử dụng để xây dựng nghiệm trên các khoảng liên tiếp, kết hợp với việc xác định các điểm gián đoạn do trễ để điều chỉnh cỡ bước tính toán, đảm bảo độ chính xác.

5. **Ứng dụng thực tiễn của nghiên cứu này là gì?**  
Nghiên cứu giúp thiết kế và điều khiển các hệ thống có trễ trong kỹ thuật, sinh học, hóa học, nâng cao hiệu suất và độ ổn định của hệ thống điều khiển trong thực tế.

## Kết luận

- Luận văn đã phát triển thành công phương pháp giải số cho phương trình vi phân đại số có trễ, đặc biệt là mô hình sisofeed5 trong lý thuyết điều khiển.  
- Xác định chỉ số vi phân của DAE giúp giảm độ phức tạp và đảm bảo tính tương thích của điều kiện ban đầu.  
- Phương pháp đa bước kết hợp Radau IIA xử lý hiệu quả các bước nhảy và gián đoạn trong nghiệm.  
- Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa thực tiễn cao trong thiết kế và điều khiển các hệ thống có trễ.  
- Đề xuất phát triển công cụ phần mềm và đào tạo chuyên sâu để ứng dụng rộng rãi trong ngành điều khiển và toán ứng dụng.  

**Hành động tiếp theo**: Áp dụng các phương pháp nghiên cứu vào các bài toán thực tế, phát triển phần mềm hỗ trợ và mở rộng nghiên cứu sang các hệ phi tuyến có trễ phức tạp hơn.